离散数学中的图的连通分量和最小生成树
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
离散数学 第九章：树
课后作业：9.13
树的遍历：
行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问一次. 行遍2元有序正则树的方式： ① 中序行遍法: 左子树、根、右子树 ② 前序行遍法: 根、左子树、右子树 ③ 后序行遍法: 左子树、右子树、根
例如, 对图所示根树按中序、前序、 后序行遍法访问结果分别为： b a (f d g) c e a b (c (d f g) e) b ((f g d) e c) a 带下划线的是(子)树根, 一对括号内是一棵子树
9.2
一、树的概念
根树及其应用
有向树: 基图为无向树的有向图 根树: 有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的 非平凡的有向树 树根: 有向树中入度为0的顶点 树叶: 有向树中入度为1, 出度为0的顶点 内点: 有向树中入度为1, 出度大于0的顶点 分支点: 树根与内点的总称(出度大于等于1） 顶点v的层数: 从树根到v的通路长度，记作l(v) 树高: 有向树中顶点的最大层数，记作h(T)
定义 设2元树T有t片树叶v1, v2, …, vt, 树叶的权分别
为w1, w2, …, wt, 称 W ( t ) wi l ( vi ) 为T的权, 记作
t i 1
W(T), 其中l(vi)是vi的层数. 在所有有t片树叶, 带权
w1, w2, …, wt 的 2元树中, 权最小的2元树称为最优
例9.1.3：
Ca=aef
b d e f c
Cb=bde
Cc=cdf
a
基本回路系统为：{Ca, Cb, Cc}= { aef , bde , cdf }
每条弦对应一个基本回路。是由该条弦和树枝构成的回路。
六：★基本割集与基本割集系统
定义： 设T是n阶连通图G的一棵生成树, e1, e2, …, en1为T的树枝，Si是G的只含 树枝ei, 其他边都是弦的割集, 称Si为 对应生成树T由树枝ei生成的基本割 集。(集合) i=1, 2, …, n1. 称{S1, S2, …, Sn1}为对应T的基 本割集系统.（集合的集合） （共有n-1条树枝，每条树枝有一个基本割集）
离散数学生成树
离散数学生成树一、引言离散数学是数学的一个分支，它研究的是不连续的、离散的数学结构。
生成树是离散数学中的一个重要概念，它在图论中有着广泛的应用。
本文将介绍生成树的定义、性质以及应用领域。
二、生成树的定义在图论中，生成树是指包含图中所有顶点的一个连通子图，并且该子图是一个树。
换句话说，生成树是从图中选择一些边，构成一个没有回路的子图，同时保持图的连通性。
三、生成树的性质1. 生成树的边数等于顶点数减一。
这个性质可以通过数学归纳法证明。
假设一个图有n个顶点，那么它的生成树一定有n-1条边。
2. 生成树是连通图的最小连通子图。
也就是说，对于一个连通图来说，它的生成树是包含所有顶点的子图中边数最少的一个。
3. 生成树中任意两个顶点之间都是互联的。
也就是说，生成树中任意两个顶点之间存在且仅存在一条路径，这个路径就是生成树中的边。
四、生成树的应用生成树在计算机科学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 网络设计：生成树可以用于设计计算机网络中的最优传输路径，以提高网络的稳定性和可靠性。
2. 电力传输：生成树可以用于规划电力传输网络，以确保电力的高效传输和供应。
3. 数据压缩：生成树可以用于数据压缩算法中，通过构建最优编码树来减少数据的存储空间。
4. 优化问题：生成树可以用于解决一些优化问题，比如旅行商问题中的最短路径搜索。
5. 连接关系：生成树可以用于分析社交网络、物流网络等复杂系统中的连接关系。
五、总结生成树作为离散数学中的重要概念，在图论和计算机科学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于网络设计和电力传输等实际问题，还可以用于解决优化问题和分析复杂系统中的连接关系。
通过对生成树的研究和应用，我们可以更好地理解和优化各种实际问题。
生成树的定义和性质使得它成为离散数学中的重要研究对象。
希望本文对读者理解生成树的概念和应用有所帮助。
离散数学第8章 图论及其应用
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
图的最小生成树
保证不形成回路
(2)TE=TE+（u0,v0), 边（u0,v0)并入TE (3)U=U+{v0}，顶点V0 并入U
特点: 以连通为主、选代价最小的邻接边
说明：Prim算法的起始点（可不写，默认为0）
翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节
奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，
【练习】请用kruskal算法找出下图最小生成树。
练习
利用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树 算出该最小生成树的代价
最
1
10
小
生
成
21 6
树 19
算
法
33
思
想
5
18
二
1
10
6 Prim算法
2
11
5
6
3
14 6
4
2
11
5
6
3
初始条件
点集合={u0}， TE={φ}。
5
18
4
普里姆（Prim）最小生成树算法
1
③
④
3
42
⑤
6
利用Prim演算法找最小生成树
以A点为起始点
L ：A D B C E F T ： h c d e a
离散数学 第六章 图论(3)
i 1
离散数学
定义2.森林(forest) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是无圈的，则称图G为 森林。
注：森林是无圈的无向图； 森林中每一个连通分图都是一棵树，所以森林是由树构成的；
定理2.具有n个结点、p个分图的森林，有m=n-p条边。 [证].比较容易，留给读者。
定义3.生成树(generating tree) 设G=( V, E ) 是无向图，G̃=( Ṽ, Ẽ )是 G的生成子图， 若G̃ 还是一棵树，则称 G̃ 是G 的一棵生成树或支撑树 (shanning tree)。
9
离散数学
中产生(不然，去掉u,v间所增加的边，此圈仍存在，这 与已知G无圈矛盾！) ，所以，此圈只能在这两个分图之 间存在；因此，去掉u,v间所增加的 u v 边，这两点间还有路可通，这就与 已设G不连通， u,v间无路矛盾！ 图4
(参见图4所示) (6)(2)： 只需证明G中任二结点间最多只有一条路即可(有一条 路由G的连通性保证)；采用反证法证明如下： 假若不然，G中必至少存在着两个结点，设其是u,v， u,v间有两条不同的路可通。其中必有某一路上的某条边 e，不在另一条路上(否则，两条路将相同。参见图5所示 )。因此，删去此路上的这一条边e，不会破坏另一条路 10
3
离散数学
在人工智能及机器人设计、软件体系结构设计、层次控 制结构设计、VLSI-设计理论、总线设计理论及网络设 计理论中都有相应的树模型设计理论。 定义1.自由树(free tree) 无向树(undirected tree) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是连通的且是无圈的， 则称图G为自由树或无向树，简称树(tree) 。
注：[证明].(数学归纳法)至少有n-p条边不在具有p个结点的初级圈C 上 当图G\C有n-p=1个结点时，有1条边不在C上(参见图6(a)) ； 当图G\C有n-p=2个结点时，有2条边不在C上(参见图6(b)) ；
图-的-应-用PPT模板
构造过程：
二、最短路径
在一个带权图中，两个顶点之间带权路径长度最短的那一条路径称为这 两个顶点之间的最短路径。 顶点V0到其他各顶点的最短路径：
算法思想：
这里假设G＝（V，E）是一个有向网，其中，V为顶点集合，E为边的 集合。如果用集合S表示已求得最短路径的顶点集合，则集合V－S为尚 未求得最短路径的顶点集合。 ⑴ 将V0加入集合S。 ⑵ 初始化顶点V0到各顶点的当前最短距离。 ⑶ 初始化顶点V0到各顶点的当前最短路径。 ⑷ 执行5次循环，每次找出一条最短路径，并更新顶点V0到集合V－S 中各顶点的最短距离和最短路径。
2．最小生成树
在一个无向连通网的所有生成树中，各边权值之和最小的生成树称为 该无向网的最小生成树。 构造方法有以下两种: （1）普里姆算法 （2）克鲁斯卡尔算法
（1）普里姆算法
假设N＝(V，E)是一连通网，其中V为顶点集合，E为边的集合。另设 置两个集合U和TE，令U为最小生成树顶点的集合，TE为边的集合。 求最小生成树的过程是： 首先令集合U的初始值为U＝{u0}( u0∈V)，TE＝{}；在所有(u∈U， v∈V－U)的边中选择一条权值最小的边(u, v)∈E，将顶点v加入集合 U中，将边(u, v)加入集合TE中；重复此操作，直到U＝V为止，此时 TE中必含有n－1条边，则T＝(U，TE)为N的最小生成树。
构造过程：
（2）克鲁斯卡尔算法
假设N＝(V，E)是一连通网，其中V为顶点集合，E为边的集合。 求最小生成树的过程是： 首先令N的最小生成树T的初始状态为T＝(V，{})，即T由N中的n个顶 点构成，顶点之间没有边；在E中选择权值最小的边(u, v)，若u和v分 别落在T中不同的连通分量上，则将该边加入到T中，否则舍去该边再 选择下一条权值最小的边；重复此操作，直到T中所有顶点构成一个连 通分量为止。
离散数学中常用的图论算法简介
离散数学中常用的图论算法简介图论是高等数学中的一个分支，主要涉及在图中寻找什么样的路径，以及什么样的点之间有什么样的关系。
在计算机科学中，图论的应用越来越广泛。
因为所有的计算机程序都是基于数据结构的，而图是一种最基本的数据结构之一。
离散数学中的图论算法大致可以分为两类：一类是针对稠密图的算法，另一类是针对稀疏图的算法。
稠密图指的是一种图，其中每对顶点都有一条边相连，而稀疏图则是指只有一部分顶点之间相连的图。
以下是一些常见的图论算法的简介。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求图中最短路径的算法，也是最常用的图论算法之一。
Dijkstra算法的主要思想是通过贪心策略，从起点出发，逐步扩展最短路径的范围，直到找到终点。
Dijkstra算法可以用来解决单源最短路径问题。
如果图中有n个顶点，算法的时间复杂度为O（n²）。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种用于求最小生成树的算法。
最小生成树指的是，通过连接图中一些顶点形成一棵树，使得这些顶点之间的总权重最小。
Kruskal算法的主要思想是将图中的所有边按照权重进行排序，然后依次加入到生成树中，如果新加入的边会形成环，则不将其加入到生成树中。
如果图中有n个顶点，那么算法的时间复杂度为O（nlogn）。
3. Floyd算法Floyd算法用于求图中任意两个点之间的最短路径。
如果图中所有的权重都是正的，那么Floyd算法的时间复杂度为O（n的三次方），但是如果存在负权重，那么该算法不适用。
关于负权环的处理，可以通过Bellman-Ford算法进行解决。
4. Prim算法Prim算法是一种用于求最小生成树的算法。
与Kruskal算法不同的是，Prim算法是基于顶点集来实现，而不是基于边集。
Prim 算法首先找到一个起点，将其加入到生成树中，然后找到与其相连的边中权重最小的那一条，将其相连的顶点加入到生成树中，重复这一步骤直至所有顶点都被加入到生成树中。
离散数学 第八章 图论
A
B
D 图2
此图实际上是反 映了客观事物 之间的相互关系
10
离散数学
本世纪40年代，一个数学游戏也使用类似的方法得到 了解决：某人挑一担菜、并带一只狗、一只羊，要从河 的北岸到南岸。由于船小，只允许带狗、羊、菜三者中 的一种过河；而由于明显的原因，当人不在场时狗与羊、 羊与菜不能呆在一起。问此人应采取怎样的办法才能将 这三样东西安全地带过河去？ 方法一：不对称状态空间法 将人(person)、狗(dog)、羊(sheep)、菜(cabbage)中任意 几种在一起的情况看作是一种状态，则北岸可能出现的 状态共有十六种，其中 安全状态有下面十种： (人，狗，羊，菜)，(空)； (P,D,S,C) ，() ； (人，狗，羊)， (菜)； (P,D,S,) ，(C) ； (人，狗，菜)，(羊)； (P,D,C) ，(S) ；
7
离散数学
但当地的居民和游人做了不少的尝试，却都没有取得成 功。于是，有好事者便向当时居住在该城的大数学家欧 拉请教。 1736年，瑞士的数学家L.Euler解决了这个问题。他将 四块陆地表示成四个结点，凡陆地间有桥相连的，便在 两点间连一条线，这样图1就转化为图2了。此时，哥尼 斯堡七桥问题归结为：在图2 所示的图中，从 A, B, C, D 任一点出发，通过每条边一次且仅一次而返回出发点 的回路是否存在？后人称如此的问题为Euler环游。 欧拉断言这样的回路是不存在的。理由是：从图2中 的任一结点出发，为了要回到原来的出发点，要求与每 个结点相关联的边数均为偶数。这样才能保证从一条边 进入某结点后，可从另一条边出去，而不经过已走过的
v3
1 2
v1
1 1 1
v4 v2
2 1
图论的基本概念性术语和一些特殊图： 图3 (1)(n,m)图: |V| = n,|E| = m，即有n个结点和m条边的图称 为 ( n, m ) 图。 (2)无向边：(undirected edges简edges)在定义3下，若边 (u, , v)与边(v, ,u)表示同一条边，则称此边为无 向边。 22
03 最小生成树
所选的边都是一端 一端在 1. 所选的边都是一端在V-U中，另一端在U中； 中 另一端在 中 2. 从一个顶点开始逐步增加 中的顶点，Prim算法可称为“加点 从一个顶点开始逐步增加U中的顶点 中的顶点， 算法可称为“ 算法可称为 法”。
普里姆(Prim)算法过程示例 普里姆(Prim)算法过程示例 (Prim)
28 1 10 6 25 25 5 22 4 14 7 18 2 16 3 12
普里姆(Prim)算法过程示例 普里姆(Prim)算法过程示例 (Prim)
28 1 10 6 25 25 5 22 4 14 7 18 2 16 3 12
A B C D E B C
A D E B C
A D E
F 图G
G
F
G
F
G
图G的生成树 的生成树
图G的又一生成树 的又一生成树
1. 如果在一棵生成树上添加一条边,必定构成一个环； 如果在一棵生成树上添加一条边 必定构成一个环 添加一条边 必定构成一个 因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二 条路径。 条路径。 2. 一棵有 个顶点的生成树 连通无回路图)有且仅有 一棵有n个顶点的生成树 连通无回路 有且仅有 个顶点的生成树(连通无回路图 有且仅有(n条边,则是 1)条边 如果一个图有 个顶点和小于 条边,如果一个图有 个顶点和小于 条边 条边 如果一个图有n个顶点和小于(n-1)条边 则是 非连通图。如果它多于 连通图。如果它多于(n-1)条边 则一定有回路。 条边,则一定有回路。 多于 条边 则一定有回路 3. 有(n-1)条边的图不一定都是生成树。 条边的图不一定都是生成树。 条边的图不一定都是生成树
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在离散数学中，图是研究的重要对象之一。
图由节点和连边组成，可以用来描
述许多实际问题，比如社交网络、交通网络等等。
在图的研究中，连通分量和
最小生成树是两个重要的概念。
首先，我们来介绍连通分量。
在一个图中，如果任意两个节点之间存在路径，
那么这个图被称为是连通的。
如果一个连通图的任意两个节点之间不存在路径，并且如果将其中的任何一个节点移除后，剩下的子图也不再连通，那么这个图
的连通部分被称为是连通分量。
连通分量可以将一个复杂的图分割为若干个互
不相交的子图，每个子图都是一个连通图。
连通分量在许多应用中有着重要的意义。
例如，在社交网络中，每个人可以看
做是一个节点，而他们之间的关系可以用边来表示。
如果某个社交圈的人之间
相互认识，那么他们就属于同一个连通分量。
通过分析连通分量，可以了解社
交网络中的人际关系、信息传递等情况。
另一个重要的概念是最小生成树。
最小生成树是指一个连通图的最小权重的生
成树，其中每个节点都连接在一起，并且总权重达到最小。
生成树是保留了原
图中部分边的子图，该子图包含了原图的所有节点，但是其中的边数比原图少一。
最小生成树则是在所有生成树中权重最小的一种。
最小生成树可以用来优
化资源分配、路径规划等问题。
最小生成树的算法有很多种，其中一种常用的算法是Prim算法。
Prim算法从
一个起始节点开始，逐步扩展生成树的边。
每次选择与已经生成的树相连的边
中权重最小的边。
然后，继续选择与生成树相连的边中权重最小的边，直到生
成树包含了所有的节点。
另一个常用的算法是Kruskal算法。
Kruskal算法从边的权重最小的边开始，
依次将未加入生成树中且不会形成环的边加入生成树中。
然后，继续选择权重
次小的边，直到生成树包含了所有的节点。
最小生成树可以用来解决一些实际问题。
例如，在一个城市的交通网络中，每
个路口可以看成是一个节点，而道路可以看成是边。
通过最小生成树算法，可
以找到将所有路口连接起来的最短路径，从而优化城市交通的规划。
综上所述，离散数学中的图的连通分量和最小生成树是两个重要概念。
连通分
量可以将图分割为互不相交的子图，而最小生成树则是生成图的一种优化方式。
通过研究和应用这些概念，我们可以更好地理解和解决实际问题。
不论在社交
网络还是交通网络中，连通分量和最小生成树都在解决实际问题中发挥着重要
的作用。