控制系统课程设计 哈工大 倒立摆

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：班级：设计者：学号：指导教师：罗晶周乃馨设计时间：2013.9.2——2013.9.13哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书*注：此任务书由课程设计指导教师填写。

第一章 直线一级倒立摆数学模型的推导及建立1.1直线一阶倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。

p图1-1（a ）小车隔离受力图 （b ）摆杆隔离受力图本系统相关参数定义如下：M : 小车质量 m ：摆杆质量b ：小车摩擦系数 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力x ：小车位置 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向受到的合力，可以得到下面等式：MxF bx N =-- （1-1） 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()22sin d N m x l dt θ=+（1-2）2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-（1-3）把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()22cos d P mg m l dt θ-=-（1-5）2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+（1-6）力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--=（1-7）注意：此方程中力矩的方向，由于,cos cos ,sin sin θπφφθφθ=+=-=-，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()22sin cos I ml mgl mlx θθθ++=-（1-8）1.1.1微分方程模型设=+θπφ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小,即1φ ，则可以进行近似处理：2cos 1,sin ,()0d dtθθθφ=-=-=。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()2M m x bx ml u I ml mgl mlx φφφ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩ （1-9）1.1.2传递函数对以上微分方程组进行拉普拉斯变换，得到()()22222()()()()()()()M m X s s bX s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s ⎧++-Φ=⎪⎨+Φ-Φ=⎪⎩ （1-10）注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度为φ，求解方程组上述方程组的第一个方程，可以得到()22()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+⎢⎥=-Φ⎢⎥⎣⎦ （1-11）或者()222()()s mls X s I ml s mglΦ=+- （1-12）如果令xν= ，则有()22()()s mlV s I ml s mglΦ=+- （1-13）把上式代入10式，则有：()()()222222()()()()I ml I ml g g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥+-Φ+-Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1-14）整理得到以输入力为输入量，摆杆角度为输出量的传递函数：()()212432()()()ml s s q G s U s b I ml M m mgl bmgl s s s sqqqΦ==+++-- （1-15）其中()()()22q M m I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦1.1.3状态空间数学模型由现代控制原理可知，控制系统的状态方程可写成如下形式：XAX Bu Y CX Du=+=+ （1-16）可得代数方程，得到如下解：()()()()()()()()()2222222222x x I ml b I ml m gl x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m mlb ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ=⎧⎪-++⎪=++⎪++++++⎪⎨=⎪⎪+-⎪=++⎪++++++⎩（1-17） 整理后得到系统状态空间方程：()()()()()()()()()2222222222010*******100010000010x x I ml b I ml m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mmlx y φφφφφ-++++++++=+-+++++++==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ 00x xu φφ+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎡⎤⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎢⎥⎩⎣⎦（1-18）由(1-9)的第二个方程为:()2I ml mgl mlx φφ+-= 对于质量均匀分布的摆杆有:21=3I ml 于是可以得到:2213ml ml mgl mlx φφ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得到:3344g xl lφφ==+ （1-19）设TX x x φφ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，'u x =，则有：'01000000010001000010000001003344x x x x x x x y u u g l l φφφφφφφ=+==+⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎢⎥⎪⎩⎣⎦（1-20） 实际系统参数如下：M : 小车质量 0.5kg m ：摆杆质量 0.2kgb ：小车摩擦系数 0.1N/m/sec l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m I ：摆杆惯量 0.006kg*m*m把上述参数带入，可以得到系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.06()0.0240.588s s X s s Φ=- （1-21） 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：2()0.06()0.0240.588s V s s Φ=- （1-22） 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数2432()50()11237349s s U s s s s sΦ=+-- （1-23） 以外界作用力作为输入的系统状态方程：010********-0551100001503430-011111000000100211511x x x x u x x x y u φφφφφφφ=+==+⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎢⎥⎩⎣⎦（1-24） 以小车加速度作为输入系统的系统状态方程：'0100000001000100010000010024.5 2.5x x x xx x x y u u φφφφφφφ=+==+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（1-25）1.2系统阶跃响应分析在matlab 中键入以下命令：得到如下结果：图1-2 直线一阶倒立摆单位阶跃响应仿真可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。

第二章 直线一级倒立摆PID 控制器设计本章主要利用PID 控制算法对直线一级倒立摆系统进行控制器设计。

在设计的过程中，要求熟悉控制参数P K 、I K 、D K 对系统性能的影响，然后按照所要求的控制指标并综合实际响应结果恰当地调整参数。

运用MATLAB 仿真软件可以快捷地进行系统仿真和参数调整，本章第2节的内容即是运用MATLAB 软件对PID 控制系统的设计和仿真。

第3节中，将对控制系统进行实际的运行和参数调试，以获得一组最佳的PID 控制参数。

设计目的：学习PID 控制器的设计方法，了解控制器各个参数对系统性能的影响，学会根据控制指标要求和实际响应调整PID 控制器的参数。

设计要求：设计PID 控制器，使得当在小车上施加0.1N 的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。

设计报告要求：（1）给出系统摆杆角度和小车位置的仿真图形及控制器参数，并对各个参数对系统控制效果的影响进行说明；（2）给出实际控制曲线和控制器参数，对响应的动态和静态指标进行分析。

D 控制系统原理框图如下所示，系统由模拟PID 控制器KD （S ）和被控对象G （S ）组成。

PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值r(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差e(t)()()()e t r t y t =-将偏差的比例（P ），积分（I ）和微分（D ）通过线性组个构成控制量，对被控对象进行控制，谷称为PID 控制器。

其控制规律为：01()()[()()]tp D I de t u t K e t e t dt T T dt=++⎰或写成传递函数的形式：()1()[1]()p D I U s G s K T s E s T s==++ 在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成：()()()I p D K U s G s K K s E s s==++ 简单来说,PID 控制器各个校正环节的作用如下:（1） 比例环节：成比例的反应控制系统的偏差信号e(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。