河北省唐山市2016届高三上学期期末考试数学(理)试题
2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷
2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷 命题学校：东北育才一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）1.已知集和{}0232=+-=x x x A ，{}24log ==x x B ，则=B A ( ) A.{}2,1,2- B.{}2,1 C.{}2,2- D.{}22.若复数()()i a a a z 3322++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A.3-B.13或-C. 1-3或D. 13．已知向量()31,=a ，()m ,2-=b ，若a 与2b a +垂直，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.21-D.21 4.直线()0112=+++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,432,4 5.若数列{}n a 的通项公式是()()231--=n a n n ，则=+⋯++1021a a a （ ）A.15B.12C.12-D.15-6.已知四棱锥ABCD P -的三视图如图所示，则四棱锥ABCD P -的四个侧面中面积最大的值是（ ）A.3B.52C.6D.87.右图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（ ）A.2>nB.3>nC.4>nD.5>n8.已知集合{}4,3,2,1=A ,{}7,6,5=B ,{}9,8=C .现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（ ）个集合A.24B.36C.26D.279.已知点()02，P ，正方形ABCD 内接于⊙O :222=+y x ，N M 、分别为边BC AB 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，ON PM ⋅的取值范围为（ ）A.[]11-，B.[]22-， C.[]22-， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222-， 10.设双曲线13422=-y x 的左，右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线交双曲线左支于B A ,两点，则22AF BF +的最小值为（ ） A.219 B.11 C.12 D.16 11.已知球O 半径为5，设C B A S 、、、是球面上四个点，其中︒=∠120ABC ,2==BC AB ,平面⊥SAC 平面ABC ，则棱锥ABC S -的体积的最大值为（ ） A.33 B.23 C.3 D.33 12．已知函数()1323+-=x x x f ，()⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,412x x x x x x x g ，则方程()[]0=-a x fg（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A.个3B.个4C.个5D.个6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设0,0>>b a ，3是a 3与b 3的等比中项，其中b a 11+的最小值为 14.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 15.设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上，满足[][]5022=+y x 的点()y x P ,所形成的图形的面积为16.定义区间()(][)[]d c d c d c d c ,,,,、、、的长度均为()c d c d >-，已知事数0>p ，则满足不等式111≥+-xp x 的x 构成的区间长度之和为 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数()()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 232 (1) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最小值和最大值 (2) 设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3=c ，()0=C f ，若向量()A ,sin 1=m 与向量()B ,sin 2=n 共线，求b a ,的值18.（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是31每次测试通过与否互相独立.规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.（1） 求该学生考上大学的概率；（2） 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望ξE .19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，E 为DC 的中点，现将DAE ∆沿AE 折起，使平面⊥DAE 平面ABCE ，连BE DC DB ,,（1） 求证：ADE BE 平面⊥（2） 求二面角C BD E --的余弦值20．（本小题满分12分） 已知21F F 、分别为椭圆()01:22221>>=+b a bx a y C 的上、下焦点，其中1F 也是抛物线ADEy x C 4:22=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且351=MF (1) 求椭圆1C 的方程； (2) 当过点()3,1P 的动直线l 与椭圆1C 相交于两个不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q ，满=证明：点Q 总在某定直线上.21.（本小题满分12分）设函数()x x xa x f ln +=，()323--=x x x g 其中R a ∈. （1） 当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f P 处的切线方程；（2） 若存在[]2,0,21∈x x ，使得()()M x g x g ≥-21成立，求整数M 的最大值；（3） 若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t s 、都有()()t g s f ≥，求a 的取值范围.选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且ABC PAC ∠=∠(1) 求证：PA 是⊙O 的切线； (2) 如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求BCE ∠sin23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线l的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x ，()0>r 为参数，θ (1) 求圆心C 的一个极坐标；(2) 当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为324.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()R x x x x f ∈-+-=3212(1) 解不等式()5≤x f ；(2) 若()()mx f x g +=1的定义域为R ，求实数m 的取值范围.。
唐山市高三数学上学期期末考试试题 理(解析版)新人教A版
河北省唐山市2013届高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）复数=（）﹣i i 解：复数i22，3．（5分）执行如图中的程序框图，输出的结果为（）4．（5分）椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过，）（e=5．（5分）设x，y满足的最大值为（）的可行域，求出各角点的坐标，分别代入目标函数的解解：满足约束条件，6．（5分）（2013•烟台一模）一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为（）所以棱锥的体积为：．n132423q=8．（5分）已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范，且﹣＞9．（5分）（2013•金华模拟）△ABC中，点P满足，，可得，设，∴，即10．（5分）函数的一段图象是（）．．．D．，易得函数解：令函数﹣时，函数11．（5分）已如点M（1，0）及双曲线的右支上两动点A，B，当∠AMB最大时，=﹣﹣4×（﹣（舍负）（﹣，且∠AMB=2=12．（5分）四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，BD=，则BE=DE=+，可得球的半径又∵AC=BE=DE=EF=EF=+R=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（5分）3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有18 种．位语文教师，余者去另一所学校．14．（5分）已知= ．，===，15．（5分）曲线所围成的封闭图形的面积为．可得=故答案为：16．（5分）数列的前80项的和等于﹣70．，由，由，则，，．．三、解答题：本大题共70分，其中（17）一（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角C的大小；（II）求的最大值．A+A+B=，从而（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得=2sin A+sinA+）A+A+A+B=，故 C=（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得=[sinA+sin A+A+A=时，18．（12分）从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；（II）将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生产的产品中随机抽取3件，用X表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求X的分布列和期望．，，），××（），×（）=，）．…（P）=3×=（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，19．AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．，=）••=，•，=0=，得，=﹣．20．（12分）设圆F以抛物线P：y2=4x的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点．（I）求圆F的方程；（Ⅱ）过点M （﹣1，0）作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A，B和C，D，求经过A，B，C，D四点的圆E的方程．y+4=0，=﹣=d=．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx．（I）讨论函数f（x）单调性；（Ⅱ）当时，证明：曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t））处的切线至少有两个不同的公共点．2t+．，由．）时，f′（，∈（）在（，+∞）是增函数．时，，x﹣f′（﹣+xx t+）t ln＜﹣x t+）t﹣）t2t+）＜﹣t2t+）至少存在一个实数22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．（I）求证：CD2﹣DE2=AE×EC；（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．的中点，可得∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理，可得∠CBD=∠ECD，进=∠COD=30°，23．（10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C l的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的参数方程为为参数）．（I）当时，求曲线C l与C2公共点的直角坐标；（II）若，当α变化时，设曲线C1与C2的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．时，曲线）它表示以（，）为圆心，以24．（10分）选修4﹣5：不等式选讲设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（I）当﹣1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（II）若对任意x∈R，f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a恒成立，求实数a的最小值．依题意，．．…（。
河北省唐山市2016届高三上学期摸底考试文数试题解析(解析版)
注意事项：一、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 二、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 三、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 四、考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合M ＝{x|x ＞1}，N ＝{x|x 2－2x ≥0}，则∩N ＝（ ）（A ） (－∞，－2] （B ）(－∞，0] （C ）[0，1) （D ）[－2，0] 【答案】B 【解析】试题分析：2200x x x -≥⇒≤或2x ≥,即{}02N x x x =≤≥或,{}1R C M x x =≤,(){}0R C M N x x ∴=≤.故B 正确.考点：集合的运算.(2) 己知命题p ：2n ,2016,N n p ∃∈>⌝则为（ ） (A) 2,n N n ∀∈≤2016 (B) 2,n N n ∀∉≤2016 (C) 2,n N n ∃∈≤2016 (D) 2,n N n ∃∉≤2016 【答案】A 【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题,所以:p ⌝ 2,2016n N n ∀∈≤.故A 正确. 考点：特称命题的否定. （3）已知（i 为虚数单位），则实数b ＝（ ）（A ） （B ）－6 （C ）－2 （D ）2【答案】C 【解析】 试题分析：62212bii i-=-+,()()261222224462bi i i i i i i ∴-=+-=-+-=+,2,2b b ∴-=∴=-.故C 正确. 考点：复数.（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）2 （B ）（C ）4 （D ）【答案】D考点：三视图.(5) 向量a =（-1，1），b =(l ，0)，若(a -b ）⊥(2a +λb )， 则λ=（ ） (A)2 (B) -2 (C)3 (D) -3 【答案】C 【解析】试题分析：()()2,1,22,2a b a b λλ-=-+=-+,()()2a b a b λ-⊥+,()()()222120a b a b λλ∴-⋅+=-⨯-++⨯=,解得3λ=.故C 正确.考点：向量垂直. (6) 若函数2()af x x=在(2，f (2))处的切线过点(1，2)，则a=（ ） (A)4 (B)7 (C)8 (D) 85【答案】A 【解析】试题分析：()()32','24a af x f x =-∴=-.()24a f =,24412aa -∴-=-,解得4a =.故A 正确. 考点：导数的几何意义.（7）函数f (x)－cosx （x ∈[0，π]）的单调递减区间是（ ）（A ）[0，23π] （B ）[2π ，23π] （C ）[23π，π] （D ）[2π ，56π]【答案】C 【解析】试题分析：()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 令322,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈,解得2522,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈, []0,x π∈,所以此函数的单调减区间为2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故C 正确.考点：1三角函数的化简;2三角函数的单调性.（8）x ，y 满足约束条件020320x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩目标函数z ＝2x ＋y ，则z 的取值范围是（ ）（A ）[－3，3] （B ）[－3，2] （C ）[2，＋∞) （D ）[3，＋∞) 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域及目标函数如图:将2z x y =+变形可得2y x z =-+.平移目标函数线l 使之经过可行域,当目标函数线过点()0,2A 时,2y x z =-+纵截距最小,此时z 也取最小值为2022⨯+=;因为平移目标函数线时其纵截距→+∞,所以此时z →+∞.所以2z ≥.故C 正确. 考点：线性规划.(9) 三棱锥P-A BC 的四个顶点都在球D 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =3，AB =BC=2，则球O 的表面积为（ ）(A) 13π (B) 17π (C) 52π (D) 68π 【答案】B 【解析】试题分析：如图所示,可将此三棱锥放入载体长方体中,此三棱锥的外接球与此长方体的外接球相同,球心为PC 的中点.因为PC ==所以此外接球的半径R =,所以此球的表面积为2417S ππ=⨯=.故B 正确.考点：1球内接多面体;2球的表面积.（10）执行如右图所示的程序框图，若输入a ＝390，b ＝156，则输出a= （ ）（A ）26 （B ）39 （C ）78 （D ）156 【答案】C 【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次为: 390156234,156,234c a b =-===;15623478,234,78c a b =-===; 23478156,78,156c a b =-===;7815678,156,78c a b =-===; 1567878,78,78c a b =-===; 78780,78,0c a b =-===,跳出循环,输出78a =.故B 正确. 考点：算法.（11）已知双曲线Γ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若Γ ） （A ）θ∈(0，2π) （B ）θ＝2π（C ）θ∈(34π，π) （D ）θ＝34π 【答案】B考点：双曲线的简单几何性质.（12）若函数)(x f ＝e x－ax 2有三个不同零点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(24e ，＋∞) （B ）(2e ，＋∞)（C ）(1，24e ) （D ）(1，2e)【答案】A 【解析】试题分析：0a ≤时()0f x >恒成立,不存在零点.故舍.0a >时,由数形结合可知()f x 在(),0-∞上必有一个零点,所以要使()f x 有三个不同零点,只需()f x 在()0,+∞上有两个不同零点.0x >时()220x xe f x e ax a x =-=⇔=,所以问题可转化为直线y a =与函数()()2,0xe g x x x=>图像有两个不同交点.()()24322'xx x e x e x e x g x x x--⋅==, 令()'0g x >得2x >;令()'0g x <得02x <<, 所以()g x 在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增.所以()()2min24e g x g ==,由数形结合可得24e a >.综上可得24e a >.故A 正确.考点：1用导数求最值;2数形结合思想.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13) 某公司有A 、B 两个部门，共有职工300人，其中A 部门有职工132人，按部门职工数比例用分层抽样的方法，从该公司的职工中抽取一个容量为25的样本，则从B 部门抽取的员工人数是 . 【答案】14 【解析】试题分析：B 部门有职工300132168-=人,所以应从B 部门抽取的员工人数为1682514300⨯=. 考点：分层抽样.（14）若函数101()101x x m f x ⋅+=-为奇函数，则m ＝____．【答案】1 【解析】试题分析：此函数的定义域为()(),00,-∞+∞,因为()f x 为奇函数,所以()()11f f -=-,即11101101101101m m --⋅++=---,解得1m =. 考点：函数的奇偶性.(15) △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ A =60°，b=2，c=3，则sin 2sin CB的值为 。
【百强校】2016届河北省武邑中学高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2016届河北省武邑中学高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：196分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、正三角形的边长为，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（）A ．B ．C ．D ．2、已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、已函数知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．4、已知是的一个零点，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5、对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则数列的前项和（ ）A ．B ．C ．D ．6、下列命题正确的个数是（ ） （1）命题“若则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根则” （2）对于命题：“使得”，则：“，均有”（3）“”是“”的充分不必要条件 （4）若为假命题，则均为假命题A ．B ．C ．D ．7、如图，正方体中，为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）8、已知圆与抛物线的准线相切，则（）A ．B ．C ．D ．9、已知等比数列的公比为正数，且，，则（）A ．B ．C ．D ．10、已知，，由程序框图输出的值为（）A ．B ．C ．D ．A． B． C． D．12、已知集合，，则集合中的元素个数为（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、点为双曲线右支上的一点，其右焦点为，若直线的斜率为，为线段的中点，且，则该双曲线的离心率为______．14、若展开式的各项系数绝对值之和为，则展开式中项的系数为_______．15、若函数不是单调函数，则实数的取值范围是_______．16、已知向量，向量，且，则的值是________．三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲 已知，．（1）求的最小值；（2）若的最小值为，求的最小值．18、选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．（1）求半圆的普通方程；（2）设动点在半圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，求点的直角坐标．19、选修4-1：几何证明选讲 已知直线与圆相切于点，经过点的割线交圆于点和点，的平分线分别交、于点和．（1）证明：；（2）若，求的值．20、已知函数，其中常数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以说明．21、如图，椭圆的右焦点为，右顶点、上顶点分别为点、，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若点在椭圆内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且．求直线的方程及椭圆的方程．22、在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值．23、退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在岁（含岁和岁）之间的人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如下图所示．若规定年龄分布在岁（含岁和岁）为“老年人”．（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在年龄段的人口分布的概率．从该城市年龄段市民中随机抽取人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．24、已知的面积为，且．（1）求的值；（2）若，，求的面积．参考答案1、A2、B3、B4、C5、D6、C7、A8、B9、C10、D11、B12、A13、14、15、16、17、（1）；（2）18、（1）；（2）或19、（1）详见解析；（2）20、（1）在，上为增函数，在上为减函数；（2）21、（1）；（2）22、（1）详见解析；（2）23、（1）；（2）24、（1）；（2）【解析】1、试题分析：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且，三棱柱中，底面边长为，外接圆的半径为∴球的半径为四面体外接球表面积为：．考点：1．球内接多面体；2．球的体积和表面积．【思路点睛】三棱锥的三条侧棱，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．2、试题分析：根据题意，可行域为，画出可行域，同时其中，的几何意义为向量在向量方向上的投影，显然在和（注：取不到点）处投影达到最大值和最小值（取不到），进而求得的范围是B．考点：1．解不等式；2．线性规划；3．平面向量的数量积的几何意义．【思路点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设，3、试题分析：由题，又，分别为函数的最小值和最大值。
河北省正定中学2016届高三上学期期末考试理数试题 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}3<=x x M ，{}1->=x x N ，全集R U =，则=)(N M C U I A ．{}1-≤x x B ．{}3≥x x C ．{}30<<x x D ．{}31≥-≤x x x 或 【答案】D 【解析】试题分析：由已知{|13}M N x x =-<<I ，所以(){|13}或U C M N x x x =≤-≥I ，故选D ．考点：集合的运算． 2. 已知i iz+=+13，则复数z 在复平面上对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：复数的运算与几何意义．3. 已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】D 【解析】试题分析：221cos 211cos 41()(1cos 2)(1cos 2)sin 22224x x f x x x x --=+⋅=-=-=，()()f x f x -=，()f x 是偶函数，周期为242ππT ==，故选D ．考点：二倍角公式，三角函数的周期与奇偶性．4. 等比数列{}n a 中，4021=+a a ，6043=+a a ，=+87a a A ．135 B ．100 C ．95 D ．80 【答案】A考点：等比数列的性质与通项公式．5. 设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,101),2lg(1)(1x x x x f x ，则=+-)30(lg )98(f f A ．5 B ．6 C ．9 D ．22 【答案】B 【解析】 试题分析：(98)(lg30)f f -+=lg3011lg[2(98)]10-+--+lg30101lg100123610++=++=．故选B ．考点：分段函数，对数的运算．6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为 （ ） A ．4 B ．24 C ．34 D ．8【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥，其底面面积为1(24)262S =⨯+⨯=，高为22(5)12h =-=，所以1162433V Sh ==⨯⨯=．故选A ．考点：三视图，棱锥的体积．7. 过三点)2,1(A ，)2,3(-B ，)2,11(C 的圆交x 轴于N M ,两点，则=MN A ．63 B ．64 C ．21 D ．212 【答案】D考点：圆的方程．8. 根据如图所示程序框图，若输入42=m ，30=n ，则输出m 的值为 A ．0 B ．3 C ．6 D ．12【答案】C考点：程序框图．9. 球O 半径为13=R ，球面上有三点A 、B 、C ，312=AB ，12==BC AC ，则四面体OABC 的体积是A ．360B ．350C ．660D ．650 【答案】A 【解析】试题分析：设ΔABC 外接圆半径为r ，由312=AB ，12==BC AC 得30,120A B C ==︒=︒， 123224r ==，12r =，则O 到面ABC 的距离 222213125d R r =-=-=，又Δ11212sin1203632ABC S =⨯⨯⨯︒=，所以136356033O ABC V -=⨯⨯=，故选A ．考点：棱锥的体积，球的性质．10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下面叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D考点：函数的图象与应用．【名师点睛】本题考查函数的图象，题中给出一个新概念“燃油效率”，正确理解新概念是解题的基础与关键，题中“燃油效率”是汽车每消耗1升汽油所行驶的路程，因此“燃油效率”越高，则每消耗1升汽油所行驶的路程越多或者是行驶同样的距离消耗的汽油越少，其次“燃油效率”与汽车行驶速度有关，本题图形就是反应速度与“燃油效率”的关系的图象．只要正确理解了图象，就能判别题中每个命题的正确性．11. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左，右顶点为B A ,，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角θ满足31cos -=θ，则E 的离心率为 A ．5 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】C考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】求圆锥曲线的离心率，一般要寻找到关于,,a b c 的一个等式，这个等式可化为关于e 的方程，解之可得．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.12. 设函数)(x f '是偶函数))((R x x f ∈的导函数，)(x f 在区间),0(+∞上的唯一零点为2，并且当)1,1(-∈x 时，0)()(<+'x f x f x ，则使得0)(<x f 成立的x 的取值范围是 A ．)2,0()0,2(Y - B ．),2()2,(+∞--∞Y C ．)1,1(- D ．)2,2(- 【答案】D 【解析】试题分析：设()()g x xf x =，则'()'()()g x xf x f x =+，由题意'()0g x <（(1,1)x ∈-），所以()gx 在(1,1)-上单调递减，又(0)0g =，所以(0,1)x ∈时，()()0g x xf x =<，()0f x <，同理当(1,0)x ∈-时，()0f x <，又0'(0)(0)0f f ⨯+<，即(0)0f <，在(0,)+∞上()f x 只有唯一的零点2，因此当12x ≤<时()0f x <，当2x >时，()0f x >，由于()f x 是偶函数，因此当21x -<≤-时，()0f x <，当2x <-时，()0f x >，(2)(2)0f f -==，综上可知()0f x <的解集是(2,2)-．故选D ．考点：函数的零点，导数与单调性，函数的奇偶性．【名题点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是构造新函数，结合导数的运算法则构造出新函数能根据已知条件判断单调性，利用单调性判断出新函数()()g x xf x =的正负，从而确定()f x 的部分正负性，然后再由函数()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点，确定不等式的解集．这考查了学生的创新能力，分析与转化能力．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量a ，b 是相互垂直的单位向量，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数=λ________. 【答案】2考点：向量的数量积与垂直．14. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤--020063y x y x y x ，则y x z 2-=的最大值为_______.【答案】2 【解析】试题分析：作出题中约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y -=，当直线l 向下平移时，2z x y =-增大，因此当l 过点(2,0)B 时，2z x y =-取得最大值2．考点：简单的线性规划问题．15. 已知对任意实数x ，有7722106)1)((x a x a x a a x x m +⋅⋅⋅+++=++，若327531=+++a a a a ，则=m ____.【答案】0考点：二项式定理．【名师点睛】1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.16. 已知数列{}n a 满足11=a ，)2(1222≥-=n S S a n nn ，其中n S 为{}n a 的前n 项和，则=2016S ________.【答案】40311 【解析】试题分析：2n ≥时，21221nn n n n S a S S S -=-=-，整理得1112n n S S --=，所以数列1{}n S 是公差为2的等差数列，又11111S a ==，所以112(1)21n n n S =+-=-，121n S n =-，所以2016112201614031S ==⨯-． 考点：等差数列的通项公式；已知n S 与n a 关系，求通项公式．【名师点睛】1．数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．2．在已知n S 与n a 关系求通项公式时，一般化n S 为n a ，但有时也利用1n n n a S S -=-，把条件化为{}n S 的递推式，求出n S 后再求n a .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且a A b B A a 35cos sin sin 2=+.（1）求ab；（2）若22258b a c +=，求角C .【答案】（1）53；（2）23π．由余弦定理得21532492592cos 222222-=⋅⋅-+=-+=t t t t t ab c b a C . 所以32π=C . .................12分 考点：正弦定理，余弦定理． 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1. （1）证明：BC DC ⊥1；（2）设21=AA ，11B A 的中点为P ，求点P 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）64．考点：线面垂直的性质，点到平面的距离．19.（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：95,90,85,80,75,70,65,60，物理分数从小到大排序是：95,93,90,88,84,80,77,72.①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到01.0）；如果不具有线性相关性，请说明理由.参考公式：相关系数∑∑∑===----=niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()())((；回归直线的方程是：abxy+=∧，其中对应的回归估计值∑∑==---=niiniiixxyyxxb121)())((，xbya-=，∧iy是与ix对应的回归估计值.参考数据：5.77=x，875.84=y，1050)(812≈-∑=iixx，457)(812≈-∑=iiyy，688))((81≈--∑=iiiyyxx，4.321050≈，4.21457≈，5.23550≈.【答案】（1）315525CC；（2）①114；②线性回归方程是73.3366.0+=∧xy.试题解析：（1）应选女生540825=⨯位，男生340815=⨯位，可以得到不同的样本个数是315525C C ...3分（2）①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是3334A C （或34A ），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是55A ，根据乘法原理，满足条件的种数是553334A A C .这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有88A 种.故所求的概率14188553334==A A A C P . ................6分 考点：分层抽样，分步乘法原理，古典概型，线性回归方程．20.（本小题满分12分）已知P 是圆4:22=+y x C 上的动点，P 在x 轴上的射影为P '，点M 满足P M '=，当P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）经过点)2,0(A 的直线l 与曲线E 相交于点D C ,，并且AD AC 53=，求直线l 的方程. 【答案】(1) 1422=+y x ；（2）2+±=x y . 【解析】（2）经检验，当直线x l ⊥轴时，题目条件不成立，所以直线l 存在斜率.设直线2:+=kx y l . 设),(),,(2211y x D y x C ，则01216)41(2142222=++⎪⎩⎪⎨⎧+⇒+==+kx x k kx y y x . ................6分 012)41(4)16(22>⋅+-=∆k k ，得432>k . 2214116k k x x +-=+①，2214112k x x +=②， ...................8分 又由53=，得2153x x =，将它代入①，②得12=k ，1±=k （满足432>k ）.所以直线l 的斜率为1±=k .所以直线l 的方程为2+±=x y . ...............12分 考点：代入转移法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系．【名师点睛】求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F (x ，y )＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．本题就是用代入转移法求曲线方程．21. （本小题满分12分）已知函数xx x f )1ln(1)(++=. （1）求函数)(x f 的图象在点1=x 处的切线的斜率；（2）若当0>x 时，1)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值. 【答案】（1）1ln 22--；（2）3．（2）当0>x 时，1)(+>x k x f 即k x x x x h >+++=)]1ln(1)[1()(对0>x 恒成立.即)0)((>x x h 的最小值大于k . ................................5分2)1ln(1)(xx x x h +--='，记)0)(1ln(1)(>+--=x x x x ϕ， 则01)(>+='x x x ϕ，所以)(x ϕ在),0(+∞上连续递增. ...................7分考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性，函数的极值，不等式恒成立．【名师点睛】1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解． 2．解决含参数问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABDC 内接于圆，过B 作腰AC 的平行线BE 交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，1==ED PC ，2=PA .（1）求AC 的长；（2）求证：EF BE =.【答案】（1）2；（2）证明见解析．考点：切割线定理，相交弦定理，相似三角形．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为)0,(sin 1cos 2πααα<<⎩⎨⎧+=+=为参数t t y t x ，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为)1,2(P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且328=⋅PB PA ，求αtan 的值.【答案】（1）x y 42=；（2）3tan =α或3tan -=α. 【解析】考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数R x a x x x f ∈-+-=,25)(. （1）求证：当21-=a 时，不等式1)(ln >x f 成立； （2）关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）54． 【解析】 试题分析：（1）要证此不等式，只要求得()f x 的最小值即可证明；（2）不等式()f x a ≥恒成立，同样是求出()f x 的最小值，由最小值a ≥，求得a 的范围．第（1）小题如果从绝对值的几何意义出发求最小值将更简单，第（2）小题由绝对值的性质求最小值，比较简捷．考点：含绝对值的函数（分段函数）的最值，绝对值的性质，绝对值不等式．。
河北省迁安市第二中学2016届高三上学期期末考试数学(理)试卷(无答案)
2015—2016学年度第一学期期末教学质量监测考试试卷 高三数学 (理科) 供题：闫维国赵成海庄宏成田卫东鲁金松审定：高中数学中心教研组 一．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅱ卷第22题为选考题，其他题为必考题 考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效 二．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并按规定答题 三．做选择题时，每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案 四．考试结束后，答题卡本试卷 参考公式：锥体体积公式：其中为底面面积，为高球的表面积、体积公式其中为球的半径 柱体体积公式：其中为底面面积，为高 卷Ⅰ(选择题共60分) ．已知集合，，则集合 A．B．C．D． ．若是虚数单位，则复数为 A． B．C．D． ．在中，，，则等于A． B．C．D． 4．下列命题中的假命题是B．C．，sinx＋cosx＝ D．．A． B． C． D．．有名同学A、B、C 三所大学的自主招生考试，每所学校至少1名同学报名参考，其中同学甲不能A学校，不同的方式有 A．种B．种C．种D．种．满足约束条件，则的最值是A．B．C．D．．A．B．C．D． ．已知函数的部分图象如图所示，△是边长为2的正三角形，则A． B． C．D． ．}，集合N={}，若点，则的概率为 A． B． C．D． 11．圆心在函数图象上，与直线相切且面积最小圆的方程为A．B．C．D．12．已知，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为 A． B． C．D． 卷Ⅱ(非选择题共分) 13．的展开式中所有项系数和为64，且展开式的第三项等于15，则的值为 _______ ．14．三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱⊥底面，为的中点，且与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积．15．已知抛物线的焦点与双曲线()的一个焦点F重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则双曲线的离心率为． 16．如图，半径为的圆上有点，则·的最大值为．17．本小题满分分 已知是等差数列，是等比数列，且，， 求的通项公式； 求数列的前项和． 18．本小题满分分 甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数均稳定在环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：射击环数频数频率7 10 810 9 10 3 合计 100 1 射击环数频数频率7 8 10 9 0．4 10 合计 80 甲运动员乙运动员 如果将频率视为概率，回答下面的问题Ⅰ写出，，的值；Ⅱ求甲运动员在三次射击中，至少有一次命中环(含环)以上的概率；Ⅲ若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，用表示这三次中射击击中环的次数，求的概率分布列及E．19．本小题满分分 如图四棱锥底面是矩形，⊥平面，，，是上的点， (Ⅰ)试确定点的位置使平面⊥平面，并证明你的结论； (Ⅱ)在条件(Ⅰ)下，求二面角余弦值． ．(本小题满分12分) 已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线与椭圆交于、两点，原点到直线的距离为，求△面积的最大值． 2．（本小题满分12分） 已知函数（）． Ⅰ) 若函数在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围； Ⅱ) 当时，求证：； Ⅲ) 求证：（且）． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若AB＝2AC，求证：BN=2AM． 23．选修4—4：坐标系与参数方程 中，直线的参数方程为 (t为参数） 在以O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ，() (Ⅰ) 求直线和曲线的普通方程； (Ⅱ) 若直线与曲线相切，求的值． 24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲． 已知 Ⅰ) 当，时，函数最大值和最小值，并求出相应的值； Ⅱ) 若在上恒为增函数，求的取值范围． B1 A1 C1 G x y F E O 否 否 是 输出函数f (x) f (x)存在零点？ f (x)+ f (－x)=0? 是 结束 输入函数f(x) 开始 侧视图 正视图 1 1 2 2 2 俯视图 A B C DA PB O ． A P B C D E A B C M N O。
【河北省唐山市】2016-2017学年度高三年级第二次模拟理科数学试卷
河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|3}A x x =∈N ＜，{|,,}B x x a b a A b A ==-∈∈，则A B =I （ ）A ．{1,2}B ．{2,1,1,2}--C ．{1}D ．{0,1,2} 2．设复数z 满足z 113i z 2+=--，则|z |=（ ） A ．5 B ．5 C ．2 D ．23．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ）A ．平均数为64B ．众数为7C ．极差为17D ．中位数为64．5 4．“2560x x +-＞”是“2x ＞”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A ．24π-B ．243π-C ．24π+D ．242π-6．已知双曲线过点(2,3)，渐进线方程为3y x =±，则双曲线的标准方程是（ ） A ．22711612x y -= B ．22132y x -= C ．2213y x -= D ．22312323y x -= 7．函数21x y x -=+，(,]x m n ∈的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(1,2)- C ．[1,2) D ．[1,2)-8．执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．已知α，β均为锐角，且sin22sin2αβ=，则（ ）A ．tan()3tan()αβαβ+=-B ．tan()2tan()αβαβ+=-C ．3tan()tan()αβαβ+=-D ．3tan()2tan()αβαβ+=-10．已知函数()cos(2)3sin(2)f x x x ϕϕ=---（π||2ϕ＜）的图像向右平移π12个单位关于y 轴对称，则()f x 在区间π[,0]2-上的最小值为（ ）A ．1-B ．3C ．3-D ．2-11．正方体1111ABCD A B C D -棱长为6，O 点在棱BC 上，且2BO OC =，过O 点的直线l 与直线1AA ，11C D 分别交于M ，N 两点，则MN =（ ）A ．313B ．95C ．14D ．2112．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(2)()()0x f x xf x '++＞，则（ ）A ．()0f x ＞B ．()0f x ＜C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．7(2)()x y x y +-展开式中，含35x y 项的系数是_____________．14．平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+u u u r u u u u r u u u r ，则λμ=_____________．15．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的右焦点为(3,0)F ，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 交Γ于另一点M ，若直线BM 交x 轴于点(12,0)N ，则Γ的离心率是_____________．16．在ABC △中，π3A =，3BC =，D 是BC 的一个三等分点，则AD 的最大值是_____________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，(21)n n n S a =-，且11a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45．每台仪器各项费用如表： 项目生产成本 检验费/次 调试费 出厂价 金额（元） 1 000 100 200 3 000（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1 600元的概率（注：利润出厂价生产成本检验费调试费）； （Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望． 19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，3AB =，22AD =，45ABC ∠=︒，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，2BE EA =，F 为AD 的中点，M 在线段CD 上，且CM CD λ=．（Ⅰ）当23λ=时，证明：平面PFM ⊥平面PAB ； =---。
河北省衡水市2016届高三上学期期末数学试卷(理科) (含解析)
2019-2020学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．22．设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．3．已知M=，由图示程序框图输出的S为（）A．1 B．ln2 C．D．04．已知等比数列{an }的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（）A．B．C．D．25．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y=的准线相切，则m的值等于（）A．±B．C．D．±6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A ．B ．C ．D ．7．下列命题正确的个数是（ ）（1）命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0无实根，则m ≤0” （2）对于命题p ：“∃x ∈R 使得x 2+x+1＜0”，则￢p ：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0” （3）“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 （4）若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． A ．4 B ．3 C ．2 D ．18．对于数列{a n }，定义数列{a n+1﹣a n }为数列{a n }的“等差列”，若a 1=2，{a n }的“等差列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前2015项和S 2015=（ ） A ．22016﹣1 B ．22016 C ．22016+1 D ．22016﹣2 9．已知x 0是的一个零点，x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0），则（ ）A ．f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B ．f （x 1）＞0，f （x 2）＞0C ．f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D ．f （x 1）＜0，f （x 2）＞010．已知函数f （x ）=cos ωx （sin ωx+cos ωx ）（ω＞0），如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ，都有f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+2016π）成立，则ω的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0]B ．[﹣2，0）C ．[0，2]D ．（0，2]12．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．7π B ．19π C ．π D ．π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量=（cos θ，sin θ），向量=（，1），且⊥，则tan θ的值是 ． 14．若函数f （x ）=x+alnx 不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 15．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为 ．16．点P 为双曲线右支上第一象限内的一点，其右焦点为F 2，若直线PF 2的斜率为，M 为线段PF 2的中点，且|OF 2|=|F 2M|，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知△ABC 的面积为S ，且． （1）求tan2A 的值；（2）若，，求△ABC的面积S．18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在为“老年人”．（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．20．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（﹣，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．21．已知函数，其中常数a＞0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知，f'（x）表示f（x）的导数，若x1，x2∈（﹣a，a），x1≠x2，且满足f′（x1）+f′（x2）=0，试比较f′（x1+x2）与f′（0）的大小，并加以证明．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，（1）求半圆C1的参数方程；（2）设动点A在半圆C1上，动线段OA的中点M的轨迹为C2，点D在C2上，C2在点D处的切线与直线平行，求点D的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．2019-2020学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B={8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．2．设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数===是纯虚数，∴=0，≠0，解得a=．故选：D．3．已知M=，由图示程序框图输出的S为（）A．1 B．ln2 C．D．0【考点】定积分；程序框图．【分析】根据积分的定义，分别解出M和N，再判断M与N的大小，代入程序图进行求解．【解答】解：∵M=dx=ln（x+1）|=ln2，N=cosxdx=sinx|=1，∴ln2＜1∴M＜N，由程序图可知求两个数的最大值，输出的是最小的一个数，∴S=ln2，故选：B．4．已知等比数列{an }的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（）A．B．C．D．2【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q＞0，由题意可得=2，a1q=2，由此求得a1的值．【解答】解：设公比为q＞0，由题意可得=2，a1q=2，解得 a1==q，故选C．5．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y=的准线相切，则m的值等于（）A．±B．C．D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由抛物线的方程找出P，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：由抛物线的方程得到p=2，所以抛物线的准线为y=﹣=﹣1，将圆化为标准方程得： +y2=，圆心坐标为（﹣，0），圆的半径r=，圆心到直线的距离d==1=r=，化简得：m2=3，解得m=±．故选D6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．7．下列命题正确的个数是（）（1）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”（2）对于命题p：“∃x∈R使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”（3）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件（4）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接写出命题的逆否命题判断（1）；写出命题的否定判断（2）；求出方程的解后利用充分必要条件的判定方法判断C ；由复合命题的真假判断判断D ．【解答】解：对于（1），命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0无实根，则m ≤0”，故（1）正确； 对于（2），命题p ：“∃x ∈R 使得x 2+x+1＜0”，则￢p ：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，故（2）正确； 对于（3），由x 2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故（3）正确；对于（4），若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少一个为假命题，故（4）错误． ∴正确命题的个数有3个． 故选：B ．8．对于数列{a n }，定义数列{a n+1﹣a n }为数列{a n }的“等差列”，若a 1=2，{a n }的“等差列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前2015项和S 2015=（ ） A ．22016﹣1 B ．22016 C ．22016+1 D ．22016﹣2 【考点】数列的求和．【分析】利用“累加求和”及其等比数列的前n 项和公式可得a n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：∵a 1=2，{a n }的“等差列”的通项公式为2n ， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =2n ﹣1+2n ﹣2+…+2+2 =+1=2n ．∴数列{a n }的前2015项和S 2015=2+22+…+22015==22016﹣2．故选：D ．9．已知x 0是的一个零点，x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0），则（ ）A ．f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B ．f （x 1）＞0，f （x 2）＞0C ．f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D ．f （x 1）＜0，f （x 2）＞0【考点】函数零点的判定定理． 【分析】已知x 0是的一个零点，可令h （x ）=，g （x ）=﹣，画出h （x ）与g （x ）的图象，判断h （x ）与g （x ）的大小，从而进行求解； 【解答】解：∵已知x 0是的一个零点，x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0），可令h （x ）=，g （x ）=﹣，如下图：当0＞x ＞x 0，时g （x ）＞h （x ），h （x ）﹣g （x ）=＜0； 当x ＜x 0时，g （x ）＜h （x ），h （x ）﹣g （x ）=＞0；∵x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0）， ∴f （x 1）＞0，f （x 2）＜0， 故选C ；10．已知函数f （x ）=cos ωx （sin ωx+cos ωx ）（ω＞0），如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ，都有f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+2016π）成立，则ω的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间[x 0，x 0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f （x ）=sin （2ωx+）+，再根据2016π≥•，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f （x 0）是函数f （x ）的最小值，f （x 0+2016π）是函数f （x ）的最大值． 显然要使结论成立，只需保证区间[x 0，x 0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可． 又f （x ）=cos ωx （sin ωx+cos ωx ）=sin2ωx+=sin （2ωx+）+，故2016π≥•，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：D ．11．已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0]B ．[﹣2，0）C ．[0，2]D ．（0，2] 【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=•，求出z 的表达式，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=•，∵A（﹣1，1），M（x，y），∴z=•=x﹣y，即y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当y=x﹣z，经过点D（0，2）时，直线截距最大，此时z最小为z=0﹣2=﹣2．当直线y=x﹣z，经过点B（1，1）时，直线截距最小，此时z最大为z=1﹣1=0．故﹣2≤z＜0，故选：B．12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7πB．19π C．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为=1由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=7π故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，1），且⊥，则tanθ的值是﹣．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】由向量的数量积的性质可知， •==0，然后结合同角基本关系tan θ=可求【解答】解：由向量的数量积的性质可知， ==0∴tan θ==．故答案为：﹣14．若函数f （x ）=x+alnx 不是单调函数，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，0） ． 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a 的范围． 【解答】解：函数f （x ）=x+alnx 的定义域为：x ＞0． 函数f （x ）=x+alnx 的导数为：f ′（x ）=1+，当a ≥0时，f ′（x ）＞0，函数是增函数，当a ＜0时，函数f （x ）=x+alnx 不是单调函数，则实数a 的取值范围是（﹣∞，0）． 故答案为：（﹣∞，0）． 15．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为 ﹣15 ．【考点】二项式系数的性质． 【分析】根据展开式的各项系数绝对值之和为4n =1024，求得n=5．在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求得r 的值，可得展开式中x 项的系数． 【解答】解：在的展开式中，令x=1，可得展开式的各项系数绝对值之和为4n =22n =1024=210，∴n=5． 故展开式的通项公式为T r+1=令=1，求得r=1，故展开式中x 项的系数为﹣15．故答案为：﹣15．16．点P 为双曲线右支上第一象限内的一点，其右焦点为F 2，若直线PF 2的斜率为，M 为线段PF 2的中点，且|OF 2|=|F 2M|，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF 2|=t ，则|OF 2|=|F 2M|=t=c ，求得直线PF 2的倾斜角为60°，由三角函数的定义，可得P （2c ， c ），代入双曲线的方程，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：设|PF2|=t，则|OF2|=|F2M|=t=c，即t=2c，由直线PF2的斜率为，可得直线PF2的倾斜角为60°，可得P（c+2ccos60°，2csin60°），即为P（2c， c），代入双曲线的方程可得﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=，可得4e2﹣=1，化为4e4﹣8e2+1=0，解得e2=（舍去），即有e=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数．【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．【解答】解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．∵，∴，…∴，∴tanA=2．…∴．…（2），即，…∵tanA=2，∴…，∴，解得．…∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…由正弦定理知：，可推得…∴．…18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在为“老年人”．（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由频率分布直方图，能估算所调查的600人的平均年龄．（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率，由题意知，X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图，估算所调查的600人的平均年龄为：25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率，∴该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，抽到“老年人”的概率为．又题意知，X～B（3，），∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列如下表：X 0 1 2 3P∴随机变量X的数学期望EX==．…19．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…20．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（﹣，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，设椭圆C：．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，，得，直线l的方程为2x﹣y+2=0．由，由此能求出椭圆C的方程．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，即，4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2，∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，，得，即，即，从而，进而直线l的方程为，即2x﹣y+2=0．…由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．.，．∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．从而，解得b=1，∴椭圆C的方程为．…21．已知函数，其中常数a＞0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知，f'（x）表示f（x）的导数，若x1，x2∈（﹣a，a），x1≠x2，且满足f′（x1）+f′（x2）=0，试比较f′（x1+x2）与f′（0）的大小，并加以证明．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；（2）令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，得到g（x）的单调性，得到f′（x1+x2）的表达式，通过换元法求出其最大值，从而判断出与f′（0）的大小即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣a，+∞），由f'（x）=0，得x1=0，，…当时，，所以f（x）在上为增函数；…当时，，所以f（x）在（0，+∞），上为增函数；在上为减函数；…当时，，所以f（x）在，（﹣a，0）上为增函数；在上为减函数；…（2）令则，∵﹣a＜x＜a，∴0＜x+a＜2a，∴，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣a，a）上为减函数，即f'（x）在（﹣a，a）上为减函数，以题意，不妨设x1＜x2，又因为f'（0）=0，f'（x1）+f'（x2）=0，…所以，﹣a＜x1＜0＜x2＜a，所以，0＜x1+a＜a，且﹣a＜x1+x2＜a，由f'（x1）+f'（x2）=0，得，∴=，…令t=x1+a，则，…所以，h（t）在（0，a）内为增函数，又因为t=x1+a∈（0，a）所以，h（t）＜h（a）═0，即：所以，f'（x1）+f'（x2）＜f'（0）．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．【考点】弦切角；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC 得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．【解答】解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，（1）求半圆C1的参数方程；（2）设动点A在半圆C1上，动线段OA的中点M的轨迹为C2，点D在C2上，C2在点D处的切线与直线平行，求点D的直角坐标．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步转化成参数方程，注意参数的取值范围．（2）由中点坐标公式求得点M的坐标，易得曲线C2的参数方程，结合切线与平行线的性质来求得点D的坐标即可．【解答】解：（1）半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，，转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0（0≤x≤2）再把半圆C1化为参数方程为：（α为参数，﹣≤α≤）；（2）设M（x，y），由中点坐标公式，得：x==cosα，y==1+sinα．所以曲线C2的参数方程为：（α为参数，≤α≤），因为C2在点D处的切线与直线平行，则点D对应的参数α=+=．由曲线C2的参数方程得，xD=cos=﹣，yD=1+sin=．故点D的直角坐标为（﹣，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）化绝对值函数为f（x）=，从而判断函数的单调性及最值即可；（2）由基本不等式可得．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f（x）在是减函数，在是增函数；∴当x=时，f（x）取最小值=．（2）由（1）知，f（x）的最小值为，∴=2，∵m，n∈R+，，（当且仅当，即m=1，n=2时，取等号），∴的最小值为2．2016年8月4日。
河北省唐山市迁安二中2016届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年河北省唐山市迁安二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A={x∈Z|0≤x≤8}，B={1，2，3，4，5}，则∁A B=（）A．{6，7，8} B．{0，6，7，8} C．{0，6，7 } D．{6，7}2．若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．﹣1﹣2i D．1﹣2i3．幂函数y=f（x）的图象经过点A（2，4），则曲线y=f（x）在点A处切线的斜率为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣24．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2﹣x+1＞1 B．∀x∈，x2﹣1≥0C．∃x∈R，sinx+cosx=2 D．∃x∈R，5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=e x D．f（x）=sinx6．已知数列{a n}满足a n•a n﹣2=a n﹣1（n＞2，n∈N），且a1=2，a2=3，则a2012=（）A．B．C．2 D．37．已知，则x+y﹣2的最小值是（）A．12 B．﹣3 C．6 D．48．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．9．下面茎叶图表示的甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字x被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）A．B．C．D．10．已知直线y=x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3=0及抛物线y2=8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|=（）A．12 B．14 C．16 D．1811．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，若△EFG是边长为2的正三角形，则f（1）=（）A．B．C．2 D．12．已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如表．f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．下列四个命题：①函数y=f（x）是周期函数；②函数f（x）在上是减函数；③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④函数y=f（x）﹣有4个零点．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．向量=（1，2），=（﹣1，3），且+与k﹣共线，则k= ．14．已知三角形的面积s=c•r，其中c为三角形的周长，r为三角形内切圆半径，类比这一结论，用于研究三棱锥的体积，若三棱锥A﹣BCD的表面积为6，其内切球的表面积为4π，则三棱锥A﹣BCD的体积为．15．在△ABC中，a、b、x分别是角A、B、C所对的边，，，，则△ABC的面积S= ．16．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点重合，点M是抛物线与双曲线的一个交点，若MF⊥x轴，则该双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（文）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，点E为BC 的中点．（Ⅰ）证明：PE⊥ED；（Ⅱ）在PD上找一点M，使得EM∥平面PAB，请确定M点的位置，并给出证明．19．某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表：（1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）；（3）为了进一步获得研究资料，若从组中移出两棵树苗进行试验研究，则组中的树苗C同时被移出的概率是多少？20．已知直线l与椭圆=1（a＞b＞0）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，椭圆的焦点到长轴两个顶点的距离分别为2+，2﹣，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，O为坐标原点，求△AOB的面积．21．已知函数f（x）=．（1）设a＞0，若函数f（x）在区间（a，a+）上存在极值，求实数a的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．在△ABC中，已知CM是∠ACB的角平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，．求证：BN=2AM．23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为．（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ，（a＞0）（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相切，求a的值．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年河北省唐山市迁安二中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A={x∈Z|0≤x≤8}，B={1，2，3，4，5}，则∁A B=（）A．{6，7，8} B．{0，6，7，8} C．{0，6，7 } D．{6，7}【考点】补集及其运算．【分析】先化简集合A，再根据补集的定义进行求解运算．【解答】解：因为A={x∈Z|0≤x≤8}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，B={1，2，3，4，5}，所以∁A B={0，6，7，8}．故选：B．2．若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．﹣1﹣2i D．1﹣2i【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用虚数单位i的性质，再利用2个复数相等的充要条件列方程组解出a，b的值，即得结果．【解答】解：∵（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，∴2+ai=b﹣i，∴a=﹣1，b=2，故a+bi=﹣1+2i，故选B．3．幂函数y=f（x）的图象经过点A（2，4），则曲线y=f（x）在点A处切线的斜率为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】先设出幂函数，利用点A确定幂函数的解析式，然后利用导数求出切线方程．【解答】解：设幂函数的方程为f（x）=xα，因为f（x）图象经过点A（2，4），即f（2）=2α=4，即α=2，所以幂函数方程为f（x）=x2，幂函数的导数为f′（x）=2x，所以切线斜率k=f′（2）=4．故选：A．4．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2﹣x+1＞1 B．∀x∈，x2﹣1≥0C．∃x∈R，sinx+cosx=2 D．∃x∈R，【考点】全称命题；特称命题．【分析】分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．【解答】解：对于A：2﹣x＞0，∴2﹣x+1＞1，对于B：∀x∈，都有x2﹣1≥0，对于C：sinx+cosx=sin（x+）≤，对于D：x=0时，左边=右边，故选：C．5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=e x D．f（x）=sinx【考点】选择结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故选D．6．已知数列{a n}满足a n•a n﹣2=a n﹣1（n＞2，n∈N），且a1=2，a2=3，则a2012=（）A．B．C．2 D．3【考点】数列递推式．【分析】a n•a n﹣2=a n﹣1（n＞2，n∈N），且a1=2，a2=3，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵a n•a n﹣2=a n﹣1（n＞2，n∈N），且a1=2，a2=3，∴a3a1=a2，∴2a3=3，解得a3=．同理可得a4=，a5=，a6=，a7=2，…，∴a n+6=a n．∴a2012=a6×335+2=a2=3．故选：D．7．已知，则x+y﹣2的最小值是（）A．12 B．﹣3 C．6 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+y 对应的直线进行平移，可得当x=﹣2，y=1时，z=x+y取得最小值为﹣1，从而求出x+y﹣1的值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣2，1），B（，1），C（1，2）设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，当l经过点A（﹣2，1）时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（﹣2，1）=﹣1，故x+y﹣2=z﹣2=﹣1﹣2=﹣3，故选：B．8．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的底面的面积是=2，由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是2，∴三棱锥的体积是=故选C．9．下面茎叶图表示的甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字x被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出≤，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件求出答案．【解答】解：由茎叶图中的数据得，甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=（88+89+90+91+92）=90；设污损数字为x，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x，则乙的平均成绩= =88.4+，当x=8或9时，≤，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣=．故选：C．10．已知直线y=x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3=0及抛物线y2=8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|=（）A．12 B．14 C．16 D．18【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由已知圆的方程为（x﹣2）2+y2=1，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x﹣2过（2，0）点，则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，因为，有x2﹣12x+4=0，由此能够推导出|AB|+|CD|=16﹣2=14．【解答】解：由已知圆的方程为（x﹣2）2+y2=1，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x﹣2过（2，0）点，则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，因为，有x2﹣12x+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=12，则有|AD|=（x1+x2）+4=16，故|AB|+|CD|=16﹣2=14，故选B．11．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，若△EFG是边长为2的正三角形，则f（1）=（）A．B．C．2 D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正三角形的边长，确定三角函数的A和ω，即可求出函数的值．【解答】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，∴三角形的高为，即A=，函数的周期T=2EF=4，即T=，解得，即f（x）=Asinωx=sin（），则f（1）=sin，故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如表．f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．下列四个命题：①函数y=f（x）是周期函数；②函数f（x）在上是减函数；③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④函数y=f（x）﹣有4个零点．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：∵函数的定义域为闭区间，而周期函数的定义域一定是无界的，故①为假命题；②为真命题．因为在上导函数为负，故原函数递减；由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误函数y=f（x）﹣的零点个数，即y=f（x）和直线y=的交点的个数，结合图象④正确故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．向量=（1，2），=（﹣1，3），且+与k﹣共线，则k= ﹣1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的充要条件即可求出．【解答】解：∵ =（1，2），=（﹣1，3），∴+=（0，5），k﹣=（k+1，2k﹣3），∵+与k﹣共线，∴5（k+1）=0，解得k=﹣1，故答案为：﹣1．14．已知三角形的面积s=c•r，其中c为三角形的周长，r为三角形内切圆半径，类比这一结论，用于研究三棱锥的体积，若三棱锥A﹣BCD的表面积为6，其内切球的表面积为4π，则三棱锥A﹣BCD的体积为 2 ．【考点】类比推理．【分析】类比推理的运用，本题属于升维类比，面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．【解答】解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．∵内切球的表面积为4π，∴R=1，∴三棱锥体积V A﹣BCD==2．故答案为：2．15．在△ABC中，a、b、x分别是角A、B、C所对的边，，，，则△ABC的面积S= ．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理可得C，进而得到B，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：由，，，可得： =，∴sinC==，∵c＜a，∴C＜A，∴C为锐角，，∴B=π﹣A﹣C=．∴sinB===+=．∴S△ABC===．故答案为：．16．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点重合，点M是抛物线与双曲线的一个交点，若MF⊥x轴，则该双曲线的离心率为+1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为F（，0），得到|MF|=p．设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF'|=p，△TFF'中利用勾股定理算出|MF'|=p，再由双曲线的定义算出2a=（﹣1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为F（，0），由MF与x轴垂直，令x=，可得|MF|=p，双曲线的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，由抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，即c=，可得双曲线的焦距|FF'|=2c=p，由于△MFF'为直角三角形，则|MF'|=p，根据双曲线的定义，得2a=|MF'|﹣|MF|=p﹣p，可得a=p．因此，该双曲线的离心率e==+1．故答案为： +1．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（文）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（1）由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得，故d=1，d=0（舍去由此能求出{a n}的通项a n．（2）由，利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得，…解得d=1，d=0（舍去），…故{a n}的通项a n=1+（n﹣1）×1=n．…（2）∵，…∴．…18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，点E为BC 的中点．（Ⅰ）证明：PE⊥ED；（Ⅱ）在PD上找一点M，使得EM∥平面PAB，请确定M点的位置，并给出证明．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PE⊥ED．（2）设M（0，b，c），，0≤λ≤1，利用向量法得到当M是PD的中点时，EM∥平面PAB．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意P（0，0，1），E（1，1，0），D（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（﹣1，1，0），=﹣1+1+0=0，∴PE⊥ED．解：（2）当M是PD中点时，EM∥平面PAB．证明如下：设M（0，b，c），，0≤λ≤1，则（0，b，c﹣1）=λ（0，2，﹣1）=（0，2λ，﹣λ），∴，∴M （0，2λ，1﹣λ），=（﹣1，2λ﹣1，1﹣λ），面PAB的法向量=（0，1，0），∵EM∥平面PAB，∴ =2λ﹣1=0，解得，∴M是PD的中点．19．某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表：（1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）；（3）为了进一步获得研究资料，若从组中移出两棵树苗进行试验研究，则组中的树苗C同时被移出的概率是多少？【考点】等可能事件的概率；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意，由频率分布表可得高度不低于80厘米的频数，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）首先计算出样本容量，进而由平均数的计算公式计算可得答案；（3）设组中的树苗为C、D、E、F，用列表法可得移出3棵树苗的基本事件的数目与A、C同时被移出的事件数目，有等可能事件的概率公式计算可得答案．【解答】解：（I）∵高度不低于80厘米的频数是12+4=16，∴高度不低于80厘米树苗的概率为．（2）根据题意，样本容量即各组频数之和为2+3+14+15+12+4=50，则树苗的平均高度=cm；（3）设组中的树苗为C、D、E、F，则基本事件总数为12，它们是：ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF，而满足A、C同时被移出的事件为ACD、ACE、ACF共3种，∴树苗A和树苗C同时被移出的概率．20．已知直线l与椭圆=1（a＞b＞0）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，椭圆的焦点到长轴两个顶点的距离分别为2+，2﹣，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，O为坐标原点，求△AOB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的焦点到长轴两个顶点的距离分别为2+，2﹣，确定椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）先利用向量知识，可得4x1x2+y1y2=0，设出直线方程，联立方程组，求出直线方程，通过表示出面积，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点到长轴两个顶点的距离分别为2+，2﹣，可知，∴a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=1∴椭圆的方程为：；（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．∵向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥．∴a2x1x2+b2y1y2=0，∴4x1x2+y1y2=0直线l斜率为1，设直线l的方程为y=x+r，代入椭圆方程，可得5x2+2rx+r2﹣4=0∴x1+x2=﹣，x1x2=∵4x1x2+y1y2=0∴5x1x2+r（x1+x2）+r2=0∴r2﹣4﹣+r2=0∴r2=，∴△=16（k2﹣r2+4）＞0设原点O到直线l的距离为d，则S△AOB=d•|AB|=×××==1．综上可知，△AOB的面积为：1．21．已知函数f（x）=．（1）设a＞0，若函数f（x）在区间（a，a+）上存在极值，求实数a的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用导数求得函数f（x）的极值点x0，令即可；（2）不等式，即，设，利用导数求出g（x）在22．在△ABC中，已知CM是∠ACB的角平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，．求证：BN=2AM．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】由角平分线的性质可得，再由条件推出．由割线长定理知BM•BA=BN•BC，即，从而证得结论成立．【解答】证明：因为CM是∠ACB的平分线，所以，又已知，所以．设△AMC的外接圆为圆D，则MA与NC是圆D过同一点B的两条弦，所以，由割线长定理知BM•BA=BN•BC，即，所以BN=2AM．23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为．（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ，（a＞0）（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相切，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数得到直线l的普通方程，对ρ=acosθ两边平方得出曲线C的普通方程；（II）根据直线与圆相切得出圆心到直线的距离等于半径，列方程解出a．【解答】解：（I）∵，∴x=1+y，即x﹣y﹣1=0．∴直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0．∵ρ=acosθ，∴ρ2=aρcosθ，∴曲线C的普通方程为x2+y2﹣ax=0．即（x﹣）2+y2=．（II）由（1）知曲线C的圆心为（，0），半径为．∵直线l与曲线C相切，∴，解得a=2﹣2．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值；（2）由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n﹣1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，∴y min=4，由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．2016年6月24日。
河北省廊坊市2016届高三上学期期末考试数学(理)试题
数学理科试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,2,3}A =，集合{23,4}B =，，则集合U C A B （）中的元素个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、复数21ii-等于 A ．22i -+ B ．1i + C ．2i -+ D ．22i -3、已知(1,0),(6,2)A B 和向量(2,)a λ=，若//a AB ，则实数λ的中为 A ．45 B ．45- C ．72 D ．72- 4、已知角α的终边过点(2,1)-，则cos α的值为A．5-．5- C．5．12-5、右图程序的功能是 A ．计算1352016++++ B ．计算1352016⨯⨯⨯⨯C ．求方程1352016i ⨯⨯⨯⨯=中的i 的值D ．求方程1352016i ⨯⨯⨯⨯> 的最小整数i6、下列说中正确的个数是 ①若()121xf x a =++是奇函数，则12a = ②在ABC ∆中，若sin sin aA B >则A B >的逆命题是假命题； ③三个数,,ab c成等比数列是“b = A ．0 B ．1 C ．2 D ．37、已知O 是坐标原点，,A B 两点的坐标均满足不等式组310301x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，设OA 与OB 的夹角为θ，则s i nθ的最大值为A ．12 B．65C ．45D ．35 8、若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 A ．28 B ．32 C ．283D ．24 9、如图所示，()y f x =是可导函数，直线:3l y kx =+是曲线()y f x =在1x =处的切线，令()()h x xf x =，()h x '是()h x 的导函数，则(1)h '的值是A ．2B ．1C ．-1D ．1210用一个边长为2球体放置于蛋果上，则球体球心与蛋果底面的距离为 A．22 B．2C11、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个交点F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为A ，l 与另一条渐近线交于B 点，若3FB FA =，则双曲线的离心率为A．2 C12、已知函数()1,011()1,12x x x f x x +≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()b f a ⋅的取值范围是A ．3(0,)4 B ．3(,2]4 C ．3[0,)4 D ．1(,2)2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。