§8.3有理函数和可化为有理函数...
有理函数——精选推荐
本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法． 2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有 理函数的方法． 教学时数 3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具
有如下形式的函数：
( ) P x ( ) Q x
=
a0 xn b0 xm
⎟⎟⎠
⎥ ⎥ ⎦
t
=
x
+
p,a 2
=
q− p2 4
dt t2 +a2 n
而
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) In−1 =
( ) dt
t2 + a2
n −1
=
t t2 + a2
n−1 + 2
n −1
t2 t 2 + a2 n dt
( ) ∫ ( ) ( ) =
t t2 + a2
n−1 + 2(n − 1)
⎠
= a2 + b2 (sinϕsin x + cosϕcos x)
= a2 + b2 cos( x −ϕ)
其中ϕ = arctan a , 则
b
∫
a sin
dx x+b
cos
x
=
1 a2 +
b2
∫
cos
(
1 x
−
ϕ
)dx
= 1 ln sec( x − ϕ ) + tan ( x − ϕ ) + C
N
−
Mp ⎞ 2 ⎟⎠
dx
⎡⎢⎣⎢⎛⎝⎜
x
+
有理函数的定义
有理函数的定义有理函数（Rational Function）是指由多项式函数分母和分子组成的函数，其中分母函数不等于零。
有理函数的定义域是所有使分母函数不等于零的实数集。
有理函数的一般形式可以表示为：f(x) = p(x) / q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数。
其中，p(x)为分子函数，q(x)为分母函数。
有理函数的定义域是所有使分母函数q(x)不等于零的实数集。
因为分母函数不等于零时，有理函数的值才有定义。
如果在定义域内，分母函数q(x)等于零，那么有理函数的值为无穷或不存在。
例如，考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
这个函数的分子函数为p(x) = x^2 + 1，分母函数为q(x) = x - 2。
根据定义，要使有理函数有定义，分母函数q(x)不等于零。
因此，x - 2 ≠ 0，即x ≠ 2。
所以，有理函数的定义域是所有实数除了2。
有理函数的图像通常表现出一些特殊的性质。
由于分子函数和分母函数都是多项式函数，所以有理函数的图像通常是连续的。
有理函数的图像也可能有一个或多个垂直渐近线，这些渐近线对应于使分母函数q(x)等于零的点。
考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
将这个函数进行分解，可以得到f(x) = x + 2 + 5 / (x - 2)。
因此，这个有理函数的图像有一个斜渐近线y = x + 2，这是因为当x趋近于正无穷时，有理函数趋近于x + 2。
此外，由于分母函数q(x)等于零时，有理函数的值不存在，所以有理函数的图像也有一个垂直渐近线x = 2。
有理函数的图像还可能有零点和极值点。
零点是使有理函数等于零的点，极值点是有理函数的局部最大值或最小值的点。
例如，考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
要找到这个函数的零点，即解方程f(x) = 0。
这个方程可以化简为(x^2 + 1) = 0。
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
数学分析第八章 不定积分
或 df (x) f (x) C.
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3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
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(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
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8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为 初等函数， f 的表达式能求出.
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我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表 达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
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华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
第8章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2 换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。
四节有理函数积分
其中 Mi , Ni 都是常数 i1,2,k
特殊地：k 1, 分解后为
Mx N x2 px q ;
（3）真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x3
AB
x2 5x 6
, x2 x3
解
x 3 x3 x2 5x 6 (x2)(x3)
x 3 A (x 3 ) B (x 2 ),
x1dxt3
1 t2
6t5dt
6
t
t3 dt 1
2 t3 3 t2 6 t 6 l|n t 1 | C
2 x 1 3 3 x 1 3 6 x 1 6 l6 x n 1 1 ) ( C .
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
解（二） 修改万能置换公式, 令 utaxn
sinx u , 1u2
dx11u2 du,
1 sin4
x
dx
1 u
4
1 1u2du
1
u4u2du
1u2
31u3
1C1co3xtcoxtC.
u
3
解（三） 可以不用万能置换公式.
1 sin4
x
代入特殊值来确定系数 A,B,C
取 x0, A1取 x1, B1
取 x2,并将 A,B 值代入 (1) C 1
x(
1 x
1)2
1x(x11)2x11.
例3
1 (12x)(1
x2)1A2xB 1xxC 2 ,
解 1 A ( 1 x 2 ) ( B C ) x 1 ( 2 x ),
简单有理分式函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
第四节有理函数的积分
第四节 有理数函数的积分本节我们还要介绍一些比较简单的特殊类型函数的不定积分,包括有理函数的积分以及可化为有理函数的积分,如三角函数有理式、简单无理函数的积分等.分布图示★ 有理函数的积分 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 有理函数的原函数★ 三角函数有理式的积分★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14★ 简单无理函数的积分★ 例 15 ★ 例 16 ★ 例 17 ★ 例 18★ 例 19 ★ 例 20 ★ 例 21 ★ 例 22★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题4-4★ 返回内容要点一、有理函数的积分1．最简分式的积分下列四类分式称为最简分式,其中n 为大于等于2的正整数.,A 、M 、N 、a 、p 、q 均为常数,且042<-q p . (1) a x A -； (2) na x A )(-； (3) qpx x N Mx +++2； (4) n q px x N Mx )(2+++. 2．有理分式化为最简分式的和二、可化为有理函数的积分1．三角函数有理式的积分: 由x sin 、x cos 和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数,记为).cos ,(sin x x R2．简单无理函数的积分求简单无理函数的积分,其基本思想是利用适当的变换将其有理化,转化为有理函数的积分. 下面我们通过例子来说明.三、总结本章我们介绍了不定积分的概念及计算方法. 必须指出的是：初等函数在它有定义的区间上的不定积分一定存在,但不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是一回事. 事实上,有很多初等函数,它的不定积分是存在的,但它们的不定积分却无法用初等函数表示出来,如dx e x ⎰-2,⎰dx x x sin ,⎰+31x dx.同时我们还应了解,求函数的不定积分与求函数的导数的区别,求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做,而求一个函数的不定积分并无统一的规则可循,需要具体问题具体分析,灵活应用各类积分方法和技巧.例题选讲有理式的分解例1(E01) 分解有理分式6532+-+x x x . 解 ,)3)(2(36532--+=+-+x x x x x x ∴设,326532-+-=+-+x B x A x x x ),2()3(3-+-=+x B x A x )23()(3B A x B A x +-+=+∴⇒⎩⎨⎧=+-=+3)23(1B A B A ⇒⎩⎨⎧=-=,65B A .36256532-+--=+-+∴x x x x x 例2 分解有理式 .2424x x +解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+=+24)2(424222224x D Cx x B x A x x x x 两边同乘以2x 得:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅++++=+2222424x x D Cx B Ax x 令,0=x 得.2/1=B 再将上式两边求导:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⋅+=+-2224)2(822222x D Cx x x D Cx x A x x 令,0=x 得.0=A同理，两边同乘以,22+x 令,2C x =得,0=C ,2/1-=D 所以)2(4242224+=+x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2(2121422x x .22222+-=x x例3 分解有理分式 2)1(1-x x .解 设1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ⇒),1()1(12-++-=x Cx Bx x A (*) 代入特殊值来确定系数,,,C B A 取0=x ⇒;1=A 取1=x ⇒;1=B取,2=x 并将B A ,值代入(*)⇒;1-=C.11)1(11)1(122---+=-∴x x x x x例4 分解有理分式 )1)(21(12x x ++. 解 设22121)1)(21(1xC Bx x A x x ++++=++⇒),21)(()1(12x C Bx x A ++++= 整理得 ,)2()2(12A C x C B x B A +++++=即1,02,02=+=+=+C A C B B A ⇒,51,52,54=-==C B A .151522154)1)(21(122x x x x x ++-++=++∴例5 将 )1)(1(1222+---+x x x x x 分解为部分分式. 解 设11)1)(1(12222+-++-=+---+x x C Bx x A x x x x x 去分母，得)1)(()1(1222-+++-=-+x C Bx x x A x x令,1=x 得;2=A 令,0=x 得,1C A -=-所以;3=C令,2=x 得,237C B A ++=所以.1-=B因此 .1312)1)(1(12222+----=+---+x x x x x x x x x有理式的积分例6 (E02) 求不定积分⎰-dx x x 2)1(1. 解 根据例3的结果,11)1(11)1(122---+=-x x x x x ∴原式dx x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=11)1(112dx x dx x dx x ⎰⎰⎰---+=11)1(112 .|1|ln 11||ln C x x x +----= 例7 (E03) 求不定积分⎰++dx x x )1)(21(12.解 根据例4的结果,151522154)1)(21(122x x x x x ++-++=++ ∴原式⎰⎰++-++=dx x x dx x 2151522154⎰⎰+++-+=dx x dx x x x 2211511251|21|ln 52 .arctan 51)1ln(51|21|ln 522C x x x +++-+=例8 求不定积分.)1)(1(1222dx x x x x x ⎰+---+ 解 根据例5的结果，有dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=+---+1312)1)(1(12222⎰⎰+----=dx x x x x dx 13122 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--+----=⎰⎰4341511221|1|ln 222x x dx dx x x x x ⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+---=432121251)1(21|1|ln 2222x x d x x x x d x |1|ln 21|1|ln 22+---=x x x C x +-⋅+2/32/1arctan 3225 .312arctan 351)1(ln 22C x x x x +-++--=例9 (E04) 求不定积分⎰+++++4555222423x x x x x . 解法1⎰⎰+++++++=dx x x x dx x x x x I 45524552242243⎰⎰++++++++++=dx x x x x x x x x d )4)(1(4145)45(212222424 ⎰⎰++++++=14|45|ln 212224x dx x dx x x .2arctan 21arctan |45|ln 2124C x x x x +++++= 解法241)4)(1(5522222223+++++=+++++x D Cx x B Ax x x x x x)4)((5522223++=+++x B Ax x x x )1)((2+++x D Cx比较x 同次幂的系数得54,54,2,2=+=+=+=+D B C A D B C A解得.1,1,1,1====D C B A 故⎰⎰+++++=dx x x dx x x I 411122 |4|ln 21|1|ln 2122+++=x x C x x +++2arctan arctan .2arctan 21arctan |45|ln 2124C x x x x +++++= 解法3 由)1(5)1(25522223+++=+++x x x x x x )52)(1(2++=x x ，则有)4)(1()52)(1()4)(1(55222222223++++=+++++x x x x x x x x x )4)(1()41)(1(2222++++++=x x x x x .411122+++++=x x x x 所以.2arctan 21arctan |45|ln 2124C x x x x I +++++=例10 求不定积分.116/3/2/dx e e e x x x ⎰+++ 解 令6xe t =⇒,6,ln 6dt t dx t x ==原式dt t t t dt t t t t ⎰⎰++=⋅+++=)1)(1(6611223dt t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝++-+-=213313 ⎰⎰+-++-+-=dt tt t d t t 2221131)1(23)1ln(3ln 6 C t t t t +-+-+-=arctan 3)1ln(23)1ln(3ln 62 .arctan 3)1ln(23)1ln(3636C e e e x xx x+-+-+-=例11 (E05) 求不定积分.cos sin 1sin dx xx x ⎰++ 解 由万能置换公式,12,11cos ,12sin 2222du u dx u u x u u x +=+-=+= 原式⎰⎰++--++=++=du u u u u u du u u u )1)(1(112)1)(1(22222 ⎰⎰⎰+-++=+++-+=du u du u u du u u u u 1111)1)(1()1()1(2222C u u u ++-++=|1|ln )1ln(21arctan 2 ↓2tan xu =.2tan 1ln 2sec ln 2C x x x ++-=例12 (E06) 求不定积分⎰dx x4sin 1. 解一 利用万能置换公式,12,11cos ,12sin 2222du u dx u u x u u x +=+-=+= 原式⎰+++=du u u u u 46428331C u u u u +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=333318133 .2tan 2412tan 832tan 832tan 24133C x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 解二 修改万能置换公式 ,令x u tan =,11,11cos ,1sin 222du u dx u x u ux +=+=+= 原式du u u du u u u ⎰⎰+=+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=422211111C u u +--=1313.cot cot 313C x x +--= 解三 不用万能置换公式原式dx x x )cot 1(csc 22+=⎰dx x x xdx ⎰⎰+=222csc cot csc .cot cot 313C x x +--= 结论：比较以上三种解法，便知万能置换不一定是最佳方法，故三角有理式的计算中先考虑其他手段，不得已才用万能置换.例13 求不定积分.sin 3sin sin 1dx xx x ⎰++ 解 ,2cos 2sin 2sin sin B A B A B A -+=+ 原式⎰⎰+=+=dx x x x dx x x x 2cos sin 4sin 1cos 2sin 2sin 1⎰⎰+=dx x dx x x 22cos 141cos sin 141 ⎰⎰+=dx xdx x x x x 2222cos 141cos sin cos sin 41 ⎰⎰⎰++=dx xdx x dx x x 22cos 141sin 141cos sin 41 ⎰⎰⎰++-=dx x dx x x d x 22cos 141sin 141)(cos cos 141.tan 412tan ln 41cos 41C x x x +++=例14 求不定积分.cos 4sin 3⎰+xx dx 解一 作代换.2tan x t = 原式⎰⎰-+=+-+++=22222464211412312t t dt t t t t dt t dt t t t t dt ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+=2112251)2)(12( .2tan 212tan2ln 51212ln 51C xx C t t +-+=+-+= 解二 原式⎰+=x x dx cos 54sin 5351⎰++=)sin()(51θθx x d .2tan ln 51C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ 其中.54sin ,53cos ==θθ简单无理函数的积分例15 求不定积分.1213dx x x x ⎰+++解 先对分母进行有理化 原式=dx x x x x x x x ⎰+-+++++-+)1213)(1213()1213(⎰+-+=dx x x )1213( ⎰⎰++-++=)12(1221)13(13(31x d x x d x .)12(31)13(922323C x x ++-+=例16 (E07) 求不定积分⎰+dx x x 1.解 令x t =,即作变量代换)0(2>=t t x ,从而tdt dx 2=,所以不定积分C x C t dt t tdt t t dx x x ++=++=+=⋅+=+⎰⎰⎰)1ln(21ln 21122112.例17 (E08) 求不定积分 ⎰+dx x x 313. 解 令,133+=x t 则,,3123dt t dx t x =-=从而 ⎰⎰⎰-=-=+dt t t dt t t t dx x x )(3131134233C t t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=253125.)13(61)13(1513/23/5C x x ++-+=例18 (E09) 求不定积分dx x x ⎰+)1(13.方法: 当被积函数含有两种或两种以上的根式,k x …，l x 时,可令n t x =(n 为各根指数的最小公倍数).解 令6t x =⇒,65dt t dx =dt t t t dx x x ⎰⎰+=+)1(6)1(12353⎰⎰+-+=+=dt t t dt t t 2222111616 ⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=C t t dt t ]arctan [611162.]arctan [666C x x +-= 例19 求不定积分.1113dx x x ⎰+++解 令16+=x t ⇒dx dt t =56 原式dt t t t 52361⋅+=⎰dt t t t t ⎰⎰+-+=+=11161633C t t t t ++++-=|1|ln 663223 63131312+++-+=x x x .)11ln(66C x ++++例20 求不定积分⎰+dx xx x 11. 解 令t x x =+1⇒,)1(2,11,12222--=-==+t tdt dx t x t x x 原式⎰⎰--=---=12)1(2)1(2222t dt t dt t t t t C t t t dt t ++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰11ln 211122 .11ln 122C x x x x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=例21 (E10) 求不定积分.111dx x x x -+⎰ 解 令,11-+=x x t 则.)1(4,112222--=-+=t tdt dx t t x 原式dt t t t t t dt t ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+=-+-=121111)1)(1(42222C t t t +--+=arctan 211ln 111ln 111ln --+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x .11arctan 2C x x +-+-例22 求不定积分⎰+++12x x x dx . 解 令,12t x x x =+++则,2112tt x +-=且 ,)21()1(222dt t t t dx +++=,211122t t t x x +++=++ 于是⎰⎰+++=+++dt t t t t x x x dx )2/1(121122⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=dt t t t 2)2/1(232/13421 C t t t +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=)2/1(2321ln 3||ln 421.)12(23|2/1|ln 2134C t t t ++++= 注: 上式最后一步只需将变量t 回代为变量x 即可.课堂练习求下列不定积分.4cos 5)2(;)1)(1(1)1(224⎰⎰-+-+x dx dx x x x。
高等数学有理函数的积分
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
(1
2u 1 u
2
)
2u 1 u
2
(1
1 1
u2 u2
)
2 1 u
2
du
1 2
(u
2
1 u
)du
1 2
(u2 2
2u
ln
|u
|)
C
1 tan 2 x tan x 1 ln |tan x |C .
4 2 22
2
令 u tan x , 2
则
s in
. 有理函数 相除 多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
A ln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx 2 px
例例5 求
x 1 dx . x
解解 设 x 1 u , 即 x u 2 1 , 则
x 1 x
dx
u
u 2 1
2udu
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(u
ar
c
tan
u
)
C
2( x 1 arctan x 1) C .
有理函数的特性总结
有理函数的特性总结有理函数是指能够用多项式函数的比值来表示的函数。
在数学中，有理函数属于基本的一类函数，具有一些特性和性质。
一、定义和形式有理函数的形式通常为：f(x) = P(x) / Q(x)其中，P(x)和Q(x)是两个多项式函数，Q(x) ≠ 0。
二、定义域和值域1. 定义域：有理函数的定义域是除去使得分母Q(x)等于0的点，即Q(x) ≠ 0 的x值。
2. 值域：有理函数的值域由定义域上的函数值所确定。
三、分解和分解式1. 分解：对于有理函数，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成简单的有理函数之和。
2. 分解式：分解式可以更好地展示有理函数的分解形式，例如：f(x) = P(x) / (x-a)(x-b) * K其中，a和b是P(x)中的根，K是常数。
四、奇偶性1. 奇函数：如果对于任何x，有 f(-x) = -f(x)，则有理函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像在原点对称。
2. 偶函数：如果对于任何x，有 f(-x) = f(x)，则有理函数f(x)是偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
五、水平渐近线1. 水平渐近线：有理函数在水平方向上的趋势，即当x趋向于正无穷大或负无穷大时，函数值的趋势。
2. 水平渐近线的存在性：有理函数可能存在水平渐近线，当且仅当分母的次数大于等于分子的次数时。
六、斜渐近线1. 斜渐近线：有理函数在某一方向上的趋势，即当x趋向于正无穷大或负无穷大时，函数值的趋势。
2. 斜渐近线的存在性：有理函数可能存在斜渐近线，当且仅当分子的次数比分母的次数多1时。
七、零点和极点1. 零点：有理函数在定义域上使得函数值为0的点称为零点。
2. 极点：有理函数在定义域上使得分母为0的点称为极点。
八、曲线的形态1. 横截点：有理函数的图像与y轴的交点称为横截点。
2. 极值点：有理函数的图像上的最高点和最低点称为极值点。
以上是有理函数的一些基本特性和性质总结。
有理函数在数学中具有广泛的应用，能够描述和解决各种实际问题。
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§8.3有理函数和可化为有理函数...一、有理函数的部分分式二、有理真分式的递推公式三、三角函数有理式的不定§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的部有理真分式的递推公式三角函数有理式的不定积分某些无理函数的不定积分101101()()()n n nm m mx x P x R x Q x x x αααβββ--+++==+++ 有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数, 有理函数的部分分式分解m > n 时称为真分式, m ≤ n 时称为假分式.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.00(0,0),αβ≠≠其一般形式为:后退前进目录退出分分式分解§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的部有理真分式的递推公式三角函数有理式的不定积分某些无理函数的不定积分1.对分母Q (x )在实数系内作标准分解:1122111()()()()(),sts t t Q x x a x a x p x q x p x q λμλμ=--++++ 240,1,2,,.j j p q j t -<= +11,N , 2,sti j ij i j m λμλμ==∈+=∑∑其中且2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分其分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下:真分式又可化为22)(q px x C x B i i +++()i i A x a -与之和,式.分分式分解.)()(221kka x A a x A a x A -++-+- ,)()(22222211kkk q px x C x B q px x C x B q px x C x B ++++++++++++ 把所有部分分式加起来,使之等于Q (x ), 由此确定对应于kq px x )(2++的部分分式是上述部分分式中的待定系数A i ,B i ,C i .()kx a -的部分分式是对应于3. 确定待定系数的方法把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子组, 由此解出待定系数.必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程P (x ) 应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数101101()()()n n nm m mx x P x R x Q x x x αααβββ--+++==+++=+-++-+-+22201(2)(1)(2)(2)(1)A x x x A x x x x =+--+-5432()5248Q x x x x x x 因为解 +=+++-++-+01222(),22(2)1A A A Bx CR x x x x x x 所以(),Q x 两边乘以得到).1()2)(2(22+-+-=x x x x 43224910x x x x -++-+--+++-+222(2)(1)()(2)(2).A x x x Bx C x x 分式分解.例14325432()5248x x x x R x x x x x x -++-=+--+-对作部分比较同次项系数, 得到线性方程组401301220121201223213342443849442810A A B x A A A B C x A A A B C x A A B C x A A A C ?++=?-+++=-??---+=??+--=?---=-??的系数的系数的系数的系数常数项解得.1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A .11)2(12221)(22+-----++-=x x x x x x x R 于是完成了R (x ) 的部分分式分解:§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的部分分式分解有理真分式三角函数有理式的不定积分某些无理函数的不定积分任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形d (i);()k x x a -?2 2(ii)d (40).()k Lx M x p q x px q +-<++?有理真分式的递推公式1ln ||,1,d (i)1, 1.()(1)()kk x a C k x C k x a k x a --+=??=?+>-?--?下面解这两类积分.式的不定积分之和：的递推公式2222d d .()()L t N t r t r =+++??1,k =时22d 1arctan .t tC t r r r =++?222d d ()()k k Lx M Lt N x tx px q t r ++=+++??22221d ln(),2t t t r C t r =+++?(ii),2p t x =+令2 2,,42p pLr q N M =-=-则=+?22d ,()k k tI t r 记则+-=+?2222221()d ()k k t r t I t r t r -=-+?2 1222211d ()k kt I t r r t r 2,k 时≥()()??++=+k k r t r t t r t t )(d 21d 222 222()().121122C r t k k ++-=-122221111d 2(1)()k k I t r r k t r --??=+ ?-+?? 112222111.2(1)()k k k tI I r r k t r ---??=+-??-+??12221223,2(1)()2(1)k k k t k I I r k t r r k ---=+-+-解得2,3,.k = 112222111.2(1)()k k k k tI I I r r k t r ---??=+-??-+??.1d )1()2(d 2d 22d 22+-----++-=x x x x x x x x x x 432 543224910d 5248x x x x x x x x x x -++-+--+-?解由例1,-++-+--+-?x x x x I x x x x x x 432543224910d .5248求=例2 其中2(1)d 1x x x x --+?2221d(1)11d 2121x x x x x x x -+=--+-+??21(1)d ln |2|ln |2|.21x xx x x x x -=-+++---+?211221ln |1|arctan .2233x x x C -=-+-?+22211d ln |1|221322x x x x =-+-??-+ ? ?????于是2(1)d 1x x x x --+?2221d(1)11d 2121x x x x x x x -+=--+-+??--+121arctan .33x C =-++++-+-2 11ln |2|ln |2|ln |1|22I x x x x x.d )22(1222x x x x ?+-+求例3解由于2221(22)x x x +-+,)22(12221222+--++-=x x x x x 而()()??+--=+-111d 22d 22x x x x x (),1arctan 1C x +-=22222(21)(22)x x x x x -+++=-+.)1(d 221222?+++--=t t x x 22222d(22)d(1)(22)[(1)1]x x x x x x -+-=+-+-+??2221d (22)x x x x --+?2211arctan(1),2(22)2x x C x x -=+-+-+22d (1)t t +?由递推公式22(22)1d (22)x xx x -+=-+?221d 2(1)21t t t t =+++?1t x =-2222221121d d d (22)22(22)x x x x x x x x x x x +-=+-+-+-+于是3arctan(1).2x C +-+232(22)x x x -=-+()arctan 1x C =-+2d 22xx x -+?2222131d arctan(1)(22)2(22)2x x x x x x x x --=+--+-+?§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的部分分式分解有理真分式的递推公式三角函数有理某些无理函数的不定积分sin x , cos x 及常数经过有限次四则运算得到的函三角函数有理式的不定积分tan ,(sin ,cos )d 2x t R x x x =?通过变换可把化为有理函数的不定积分. 把2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 22x x x x x +=数R (sin x , cos x ) 称为三角函数有理式.2tan12tan22x x +=,122t t +=式的不定积分2cos 2sin 2sin 2cos cos 2222x x x +-=22d d(2arctan )d 1x t t t ==+2222212(sin ,cos )d ,d .111t t R x x x R t t t t -=+++代入原积分式，得到2tan12tan 122x x +-=,1122t t +-=d .1sin cos x x x 求++?例4tan ,2x t =令则解d 1sin cos x x x ++?22 222d 121111t t t t t t+=-++++??+=t t 1d C t ++=1ln .2 tan 1ln C x++=。