最新2019高一下学期第三次月考数学试卷

一、选择题

1、已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

2、已知圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，一只蚂蚁从圆锥的底面点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点,则蚂蚁爬行的最短路程长为（）

A. B. C. D.

3、已知三棱锥，过点作面为中的一点，，，则点为的（）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

4、某柱体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积（单位：）是（）

A．6 B． C． D．

5、在正方体，点P是侧面内的一动点，若点P到直线BC与到直线

的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线

6、四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成

的角为（）

A． B． C． D．

7、如图，正方体中，为中点，为线段上的动点（

不与，重合），以下四个命题：

（）平面．

（）平面；

（）的面积与的面积相等；

（）三棱锥的体积有最大值，其中真命题的个数为（）．

A． B． C． D．

8、已知直线平行，则实数的值为（）

A． B． C．或 D．

9、直线的倾斜角为（）

A． 150° B． 120° C． 60° D． 30°

10、直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程为( ) ．A． 3x－y－5＝0 B． 3x－y＋5＝0

C． 3x＋y＋13＝0 D． 3x＋y－13＝0

11、若直线过点，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为

A．1 B．2 C．4 D．8

12、已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )

A．2 B． C．1 D．

二、填空题

13、如图，已知四棱柱的底面为正方形，且底面边长为1，侧棱与底面垂直.若点到平面的距离为，则四棱柱的侧面积为__________．

14、《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；

将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面

，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为_____．

15、直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)恒过定点___________.

16已知,则

的最小值为 .

三、解答题

17、已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限；

(2)为了使直线l不过第二象限，求a的取值范围．

18、如图，在底面边长为的正三棱柱中，，D是AC的中点。

（1）求证：；

（2）求正三棱柱的体积及表面积。

19、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，且，E是棱CC1中点，F 是AB的中点.

（1）求证：CF//平面AEB1；

（2）求点B到平面AEB1的距离.

20、如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是

的中点．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成角的正切值；

（3）证明：平面.

21、如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的两个三等分点.

（1）求证平面；

（2）若平面平面，求证：.

22、如图，已知三角形的顶点为，，，求：（）边上的中线所在直线的方程．

（）求的面积．

参考答案

一、单项选择

1、【答案】C

【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则

错误；D. 若，，当时不能得到，错误.

故选C.

2、【答案】B

【解析】

母线长为

展开扇形的圆心角为

最短路程为

故答案选

3、【答案】D

【解析】连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC？面PBC，可得BC⊥PA，由PO⊥平面ABC于O，BC？面ABC，PO⊥BC，可得BC⊥AE，同理可以证明CO⊥AB，又BO⊥AC．故O是△ABC的垂心．

【详解】

连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC？面PBC，∴BC⊥PA，

∵PO⊥平面ABC于O，BC？面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE？面APE，∴BC⊥AE；

同理可以证明CO⊥AB，又BO⊥AC．

∴O是△ABC的垂心．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．4、【答案】C

【解析】由三视图还原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为直角梯形，且CD＝CG＝BC＝2，AB＝1，则AD＝．则可求该柱体的侧面积．

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为直角梯形，

且CD＝CG＝BC＝2，AB＝1，则AD＝．

∴该柱体的侧面积为（2+2+1+）＝，

故选：C．

【点睛】

本题考查由三视图求面积，关键是由三视图还原几何体，是中档题．

5、【答案】D 注意：后换的题目答案为B

【解析】由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距

离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项.

【详解】

画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选D.

【点睛】

本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题.

6、【答案】C

【解析】画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角.

【详解】

画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选C.

【点睛】

本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移.

7、【答案】B

【解析】（）与不垂直，所以平面不正确；（）平面平

面，所以平面，正确；（）两个三角形等底等高，的面积与的面积相等，正确；（）与重合，三棱锥的体积最大，所以（）不正确．综上，真命题的个数是个，故选．

8、【答案】A

【解析】两条直线存在两种情况：一，两直线的斜率均不存在，且不重合，二，两直线的斜率均存在且相等但不重合．当两直线斜率均存在时，由题可知无解，当两直线斜率

均存在时可知，可求得，当时，两直线方程

相同，即两直线重合，当时，两直线方程为，

两直线没有重合，所以本题的正确选项为A.

考点：两直线平行的性质.

9、【答案】A

【解析】现求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即

可.

【详解】

设倾斜角为，因为直线的斜率为，

所以，所以，故选A.

【点睛】

本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，其中熟记直线的倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10、【答案】D

【解析】由题意确定直线斜率，再根据点斜式求直线方程.

【详解】

由题意直线l与AB垂直，所以，

选D.

【点睛】

本题考查直线斜率与直线方程，考查基本求解能力.

11、【答案】C

【解析】由题意得直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，

故a＋b＝ab，即，

∴，当且仅当a＝b＝2时等号成立．

所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

12、【答案】B 注意：后换的题目答案也为B

【解析】是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把到准线的距离转化为到焦点的距

离，故可得到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线的距离.

【详解】

抛物线，其焦点坐标，准线为也就是直线，故到直线的距离就是到

的距离.如图所示，

设到直线的距离为，则，当且仅当三点共线时等号成立，故

选B.

【点睛】

抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.

二、填空题

13、【答案】

【解析】设四棱柱的高为，求出三角形的面积，从而可得三棱锥的体积，

再利用割补法求得三棱锥的体积，从而可得关于的等式，求出的值，利用棱

柱侧面积公式可得结果.

【详解】

设四棱柱的高为，

由勾股定理可得，

，，

，

，

解得，

三棱柱侧面积为，故答案为8.

【点睛】

本题主要考查棱柱的侧面积以及棱锥的体积，属于难题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直

接利用公式求解(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.

14、【答案】

【解析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，可得，

．因为为直角三角形，可得，所以，因此，结

合几何关系，可求得外接球的半径，…，代入公式即可

求球的表面积。

【详解】

本题主要考查空间几何体．

由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，

，，，．

因为为直角三角形，

因此或（舍）．

所以只可能是，

此时，因此，

所以平面所在小圆的半径即为，

又因为，

所以外接球的半径，

所以球的表面积为．

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题。

15、【答案】

【解析】先分离参数，再令的系数等于零，求得、当的值，可得定点的坐标．【详解】

直线，即直线，令，可得，求得，且，

可得直线经过定点，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查直线经过定点问题，意在考查学生对该知识的理解能力掌握水平和分析推理能

力.

16、【答案】

【解析】根据两点间距离公式，的几何意义为点到原点的距离，

的几何意义为点到点的距离，的几何意义为点

到点的距离，的几何意义为点到点的距离，所以求

的最小值，即求到

上述四点的距离的和的最小值.如图，根据两点间距离最短可知，只有点位于正方

形对角线的交点时，才能分别与两组对角顶点都共线，此时点到四个顶点的距离的和最小，易求得最小值为.

三、解答题

17、【答案】(1)见解析(2)a≥3

试题分析：(1)证明：l的方程可化为y－＝a(x－)，由点斜式方程可知直线l斜

率为a，且过定点A(，)，由于点A在第一象限，所以直线一定过第一象限．

(2)如图，直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间，k AO＝＝3，直线AP的斜率不存在，故a≥3.

考点：直线的特征.

【解析】

18、【答案】(1)见解析，（2）,.

试题分析：（1）设B1C∩BC1=O，根据OD为△ACB1的中位线，故有AB1∥OD，再利用直线和平面平行的判定定理证得AB1∥平面C1BD；

（2）利用棱柱的体积与表面积公式计算即可.

【详解】

（1）设B1C∩BC1=O，则由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质可得O为B1C的中点．

再根据D为AC的中点，可得OD为△ACB1的中位线，故有AB1∥OD．

而OD？平面C1BDAB1？平面C1BD，故有AB1∥平面C1BD．

(2),

.

【点睛】

本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，柱体的体积与表面积的计算，属于基础题．

【解析】

19、【答案】(1)见解析；(2).

试题分析：（1）取AB1中点G，连结EG、FG，推导出四边形CEGF为平行四边形，从而CF∥EG，由此能证明CF∥平面AEB1；（2）推导出CF⊥AB，CF⊥BB1，推导出E到平面ABB1

的距离等于C到平面ABB1的距离等于1，设点B到平面A的距离为d．由，能求出点B到平面A的距离．

【详解】

（1）取中点，连结，则∥且.

∵当为中点时，∥且，

∴∥且.

∴四边形为平行四边形，则∥

又∵，，

∴平面；

（2）∵中，，是中点

∴.

又∵直三棱柱中，，，

∴，且到的距离为.

∵平面

∴到的距离等于到的距离等于.

设点到平面的距离为.

∵

∴，易求，，解得.

∴点到平面的距离为.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.

【解析】

20、【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

试题分析：

(1)利用棱锥的体积公式可得四棱锥的体积为；

(2)找到直线与平面所成的角，由题意可得直线与平面所成角的正切值为；

(3)由题意证得，结合线面平行的判断定理可得平面.

试题解析：

（1）由底面，底面是正方形，，

则；

（2）由底面，知直线与平面所成角为，

易知，；

（3）证明：连结交于，连结,

∵底面是正方形，∴点是的中点,

在中，是中位线，∴,

而平面，且平面，所以平面

点睛：判断或证明线面平行的常用方法：

(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；

(2)利用线面平行的判定定理(a？α，b？α，a∥b？a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；

(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a？α？a∥β)；

(4)利用面面平行的性质(α∥β，a？β，a∥α？a∥β)．

【解析】

21、【答案】试题分析：（1）连结BD，AC相交于O，证明BE∥OF，即可证明BE∥平面ACF；（2）过A作AH⊥PC于H，利用面面垂直的性质证明AH⊥平面PCD，从而证明AH⊥CD，然后利用线面垂直的性质证明PC⊥CD．

【详解】

（Ⅰ）连接BD、AC，两线交于O，

∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分），

∵F是DE的中点（由三等分点得到），

∴OF是△DEB的中位线，∴BE∥OF，

∵OF面ACF，BE？面ACF，

∴BE平行平面ACF．

（Ⅱ）过A作AH⊥PC于H，∵平面PAC⊥平面PCD，

∴AH⊥平面PCD，∵CD平面PCD，∴AH⊥CD，

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD．又∵PA∩AH=A，∴CD⊥平面PAC，

∵PC平面PAC，

∴PC⊥CD．

【点睛】

本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及面面垂直的性质应用，注意把判定定理和性质定理条件写全，综合性较强．

【解析】

22、【答案】（1）；（2）11.

试题分析：（1）AB中点M的坐标是

中线CM所在直线的方程是，

即2x＋3y－5＝0；6分

（2）8分

直线AB的方程是

点C到直线AB的距离是12分

所以△ABC的面积是14分

考点：考查了求直线方程，两点间的距离，点到直线的距离公式．

点评：解本题的关键是由A、B两点的坐标求出AB中点的坐标，利用两点式求出直线的方程，利用两点间的距离公式求出三角形的一条边长，再利用点到直线的距离公式求出这条边上的高，求出三角形的面积．