考研数学二历年真题及答案详解(2003—2013)

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．设2

)(),(sin 1cos π

αα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （ ）

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价无穷小 （D ）与x 等价无穷小

2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=???

? ??-??

?

??∞

→12lim n f n n （ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 ３．设??

?∈∈=]

2,[,2)

,0[,sin )(πππx x x x f ，?=x dt t f x F 0

)()(则（ ）

（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点． （Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点． （Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导． （Ｄ）)(x F 在π=x 可导．

４．设函数???????

≥<<-=+-e x x

x e x x x f ,ln 11,)1(1)(11

αα，且反常积分()dx x f ?∞+收敛，则（ ）

（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α ５．设函数()xy f x y z =

，其中f 可微，则=??+??y

z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）

)(2xy f x （D ）)(2

xy f x

- 6．设k D 是圆域{}

1|),(2

2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记??-=k

D k dxdy x y I )(，则（ ）

（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．

8．矩阵????? ??1111a a b a a 与矩阵???

?

? ??00000002b 相似的充分必要条件是

（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9． =??

?

??+-

→x

x x x 1

)1ln(2lim ． 10．设函数dt e x f x t ?

--=

1

1)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数

==0|y dy

dx

． 11．设封闭曲线L 的极坐标方程为??? ??≤≤-=66

3cos πθπ

θr t 为参数，则L 所围成的平面图形的

面积为 ．

12．曲线上?????+==2

1ln arctan t

y t

x 对应于1=t 处的法线方程为 ．

13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足

1)0(',0)0(==y y 方程的解为 ．

14．设()

ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足

)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ． 三、解答题

15．（本题满分10分）

当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与n

ax 是等价无穷小，求常数n a ,．

16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3

x y =

，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y

轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 17．（本题满分10分）

设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求??D

dxdy x 2

． 18．（本题满分10分）

设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；

（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）

求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 设函数x

x x f 1

ln )(+

= ⑴求)(x f 的最小值； ⑵设数列{}n x 满足11ln 1

<++n n x x ，证明极限n n x ∞

→lim 存在，并求此极限．

21．（本题满分11） 设曲线L 的方程为)1(ln 2

1

412e x x x y ≤≤-=

． （1）求L 的弧长．

（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标． 22．本题满分11分） 设???

?

??=????

??=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．

23（本题满分11分）

设二次型2

3322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记????

? ??=????? ??=321321,b b b a a a βα．

（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T

T ββαα+2；

（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 2

2

212y y +． 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. (1)曲线221

x x y x +=-的渐近线条数 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数2()(1)(2)

()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )

(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),

n n n a n S a a a a >==+++

+，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

(4) 设2

sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π

==?则有

( )

(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有

(,)(,)

0,0,x y x y x y

??>成立的一个充分条件是

( )

(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12

y x x y π

==±

=围成，则5(1)d d D

x y x y -=??

( )

(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π

(7) 设1100c ?? ?= ? ???α,2201c ?? ?= ? ???α ,3311c ?? ?=- ? ???α ,4411c -??

?

= ? ???

α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组

线性相关的为 ( )

(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα

(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -?? ?

= ? ???

.若()123,,P =ααα，

()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )

(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??

? ? ???

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2

1y

x y e -+=所确定的隐函数，则20

2

x d y dx

== .

(10) 2222211

1lim 12n n n n n n →∞??

+++

=

?+++?? .

(11) 设1ln ,z f x y ??=+

???

其中函数()f u 可微，则

2z z x y x y ??+=?? . (12) 微分方程()

2

d 3d 0y x x y y +-=满足条件1

1x

y

==的解为y = .

(13) 曲线()2

0y x x x =+< . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*

A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵

B ，则

*BA = .

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)

已知函数()11

sin x f x x x

+=-，记()0lim x a f x →=，

(I)求a 的值;

(II)若0x →时，()f x a -与k

x 是同阶无穷小，求常数k 的值.

(16)(本题满分 10 分)

求函数()22

2

,x y f x y xe

+-=的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

d D

xy σ??，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.

(19)(本题满分10分)

已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;

(II) 求曲线220()()d x

y f x f t t =-?的拐点.

(20)(本题满分10分)

证明2

1ln cos 112

x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)

(I)证明方程1x x x +

+=n n-1

+()1n >的整数，在区间1,12??

???

内有且仅有一个实根；

(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞

存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)

设100010001001a a A a a

?? ? ?= ?

???，1100β??

?

- ?= ? ?

??

(I) 计算行列式A ；

(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.

(23)(本题满分11 分)

已知1010111001A a a ?? ?

?= ?- ?-??

，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；

(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上。 （1）已知当0→x 时，函数x x x f 3sin sin 3)(-=与k

cx 是等价无穷小，则（ ）

（A ）4,1==c k （B ）4,1-==c k （C ）4,3==c k （D ）4,3-==c k

（2）设函数)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=-→3

320)

(2)(lim

x x f x f x x （ ） （A ）)0(2f '- （B ）)0(f '- （C ）)0(f ' （D ）0 （3）函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （4）微分方程)0(2>+=-''-λλλλx x e e y y 的特解形式为（ ）

（A ）)(x x e e a λλ-+ （B ）)(x x e e ax λλ-+ （C ）)(x

x

be

ae x λλ-+ （D ）)(2x x be ae x λλ-+

（5）设函数)(x f ，)(x g 均有二阶连续导数，满足0)0(>f ，0)0(

数)()(y g x f z =在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ）0)0(<''f ，0)0(>''g （B ）0)0(<''f ，0)0(<''g （C ）0)0(>''f ，0)0(>''g （D ）0)0(>''f ，0)0(<''g

（6）设?

=

4

s i n ln π

xdx I ，?=40

cot ln πxdx J ，?=40

cos ln πxdx K ，则I ，J ，K 的大小关系为（ ）

（A ）K J I << （B ）J K I << （C ）K I J << （D ）I J K <<

（7）设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩

阵。记????? ??=1000110011P ，???

?

? ??=010*******P ，则A =（ ）

（A ）21P P （B ）211P P - （C ）12P P （D ）1

12-P P

（8）设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*

A 为A 的伴随矩阵。若T )0,1,0,1(　是方程组0=Ax 的一

个基础解系，则0*

=x A 的基础解系可为（ ）

（A ）31,αα （B ）21,αα （C ）321,,ααα （D ）432,,ααα 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸．．．指定位置上。 （9）=???

?

??+→x

x

x 10

2

2

1lim 。 （10）微分方程x e y y x cos '-=+满足条件0)0(=y 的解为=y 。 （11）曲线?

=

x

tdt y 0

tan )4

0(π

≤

≤x 的弧长=s 。

（12）设函数???=-,

0,)(kx e x f λ ,0,

0≤>x x 0>λ，则?+∞∞-=dx x xf )( 。

（13）设平面区域D 由直线x y =，圆y y x 222=+及y 轴所围成，则二重积分

??=D

xyd σ 。

（14）二次型3231212

322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数

为 。

三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸．．．

指定位置上，解答应字说明、 证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分）

已知函数α

x dt t x F x

?+=

2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0

==+

→+∞

→x F x F x x ，试求α的取值范围。

（16）（本题满分11分）

设函数)(x y y =由参数方程???

????+-=++=3131,3

13133t t y t t x 确定，求)(x y y =的极值和曲线)(x y y =的

凹凸区间及拐点。

（17）（本题满分9分）

设函数))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数)(x g 可导且在1=x 处取

得极值1)1(=g ，求

1

,

12==???y x y

x z

。

（18）（本题满分10分）

设函数)(x y 具有二阶导数，且曲线)(:x y y l =与直线x y =相切于原点，记α为曲线l 在点

),(y x 处切线的倾角，若

dx

dy

dx d =α，求)(x y 的表达式。

（19）（本题满分10分）

（I ）证明：对任意的正整数n ，都有n

n n 1

11ln 11

211 =-+++=n n n

a n ，证明数列{}n a 收敛。

（20）（本题满分11分）

一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由)2

1(22

2≥

=+y y y x 与)2

1

(122≤=+y y x 连接而成。

（I ）求容器的容积；

（II ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？

（长度单位：m ，重力加速度为2

s m g ，水的密度为3

3

10m kg ）

（21）（本题满分11分）

已知函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，且0),1(=y f ，0)1,(=x f ，

??=D

a dxdy y x f ),(，

其中{}

10,10),(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分??''=D

xy

dxdy y x f xy I ),(。

（22）（本题满分11分） 设向量组

T )1,0,1(1=α，T )1,1,0(2=α，T )5,3,1(3=α不能由向量组T )1,1,1(1=β，

T )3,2,1(2=β，T a ),4,3(3=β线性表示。

（I ）求a 的值；

（II ）将321,,βββ用321,,ααα线性表示。

（23）（本题满分11分）

设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且A ???

?

? ??-=????? ??-10110110110

1

。 （I ）求A 的所有的特征值与特征向量； （II ）求矩阵A 。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一选择题

(1) 的无穷间断点的个数为

函数2221

11)(x

x x x x f +--= A0 B1 C2 D3

2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则

A 21,21==

μλ B 21

,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3

2,32==μλ