《集合的基本运算》教学设计

《集合的基本运算》教学设计

《集合的基本运算》是高中数学(必修一)的一节课程，这节课

程对大多数学生来说比较通俗易懂，容易理解掌握，但其间有的知识点老师也要做好引导，下面给大家了这节课的教学设计，希望对大家有所帮助。

教学分析

课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运

算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念.

在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等.

值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的

直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算.

三维目标

1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单

集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力.

2.通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.体会直

观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想.

重点难点

教学重点：交集与并集、全集与补集的概念.

教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系.

课时安排

2课时

教学过程

导入新课

思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5+3=8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.

思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗?

(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}.

引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容.

思路3.(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系?

图1

②观察集合A，B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算.

(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.

②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数

的加法运算，你发现了什么?

(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的

关系.

(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的

关系.

(4)试用Venn图表示A∪B=C.

(5)请给出集合的并集定义.

(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗?

请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系?

①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

②A={x|x是国兴中学xx年9月入学的高一年级女同学}，B={x|x 是国兴中学xx年9月入学的高一年级男同学}，C={x|x是国兴中学

xx年9月入学的高一年级同学}.

(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达.

活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示.

讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C，读作A并

B.

(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.

(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

(4)如图1所示.

(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示.

(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

(7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.

其含义用符号表示为：

A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

用Venn图表示，如图2所示.

图2

应用示例

例1 集合A={x|x0}，C={x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C

分别是什么?

活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.

这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.

解：因为A={x|x0}，C={x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

图3

点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于

数轴或Venn图写出结果.

变式训练

1.设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A ∪B.

解：对任意m∈A，则有m=2n=2?2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A?B.

而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.

解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};

还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3};还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.

3.设集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

解：∵A∩B={9}，则9∈A，a-1=9或a2=9.

∴a=10或a=±3.

当a=10时，a-5=5 ,1-a=-9;

当a=3时，a-1=2不合题意;

当a=-3时，a-1=-4不合题意.

故a=10.此时A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，满足A∩B={9}.

4.设集合A={x|2x+1

A.{x|-3

C.{x|x>-3}

D.{x|x<1}

解析：集合A={x|2x+1<1}，

观察或由数轴得A∩B={x|-3

答案：A

例2 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A，B的关系.集合A是方程x2+4x=0的解组成的集合，

可以发现，B?A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集

合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现

集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值.

解：由题意得A={-4,0}.

∵A∩B=B，∴B?A.

∴B= 或B≠ .

当B= 时，即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解，

则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

此时，B={x|x2=0}={0}?A，即a=-1符合题意.

若集合B含有两个元素，则这两个元素是-4,0，

即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

则有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

解得a=1，则a=1符合题意.

综上所得，a=1或a≤-1.

变式训练

1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则

能使A?(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?

解：由题意知A?(A∩B)，即A?B，A非空，利用数轴得解得6

≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且

A∪B=A，试求实数m的取值范围.

分析：由A∪B=A得B?A，则有B= 或B≠，因此对集合B分类讨论.

解：∵A∪B=A，∴B?A.

又∵A={x|-2≤x≤5}≠，∴B= ，或B≠ .

当B= 时，有m+1>2m-1，∴m<2.

当B≠时，观察图4：

图4

由数轴可得解得2≤m≤3.

综上所述，实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3，即m≤3.

点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.

知能训练

课本本节练习1,2,3.

【补充练习】

1.设集合A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，

(1)求A∩B，A∪B.

(2)用适当的符号(?，?)填空：

A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪

B________B，A∩B________A∪B.

解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，

则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.

又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪

B={3,4,5,6,7,8}.

(2)由Venn图可知

A∩B?A，B?A∩B，A∪B?A，A∪B?B，A∩B?A∪B.

2.设A={x|x

解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5，

故A∩B={x|x<5}.

3.设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B.

解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分.

所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}= .

4.设A={x|x>-2}，B={x|x≥3}，求A∪B.

解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B={x|x>-2}.

5.设A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.

解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A

∪B，A∪B={x|x是平行四边形}.

6.已知M={1}，N={1,2}，设A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素.

解：∵M={1}，N={1,2}，∴A={(1,1)，(1,2)}，B={(1,1)，(2,1)}，故A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}.

7.若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有( )

A.A?C

B.C?A

C.A≠C

D.A=

解析：思路一：∵(B∩C)?B，(B∩C)?C，A∪B=B∩C，

∴A∪B?B，A∪B?C.∴A?B?C.∴A?C.

思路二：取满足条件的A={1}，B={1,2}，C={1,2,3}，排除B，D，

令A={1,2}，B={1,2}，C={1,2}，则此时也满足条件A∪B=B∩C，