等比数列经典试题(含答案)

一、等比数列选择题

1．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989

B ．46656

C ．216

D ．36

2．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12

B ．18

C ．24

D ．32

3．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8

B ．8-

C ．16

D ．16-

4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

5．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??=，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32

B ．16

C ．16-

D ．32-

6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}

2

n a 的前n 项和为n T ，若2

(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）

A ．()3,+∞

B ．()1,3-

C ．93,5?? ???

D ．91,5?

?- ??

?

7．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）

A ．2±

B ．2

C ．3±

D ．3

8．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个

单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1

122f - B ．第三个单音的频率为1

42f - C ．第五个单音的频率为162f

D ．第八个单音的频率为1

122f

9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =

B ．72

3

S =

C ．7623

S =

D ．7127

3

S =

10．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *

∈，m n m n a a a +=?，若

1262n a a a ++???+=，则n =（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．611．题目文件丢失！

12．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

13．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．

14

B ．1

C ．

12

D ．

13

14．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()

*

122n n a S n N ++=∈，则

满足

2100111

1000

10

n n

S S 的n 的最大值为（ ）. A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

15．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-

B ．1

C ．2或2-

D ．2

16．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2

B ．2或2-

C

．2-

D

17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31

B ．32

C ．63

D ．64

18．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16

B ．16-

C ．20

D ．16或16-

19．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，

416a =，则6S ＝（ ）

A ．32

B ．63

C ．123

D ．126

20．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ?=，则2122210log log log a a a +++=（ ）

A ．15

B ．10

C ．5

D ．3

二、多选题

21．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ??

?

???

为等差数列 B ．数列{}2

n

a 为等比数列

C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=

D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 22．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,

2()n n n n n a a n b b n N +++=?=∈，则下列结论正确的是（ ）

A ．101a <<

B

．11b <<

C ．22n n S T <

D ．22n n S T ≥

23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *

==∈，数列12(1)n n n n a +?

?

+?

?+??

的

前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =

B ．2n

n S =

C ．38

n T ≥

D ．12

n T <

24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111

30(2),3

n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）

A ．1n S ??

????

是等差数列

B ．13n S n

=

C ．1

3(1)

n a n n =-

-

D ．{}

3n S 是等比数列

25．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()

*

12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．1

3n n S -=

B ．{}n S 为等比数列

C ．1

23

n n a -=?

D ．2

1,

1,23,2n n n a n -=?=??≥?

26．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，671a a >，

671

01

a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<

B ．8601a a <<

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为6T

27．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）

A ．1

12n n n S S ++-=

B ．12n n

a

C ．21n

n S =- D ．1

21n n S -=-

28．已知数列{}n a 的首项为4，且满足(

)*

12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）

A ．n a n ??

?

???

为等差数列 B ．{}n a 为递增数列

C ．{}n a 的前n 项和1

(1)24n n S n +=-?+

D ．12n n a +??????的前n 项和2

2

n n n T +=

29．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）

A ．此人第二天走了九十六里路

B ．此人第三天走的路程站全程的

18

C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

D ．此人后三天共走了42里路

30．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1n

a n n

b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）

A ．n

B ．nq

C ．

()

12

1n n n q nq nq q q ++---

D ．

()

211

2

1n n n q nq nq q q ++++---

31．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为

n S ，则（ ）

A ．2q

B ．2n

n a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<

32．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）

A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列

B ．若数列{}n a 的前n 项和1

22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列

C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等差数列

D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等比数列；

33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2

{}n a 是等比数列

B ．若32a =，732a =，则58a =±

C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列

D ．若数列{}n a 的前n 和1

3n n S r -=+，则1r =-

34．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ??

?

???

的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若

11

16

25n

i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则

116m n

+的最小值为25

12

35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一

个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a

B ．8a

C ．15S

D ．16S

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．B 【分析】

第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】

设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1

66

6n n n a -=?=

到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 2．C 【分析】

将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()

2218

3221q q a q +=

-，进而可得

()44

2

7612249633221

q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4

q ，利用二次函数的性质即

可求出最值. 【详解】

因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，

所以432

111164328a q a q a q a q +--=，

()()222

1232328a q q q q q ??+-+=??， 即()()2

2

121328a q q q -+=，所以()

2

218

3221q q a q +=

-，

()()46

5

4

2

4

7611112

2124

82424

9696332321

2121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=?==---，

令

210t q =>，则()22

24

21211t t t q q -=-=--+， 所以211t q

==，即1q =时2421

q q -最大为1，此时24

24

21q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】

易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 3．C 【分析】

根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】

因为254,32a a ==，所以3

5

2

8a q a =

=，所以2q ，

所以2

424416a a q ==?=，

故选：C. 4．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 5．A 【分析】

由等比数列的通项公式可计算得出()6

456135a a a q a a a ??=??，代入数据可计算得出结果.

【详解】

由6

326456135135432a a a a q a q a q a a a q ??=?????=???=?

=.

故选：A. 6．D 【分析】

由2n n S a =-利用11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?，得到数列{}n a 是以1为首项，1

2为公比的等比

数列，进而得到{}

2

n a 是以1为首项，

1

4

为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0n

n n S T λ-->恒成立，转化为(

)

()

321(1)

2

10n

n

n

λ---+>对

*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.

【详解】

当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-， 两式相减得

11

2

n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列. 因为11

2

n n a a -=， 所以22114

n n a a -=.

又2

11a =，所以{}

2

n a 是以1为首项，

1

4

为公比的等比数列， 所以1112211212n

n n S ??- ???????==-?? ???????-，11414113414

n

n

n T ??- ???????=

=-?? ???????-， 由2(1)0n n n S T λ-->，得2

14141(1)10234n n

n

λ????????---?->???? ? ?????????????，

所以2

21131(1)1022n n

n

λ????????---->???? ? ?????????????

，

所以2

11131(1)110222n n n n

λ????????????----+>?????? ? ? ???????????????????

.

又*n N ∈，所以1102n

??-> ???

，

所以1131(1)1022n n n

λ????????---+>???? ? ????????????

?，

即(

)

()

321(1)

2

10n

n

n

λ---+>对*n N ∈恒成立，

当n 为偶数时，()()321210n

n

λ--+>，

所以()()3213216

632121

21

n

n

n n n λ-+-<==-

+++， 令6

321

n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，

所以22

69

3215

λb <=-=+； 当n 为奇数时，(

)()

321210n

n

λ-++>，

所以()()3213216

632121

21

n

n

n n n λ-+--<==-

+++，

所以16

332121

λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.

综上，实数λ的取值范围是91,5?

?- ??

?.

故选：D. 【点睛】

方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 7．D 【分析】

根据等比数列定义知3

813q =，解得答案.

【详解】

4个数成等比数列，则3

813q =，故3q =.

故选：D. 8．B 【分析】

根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】

解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，

1

4

1

4

2

2

f

f

-

==.

6

6

1

1

2

2

f

f

-

==.

所以第五个单音的频率为112

2f

=.

所以第八个单音的频率为

1

2

6

2

f f

=

故选：B.

9．D

【分析】

利用等比数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．

【详解】

n

S为正项等比数列{}

n

a的前n项和，

2

1

S=，

4

5

S=，

∴

2

1

4

1

(1)

1

1

(1)

5

1

q

a q

q

a q

q

?

?>

?

?-

?

=

?

-

?

?-

?=

-

??

，解得

1

1

3

a=，2

q，

7

7

1

(12)

127

3

123

S

-

∴==

-

．

故选：D．

10．C

【分析】

令1

m=，可得

11

2

+

=?=

n n n

a a a a，可得数列{}n a为等比数列，利用等比数列前n项和公式，求解即可.

【详解】

因为对任意的,m n N*

∈，都有m n m n

a a a

+

=?，

所以令1

m=，则

11

2

+

=?=

n n n

a a a a，

因为10

a≠，所以0

n

a≠，即12

n

n

a

a

+=，

所以数列{}n a是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以

2(12)

62

12

n

-

=

-

，解得n=5，

故选：C

11．无

12．C 【分析】

根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项

公式可得1

21n n a -=+，即求.

【详解】

因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即

11

21

n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.

则112n n a --=，即1

21n n a -=+.

因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 13．D 【分析】

根据241a a =，由2

243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.

【详解】

因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，

由于2

243a a a =，

所以2

31a =，31a =，211a q =.

因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q

-=

=++-

得2

2

131q q q =++， 即2

1210q q --=， 解得13q =，或1

4

q =-（舍去）. 故选：D 14．C 【分析】

根据(

)*

122n n a S n N ++=∈可求出n

a

的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合

不等式可求n 的最大值. 【详解】

1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，21

2

a =

；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n

??<+< ???，1111000210

n

??<< ???，则n 的最大值为9. 故选：C 15．C 【分析】

根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

因为12a =，且53a a =，所以2

1q =，解得1q =±， 所以9

1012a a q ==±.

故选：C. 16．A 【分析】

由等比数列的性质可得2

315a a a =?，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值

【详解】

解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，

所以2

3154a a a =?=，

因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 17．C 【分析】

根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】

因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()2

42264S S S S S -=-，即()()62

153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 18．A 【分析】

根据等比数列的通项公式得出6

18a q =，10

132a q

=且10a >

，再由

819a a q ==.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则6

18a q =，10

132a q

=且10a >

则81916a q a ====

故选：A 19．D 【分析】

根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2

260q q --=，∴2q 或3

2

q =-（舍去），

∵416a =，∴4

13

2a a q =

=， ∴6616(1)2(12)

126112

a q S q --=

==--， 故选：D. 20．A 【分析】

根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ?=， 则()()5

2212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ???=+

?++=

()2475log 15a a =?=.

故选：A.

二、多选题

21．ABC 【分析】

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为

()112

n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选

项进行逐一判断可得答案. 【详解】

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=

其前n 项和为()

112

n n n S na d -=+ 选项A.

112n S n a d n -=+，则+1111+1222

n n S S n n d a d a d n n -?

???-=+-+

= ? ?????（常数） 所以数列|n S n ??

????为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122

n

a n d

a +-=,则112222n n n n

a a a d a ++-==（常数），所以数列{}

2n a

为等比数列，故B

正确.

选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m n

a a m d n

a a n d m ?=+-=??

=+-=?? ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-?-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112

n n n n S a d m -=+=，()112

m m m m S a d n -=+

=

将以上两式相减可得：()()()2212d

m n a m m n n n m ??-+

---=-?

?

()()()112

d

m n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠

所以()1112d a m n +

+-=-，即()1112

d

m n a +-=-- ()()()()()()()111112

m n m n m n d

S m n a m n a m n a m n +++-=++

=+++--=-+，所

以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m n

a a m d n a a n d m ?=+-=?

?

=+-=??，从中解出1,a d ，从而

判断选项C ，由前n 项和公式得到()112

n n n n S a d m -=+

=，

()112

m m m m S a d n -=+

=，然后得出

()1112

d

m n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 22．ABC 【分析】

利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案.

【详解】

因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，

所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，

所以2

1122b b b <=

，即1b <

又2

2234b b b <=，即21

2

2b b =

<， 所以11b >

，即11b <<，故B 正确；

{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++???++

= 22(121)

2[13(21)]22

n n n n +-++???+-=

=，

因为12n n n b b +?=，则1

122n n n b b +++?=，所以22n n b b +=，

则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++???++++???+

=1101101122(222)(222)()(21)n n n

b b b b --++???++++???+=+-

1)1)n n

>-=-，

当n =1

时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时

假设当n=k

时，21)2k k ->

21)k k ->， 则当n=k +1

1121)21)21)2k k k k k ++-=

+-=->

2221(1)k k k >++=+

所以对于任意*n N ∈

，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】

本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 23．ACD 【分析】

在1+14,()n n a S a n N *

==∈中，令1n =，则A 易判断；由3

2122S a a =+=，B 易判断；

令12(1)n n n b n n a ++=

+，13

8

b =，

2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，裂项求和3182

n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】

解：由1+14,()n n a S a n N *

==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；

32212822S a a =+==≠，故B 错误；

+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，

1

2n n

a a +=， 所以2n ≥时，2422n n

n a -=?=，

令12(1)n n n b n n a ++=

+，12123

(11)8

b a +==+，

2n ≥时，()()11

12211

(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，

113

8

T b ==，2n ≥时，

()()2334

113111111111

8223232422122122

n n n n T n n n ++=+-+-+

+

-=-

82

n T ≤<，故CD 正确；

故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,1

2n n n a n a S S n -=?

=?

-≥?递推数列的通项，注

意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 24．ABD 【分析】

由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ??

????

是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】

因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以

1

113n n S S --=，

所以1n S ??

?

???

是等差数列，A 正确； 公差为3，又

11113S a ==，所以1

33(1)3n n n S =+-=，13n S n

=．B 正确；

2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得1

3(1)

n a n n =

-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；

由1

3n S n =

得1

311333n n n S +==?，∴{}

3n S 是等比数列，D 正确．

故选：ABD ． 【点睛】

本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由

1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．

25．ABD 【分析】

根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】

由题意，数列{}n a 的前n 项和满足(

)*

12n n a S n N +=∈，

当2n ≥时，12n n a S -=，

两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即

1

3,(2)n n

a a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以

2

1

2a a =， 所以数列的通项公式为2

1,

123

2

n n n a n -=?=??≥?；

当2n ≥时，1

1123322

n n n n a S --+?===，

又由1n =时，111S a ==，适合上式，

所以数列的{}n a 的前n 项和为1

3n n S -=；

又由11333

n

n n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】

本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 26．ABD 【分析】

先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】

若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则

11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与671

01

a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；

667710101

a a a a -<∴>>>-，因此2

768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；

因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】

本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 27．BC 【分析】

先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】

由23464a a a =得33

34a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由

2410a a +=，得4

410q q

+=，即22520q q -+=，解得2q

或1

2q =

．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q

，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n n

a ，

()

1122112

n n

n S ?-=

=--，所以()1

12

1212n n n n n S S ++-=---=.

故选：BC 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.

28．BD 【分析】

由12(1)0n n n a na ++-=得

121n n a a n n +=?+，所以可知数列n a n ??

????

是等比数列，从而可求出12n n a n +=?，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于

1

11

222

n n n n a n n +++?==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +??????的前n 项和. 【详解】

由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=?+，所以n a n ??

????是以1141a a ==为首项，2为公比的

等比数列，故A 错误；因为11422n n n

a n

-+=?=，所以12n n a n +=?，显然递增，故B 正确；

因为23

112222n n S n +=?+?+

+?，342212222n n S n +=?+?++?，所以 2

3

1

2

1222

2

n n n S n ++-=?++

+-?(

)222122

12

n

n n +-=

-?-，故

2(1)24n n S n +=-?+，

故C 错误；因为1

11

222n n n n a n n +++?==，所以12n n a +??????的前n 项和2

(1)22n

n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】

本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 29．ACD 【分析】

若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1

2

q =

的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.

【详解】

解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1

2

q =

的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)

2=

378112

a S -

=-，解得1

192a =，

对于A ，由于21

192962a =?=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 31481

19248,

43788

a =?=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程

多六里，所以C 正确；

对于D ，由于45611

11924281632a a a ??++=?++= ???

，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】

此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 30．BD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项

∴2428a a a =,即()()()2

11137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,

故1n a =或n a n =,所以n b q =或n

n b n q =?,设{}n b 的前n 项和为n S ,

①当n b q =时,n S nq =；

②当n

n b n q =?时,

23123n n S q q q n q =?+?+?+??+?（1）, 2341123n n qS q q q n q +=?+?+?+??+?（2）,

（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q

++--=+++-?=-?-+??,

所以1211

22

(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-?+--=-=---,

故选：BD 【点睛】

本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 31．ABD 【分析】

由条件可得3

2

242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可.

【详解】

由题意3

2

242q q q =+，得2

20q q --=，解得2q

（负值舍去），选项A 正确；

1222n n n a -=?=，选项B 正确；

()12212221

n n n S +?-=

=--，所以102046S =，选项C 错误；

13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．

故选：ABD 【点睛】

本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 32．ABD 【分析】

根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】

根据题意，依次分析选项：

对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2

n S an bn c =++，

若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；

对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1

22n n S +=-，

可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；

对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?，即为

12n a a a ++?+，12n n a a ++?+，213n n a a ++?+，?，

即为2

2322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，

故C 正确；

对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?不一定为等比数列，

比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，?，均为0，不为等比数列.故

D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】

本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 33．AC 【分析】

在A 中，数列{}

2

n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，

数列{}n a 是递增数列；在D 中，13

r =-. 【详解】

由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，

22221n n a a q -=，