2019届浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考试卷数学参考答案

2019年4月稽阳联考数学参考答案

一、选择题

ABABA CCDDB 二、填空题

11

12．1

13．7，127

14．35

-

，10 15．

2

5，54125

16．

1

5 17．0a ≤或12

a ≥

三、解答题 18．解：

（Ⅰ）()4cos sin()6

f x x x a π

=+

+1

4cos cos )22

x x x a =++

2cos 21x x a =+++2sin(2)16

x a π

=+++ ……………5分

所以32a +=，即1a =-， ……………7分

()f x 的最小正周期为π

……………8分

（Ⅱ）因为5[π,0]12x ∈-

，所以22[,]636

x πππ

+∈-，故]21,1[)62sin(-∈+πx ……………12分

因为()f x )62sin(2π+=x ，所以()f x 在5

[π,0]12

-的值域是 ]1,2[- ……………14分

19．解：

（Ⅰ）解法1：连BD ，令F BD AC = ，

BC ∥AD ，1=BC ，2=AD ，2

1

==∴

AD BC FD BF ………3分 又PD PE 31=

FD

BF ED PE ==∴21PB ∴∥EF ， ………5分 且?PB 面ACE ，?EF 面ACE ，∴PB ∥平面ACE . ………7分

（Ⅰ）解法2：过A 作⊥AZ 面ABCD ，以A 为原点，如图建系.由题意求得

3=PC ，()0,0,1B ∴，()3,1,1P ，()

3,1,0=∴.

()0,1,1C ，)0,2,0(D ，设()z y x E ,,，由3

1

=

， 得???

?

??332,34,32E . ………3分

令面ACE 的一个法向量为()z y x n ,,= ，则?????=?=?00，即?????=++=+03323

4320z y x y x ?????=-=∴x z x y 31令3=x ， 则3-=y ，1=z ，(

)

1,3,3-=

∴n

，0=?∴ ………6分

且?PB 平面ACE ，∴PB ∥平面ACE . ………7分

（Ⅱ）解1（空间向量坐标法）：以A 为原点，如图建系，由题意求得

3=PC ，()0,0,1B ∴，()3,1,1P ，()

3,1,0=∴ .……10分

()0,1,1C ，()0,2,0D ???

?

??∴23,23,21E ，令面ACE 的一个

法向量为()z y x n ,,= ，则?????=?=?00，即?????=++=+023

23210z y x y x ， ??

??

?=-=∴x z x

y 32，令3=x ，则3-=y ，2=z ，(

)

2,3,3-=

∴n

. ………12分

∴直线PB 与平面ACE 所成角的正弦值2030

10

23,cos sin ==

><=θ. ………15分

（Ⅱ）解2（传统几何法）：作PD E P 3

1

=

'，由（Ⅰ）知PB ∥F E '， PB ∴与面ACE 所成角的正弦值等于F E '与面ACE 所成角的正弦值，不妨设为θsin . ………8分

由题意易求得2=

=CD AC ，又2=AD ，CD AC ⊥∴，又CP AC ⊥，

C C

D CP = ⊥∴AC 平面PCD ，即⊥AC 平面

E CE '. ………10分

求得3=

PC ,5=PD 5

6

=

∴CE ，12661==∴'PCD E CE S S ??，

4

10

21=?=

∴CE AC S ACE ? ………12分 由ACE E E CE A V V -''-=得

212

6

31??＝ACE E d -'??41031，30302=∴-'ACE E d ，

又3

4

32=='PB E F ，2030sin =∴θ ………15分

20.解：

（Ⅰ）因为11(1)(2)n n a a n n +-=

++11

12

n n =-

++ ………3分

所以n a 112211()()()n n n n a a a a a a a ---=-+-+

+-+

11

11(1)(1)232

n n n n

=

++

+

-+-? 111111111232n n n n =

-+-++--+-1

1

n =-

+ ………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1

3

5()3

n n n

b t a --=-1

3

(55)3n n t --=++ ………8分

设55x k t =++，则k b 13

3k x --=?，1k b +3

(5)3k x -=+，2k b +13

(10)3

k x +-=+

①若1k b +为k b 与2k b +的等比中项，则2

(10)(5)x x x +=+，无解 ………10分

②若k b 为1k b +与2k b +的等比中项，则2

3(5)(10)x x x =++，即2

215500x x --=，

所以10x =或5

2

x =-

， 所以5510k t ++=，因为,k t 均为正整数，所以不存在这样的,k t 值

………12分

③若2k b +为k b 与1k b +的等比中项，则2

3(5)(10)x x x +=+，即2

251000x x --=， 方程无整数根

………14分 综上可知，不存在这样的,k t 值

………15分

21．解：

（Ⅰ4

=≥

=

，所以42=，即2p = 所以抛物线C 的方程是2

4y x = …………5分

（Ⅱ）设200(,)4y P y ，211(,)4y A y ，2

2

2(,)4

y B y

设:PA l x my t =+，代入2

4y x =得0442

=--t my y ，则014y y t =-

同理可得028y y t =-

…………8分

又1212:()4AB l y y y x y y +=+，所以22

12

|||4

y y AB -=

P 到直线AB l

的距离是2001212()||

y y y y y y h -++=

所以ABP

S ?2

22

0012121212

()1||||8y y y y y y y y y y -++=-+20

01212121|()|||8y y y y y y y y =-++- 220200

1324|12|||8t t

y t y y =++2020032122y t y t y t ++

= …………12分 设231232(),(0)t t f y y y y y =++>，则=)('

y f 22412961t t y y --42241296y y t t y

--= 所以当))336(,0(t y +∈，)(y f 单调递减，当),)336((+∞+∈t y ，)(y f 单调递增，所以当t y )336(+=，ABP S ?取到最小值，同理0

，所以当y =ABP S ?取到最小值，

此时))3326(,2

33

3(t t P +±+ …………15分 22．解：

（Ⅰ）因为()x

x

a

f x e e

x

-'=--

在(0,)+∞上递增，

所以1()202

f a '=

<，1

(1)0f e a e '=-->，又2a N a ∈≥，

所以2a = …………5分 （Ⅱ）首先当1x =时，12ln (3,4)x

x

e e

x e e --+-=+∈，又因为b Z ∈，所以3b ≤ …………7分

其次，我们可以证明不等式：22(0)x

x

e e x x -+≥+>

设2()2(0)x

x

g x e e

x x -=+-->，则()2x x g x e e x -'=--，()20x x g x e e -''=+->恒成立

所以()2(0)0x x

g x e e x g -''=-->=恒成立，所以2()2(0)0x x g x e e x g -=+-->=恒成立

所以22(0)x

x

e e

x x -+≥+>成立 …………11分

综合上面的结果可知，22ln 22ln x

x

e e

x x x -+-≥+-

设2

()22ln h x x x =+-，则2(

)2h x x x

'=-，所以当)1,0(∈x 时，)(x h y =单调递减，当),1(+∞∈x 时，)(x h y =单调递增，所以2

()22ln (1)3h x x x h =+-≥=，所以2ln 3x x

e e x -+-≥恒成立，

所以b 的最大值是3 …………15分