圆锥曲线求参数的取值范围
圆锥曲线 求参数的取值范围
一、基础知识：
求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围
1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下： （1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
① 椭圆（以()22
2210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-
② 双曲线：（以()22
221,0x y a b a b
-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）
[)
,a +∞（右支） y R ∈
③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞
（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0?>
（3）点与椭圆（以()22
2210x y a b a b
+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在
椭圆内，则22
00
221x y a b
+<
（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件 2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解
函数的值域，即为参数取值范围
（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0a y x a x
=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：
（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域
（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：
例1：已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，1F 、2F 是其左右焦点，离心率为
3
()3,1.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1A Q
斜率为k ，且11,2
3k ??∈--
???
，求直线Q A 2斜率的取值范围；
解：（1）3
c e a =
= ::a b c ∴=∴椭圆方程为：22
2213x y b b +=代入()3,1可得：24b =
2
2
312a b ∴== ∴椭圆方程为：22
1124
x y +
=
（2）由（1）可得：()()12,A A - 设(),Q x y ， 则
k =
2A Q k =
22
212A Q
y k k x ∴?==-
Q 在椭圆上 ()22221
1121243x y y x ∴+
=?=- 2221
123A Q
y k k x ∴?==-- 21
3A Q k k ∴=-
11,23
k ??
∈--
???
12,133k ??∴-
∈ ???即22,13A Q k ??∈ ???
例2：已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为2，其左，右焦点分
别是12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为（1）求椭圆C 的方程
（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25
3
PA PB -<时，求实数t 的取值范围 解：
（1）2
c
e a =
= ::a b c ∴=
2EGF
的周长4C a a ==?=1b ∴=
∴椭圆方程为：2
212
x y +=
（2）设直线AB 的方程为()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x y
OA OB tOP += 1212x x tx
y y ty
+=?∴?+=?
联立直线与椭圆方程：()()2222
22
212882021
y k x k x k x k x y =-???+-+-=?+=?? ()()()2
2228412820k k k ∴?=-+->，解得：21
2
k <
()23121212222884,44212121
k k k
x x y y k x x k k k k k +=+=+-=-=-+++
()()2
22821421k x t k k y t k ?=?+?
∴??=-?+?
，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ???? ? ?+-= ? ?++????
2
2
2
1612k t k
∴=+ 由条件253PA PB -<
可得：25
3
AB <
12AB x ∴=-<
()(
)
2
2
1
21220
149k
x x x x ??∴++-<
??，代入22
121222882,2121
k k x x x x k k -+==++可得： ()()()2222
22228822014411413021219k k k k k k k ????-+-??? ?++??????
21
4k ∴>
211,42k ??∴∈ ???
22
2
21618=16,411232k t k k
??
∴=?∈ ?+??+
262,,233t ???
∴∈-- ?????
例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆(
)22
22:10x y
C a b a b
+=>>的离心率
为
2
（1）求椭圆方程
（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,E
F （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF
面积比值的范围 解：（1）c e
a =
=::
a b c ∴= 由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为2
2b a = 1,b a ∴==∴椭圆方程为2
212
x y +=
（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y
11221
1
,2
2
OBE
OBF
S
OB x x S OB x x ∴=
??==
??=
11
2
2
OBE OBF
x S x S
x x ∴
=
=
联立直线与椭圆方程：
()22
22
21286022
y kx k x kx x y =+??+++=?+=? ()()2
2238241202
k k k ∴?=-+>?>
1212
22
86
,01212k x x x x k k +=-
=>++ 12,x x ∴同号 ()
()2
2
221212212
212
832122631212k x x k x x k x x x x k k ?
?- ?++??∴
===++++ 2
32k > ()22232321164,1333122k k k
??
∴=?∈ ?+??
+ 122116423
x x x x <
++< 设12
0x t x =>，所解不等式为：1
24111612333t t t
t t t ?++>?≠????++
()121,11,33x x ??
∴
∈ ???
，即()1,11,33OBE OBF
S S
??∴
∈ ???
例4：已知椭圆()22
122:10x y C
a b a b
+=>>的离心率为3，直线:2l y x =+与
以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆1C 的方程
（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线
交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程
（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ?=，求QS 的取值范围
解：（1）
3
c
e a a
==
?= :2l y x =+与圆222x y b +=相切
O l d b -∴=
= b ∴= 3a c = 22222b a c c ∴=-=即21c =，解得1c =
a ∴=22
1:132
x y C ∴+=
（2）由（1）可得1:1l x =- 线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M
2PM MF ∴=即12M l d MF -=
M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>
()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=
（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设22
1212,,,44y y R y S y ????
? ?????
，则所求QS 为关
于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ?=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
解：2C 与椭圆的交点为()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ????
? ?????
22
2
121121,,,44y y y QR y RS y y ????-∴==- ? ?????
()
()22
2121121016
y y y QR RS y y y -∴?=
+-=，因为12y y ≠，化简可得：
21116y y y ??
=-+ ??
? ①
考虑
QS ?==
由①可得2
2
22
1121116256323264y y y y y ??=+=++≥+= ??
? 2
264y ∴
≥时，可得1
QS =
≥)
8QS ?∴∈+∞?
例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率1
3
e =，左焦点为1F ，椭圆
上的点到1F 距离的最大值为8 （1）求椭圆C 的方程
（2）在（1）的条件下，过点N
的直线l 与圆2236
x y +=交于,G H 两点，
l 与点C 的轨迹交于,P Q 两点，且GH ?
∈?，求椭圆的弦RQ 长
的取值范围
解：（1）由离心率可得：13
c e a == ::3:a b c ∴= 依题意可得：8a c += ∴可得：6,2a c ==
22232b a c ∴=-=
∴椭圆方程为：22
13632
x y -
= （2）由（
1）可得椭圆方程为22
13632
x y += 不妨设()2,0N
① 当直线斜率不存在时，GH =323
RQ = ② 当直线斜率存在时，
设直线():2l y k x =-
O l d -=
在圆2236x y +=中 2
222113624d r GH GH ??
=-=- ?
??
GH ?∈? ∴可得：2
2
2424241k d k ≤≤?≤≤+
解得：21k ≥
设()()1122,,,R x y Q x y ，联立直线与椭圆方程：
()
2
2213632
y k x x y ?=-??+
=??消去y 可得：()2221213632x k x +-= ()22229836362880k x k x k ∴+-+-=
()2
2212122223683636288,989898
k k k x x x x k k k --∴+===+++
12RQ x ∴=-=
=
=
=
229696
98
k k +==
+ 2221212
12128989k k k
=-=-++
由21k ≥可得：
32192
317
RQ <≤
综上所述：RQ 的取值范围是32192
,317??????
例6：已知椭圆()22
122:10x y C a b a b +=>>的两个焦点
12,F F ，动点P 在椭圆上，且使得190F PF ∠=的点P
恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为
2+（1）求椭圆1C 的方程
（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-上的动点T ，作圆2C 的两条切线，设切点分别为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点,C D ，求
AB CD
的取值范围
解：（1）使得190F PF ∠=的点P 恰有两个
12F PF ∴∠的最大值为90
P ∴为短轴顶点时，190F PF ∠=
b c ∴= 222222a b c b c
∴=+==
P 到焦点1F 的距离的最大值为a c +=
2,a c ∴==∴椭圆1C 的方程：22
142
x y +
= （2）由椭圆方程可得圆222:4C x y +=
设()()()1122,,,,T t A x y B x y -，由圆的性质可得：
1122:4,:4AT x x y y BT x x y y +=+=
代入()
T t -
可得：11224
4
ty ty ?-+=??-+=?? ,A B ∴
满足方程40ty -+-=
则O 到AB
的距离O AB d -=
AB ∴==下面计算CD
：联立方程()22224
16816024
ty t y ty x y ?-+=??+--=?+=??
设()()3344,,,C x y D x y
343422
816
,1616
t y y y y t t ∴+=
?=-++
()2122
4816
t CD y y t +∴=-==
+
(
)()
22221616
488AB
t t CD t t ++∴==++ 不妨设()288m t m =+≥
AB
CD == 设1108s s m ?
?=<≤ ??
?
，所以AB CD = 设()3112256f s s s =+-
()'211276808
f s s s =-=?=
()f s ∴在10,8??
???
单调递增
所以()(]1,2f s ∈
，即(
AB
CD
∈
例7：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2?? ?
??
，且离心率1
2e = （1）求椭圆方程
（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点,M N ，且线段MN
的垂直平分线过定点1
,08
G ??
??
?，求k 的取值范围
解：（1）12
c e a ==可得：::2a b c =
∴椭圆方程为2222143x y c c +=，代入31,2??
???
可得：
22219111443c c c
+?=?= ∴椭圆方程为：22
143
x y +
= 设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程可得：
()222223412
3484120x y k x kmx m y kx m
?+=?+++-=?
=+? ()()()()2
22222222843441264416481236km k m k m k m k m ∴?=-+-=--+-
()2244812360k m =-+>
2243m k ∴<+
设MN 中点()00,P x y ，则1212,2
2x x y y P ++??
??? ()12121222
86,24343
km m
x x y y k x x m k k +=-
+=++=++ 2243,4343km
m P k k -??∴ ?++??
则MN 的中垂线为：223144343m km y x k k k ??-
=-+ ?++??，代入1,08??
???
可得： ()21
438m k k
=-
+，代入2243m k <+可得：
()2
22143438k k k ??-+<+???? 2221
436420
k k k ∴+
k ∴>
k < 即k
的取值范围是5,,1010???
-∞+∞ ? ?????
例8：在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ,抛物线C 的方程为y x 42=,线段AB 是抛物线C 的一条动弦．
（1）求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ;
（2）当8=AB 时，设圆)0)1(:2
22>=-+r r y x D （
,若存在且仅存在两条动弦AB ,满足直线AB 与圆D 相切，求半径r 的取值范围？ 解：（1）由抛物线y x 42=可得：()0,1F ，准线方程：1y =- （2）设直线:AB y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程：
22
4404y kx b
x kx b x y
=+??--=?=?
12124,4x x k x x
b ∴+==-
1282AB x ∴=-==?
= 2
2
41b k k
∴=
-+ AB 与圆相切
D AB d r -∴=
=
r ∴=
，不妨令1t t =≥
则34r t t =-，令(
)3
33
4
,144,t t t f t t t t t t ?-≤≤??=-=??->??()f t ∴
在??
单调递减，在
)
+∞单调递增
()13f =
则若关于k 的方程有两解，只需关于t 的方程有一解
3r ∴>时，y r =与()y f t =有一个交点 3r ∴>
例9：已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>
的离心率为4，12,F F 是椭圆的两
个焦点，P 是椭圆上任意一点，且12PF F 的周长
是8+（1）求椭圆C 的方程
（2）设圆()2
24
:9
T x t y -+=，过椭圆的上顶点作
圆T 的两条切线交椭圆于,E F 两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率和取值范围 解：（1
）c e a =
=
::4:1:a b c ∴= 12PF F
的周长1212228C F F PF PF a c =++=+=+
4,a c ∴==
2221b a c ∴=-=
∴椭圆方程为：2
2116
x y +=
（2）由椭圆方程可得：()0,1M ，设过M 且与圆T
相切的直线方程为
()11,2i y k x i =+=
23
d r ∴=
==
()()2
2319141i i i k t k t k ∴+=?+=+，整理可得：
()2
2941850i i t
k tk -++=
∴两条切线斜率12,k k 是方程()
22941850t k tk -++=的两根
联立直线ME 与椭圆方程可得：
122
11616
y k x x y =+??+=?消去y 可得：()22
11116320k x k x ++= 12132116E k x k ∴=-
+，同理可得：2
2
2
32116F k x k =-+ ()()121211E F E F E F
EF E F E F E F
k x k x y y k x k x k x x x x x x +-+--∴=
==
---
12122212121212221232321161161163232116116k k k k k k k k k k k k k k ?????--- ? ?+++????=
=-??
--- ?++??
由()22941850t k tk -++=可得：121222
185
,9494
t k k k k t t +=-
=-- 22
21861946528283116394EF t
t t k t t t t -
-∴===?--?-- 设()1
6283f t t t
=?-，可知()f t 为增函数，()1,3t ∈
6,1825EF k ??
∴∈ ???
例10：已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，其中12,F F
为左右焦点，且离心
率为e =
l 与椭圆交于两不同点()()1122,,,P x y Q x y ，当直线l 过椭
圆C 右焦点2F 且倾斜角为4π时，原点O 到直线l （1）求椭圆C 的方程
（2）若OP OQ ON +=，当OPQ ON PQ ?的最大值 解：（1）设直线:l y x c =-
1
2
O l d c -∴=
=
?=
3
c e a =
= a ∴== 2222b a c ∴=-= ∴椭圆方程为22
132
x y +
= （2）若直线l 斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y
OP OQ ON += ()1212,N x x y y ∴++
联立方程：22
236y kx m x y =+??+=?
消去y 可得：()22
236x kx m ++=，整理可得： ()2
22326360k
x kmx m +++-=
()()()()2
222264323624320km k m k m ?=-+-=+->
2232k m ∴+>
2121222636
,3232
km m x x x x k k -∴+=-=++
()121222
64223232km m y y k x x m k m k k ??
∴+=++=?-+= ?++??
2264,3232km
m N k k ??∴- ?++??
考虑
PQ ==
O l d -=
21122322OPQ
O l S
PQ d k -∴=?=?=+
2232k =+
()()()()()2
2
2
22222222432323243220m k m k k m k m ∴+-=+?+-++=
即()2
223220k m +-=
22322k m ∴+=
2222646432,,,323222km
m km m k N k k m m m m ??????∴-=-=- ? ? ?++??????
222
22222
9466426k m ON m m m m m -∴=+=+=-
()()()
22
222224222212413232244432m m k k m PQ m m k ??
-+ ?++-??====++ 2
22222222642264252m m ON PQ m m ??????-++ ? ????????????
?∴?=-+≤= ?????????
????
等号成立条件：22
22
64m m m -
=+?
=m ∴=时ON PQ ?的最大值是5
当斜率不存在时，,P Q 关于x 轴对称，设()00,P x y 00,0x y >
00001222OPQ
S
x y x y ∴=?==，再由22
00132x y +=
可得：00
21
x y ?=???=? 可计算出265ON PQ ?=<
所以综上所述ON PQ ?的最大值是5 三、历年好题精选
1、已知点P 是双曲线22
184x y -=上的动点，
12,F F 分别是双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，
则
12
PF PF OP
+的取值范围是（
）
A. []0,6
B.
( C. 1
,2
2? ?? D. 2?
???
2、（优质试题，新课标I ）已知()00,M x y 是双曲线2
2:12x C y -=上的一点，
12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则
0y 的取值范围是（ ）
A. 33?
?-
?
?
?
B. 66??
???
C. 33?-
??
D. 33?- ??
3、（优质试题，四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ?的最大值是______
4、（优质试题，广东省四校第二次联考）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，
且满足120
AFB ∠=，过弦AB 的中点M 作抛
圆锥曲线中的最值和范围问题
圆锥曲线中的最值和范围问题 一、【基础考点】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题在高考中突出考试的知识点: (1)圆锥曲线的定义和方程； （2）点与曲线的位置关系；特别是点在曲线上，点的坐标满足方程； （3）a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及相关关系； （4）二次函数、均值不等式及导数的应用。 基础训练： 1．已知双曲线 122 22 =-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 2 2 1916 x y - =的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2 ＝1上的点，则|PM| －|PN |的最大值为（ D ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ．43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线 222 2 1,(0,0)x y a b a b - =>>的左、 右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A)43 (B)53 (C)2 (D)7 3 5．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 32 6．对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( B ) （A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］ （D ）（0，2） 二、【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【例1】已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||P M P N -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ? 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，
圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)
圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 12 2 1221=-b y a x ① 1222 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得
13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e . 方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313. A 213. B 315. C 2 10.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21， 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
圆锥曲线的综合问题 1．(2016·邢 台 摸底 )已知A (－2,0)，B (2,0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点， △ APB 面积的最大值为2 3. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线AP 的倾斜角3π 4 ，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x2a2＋y2 b2＝1(a >b >0)，F (c,0)． 由题意知????? 12·2a·b ＝23， a ＝2，解得 b ＝ 3. 故椭圆C 的标准方程为x24＋y2 3＝1. (2)以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 证明如下：由题意可知，c ＝1，F (1,0)，直线AP 的方程为y ＝－x －2， 则点D 的坐标为(2，－4)，BD 的中点E 的坐标为(2，－2)，圆的半径r ＝2. 由???? ? y ＝－x －2，x24＋y23＝1，得7x 2＋16x ＋4＝0. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则??? x0＝－2 7，y0＝－12 7 . 因为点F 的坐标为(1,0)，直线PF 的斜率为4 3，直线PF 的方程为4x －3y －4＝0，点E 到直线PF 的 距离d ＝ |8＋6－4| 5 ＝2.所以d ＝r . 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 2．(2016· 合 肥 模 拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)． 解：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.
高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题
高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（）
高三一轮：圆锥曲线求参数的取值范围
圆锥曲线求最值范围问题 一、基础知识： 求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围 1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下： （1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围 ① 椭圆（以()22 2210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈- ② 双曲线：（以()22 221,0x y a b a b -=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支） y R ∈ ③ 抛物线：（以()2 20y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞ （2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0?> （3）点与椭圆（以()22 2210x y a b a b +=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件 2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围 （1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0a y x a x =+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。 （2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
圆锥曲线最值、取值范围问题
例1、（2016年新课标一卷）设圆22 2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程； （II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
例2、(2014年新课标一卷） 已知点(0,2)A -,椭圆E:22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2； F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为 3 ，O 为坐标原点 （I ）求E 的方程； （II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。当OPQ ?的面积最大时，求l 的直线方程.
例3、（2016年新课标二卷）已知椭圆:E 22 13 x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ?的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．
例4、（2015年天津卷）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c ,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆4 22 +4b x y =截得的线段的长为c ， (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
圆锥曲线与参数的范围
圆锥曲线与参数的范围 四川省大英县育才中学 秦增林 圆锥曲线中，参数是一个非常重要的量。在解有关参数问题时，往往涉及求参数的范围，深刻理解与掌握参数的意义及其对圆锥曲线的图象的形状、性质的影响，是高中数学教与学的一个难点问题。本文就怎样求参数的范围，归纳几种较为典型的类型。 一、 根据直线与圆锥曲线的公共点的情况，利用Δ法求参数的范围 这是圆锥曲线中求范围的一种常规思路，通过直线与圆锥曲线消元得到一个类一元二次方程（需确定二项式系数是否为0），利用Δ法求参数的范围 例：若抛物线y =x 2 上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m 的取值范围。 解：设直线l ：b x m y +- =1 ，直线l 与抛物线y =x 2的两交点为A （x 1 ,y 1） 、B （x 2 ,y 2）, 由????? =+-=2 1x y b m y 消元得02=-+mb x mx ∴Δ=1+4b m 2 ＞0，且m x x x 212210-=+=，b m b m m y +=+-?-=2 021 )21(1 则线段AB 的中点M （m 21- ，b m +2 21），又点M 在直线y=m(x-3)上， ∴b m +221= m(m 21--3) 即b =2 21m --3m 21- 由Δ=1+4b m 2＞0得Δ=1+42m ﹒（2 21m -- 3m 21-）=12122 3---m m ＞0 ∴12122 3++m m ＜0即)126)(12(2 +-+m m m ＜0 解得实数m 的取值范围为)2 1,(--∞ 二、 利用a 、b 、c 的大小关系求参数的范围 在圆锥曲线中，对于a 、b 、c 大小关系有规定，若能建立参数与这三个量之间的关系，则可求出参数的范围。 例：如图，点A 是椭圆C ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1 的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上，且BP ∥x 轴，9=?→ → AP AB , 若P 的坐标为()t ,0，求t 的取值范围。 解：法一、由P 的坐标为()t ,0及A 点位于x 轴下方，得A 点的坐标为()3,0-t ∴b t -=-3即t b -=3
求圆锥曲线中离心率取值范围方法举例
圆锥曲线中离心率取值范围的求解 范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等． 策略一：利用曲线的定义 例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞ 【解析】Ｂ 22033352022 a ex a e a a a e e c -=?->+?-->， 2e ∴>或13 e <-（舍去），(2,)e ∴∈+∞． 例2双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ． Ｂ．)+∞ Ｃ．1]+ Ｄ．1,)++∞ 【解析】Ｃ 222 000(1)(1),a a a ex a x e x a a e a c c c -=+?-=+?+≥- 2111121011a e e e e c e ∴-≤+=+?--≤?≤≤+ 而双曲线的离心率1e >，1],e ∴∈故选Ｃ. 【点评】例1、例2均是利用第二定义及焦半径公式列出方程．例1根据题设列出不等式；例 2是根据0x 的范围将等式转化为不等式，从而求解．这种利用、x y 的范围将等式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法． 策略二：利用曲线的几何性质 例已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（ ） Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2 Ｃ． Ｄ． 【解析】Ｃ 由题，M 的轨迹为以焦距为直径的圆，由M 总在椭圆内部，知： 2222212c b c b a c e >时M 点有4个在椭圆上；c b =时M 有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点． 例4已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞ Ｄ．(2,)+∞
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 ① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. (2)两种解法 ① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决； ② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可先建立起目标函数， 再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. ［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点, 直线y = kx(k>0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于 E , F 两点. (1) 若 ED — = 6I D F ，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF 的面积的最大值. ［思路演示］ 2 解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为 X + y 2= 1,直线AB 的方程为x + 2y — 2= 0. 4 设 D(x o , kx o ), E(X 1, kx 1), F(X 2, kx ?),其中 X 1
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；
与圆锥曲线有关取值范围与最值问题
与圆锥曲线有关取值围与最值问题 一、利用圆锥曲线定义求最值 . )1,3(,14 5,.122 221的最小值求在双曲线上，为双曲线内一点，点右焦点，的左是双曲线已知AF AP A P y x F F +=- . 19 25)2,2(),0,4(.22 2的最大值和最小值求是椭圆上的动点，内的两个点，是椭圆已知MB MA M y x B A +=+ . )2,3()2(.)2,0()1(. 2.32的最小值，求点和的最小值到抛物线准线的距离之的距离与到点求点为焦点上的一个动点，是抛物线已知PF PA A P P F x y P += .5 3)2,9(1169.42 2值的值最小，并求此最小使，点，在这个双曲线上求一，点的右焦点为已知双曲线MF MA M A F y x +=-
二、单变量最值问题——化为函数最值 .)2(;123),()1(.,,,123)07.(520 200021212 2的面积的最小值求四边形，证明 点的坐标为设，垂足为两点，且的直线交椭圆于过两点，的直线交椭圆于，过的左、右焦点分别为已知椭圆全国ABCD y x y x P P BD AC C A F D B F F F y x <+⊥=+ . 012,,,.62 2 值的面积的最小值与最大，求四边形共线，且与共线，与知轴正半轴上的焦点，已为椭圆在上，四点都在椭圆PMQN MF PF FN MF FQ PF y F y x N M Q P =?=+ .24 3,2tan 12 11. 1)0(1.722 22方程的最小值，并写出椭圆时，求，当）设（的取值范围；，求的夹角为与，向量）若（，且的面积为记△为椭圆上的点，的焦点，为椭圆如图，OQ c c S c OF FQ OF S FQ OF S OFQ Q b a b y a x F ≥==<<=?>>=+θθ
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
专题圆锥曲线中的最值与范围问题
高三数学专题复习 圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略 最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 一．求距离的最值或范围： 例1.设AB 为抛物线y=x 2 的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2 的焦点为F （0 ， 41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=4 1-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +4 3 ≥ 21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值4 11， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。 练习： 1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之 和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （ 4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：242 2AB COS θ =-; （Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值 解 ：（1）由题意得： 2 22 2222 8 44c a a c b a b c =???=??=??=????=+?∴ ∴椭圆C 的方程为22 184 x y += (2)方法一： 由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2 2 e = 设l 为椭圆的左准线。则:4l x =- 作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 112 2AF AA =∴ 112 (cos )2 FH AF θ=+ 12 2cos 2AF θ=+ 12cos AF θ =-∴ 同理 12cos BF θ =+
(完整版)微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)
专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 02 x 2－），B （x 020 x 2－，OA OB ?u u u r u u u r ＝2
圆锥曲线中的最值和范围问题方法
专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直 线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双 曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 . 6．设椭圆方程为142 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP uuu r (21=OA +u u u r )OB u u u r ，点N 的坐标为)21 ,21(，当l 绕点M 旋转时， 求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP uuu r 的最小值与最大值. 【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组 ?? ? ??=++=141 2 2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以??? ???? +=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是).44 ,4()2,2()(212 22121 k k k y y x x ++-=++=+= ① ②
高三一轮：圆锥曲线求参数的取值范围
圆锥曲线求最值范围问题 、基础知识: 求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通 过解函数的值域求得参数范围 1解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的 不等关系如下: (1)圆锥曲线上的点坐标的取值范围 次方程 0 1 a b 0为例)位置关系：若点 X o ,y o 在椭圆内，则 2 x o 2 a 题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件 2、禾U 用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个(或两个)辅助变量，通过 条件可建立起变量间的等式， 进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数, 变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围 (1) 一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数 a 的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数” y X — a 0 :③反比例函数; x ④分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数 进行解决。 (2)二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表 达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。 椭圆(以 2 x — 2 a 0 为例），则 x a,a , y b,b 双曲线: 2 y 告 1 a ，b 0为例)，则x ,a （左支）U a, (右支) 抛物线: 2px P 为例，则x 0, (2)直线与圆锥曲线位置关系: 若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一兀 点与椭圆 确定辅助
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点: (1 )若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量, 建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 (2)若题目中含有某个表达式的范围(或不等式)，一方面可以考虑将表达式视为整体，看 能否转为(1)的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可二、典型例题: 若A, A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线AQ斜率为k，且 1 1 2, 3，求直线A2Q斜率的取值范围; 2 x 例1:已知椭圆C : P a 过点3,1 . (1)求椭圆C的标准方程;
圆锥曲线中的最值和取值范围
2 解得X"或…泞，则AM k28k2 -6 3 4k2 =1 k2 12 3 4k2 因为AM _AN，所以圆锥曲线中的最值和范围 圆锥曲线是高考数学压轴题之一，是有效区分学生层次不可或缺的一个题型，能否解 决圆锥曲线问题，对提高学生的数学成绩某种程度上至关重要。回顾几年高考中的圆锥曲线 试题，其核心问题大概有两大类型，一是定值、定点、存在性问题，二是最值和范围问题。 本文就第二问题进行归纳和分析。 最值和范围一般有两个求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显几何意义时可 利用几何性质结合图形直观求解；二是代数方法，选择适当变量，建立函数模型，按照求最值的方法求解，求最值方法中：利用基本不等式、函数单调性、分离常数、配方法等是常用方法。对目标函数的的整理和恰当变形是难点。所涉及的量有斜率、面积、离心率、线段长度等。 一.近几年高考试题回顾。 X y2 1.(2017全国2)已知椭圆E: 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k 0)的 t 3 直线交E于A, M两点，点N在E上，MA丄NA. (I)当t =4 , AM| | AN时，求△ AMN 的面积；(II)当2 AM二AN时，求k的取值范围? 2 2 X y 【解析】⑴当t =4时，椭圆E的方程为 1 , A点坐标为-2 , 0, 4 3 则直线AM的方程为y =k X ? 2 . '2 2 ￡ I 二1 联立 4 3 " 并整理得， 3 4k2 x2 16k2x 16k2 -1^0 y -k X 2
厂匚2 12 厂〒2 12 因为 AM 二 AN , k 0，所以 1 k FTk^ = 1 k 3I 7^， k 整理得k -1 4k —k ?4产0 , 4k 2_k ?4=0无实根，所以k . ⑵直线AM 的方程为y 二k x ? ..t , r 2 2 x y 1 联立 t 3 并整理得，3 tk 2 x 2 https://www.360docs.net/doc/e416956874.html, 2x t 2k ^3^-0 y =k （X + JT ） 解得 3 2 ::: k ::: 2 . 2.(2015高考真题山东理21 )在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线C:x 2=2py (p 0) 的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过 M,F,0三点的圆的圆心为 Q , 点Q 到抛物线C 的准线的距离为 3 . ［来源学科网］ (I)求抛物线 C 的方程；(n)是否存在点 M , 4 使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由； (川)若点M 的横坐标为 2 ,直线l : ^kx 4与抛物线C 有两个不同的交点 A, B , l 与 圆Q 有两个不同的交点 D, E ，求当g 乞k 乞2时，|AB|2J DE|2的最小值 分析：(I )由题意，OF 为圆Q 的弦，y^— , ??? yQ — = 3 = o 抛物线方程x 2 =2y 4 2 4 1 2 所以△ AMN 的面积为| AM | = 144 79 解得 ^-F 或x =曲昇， 3 +tk 2 所以 AM 2 3 tk 2 6 t AN = 1 亠 k 2 —―— "k E 所以 3k 」 k 因为 2 AM | | AN 所以 2 T k 6 ?口隹，整理得， k 3 tk 2 t 6k -3k t 3 k -2 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以 t 3，即 1 k — 2 k3_2 ：： (n)设存在点 2 X 。 2
高中数学干货资料-圆锥曲线中的最值和范围问题
圆锥曲线中的最值和范围问题 高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右 支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 6．设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2 1 ,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的 轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.
高考要考什么 【考点透视】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【范例1】已知动点P 与双曲线13 22 2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9 1 -． （１）求动点P 的轨迹方程； （２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围． 【范例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53 AB BF +