圆锥曲线参数方程
x2 y2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 − 2 = 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换. 的实质是三角代换
sec ϕ = 1 + tan ϕ 相比较而得到，所以双曲线的参数方程 相比较而得到，
x2 y2 如 例2、 图 ， 设 M 为 双 曲 线 a 2 − b 2 = 1( a > 0 , b > 0 )任 意 一 点 ， O为 原 点 ， 、 过 点 M 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 ， 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 A， B 两 点 。 探 求 平 行 四 边 形 MAOB的 面 积 ， 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ？
垂直高度为y，所以
o
x
x = 100t , （g=9.8m/s2 ) 1 2 y = 500 − 2 gt .
y M(x,y)
α
o x
设抛物线的普通方程为y = 2 px...........(5)
2
因为点M在α的终边上，根据三角函数的 y 定义可得 = tan α ..................................(6) x 2p x= tan 2 α (α为参数) 由(5), (6)解出x, y，得到{ 2p y= tan α 这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
2 2
y
B O
φ
A
M N
x
是半径OA的旋转角；是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ. 的旋转角； 不是∠ 是半径 不是
y
圆的标准方程: 圆的标准方程: x2+y2=r2 x = r cos θ ) 圆的参数方程: 圆的参数方程: y = r sinθ (θ为参数 θ的几何意义是 ∠XOP=θ 的几何意义是:
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
y 500
思考： 思考： 作初速为100m/x的匀速直线运动； 的匀速直线运动； （1）沿ox作初速为 ） 作初速为 的匀速直线运动 对于一般的抛物线， 对于一般的抛物线 反方向作自由落体运动。 （2）沿oy反方向作自由落体运动，怎样 ） 反方向作自由落体运动。 建立相应的参数方程呢？ 建立相应的参数方程呢？ 解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
y A
B O N M
即为点 的轨迹参数方程 参数方程. 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 即为点 的轨迹普通方程. 普通方程 消去参数得: 2 + 2 = 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
x = a cos Φ 由已知: 由已知 (Φ为 数 参 ) y = bsin Φ
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x , y )
a
y A o B b
ϕ
B'
•M
A' x
在 ∆ OAA '中 ， x =
| OA | b | OA ' |= = = cos ϕ cos ϕ
b • sec ϕ ,
在∆OBB '中，y = | BB ' |=| OB | • tan ϕ = b • tan ϕ .
x
数方程. 数方程 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 在椭圆的参数方程中，常数 分 在椭圆的参数方程中 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b 别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
x = a cos ϕ 1 .参数方程 y = b sin ϕ 是椭圆的参 参数方程
说 明：
ϕ 的取值范围是
另外, ϕ 称为离心角 规定参数 另外 称为离心角 离心角,规定参数
抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
P θ
O
x
巩固练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程 练习 】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 + = 1 (2) x + =1 (1) 4 9 16 (1) x = 2 c o s θ ( 2 ) x = c o s θ y = 3 s in θ y = 4 s in θ
M
解：由已知可设
x = 1 + 4 cos θ (θ y = −2 + 3 sin θ
为参数），则 为参数），则 ），
x − y = (1 + 4 cos θ ) − (−2 + 3 sin θ ) = 3 + (4 cos θ + 3 sin θ ) 4 3 = 3 + 5( cos θ − sin θ ) = 3 + 5 cos(θ + α ) 5 3
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
解：双曲线的渐近线方程为：y = ± b x.
参数方程的应用(3) 4.4.3 参数方程的应用(3) -----抛物线的参数方程 -----抛物线的参数方程
引入: 如图,一架救援飞机在离灾区地面 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 引入 如图 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 100m/s的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确 的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确 的速度作水平直线飞行 落于灾区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定 落于灾区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定 投放时机呢？ 投放时机呢？
{
{
把下列参数方程化为普通方程 x = 3 cos ϕ x = 8 cos ϕ (3) (4) y = 1 0 s i n ϕ(ϕ为参数） y = 5 s in ϕ
(θ为参数）
(3)
x 9
2
+
y2 25
= 1 (4)
x 64
2
+
y2 100
=1
二、知识应用
x y + = 1 上求一点 ，使M到直线 上求一点M， 例1.在椭圆 在椭圆 到直线 9 4 x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离 的距离最小， 的距离最小
设中点M 设中点 (x, y)
C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ M
x y + = L= 2 4 9
2
2
( x − 1) 2 ( y + 2) 2 思考：实数x 试求x 思考：实数x、y满足 + = 1 ，试求x-y 16 9
的最大值与最小值，并指出何时取最大值与最小值 的最大值与最小值，并指出何时取最大值与最小值
所以, 矩形 ABCD 最大面积为160
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
x2 y2 1、动点 、动点P(x,y)在曲线 在曲线 的最 + =1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
练习2 练习
6 最大值 2,最小值− 6 2.
2、θ取一切实数时，连接 、 取一切实数时 连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 取一切实数时， 和 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 B .
1 如果令t = , t ∈ (−∞,0) U (0,+∞), 则有 tan α 2 思考：参数t的几何意义是什么 的几何意义是什么？ 思考：参数 的几何意义是什么？ x = 2 pt { (t为参数) y = 2 pt 当t = 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线 的顶点(0,0)因此当t ∈ (−∞,+∞)时，参数方程就表 示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。
2 2
（见课本P28） 见课本 ）
x2 y2 + = 1有一内接矩形 有一内接矩形ABCD， 例2、已知椭圆 、 ， 100 64
求矩形ABCD的最大面积。 的最大面积。 求矩形 的最大面积
Y y D
B2
解 : 设A (10 cos α ,8sin α )
AD = 20 cos α , AB = 16 sin α A1 S = 20 × 16 sin α cos α = 160 sin 2α
a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asecϕ ,btanϕ）, b A 则直线MA的方程为：y − b tan ϕ = − ( x − a sec ϕ ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （secϕ + tanϕ）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （secϕ − tanϕ）. 2 b 设∠AOx=α ,则tanα = . a xA x • B sin2α • 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2α = cosα cosα a 2(sec2ϕ -tan 2ϕ ) a2 a 2 b ab = • sin2α = • tan α = • = . 2 4cos α 2 2 a 2
2 2
y a A B' o B
ϕ
•M
A' x
说明： 说明：
3π 通 规 ϕ ∈[o,2π)且ϕ ≠ ， ≠ 。 常 定 ϕ 2 2
x = a sec ϕ (ϕ为参数) y = b tan ϕ
π
b
⑴ 这里参数
ϕ 叫做双曲线的离心角与直线 的倾斜角不同 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同 的倾斜角不同.
B O N
y A
Mxຫໍສະໝຸດ 如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 如下图，以原点为圆心，分别以a 作两个圆， 是大圆半径OA与小圆的交点，过点A OA与小圆的交点 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N 过点B BM⊥AN，垂足为M AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点 旋转时点M的轨迹参数方程. 绕点O OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
圆锥曲线参数方程
圆锥曲线参数方程圆锥曲线参数方程，是二维视觉有机体的计算机图像处理的重要工具。
它可以将二维图形表示为参数方程，可以用来描述、检测和识别图像中的特征。
其可以实现各种复杂的图像处理与分析，可以改变图像外观和大小，从而满足视觉技术的各种应用需求。
圆锥曲线参数方程是一种非线性方程，它使用一个参数表示图形，参数定义图形的形状、大小和位置等。
如果将这些参数控制在正确的范围内，就可以推导出一系列的圆锥曲线参数方程，它们可以用来描述、检测和识别图像中的特征。
一般来说，圆锥曲线参数方程的确定以及图像处理过程的实现，都需要精确的数学知识，这其中包括微积分及其分支学科，如偏微分方程、线性代数、拓扑学和几何学等。
精确的数学知识可以帮助我们通过控制精确度来实现更高精度的图像处理，进而获得更准确的结果。
圆锥曲线参数方程可以用来提取图像中的曲线信息，这也是计算机图像处理中重要的一项技术。
提取曲线信息的步骤如下：首先，对原始图像进行图像处理，提取出曲线信息；其次，选择合适的参数来拟合曲线，可以用不同的方法，例如常微分方程和非线性方程，来实现；最后，通过参数方程计算，得出最终的圆锥曲线参数方程。
圆锥曲线参数方程还可以用来实现图像的变换。
变换就是改变图像外观或大小，使其能够满足视觉技术的各种应用需求。
如果想要实现图像的缩放或拉伸，可以通过改变参数，使圆锥曲线参数方程易于操作。
另外，圆锥曲线参数方程可以用来实现三维图形的变换处理，例如图像旋转、平移和缩放等。
在进行三维图形变换处理时，可以首先将三维图形转换为圆锥曲线参数方程，然后再通过特定的参数进行变换。
总之，圆锥曲线参数方程可以用来描述、检测和识别图像中的特征，这在图像处理领域中具有重要的意义。
它可以通过参数设定实现图形的变换，同时也能够帮助我们精确提取曲线信息，为视觉技术应用提供重要的计算机图像处理工具。
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程一、引言圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都可以用参数方程来表示，本文主要介绍圆锥曲线的参数方程。
首先，我们需要了解什么是参数方程。
二、什么是参数方程参数方程就是用一个或多个参数表示一个函数的坐标值。
例如，二维平面上的点(x,y)可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数。
这种表示方式在描述某些复杂图形时非常有用。
三、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个平面截过一个双锥体所得到的曲线。
根据平面与双锥体的位置关系，可以分为以下三类：1.椭圆：当截面平面与两个母线夹角小于直角时，所得到的曲线为椭圆。
2.双曲线：当截面平面与两个母线夹角大于直角时，所得到的曲线为双曲线。
3.抛物线：当截面平面与一个母线垂直时，所得到的曲线为抛物线。
四、圆锥曲线的参数方程1.椭圆：椭圆的参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，t为参数，取值范围为0到2π。
2.双曲线：双曲线的参数方程可以表示为：x=a*cosh(t)y=b*sinh(t)其中a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，cosh和sinh分别表示双曲余弦和双曲正弦函数，t为参数，取值范围为负无穷到正无穷。
3.抛物线：抛物线的参数方程可以表示为：x=a*ty=b*t^2其中a和b分别为抛物线的参数，t为参数，取值范围为负无穷到正无穷。
五、圆锥曲线的性质1.椭圆：椭圆是一个闭合曲线，对称轴相互垂直且相交于中心点。
它具有两个焦点和一条主轴。
椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
2.双曲线：双曲线是一个开放曲线，对称轴相互垂直且相交于中心点。
它具有两个焦点和一条主轴。
双曲线上任意一点到两个焦点距离之差等于常数2a。
3.抛物线：抛物线是一个开放曲线，对称轴垂直于平面。
它具有一个焦点和一条主轴。
抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到对称轴的距离。
六、总结圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，它们可以用参数方程来表示。
圆锥曲线的参数方程
例1．设炮弹发射角为 ，发射速度为 ，
（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）
（2）若 ， ，当炮弹发出2秒时，
1求炮弹高度②求出材）
变式训练1.已知椭圆 ( 为参数)
求（1） 时对应的点P的坐标（2）直线OP的倾斜角
变式训练2 A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为椭圆中心，求椭圆离心率 的取值范围。
3、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中 ， 分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
4、参数方程求法
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
a)关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间 做参数
与旋转的有关问题选取角 做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
1.椭圆的推导：椭圆 参数方程 （ 为参数）
2.双曲线的参数方程：双曲线 参数方程 （ 为参数）
3.抛物线的参数方程：抛物线 参数方程 （t为参数）
2、关于参数几点说明：
（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
（3）在实际问题中要确定参数的取值范围
例3．把圆 化为参数方程
圆锥曲线的参数方程的
圆锥曲线的参数方程的参数方程是用参数表示函数的一种方法，它在数学中有着广泛的应用。
而圆锥曲线则是参数方程的一个重要应用领域。
本文将深入探讨圆锥曲线的参数方程，旨在帮助读者对该主题有更深入的理解。
1. 圆锥曲线的概念圆锥曲线是由一个平面与一个可延伸的锥体相交形成的曲线。
根据平面与锥体的交点位置和相交形式，圆锥曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
2. 圆锥曲线的一般方程一般情况下，圆锥曲线无法用简单的直角坐标系方程表示。
引入参数方程可以更灵活地描述圆锥曲线。
参数方程由参数集合组成，这些参数表示曲线上的点的位置。
3. 参数方程的定义和意义参数方程是将自变量与因变量之间的关系用参数表示的方程。
通过引入参数，我们可以将曲线的方程转化为一组参数的函数。
这样可以简化对曲线进行研究和描述的过程。
4. 圆锥曲线的参数方程表示椭圆、抛物线和双曲线都可以用参数方程表示。
以椭圆为例，它可以由以下参数方程描述：x = a cos(t)y = b sin(t)其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴，t是参数。
类似地，抛物线和双曲线也有相应的参数方程，可以根据具体情况进行推导和表示。
5. 参数方程的优势和应用参数方程具有较好的灵活性和可变性，可以通过调整参数的取值范围来控制曲线的形态和特性。
这使得参数方程在图形绘制、曲线分析、物理模拟等领域中得到了广泛的应用。
6. 参数方程的局限性和挑战尽管参数方程有很多优势，但也存在一些局限性和挑战。
参数方程描述的曲线较为抽象，可能不易被直接理解和使用。
在逆向求解和运算上，参数方程的处理相对困难，需要使用特定的方法和工具进行求解和计算。
总结：参数方程是一种描述圆锥曲线的有效工具，可以灵活地描述曲线的形态和特性。
通过引入参数，我们可以将曲线的方程转化为一组参数的函数，从而简化研究和分析的过程。
参数方程在图形绘制、曲线分析等领域有着广泛的应用。
然而，参数方程的处理也面临着一些局限性和挑战。
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析圆锥曲线是在平面上绕着一个固定点旋转而生成的曲线。
它可以通过参数方程或极坐标方程来描述。
本文将重点分析圆锥曲线的参数方程和极坐标方程的性质，并对其进行解析。
一、参数方程的性质解析参数方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为一个参数的函数。
对于圆锥曲线而言，其参数方程形式为:x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
1. 参数方程的灵活性相比于其他方程形式，参数方程具有较高的灵活性。
它可以描述复杂的曲线形状，并能够轻易地对曲线进行调整和变换。
例如，通过改变参数的取值范围或参数方程的函数表达式，可以得到不同形状的圆锥曲线。
2. 参数方程的解析性质由于参数方程中的每个变量都是独立的，因此可以分别研究x和y与参数t的关系。
这使得我们能够更好地理解曲线的性质和特点。
例如，通过对参数t的逐渐增减，可以得到曲线上的点的轨迹，并进一步分析其变化规律。
3. 曲线的方程与参数方程的关系圆锥曲线的参数方程可以通过消除参数t来得到与之对应的方程。
具体而言，将参数方程中的t表示为与x和y有关的表达式后，将其代入另一个参数方程中，消去t即得到方程形式。
这种转换使得我们能够从方程的角度更加全面地理解曲线。
二、极坐标方程的性质解析极坐标方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为极坐标下的径向距离r和极角θ。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程形式为: r = f(θ)其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴的夹角，f(θ)是关于θ的函数。
1. 极坐标方程的简洁性极坐标方程是用极坐标形式直接描述曲线的方程形式，相比于笛卡尔坐标系下的方程，更具有简洁性。
通过极坐标方程，我们可以直观地了解曲线在极坐标系下的性质和特点。
2. 极坐标方程的周期性对于某些特定的圆锥曲线，它们的极坐标方程具有周期性。
也就是说，当θ的取值范围在一定的区间内变化时，曲线的形状会在一定的规律下重复出现。
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程圆锥曲线作为数学中重要的一类曲线，在科学和工程领域中有着广泛的应用。
圆锥曲线的描述方式有很多种，其中最具代表性的是参数方程描述法。
一、圆锥曲线概述圆锥曲线是指平面直角坐标系中的一种曲线，其形状可以是圆、椭圆、双曲线和抛物线四种。
圆：圆是一种非常常见的圆锥曲线，其特点是每个点到圆心的距离相等。
椭圆：椭圆是一种闭合的曲线，其特点是所有点到两个焦点之和等于定值。
对称轴与焦点之间的距离称为离心率。
双曲线：双曲线有两个分离的分支，其特点是所有点到两个焦点之差等于定值。
离心率大于1。
抛物线：抛物线是一种开口朝上或下的曲线，其特点是点到定点的距离等于到其在直线上的投影的距离。
二、参数方程的定义参数方程又称为参数式方程，是指将一个曲线上的点的坐标表示为某个参数的函数。
圆锥曲线的参数方程描述法是将曲线上的所有点的坐标表示为经过参数化后的公式。
三、参数方程的应用参数方程描述法最大的优点是能够直观地表示曲线在平面中的形状、大小、位置等信息。
因此，在科学和工程的许多领域中，使用参数方程描述的圆锥曲线极大地便利了相关研究和实践工作。
具体应用场景包括：1、工程画图在工程中，经常需要绘制圆锥曲线，如绘制电子元件、构建机械结构等。
此时，参数方程描述法能够方便地表示曲线的大小和位置，不需要进行很多复杂的计算。
2、运动学分析在机器人、车辆等系统的运动学分析中，需要分析运动轨迹，而圆锥曲线通常是系统的标准运动轨迹。
因此，参数方程描述法能够方便地表示运动轨迹，从而便于分析运动状态。
3、物理仿真圆锥曲线在物理仿真中也有着广泛的应用。
例如，设想一个运动物体，其轨迹可以用圆锥曲线描述。
此时，如果采用参数方程描述法，则可以用计算机对物体的运动状态进行仿真，精度更高、速度更快。
四、圆锥曲线的参数方程1、圆的参数方程圆的参数方程为：x = rcosθy = rsinθ其中，r为圆的半径，θ为参数。
2、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = acosθy = bsinθ其中，a、b分别为椭圆在 x 轴和 y 轴方向的半轴长度。
高中数学圆锥曲线的参数方程
练习4. 已知A、B是椭圆 x2 y2 1 94
与坐标轴正半轴的两交点，在第一
象限的椭圆弧上求一点P，使四边形
OAPB的面积最大.
课堂小结
椭圆
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
的一个参数方程
x y
a b
cos , sin .
(
为参数)
课后作业 1. 一个人造地球卫星的运行轨道是一 个椭圆，长轴长为15 565km，短轴长 为15 443km.取椭圆中心为坐标原点， 求卫星轨道的参数方程.
探究
椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造 如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相 垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B， 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的 点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画 出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？
y M
O aB b x
A
练习1.
椭圆
x y
(1)
x y
x y
12co2ssin;
(3)
x y
2cos 3 sin
.
( 为参数)
讲授新课
1. 椭圆的参数方程
椭参圆数方ax程22
y2 b2
1(a
b
0)
的一个
讲授新课
1. 椭圆的参数方程
椭参圆数方ax程22
y2 b2
1(a
b
0)
的一个
x y
a cos, b sin .
对应的圆的半径OA (或OB)的旋转角(称 为点M的离心角).
y
A BM
O
x
探究
椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造 如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相 垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B， 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的 点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画 出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？
第二讲(二)圆锥曲线的参数方程(优秀经典公开课比赛课件).
是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半
轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x
y
a cos, b sin .
焦点在Y轴xy
bcos, asin.
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程x2 y2 1 与三角恒等式
sec2 1 tan2 相比较而得到a2，所b2以双曲线的参数
方程
的实质是三角代换.
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同y,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
A
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
B O
M
Nx
设∠XOA=φ
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b ＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆 的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时 点M的轨迹参数方程.
0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
圆锥曲线的参数方程 课件
已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2 －y2＝1 上一点 Q，求 P、Q 两点距离的最小值．
【分析】 圆具有对称性，可转化为用参数法求 Q 到圆心的 距离的最小值．
【解】 设 Q(sec θ，tan θ)， 易知 O1(0,2)， 则|O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4) ＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3. 当 tan θ＝1，即 θ＝4π时，|O1Q|2 取最小值 3， 此时有|O1Q|min＝ 3. ∴|PQ|min＝ 3－1.
圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程 普通方程 ax22＋by22＝ 1(a>b>0)
ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)
参数方程 x＝acos φ， y＝bsin φ (φ
为参数) x＝bcos φ， y＝asin φ (φ
为参数)
问题探究：椭圆的参数方程xy＝＝abcsions
φ， φ
中的参数 φ 与圆的
双
曲线ax22
－
y2 b2
＝
1(a>0
，b>0)的参数
方程为
x＝asec y＝btan
φ， φ.
(φ
为参数)
3．抛物线的参数方程 普通方程
参数方程
y2＝2px(p>0)
x＝2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
y2＝－2px(p>0)
x＝－2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
x2＝2py(p>0)
x＝2pt， y＝2pt2
示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。