D10-习题课 三重积分
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习题课2(三重积分)
z 1 x 2 y 2 所围成的。
解
关于yoz面为对称 f ( x, y, z) x 为 x 的奇函数
有 xdv 0。
O
y
( x z )dv
x : 0 r 1, 0 , 4 0 2 zdv （利用球面坐标）
1
一、利用直角坐标系计算三重积分。
适用性较广，要有一定的空间想象力。
(1)“投影法”又叫“先单后重法”
f ( x , y, z )dv dxdy
D xy
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y, z )dz
再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺 序。
f ( x, y, z)dV
若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 0, 2 f ( x, y, z)dV , 若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 1
1是的z0的部分
类似地：…
7
(2)设关于原点O对称， 1是的z0 (或x 0， 或y 0) 的部分，则
三重积分习题课
基本方法：化三重积分为三次积分计算。
关键步骤： (1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限 要结合被积函数、积分区域两方面的因素综 合考虑才能找到好的方案。
对积分区域要有一定的空间想象力，最好能 画出的图形。如 的图不好画，也要画出在 某坐标面上的投影区域的图形。
1 1 y
0
例7 设f (t )连续, f (t )dt A, 求证
0
1
即F ( x)是f ( x)的一个原函数, 且F (0) 0, F (1) A, 则
解
关于yoz面为对称 f ( x, y, z) x 为 x 的奇函数
有 xdv 0。
O
y
( x z )dv
x : 0 r 1, 0 , 4 0 2 zdv （利用球面坐标）
1
一、利用直角坐标系计算三重积分。
适用性较广，要有一定的空间想象力。
(1)“投影法”又叫“先单后重法”
f ( x , y, z )dv dxdy
D xy
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y, z )dz
再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺 序。
f ( x, y, z)dV
若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 0, 2 f ( x, y, z)dV , 若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 1
1是的z0的部分
类似地：…
7
(2)设关于原点O对称， 1是的z0 (或x 0， 或y 0) 的部分，则
三重积分习题课
基本方法：化三重积分为三次积分计算。
关键步骤： (1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限 要结合被积函数、积分区域两方面的因素综 合考虑才能找到好的方案。
对积分区域要有一定的空间想象力，最好能 画出的图形。如 的图不好画，也要画出在 某坐标面上的投影区域的图形。
1 1 y
0
例7 设f (t )连续, f (t )dt A, 求证
0
1
即F ( x)是f ( x)的一个原函数, 且F (0) 0, F (1) A, 则
D10习题课
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一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un
1 不定
部分和极限 比较审敛法
根值审敛法 lim n
n
un
用它法判别 积分判别法
解:
lim n
n
an
lim (1 1)n e n n
R 1 , 即 1 x 1 时原级数收敛 .
e
ee
当 x 1 时, e
un
(1
1) n
n
n
e
(1 1)n1 e n
1 1 0 (n ) e
因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( 1 , 1 ) . ee
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解: 因 lim un1(x) lim
x2
n un (x) n
2
当 x2 1 , 即 2 x 2 时，级数收敛; 2
当 x 2时, 一般项 un n 不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 ( 2 , 2 ) .
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n1
n
提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
n1
1
经典高等数学课件D10-4重积分的应用
x 2 y 2 a 2 .由
z x , x a2 x2 y2
得 1 (
z y , 2 2 2 y a x y
z 2 z 2 a ) ( ) . x y a2 x2 y2
12
A上
D
a a x y a
2 2 2
dxdy D : x 2 y 2 a 2 .
设曲面S的方程为z 如图， 设小区域
z
z f ( x, y )
f ( x, y ),
M
o
曲面S在xoy面上的投影为区 域D，
sS d
d
( x, y)
点(x,y) d， d D， 以 为S上过点M(x,y,z)的切平面， d
的边界为准线， 母线平行于z轴的 截切平面 小柱面， 截曲面S为 dS， 为 dA， 则有 dA dS.
C2 D
7 所求质心是(0, ). 3
o
x
17
推广： 占有空间有界闭区域, 在点( x, y, z )处的密度为 ( x, y, z )
(假定 ( x, y, z )在上连续)的物体的质心坐标(x , y , z )为：
1 x x ( x, y, z )dv , M 1 y y ( x, y, z )dv , M 1 z z ( x, y, z )dv , M
D
D
y
( x, y)
又M ( x , y )d , 则薄片的质心坐标为：
D
o
d
x
m yi x ( x , yxi mi )d i y ( x, y )d M xM i 1 y M M i 1 y ，， y x n D y n x x D . MM M M ( x , m)d m y i i ( x, y )d
三重积分习题
0所围成的闭区域
x 1}
于是
于是
{(x,y,z)|x2y2
z 1,-.1x2y \ 1x2,1 x
1<1x2
I dx:_dy
1v1 x2丿x2y由曲面z x22y2及z曲积分区域可表示为
1}
1
2w2
{(x,y,z)|x22y2z
提示
x2+y2=1
i
dx
i
曲面
由曲面cz
区域
解
于是
f (x,y,z)dz
y z)是三个函数
f2( y)>f3( z)的乘积
{(x y z)| a x
即
fi(x)、
区域
等于三个单积分的乘积
即f(
b
z)
d
fi(x)
zn}
f2(y) fa(z)积分
证明这个三重积分
b
afi(x)dx「f2(y)dylf3(z)dz
acl
化三重积分I f (x, y, z) dxdydz为三次积分
其中积分区域 分别
是
(1)
解
于是
由双曲抛物面xy z及平面x y 10 z
积分区域可表示为
{(x y z)| 0 z xy 0 y 1 x11 x xy
I dx dy f (x, y, z)dz
由曲面z x2y2及平面z 1所围成的闭区域 积分区域可表示为
2 x2所围成的闭2
2
z x
xy(c
2 x2,d
x2y 1 x2,
1 x 1}
f (x, y,z)dz
2y2与z
的交线在xOy面上的投影曲线为
0)
a2
0所围成的在第一卦限内的闭
x 1}
于是
于是
{(x,y,z)|x2y2
z 1,-.1x2y \ 1x2,1 x
1<1x2
I dx:_dy
1v1 x2丿x2y由曲面z x22y2及z曲积分区域可表示为
1}
1
2w2
{(x,y,z)|x22y2z
提示
x2+y2=1
i
dx
i
曲面
由曲面cz
区域
解
于是
f (x,y,z)dz
y z)是三个函数
f2( y)>f3( z)的乘积
{(x y z)| a x
即
fi(x)、
区域
等于三个单积分的乘积
即f(
b
z)
d
fi(x)
zn}
f2(y) fa(z)积分
证明这个三重积分
b
afi(x)dx「f2(y)dylf3(z)dz
acl
化三重积分I f (x, y, z) dxdydz为三次积分
其中积分区域 分别
是
(1)
解
于是
由双曲抛物面xy z及平面x y 10 z
积分区域可表示为
{(x y z)| 0 z xy 0 y 1 x11 x xy
I dx dy f (x, y, z)dz
由曲面z x2y2及平面z 1所围成的闭区域 积分区域可表示为
2 x2所围成的闭2
2
z x
xy(c
2 x2,d
x2y 1 x2,
1 x 1}
f (x, y,z)dz
2y2与z
的交线在xOy面上的投影曲线为
0)
a2
0所围成的在第一卦限内的闭
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
第十章第三节三重积分教学内容
方法3 . 三次积分法
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
*
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方法1. 投影法 (“先一后二” )
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
*
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
由柱面
围成半圆柱体.
*
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例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成 .
与平面
其中 由抛物面
原式 =
*
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3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为
球面
半平面
锥面
*
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如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
因此有
其中
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在 内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
*
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定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
*
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方法1. 投影法 (“先一后二” )
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
*
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
由柱面
围成半圆柱体.
*
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例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成 .
与平面
其中 由抛物面
原式 =
*
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3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为
球面
半平面
锥面
*
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如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
因此有
其中
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在 内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
*
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定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
三重积分计算
方法2 . 截面法 (“先重后单”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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方法1. 投影法 (“先单后重” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
z D z c z
a
2
c z c
解: :
by
x y z Dz : 2 2 1 2 a b c
2
2
2
x
用“先重后单 ”
z
d xd yd z
c
c 2 z dz c
D d x d y
z
2 4 z 2 2 z ab(1 2 )d z abc 3 c 15 c
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返重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
( x , y , z ) 对应雅可比行列式为 J (u , v, w)
dudvdw
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z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
高等数学第十章D10_4重积分的应用
D
A
2 a
a
2a
0
2
y( x)dx a(1 cos t )d[a(t sin t )]
0
2
由于区域关于直线 x a 对称 ， 即
a 2 (1 cos t )2 dt 3 a3
0
1 1 y ydxdy AD A
a 6
x a,
(
a
所围立体的表面积. 2 2 x y az 解 解方程组 , 2 2 z 2a x y
2a z
a
0
S2
得两曲面的交线为 x 2 y 2 a 2 , 2 2 2 z a D : x y a ,
xy
y
S1
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
D
（3）平面区域的面积
三重积分 （1）空间立体的质量
S d
D
M ( x, y, z)dv
（2）空间立体的体积
V dv
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为Leabharlann V f ( x, y )d xd y
D
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V d xd yd z
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例
围成，它的面密度 1 ，求形心坐标．
x a(t sin t ) (0 t 2 ) 与 x 轴 设平面薄板由 y a(1 cos t ) ，
y( x )
解：先求区域D的面积A
0 t 2 ， 0 x 2 a
( x, y)
M ( x, y)d ,
A
2 a
a
2a
0
2
y( x)dx a(1 cos t )d[a(t sin t )]
0
2
由于区域关于直线 x a 对称 ， 即
a 2 (1 cos t )2 dt 3 a3
0
1 1 y ydxdy AD A
a 6
x a,
(
a
所围立体的表面积. 2 2 x y az 解 解方程组 , 2 2 z 2a x y
2a z
a
0
S2
得两曲面的交线为 x 2 y 2 a 2 , 2 2 2 z a D : x y a ,
xy
y
S1
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
D
（3）平面区域的面积
三重积分 （1）空间立体的质量
S d
D
M ( x, y, z)dv
（2）空间立体的体积
V dv
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为Leabharlann V f ( x, y )d xd y
D
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V d xd yd z
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例
围成，它的面密度 1 ，求形心坐标．
x a(t sin t ) (0 t 2 ) 与 x 轴 设平面薄板由 y a(1 cos t ) ，
y( x )
解：先求区域D的面积A
0 t 2 ， 0 x 2 a
( x, y)
M ( x, y)d ,