指数函数性质的应用
指数函数的图像和性质教案设计
指数函数的图像和性质教案设计第一章：指数函数的引入1.1 生活中的实例引入通过生活中的实例，如细胞分裂、放射性衰变等，引入指数函数的概念。
引导学生观察实例中的规律，引发对指数函数的好奇心。
1.2 指数函数的定义给出指数函数的数学定义：形如f(x) = a^x 的函数，其中a 是正常数。
解释指数函数与幂函数的关系。
1.3 指数函数的图像利用数学软件或图形计算器，绘制几个简单的指数函数图像。
引导学生观察图像的形状和特点，如随着x 的增大，函数值增大或减小等。
第二章：指数函数的性质2.1 指数函数的单调性探讨指数函数的单调性，即随着x 的增大，函数值是增大还是减小。
引导学生通过观察图像或数学推理来得出结论。
2.2 指数函数的渐近行为分析指数函数在x 趋向于正无穷和负无穷时的渐近行为。
引导学生理解指数函数的快速增长和减趋行为。
2.3 指数函数的零点和极限探讨指数函数的零点，即函数值为零的x 值。
引导学生理解指数函数的极限概念，如x 趋向于某个值时函数的极限。
第三章：指数函数的应用3.1 人口增长模型利用指数函数模型描述人口增长，介绍人口增长的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测人口变化。
3.2 放射性衰变模型利用指数函数模型描述放射性物质的衰变过程，介绍放射性衰变的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测放射性物质的变化。
3.3 投资增长模型利用指数函数模型描述投资的复利增长，介绍投资增长的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测投资的变化。
第四章：指数函数的图像和性质的综合应用4.1 指数函数图像的变换探讨指数函数图像的平移、缩放等变换规律。
引导学生通过变换规律来理解和绘制更复杂的指数函数图像。
4.2 指数函数性质的综合应用结合前面的学习，解决一些综合性的问题，如求指数函数的零点、极值等。
引导学生运用指数函数的性质来解决实际问题。
第五章：复习和拓展5.1 复习指数函数的图像和性质通过复习题和小测验，巩固学生对指数函数图像和性质的理解。
指数函数的性质
指数函数的性质指数函数是一类在数学中经常出现的函数。
它的定义形式为 f(x) = a^x，其中 a 是一个固定的正实数并且不等于1。
指数函数在许多科学领域中有广泛的应用，包括物理学、化学、经济学等等。
本文将介绍指数函数的性质及其在数学和实际应用中的重要性。
首先，我们来讨论指数函数的定义域和值域。
根据指数函数的定义，指数函数中的自变量 x 可以是任意实数。
然而，由于指数函数的指数部分是实数，所以指数函数的定义域只能是实数集。
而指数函数的值域为正实数集，即大于0的所有实数。
这是因为指数函数总是得到一个正的数值结果。
指数函数还有一个重要的性质是指数之间的运算规律。
当两个指数函数相乘时，它们的底数相同，指数相加。
即 f(x) = a^x 和 g(x) = a^y，则它们的乘积为 h(x) = a^(x+y)。
这个规律对于解决许多实际问题非常有用，例如在复利计算和指数增长模型中。
指数函数还有一个重要的特性是它的增长速度。
由于指数函数的底数 a 大于1，它的指数部分会随着自变量的增加而呈指数增长。
这意味着指数函数的增长速度非常快，远远超过线性函数和多项式函数。
这个特性使得指数函数在描述快速增长的现象时非常有用，例如在人口增长模型和传染病扩散模型中。
指数函数还具有一种特殊的性质，即指数函数的图像在 x 轴上恒过原点。
这是因为当自变量 x 等于0时，a 的任何次方都等于1。
这个特性使得指数函数在图像上有一个明显的特征，即它们都经过点(0, 1)。
这个特点很容易在图像中辨认，因为它是指数函数的独有特色之一。
指数函数在实际应用中有广泛的应用。
在物理学中，指数函数被用来描述放射性衰变和波动传播等现象。
在化学中，指数函数可以用于描述化学反应的速率和动力学。
在经济学中，指数函数可以用来建模经济增长和利率变动等问题。
由于指数函数具有快速增长的特性，它在许多领域中都能提供有力的分析和预测工具。
总结起来，指数函数是一类在数学中经常出现的函数。
指数和对数函数的基本性质
指数和对数函数的基本性质指数和对数函数是高中数学中非常重要的内容，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍指数和对数函数的基本性质，包括定义、图像、性质及应用等方面的内容。
一、指数函数的基本性质指数函数的定义：指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底的指数函数，记作f(x) = e^x。
1. 定义域和值域：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数。
2. 单调性：指数函数是增函数，即当x1 < x2时，e^x1 < e^x2。
3. 对称轴：指数函数的对称轴是y轴，即f(-x) = 1/f(x)。
4. 渐近线：指数函数的图像在y轴的右侧无渐近线，而在左侧有一条水平渐近线y=0。
5. 图像特点：指数函数的图像在y轴的右侧上升，但增长速度逐渐变慢，曲线接近x轴。
二、对数函数的基本性质对数函数的定义：对数函数是指以正实数a（底数）为底的对数函数，记作f(x)=log_a(x)。
1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数，值域为全体实数。
2. 单调性：当底数a > 1时，对数函数为增函数；当0 < a < 1时，对数函数为减函数。
3. 对称轴：对数函数的对称轴是y=x，即f(x) = f^-1(x)。
4. 渐近线：对数函数的图像在x轴的左侧有一条垂直渐近线x=0。
5. 图像特点：对数函数的图像呈现右上方向的开口，当底数a > 1时，曲线逐渐上升；当0 < a < 1时，曲线逐渐下降。
三、指数和对数函数的基本关系1.对数函数与指数函数是互逆函数关系，即log_a(a^x) = x，a^log_a(x) = x。
2.指数函数和对数函数的图像在直线y=x上对称。
3.两者的求导关系：(a^x)' = a^x * ln(a)，(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))。
四、指数和对数函数的应用1.在数学中，指数和对数函数用于解决各种指数和对数方程，求解复利、增长与衰变等问题。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容之一。
它是以底数为常数、指数为自变量的函数，具有独特的性质和应用。
本文将从定义、性质、图像和应用四个方面对指数函数进行总结。
一、定义指数函数是具有形式f(x) = a^x的函数，其中a为大于0且不等于1的常数。
指数函数是一种通过指数幂运算的方式获得函数值的数学函数。
二、性质1. 底数大于1时，指数函数是增函数；底数在0和1之间时，指数函数是减函数。
这意味着指数函数的图像可以分为两种情况：斜上升和斜下降。
2. 指数函数有定义域为全体实数，值域为正实数。
3. 指数函数的图像经过点(0,1)，即a^0 = 1。
4. 指数函数的平行于x轴的渐近线为y = 0。
这是因为指数函数在负无穷大时趋于0。
5. 指数函数的性质可以推广到负指数，即f(x) = a^(-x)。
相同的性质适用于负指数函数。
三、图像指数函数的图像特点很明显。
当底数a大于1时，指数函数的图像会从左下方无限趋近于x轴。
当底数a在0和1之间时，指数函数的图像会从左上方无限趋近于x轴。
指数函数的图像在逼近x轴时变得非常陡峭。
这是因为随着指数不断增加，函数的增长速度越来越快。
四、应用指数函数在现实世界中有许多应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 金融领域：指数函数在复利计算中发挥着重要作用。
复利是指在计算利息时将利息加入到本金中，进而计算下一阶段的利息。
指数函数可用于计算定期存款或贷款的未来价值或余额。
2. 自然科学：指数函数在自然科学中广泛应用，尤其是在物理学和化学方面。
例如，放射性衰变是一个指数运动，指数函数可用于描述放射性物质的衰变过程。
3. 经济学：指数函数在经济学中用于描述人口增长、市场价格和物品生产等。
经济学家常常使用指数函数来分析和预测经济趋势。
4. 生物学：指数函数在生物学中用于描述生物种群的增长。
当环境资源充足时，生物种群的增长可以被指数函数描述。
总结：指数函数是一种重要的数学函数，在各个领域都有重要的应用。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是数学中的重要概念之一，广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。
它具有独特的特点和重要的应用价值。
本文将总结指数函数的相关知识点。
一、指数函数的定义和性质指数函数可由以下形式表示：f(x) = a^x，其中a为常数，称为底数，x为指数。
指数函数的主要性质包括：1. 零指数：a^0 = 1，其中a≠0。
2. 负指数：a^(-x) = 1/a^x，其中a≠0。
3. 幂指数：(a^x)^y = a^(xy)，其中a≠0。
4. 乘法法则：a^x * a^y = a^(x+y)，其中a≠0。
5. 除法法则：a^x / a^y = a^(x-y)，其中a≠0。
6. 幂次法则：(a^x)^y = a^(xy)，其中a>0，且a≠1。
二、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
1. 对数函数的定义：y = loga(x) 的意义是 a^y = x，其中a为常数且a>0，且a≠1。
2. 对数函数与指数函数的关系：对于任意的x>0，a^loga(x) = x；而对于任意的x>0，loga(a^x) = x。
指数函数和对数函数的关系在解决指数方程和对数方程的过程中具有重要的应用价值。
三、指数增长和衰减指数函数在实际问题中常用来描述增长和衰减的过程。
指数函数可以被用来描述人口增长、投资增长、放射性崩解等现象。
1. 指数增长：当底数a>1时，指数函数呈现出指数增长的趋势。
例如，银行存款按年利率计算的复利增长，就可以用指数函数来描述。
2. 指数衰减：当底数0<a<1时，指数函数呈现出指数衰减的趋势。
例如，放射性物质的衰减过程，可以用指数函数来描述。
指数增长和衰减的特点是在一定时间内变化幅度较大，因此在实际问题中需要注意其应用的范围和限制条件。
四、指数函数的图像和性质指数函数的图像特点有助于我们更好地理解和应用指数函数。
1. 当底数0<a<1时，指数函数的图像呈现出递减的特点。
指数函数ppt课件
04
指数函数的应用
在金融领域的应用
复利计算
股票和期货价格预测
在金融领域，复利计算是评估投资回 报的重要方式。指数函数用于计算复 利，通过复利公式，可以计算出投资 的未来价值。
在股票和期货市场中，指数函数常用 于价格预测模型。通过分析历史数据 ，利用指数函数可以预测未来的价格 走势。
保险精算
在保险行业中，指数函数用于精算模 型，例如生命表和风险评估。通过指 数函数，保险公司可以预测未来的风 险和损失。
指数函数和三角函数在某些方面具有 相似性，例如在周期性和对称性方面 。
三角函数的图像具有对称性，例如正 弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称 ，而指数函数的图像则关于y=1对称 。
三角函数具有周期性，而指数函数在 形式上也可以表示为具有周期性的形 式。
06
练习题与答案解析
基础练习题
定义域和值域
指数函数的定Leabharlann 域和值域分别是什么？指数函数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古代数学家和天文学家的著作中，但现代意义上的指 数函数则是在17世纪由数学家约翰·纳皮斯和费马等人提出。
历史发展
随着数学和科学技术的不断发展，指数函数的概念和应用范围也在不断扩展和 深化。在复数、微积分、线性代数等领域中，指数函数都扮演着重要的角色。
02
指数函数与幂函数的关系
指数函数和幂函数具有相似的 形式，即y=a^x和y=x^a。
当a>0时，指数函数和幂函数 的图像都是单调递增的；当 a<0时，指数函数和幂函数的 图像都是单调递减的。
指数函数和幂函数的定义域都 是全体实数集R，值域都是正 实数集(0,+infty)。
指数函数与三角函数的关系
指数函数知识点
指数函数知识点指数函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。
在本篇文章中，我们将介绍指数函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、指数函数的定义和性质指数函数是以底数为常数的指数幂的函数，通常用f(x) = a^x来表示，其中a是底数，x是指数。
指数函数具有以下几个重要的性质：1. 指数函数的定义域为实数集，即对于任意实数x，指数函数都有定义。
2. 当底数a大于1时，指数函数的图像呈现递增趋势；当0<a<1时，指数函数的图像呈现递减趋势。
3. 指数函数在x = 0处的函数值为1，即f(0) = 1。
4. 指数函数具有指数运算的性质，即a^m * a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(mn)，(ab)^n = a^n * b^n。
二、指数函数的应用指数函数在自然科学和经济学等领域中有广泛的应用。
下面我们将介绍指数函数在人口增长、物质衰变和金融投资等方面的应用。
1. 人口增长模型人口增长模型是指描述人口随时间变化规律的数学模型。
指数函数常常被用来描述人口增长模型，其中人口数量随着时间指数增长。
通过研究指数函数可以预测未来的人口增长趋势，为制定合理的人口政策提供参考。
2. 物质衰变模型物质衰变模型是指描述放射性物质衰变规律的数学模型。
指数函数被广泛应用于物质衰变模型中，其中物质的质量随时间指数减少。
通过研究指数函数可以计算物质的衰变速率以及剩余物质的数量，对放射性物质的安全使用和储存具有重要的意义。
3. 金融投资模型指数函数也广泛应用于金融领域的投资分析中。
例如，股票指数可以用指数函数描述，通过研究指数函数可以分析股票市场的涨跌趋势，为投资者制定合理的投资策略提供参考。
此外，指数函数还可以用于计算复利，在长期投资中具有重要的应用价值。
总结：指数函数作为数学中的重要概念，在自然科学和经济学中都具有广泛的应用。
通过研究指数函数的定义和性质，我们可以更好地理解指数函数在实际问题中的应用。
指数函数及其图像与性质的应用
应用
学目标
1.巩固指数函数的图像与性质; 2.掌握指数函数的图像与性质的综合运用.
识梳理
一、指数函数的图像与性质
a (0,1)
y
a (1, )
y
图像
1 f(x)=ax O x
1 O
f(x)=ax x
定义域 值域 过定点 图像分布 x 0 时，
( , ) (0, )
O 1
x
1 O
2
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 【课堂练习】 函数 f(x)=2x -x 2 的图像大致是（ A ）
y y y y
O
x
O
x
O
x
O
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 说明 函数 f(x)=2x 与 g(x)=x 2 的图像大致是
3 2 1 –2 –1 O 3 y 2 1 –2 –1 O 1 2 x 1 2 x y 3 2 1 –1 O 3 y 2 1 –1 O 1 2 x 1 2 3x y
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 例题 2 函数 f(x)=ln|x-1| 的图像大致是（
y y y
B ）
y
-1 O
x
O
1
x
2 3 1 B. f( ) f( ) f( ) 3 2 3 3 2 1 D. f( ) f( ) f( ) 2 3 3
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 【课堂练习】 若直线 y=2a 与函数 f(x)=|ax -1|+1(a>0，且 a 1) 的图 像有两个公共点，则 a 的取值范围是
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
指数函数的图象和性质 教案
4.4.2 指数函数的图象与性质教学目标1.掌握指数函数的图象变换.2.熟悉指数函数与其他函数的复合函数的处理方法.3.熟悉指数函数在实际问题中的应用教学重点：1.指数函数的图象与底数的关系.2.指数函数的图象变换与参数的关系，特殊点在图象变换中的作用.3.复合函数的单调性、定义域与值域问题的处理方法.4.指数函数性质的应用．教学难点：1.指数函数的图象与底数关系的直观理解与严格证明.2.参数在图象变换(平移、翻转)中的作用，数形结合方法的进一步渗透.3.复合函数相关问题中各种函数性质的综合应用.教学过程：一、核心概念知识点一、不同底指数函数图象的相对位置指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由变；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由变；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．知识点二、函数图象的对称和变换规律一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x 轴对称，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．函数y ＝f (|x |)的图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y 轴右边的图象保留，y 轴左边的图象删去，再将y 轴右边部分关于y 轴对称得y 轴左边图象，就得到了y ＝f (|x |)的图象． 知识点三、与指数函数复合的函数单调性(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数， 复合而成．(2)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f [g (x )]的单调性有如下特点：过考查f (u )和g (x )的单调性，求出y ＝f [g (x )]的单调性．二、评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)3－1.8>3－2.5.( ) (2)7－0.5<8－0.5.( )(3)6－0.8<70.7.( )答案：（1）√、（2）×、（3）√2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)如果57xx aa (a >0，且a ≠1)，当a >1时，x 的取值范围是__________；当0<a <1时，x 的取值范围是________．(2)满足31()4x 的x 的取值范围是________．(3)某种细菌在培养的过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由一个分裂成4096个需经过________小时．答案：(1)7(,)6，7(,)6、(2)(,1)、(3)3三、典例分析题型一 指数函数的图象变换例1利用函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，作出下列各函数的图象：(1)f (x －1)；(2)－f (x )；(3)f (－x )．【答案】作出f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示：(1)f (x －1)的图象：需将f (x )的图象向右平移1个单位长度得f (x －1)的图象，如下图(1)． (2)－f (x )的图象：作f (x )的图象关于x 轴对称的图象得－f (x )的图象，如下图(2)． (3)f (－x )的图象：作f (x )的图象关于y 轴对称的图象得f (－x )的图象，如下图(3)．金版点睛：作与指数函数有关的图象应注意的问题(1)作与指数函数有关的函数图象，只需利用指数函数的图象作平移变换或对称变换即可，值得注意的是作图前要探究函数的定义域和值域，掌握图象的大致趋势．(2)利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如本例(1)；对称需分清对称轴是什么，如本例(2)(3)． 跟踪训练1画出函数y ＝2|x －1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质． 【答案】y ＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1.其图象是由两部分组成的：一是把y ＝2x 的图象向右平移1个单位长度，取x ≥1的部分；二是把y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象向右平移1个单位长度，取x <1的部分，如图中实线部分所示．由图象可知，函数有三个重要性质：①对称性：图象的对称轴为直线x ＝1；②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增； ③函数的值域：[1，＋∞).题型二 利用指数函数的单调性比较大小 例2比较下列各题中两个值的大小：(1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.【答案】 (1)∵1.7>1.∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.(2)解法一：∵1.7>1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方．而0.3>0， ∴1.70.3>1.50.3. 解法二：∵1.50.3>0，且1.70.31.50.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.50.3， 又1.71.5>1,0.3>0，∴⎝⎛⎭⎫1.71.50.3>1， ∴1.70.3>1.50.3.(3)∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1， ∴1.70.3>0.83.1.金版点睛：比较函数值大小的常用方法(1)利用函数单调性比较，此法用于可化为同底的式子．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂值比较大小，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)当底数不同，指数也不同时，采用中间值法，即当两个数不易比较时，可找介于两值中间且与两数都能比较大小的一个值，进而利用中间值解决问题．跟踪训练2比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1，1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1.【答案】 (1)∵0<0.8<1，∴y ＝0.8x 在R 上是减函数．∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，又∵0.8－0.2＝1.250.2∴0.8－0.1<1.250.2.(2)∵0<1π<1，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx 在R 上是减函数． 又∵－π<0，∴⎝⎛⎭⎫1π－π>⎝⎛⎭⎫1π0＝1，即⎝⎛⎭⎫1π－π>1.题型三解简单的指数不等式 例3设0<a <1，解关于x 的不等式22232223x x xx aa .【答案】∵0<a <1，∴y ＝a x 在R 上是减函数．又∵22232223x x xx aa ，∴2x 2－3x ＋2<2x 2＋2x －3，解得x >1. ∴不等式的解集是(1，＋∞)．金版点睛：解指数型函数不等式的依据解a f (x )>a g (x )(a >0，且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：跟踪训练3求满足下列条件的x 的取值范围：(1)139x x ； (2)0.225x0.2x <25； (3)57xx aa (0a ，且1a)．【答案】 (1)∵3x －1>9x ，∴3x －1>32x ，又y ＝3x 在定义域R 上是增函数， ∴x －1>2x ，∴x <－1，即x 的取值范围是(－∞，－1)．(2)∵0<0.2<1，∴指数函数f (x )＝0.2x 在R 上是减函数．又25＝0.2－2，∴0.2x <0.2－2，∴x >－2，即x 的取值范围是(－2，＋∞)． (3)当a >1时，∵a－5x<a x －7，∴－5x <x －7，解得x >76；当0<a <1时，∵a －5x<a x －7，∴－5x >x －7，解得x <76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫76，＋∞；当0<a <1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，76. 题型四 指数函数性质的综合应用 例4已知函数f (x )＝a －12x ＋1(x ∈R )．(1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f (x )为奇函数，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求f (x )在区间[1,5]上的最小值． 【答案】 (1)证明：∵()f x 的定义域为R ，任取12x x ，则121212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x aa， ∵12x x ， ∴1212220,(21)(21)0xx x x ， ∴12()()0f x f x ，即12()()f x f x ，∴不论a 为何实数，()f x 总为增函数. (2)∵f (x )在x ∈R 上为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0，解得a ＝12.(3)由(2)知，f (x )＝12－12x ＋1，由(1)知，f (x )为增函数，∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1)． ∵f (1)＝12－13＝16，∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为16.金版点睛：复合函数的单调性问题函数y ＝f (a x )的单调区间既要考虑f (x )的单调区间，又要讨论a 的取值范围：当a >1时，函数y ＝f (a x )与函数f (x )的单调性相同；当0<a <1时，函数y ＝f (a x )与函数f (x )的单调性相反．但在证明过程中，仍应严格按照定义证明． 跟踪训练4已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明：f (x )为奇函数；(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明． 【答案】 (1)证明：由题知f (x )的定义域为R .f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x (3－x ＋1)·3x ＝1－3x1＋3x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)f (x )在定义域上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则2121212112213131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ， ∵12x x ， ∴2112330,310,310xx x x ，∴21()()f x f x ，∴()f x 为R 上的增函数.四、随堂练习1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．22D ．0.90.3>0.90.5答案：D解析：因为函数y ＝0.9x 在R 上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.2．若213211()()22aa a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案：B解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.3．设13＜⎝⎛⎭⎫13b <⎝⎛⎭⎫13a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a答案：C解析：由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .4．函数11()2x y的单调增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1)答案：A解析：设t ＝1－x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的递增区间．5．已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数f (x )的值域．解：y ＝a 2x ＋2a x －1，令t ＝a x ，则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 当a >1时，∵x ≥0，∴t ≥1， ∴当a >1时，y ≥2.当0<a <1时，∵x ≥0，∴0<t ≤1. ∵g (0)＝－1，g (1)＝2， ∴当0<a <1时，－1<y ≤2.综上所述，当a >1时，函数的值域是[2，＋∞)； 当0<a <1时，函数的值域是(－1,2]．。