高三数学一轮复习中期诊断测评试卷 理(扫描版)
2011《金版新学案》高三一轮数学(理)高考总复习测评卷：章末质量检测11
《金版新学案》高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『理科』卷(十一)极限 导数 数系的扩充——复数——————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．只有一项是符合题目要求的)1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－12．li m x →－1 x 2＋3x ＋2x 2－1的值等于( )A ．2 B.12C ．－12D ．－23．设复数z 满足1＋2iz＝i ，则z 等于( )A ．－2＋iB ．－2－iC ．2－iD ．2＋i4．已知M ＝{1,2，(a －1)＋(b －5)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，实数a 与b 的值分别是( )A ．－4,5B ．4,5C ．－4，－5D ．4，－55．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 226．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)，则( )A ．n 为任何正整数时都成立B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立7．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π49．设正数a ，b 满足li m x →2 (x 2＋ax －b )＝4，则li m n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n等于( )A ．0 B.14C.12D ．1 10．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为 ( )A.⎣⎡⎦⎤12，12e π2B.⎝⎛⎭⎫12，12e π2 C.⎣⎡⎦⎤1，e π2 D.⎝⎛⎭⎫1，e π2 11．已知等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，且li m n →∞ S nS 2n＝S 存在，对所有这样的等比数列，记集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫S |S ＝li m n →∞ S n S 2n ，则M 的非空子集的个数为 ( )A ．1B ．3C ．6D ．712．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )①f (x )＞0的解集是{x |0＜x ＜2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值．A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②) 13．已知复数z 1＝4＋2i ，z 2＝k ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数k ＝____.14．li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤13－19＋127＋…＋(－1)n －113n ＝________. 15．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (0)]＝______；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝____.16．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知z ＝a －i1－i(a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝2x 2＋b ，已知它们的图象在x ＝1处有相同的切线．(1)求函数f (x )和g (x )的解析式；(2)若函数F (x )＝f (x )－m ·g (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，3上是单调减函数，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))的切线方程；(2)当x ＝－1时，f (x )取得极值，求a 的值，并求f (x )的单调区间．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．22．(本小题满分12分)设实数q 满足|q |＜1，数列{a n }满足：a 1＝2，a 2≠0，a n ·a n ＋1＝－q n .(1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)猜想{a n }的通项公式并证明； (3)如果li m n→∞S 2n ＜3，求q 的取值范围． 答案：卷(十一)一、选择题1．B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.2．C 原式＝li m x→－1(x ＋1)(x ＋2)(x －1)(x ＋1)＝li m x →－1 x ＋2x －1＝－1＋2－1－1＝－123．C 由1＋2i z ＝i 得：z ＝1＋2ii＝2－i.4．B 由题意知(a －1)＋(b －5)i ＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝3b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝5. 5．D ∵点(2，e 2)在曲线上， ∴切线的斜率k＝y ′||x ＝2＝e xx ＝2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)． 即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22. 6．B 可代入验证，n ＝4时，左边＝30，右边＝28，左边≠右边；n ＝5时，左边＝55，右边＝47，左边≠右边，故选B. 7．B ∵z ＝1－i ，∴z 2－2z ＝(1－i)2－2(1－i)＝－2， 又z －1＝(1－i)－1＝－i. ∴z 2－2z z －1＝－2－i ＝2i ＝2i －1＝－2i. 8．D 由题意得：f ′(x ) ＝x 2＋f ′(1)x －f ′(2)，令x ＝0得f ′(0)＝－f ′(2)， 令x ＝1得f ′(1)＝1＋f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝1， ∴f ′(0)＝－1，即f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为－1，∴倾斜角为34π.9．B 由li m x →2(x 2＋ax －b )＝4，得4＋2a －b ＝4，即b ＝2a . ∴li m n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n＝li m n→∞a2n －1＋11a ·2n －1＋4＝14. 10．A f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是⎣⎡⎦⎤0，π2上的增函数． ∴f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，12e π2.故应选A. 11．D 由题意可知，当|q |≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q，故S n S 2n ＝1－q n1－q 2n. 当|q |＞1时，S ＝li m n →∞1q 2n －1q n1q 2n－1＝0；当0＜|q |＜1时，li m n →∞ 1－q n1－q2n ＝1； 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S ＝li m n →∞ S n S 2n＝12，当q ＝－1时，S ＝li m n →∞ S nS 2n不存在故满足要求的M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1，从而推知非空子集有7个，选D.12．D 由f (x )＝(2x －x 2)e x＞0可得0＜x ＜2，故①正确；又f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝(2－x 2)e x ＝0可得，x ＝±2，且当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＜0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (－2)是极小值，f (2)是极大值，即②正确．根据图象的特点易知③不正确．故选D.二、填空题13．【解析】 z 2＝k －i ，z 1·z 2＝(4＋2i)(k －i)＝(4k ＋2)＋(2k －4)i ， 又z 1·z 2是实数，则2k －4＝0，即k ＝2. 【答案】 2 14．【解析】 原式＝li m n →∞13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n 1－⎝⎛⎭⎫－13＝li m n →∞ 14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n＝14(1－0)＝14. 【答案】 1415．【解析】 由函数图象可知f (x )的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2≤x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2. f ′(1)＝－2.【答案】 2 －2 16．【解析】 题意即e x ＋a ＝0有大于0的实根，数形结合令y 1＝e x ，y 2＝－a ，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得－a ＞1⇒a ＜－1【答案】 a ＜－1 三、解答题17．【解析】 ∵z ＝a －i1－i，∴ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a (a ＋1)2i. 由a (a ＋1)2－a ＋12＝32，得a 2＝4.又a ＞0，∴a ＝2.∴ω＝32＋3i.18．【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝4x ， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝2＋b ，3＋a ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ∴f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝2x 2(2)∵F (x )＝f (x )－mg (x )＝x 3＋x －2mx 2， ∴F ′(x )＝3x 2－4mx ＋1若x ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，F (x )是减函数，则3x 2－4mx ＋1≤0恒成立，得 ⎩⎪⎨⎪⎧F ′⎝⎛⎭⎫12≤0F ′(3)≤0∴m ≥7319．【解析】 (1)a ＝0时，f (x )＝x 2＋ln x .f ′(x )＝2x ＋1x，k ＝f ′(1)＝3，f (1)＝1. 故切线方程为： y －1＝3(x －1) 即y ＝3x －2.(2)f ′(x )＝2x ＋1x ＋a，由f ′(－1)＝0，得a ＝32.从而f ′(x )＝2x ＋1x ＋32＝2x 2＋3x ＋1x ＋32＝(2x ＋1)(x ＋1)x ＋32.又f (x )定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞， 故当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，f ′(x )＞0.⎝⎛⎭⎫－32，－1为函数的单调递增区间． 同理可得⎝⎛⎭⎫－1，－12为函数的单调递减区间，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞为函数的单调递增区间． 20．【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0； 当x ＞2时，f ′(x )＞0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)＞0或f (1)＜0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a ＜2或a ＞52.21．【解析】 (1)由题意，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.①当a ≥0时， f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，令f ′(x )>0，得x >－a ，∴f (x )的单调增区间为(－a ，＋∞)．(2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax2①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为增函数，∴[f (x )]min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去)．②a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为减函数，∴[f (x )]min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，－a )上为减函数，当－a <x <e 时，f ′(x )>0 ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴[f (x )]min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e综上所述，a ＝－ e.22．【解析】 (1)∵a 1·a 2＝－q ，a 1＝2，a 2≠0，∴q ≠0，a 2＝－q2.∵a n ·a n ＋1＝－q n ，a n ＋1·a n＋2＝－qn ＋1， 两式相除，得a n a n ＋2＝1q，即a n ＋2＝q ·a n .∴a 3＝2q ，a 4＝－12q 2，a 5＝2q 2.(2)由a 1，a 2，a 3，a 4，a 5猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2q k －1，n ＝2k －1(k ∈N )，－12q k ，n ＝2(k ∈N). 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1,2时显然成立．②假设n ＝2k －1时，a 2k －1＝2·q k －1，则n ＝2k ＋1时，由于a 2k ＋1＝q ·a 2k －1.∴a 2k ＋1＝2·q k ，即n ＝2k －1成立，可推知n ＝2k ＋1也成立．假设n ＝2k 时，a 2k ＝－12q k ，则n ＝2k ＋2时，由于a 2k ＋2＝q ·a 2k ，所以a 2k ＋2＝－12q k ＋1，这说明n ＝2k 成立，可推知n ＝2k ＋2也成立．综上所求，对一切正整数n ，猜想都成立．这样所求通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·q k －1，n ＝2k －1(k ∈N )，－12q k ，n ＝2k (k ∈N). (3)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)－12(q ＋q 2＋…＋q n)＝2(1－q n )1－q －12·q (q －q n )(1－q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q n1－q ⎝⎛⎭⎫4－q 2. 由于|q |＜1，li m n →∞q n＝0，故li m n →∞S 2n＝li m n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q n1－q ⎝⎛⎭⎫4－q 2＝4－q 2(1－q ). 依题意，知4－q 2(1－q )＜3，并注意1－q ＞0，|q |＜1，解得－1＜q ＜0或0＜q ＜25.。
浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试(月考)数学理试题 Word版含答案
浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试数学理试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = （A ）1[1,)2- （B ）1(,1]2-（C ）1[0,)2 （D ）1(,0]2-2．设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是 （A ）(-a )7＜(-a )9 （B ）b - 9＜b - 7（C ）11lg lg a b > （D ）11ln ln a b>3．已知R α∈，cos 3sin αα+，则tan 2α=（A ）43 （B ）34 （C ）34- （D ）43-4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6(第4题图)5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ （C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为 （A ）23cm （B ）43cm （C ）63cm （D ）83cm 7．251(1)(2)x x--的展开式的常数项是（A ）48 （B ）﹣48 （C ）112 （D ）﹣1128．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 （A ）14 （B ）13 （C ）27 （D ）3119．已知实系数二次函数()f x 和()g x 的图像均是开口向上的抛物线，且()f x 和()g x 均有两个不同的零点．则“()f x 和()g x 恰有一个共同的零点”是“()()f x g x +有两个不同的零点”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设F 1、F 2是椭圆Γ的两个焦点，S 是以F 1为中心的正方形，则S 的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S 的各边可以不与Γ的对称轴平行）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（第6题图）正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．已知复数z 满足22z z +-= i （其中i 是虚数单位），则z = ▲ ． 12．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是▲ ．13．已知抛物线23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是 ▲ ．14．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X ，则随机变量X 的数学期望是 ▲ ．15．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是 ▲ ．16．在△ABC 中，∠C=90︒，点M 满足3BM MC =，则sin ∠BAM 的最大值是 ▲ ． 17．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO x AB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 5B c =，11cos 14B =．（I ）求角A 的大小；（II ）设BC 边的中点为D ，AD =ABC ∆的面积． 19．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==错误！未找到引用源。
河南省湘豫名校联考2023-2024学年高三上学期一轮复习诊断考试(二)数学试题
R
，则
和
的值分别为（
）
A． = 4 ， 3 B． 3 ， 4
5
4
4
5
C． 5 ， 3
6
4
D． 3 ， 5
4
6
6．在数列
an
中， an
0，
a1
1，
a2 n1
a2 n1
an2 an2
2n ，则 a113
（
）
A． 4 14
B．15
C． 223
D．10
7．已知函数 f x log2 x x2 ，则不等式 f ln x f ln x 2 的解集为（ ）
1 ，如果存在实数 t
0,1
，使得
f
t
1 a
1 2
,
1 2
成立，则实数
a
的取值
范围是 2,
11．斐波那契是公元 13 世纪意大利著名的数学家，他在自己的著作《算盘全书》中记 载着一个兔子繁殖问题：假定有一对大兔子（一雌一雄），每个月可以生下一对小兔子 （一雌一雄），并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力.假如一年内没有发生 死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？数学家斐波那契在研究时， 发现了这样一个数列的数学模型：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个
(2)若
π 8
5π 8
，
f
π 8
11 20
，求 cos 2
的值.
七、证明题
18．已知数列 an 满足
a1
1，
4an1
4
1 an
.
1
(1)证明：
2an
1
是等差数列；
高三数学一轮复习单元评估检测(2) 第2章 函数、导数及其应用 理 新人教A版
单元评估检测（二）（第二章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax 3＋bx －3，若f(－2)＝7，则f(2) ＝( )(A)13 (B)－13 (C)7 (D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数 (B)f(x)－|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|＋g(x)是偶函数 (D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是( )5.设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )(A)y ＝a x(B)y ＝log a x (C)y ＝xe x (D)y ＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)＞f(x 2)，则下列不等式恒成立的是( )(A)x 1＞x 2 (B)x 1＜x 2 (C)x 1＋x 2＞0 (D)x 12＞x 228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )(A)[ 2－2，2＋2] (B)(2－2，2＋2) (C)[1,3] (D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg 14－lg25)÷10012 ＝ .10.定积分∫0ln2e xdx 的值为 .11.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 .12.当x∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 13.函数f(x)＝(x ＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋ f(－2)等于 .14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x 2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b∈B，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x ＋1－1)的定义域为集合A ，函数g(x)＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝ 的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 与g(x)＝－x 2＋2x ＋d 的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b ，c ，d 的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R 上是单调函数，求m 的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k. (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m 2m 3x －＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax 3＋92x 2－b(x∈R)，其中a ，b∈R.若函数g(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′(x)＋1e x－2e 成立.答案解析1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a ·23－2b －3＝－(a ·23＋2b)－3＝7， ∴a ·23＋2b ＝－10，∴f(2)＝a ·23＋2b －3＝－10－3＝－13.3. 【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ∴|g(x)|的图象关于y 轴对称，是偶函数， 又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.5. 【解析】选D.∵f ′(x)＝13－1x ，∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减. 而0＜1e＜1＜e ＜3，又f(1e )＝13e ＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x ，h(x)＝lnx ，如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x ＞1，则关于x 的方程f(x)＝log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)， ∵(a x)′＝a xlna ，(xe x)′＝e x＋xe x，导函数的定义域为R ， ∴排除选项A ，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(log a x)′＝1xlna ，导函数的符号与参数a 有关，排除B ，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数， 当x ∈(0，π2]时，f ′(x)＝sinx ＋xcosx ＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x 1)＞f(x 2)⇔f(|x 1|)＞f(|x 2|)⇔|x 1|＞|x 2|⇔x 12＞x 22.8.【解析】选B.∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b<2＋ 2.故选B. 9.【解析】(lg 14－lg25)÷12100-＝lg 1425÷1100＝lg 1100÷110＝10×lg10－2＝－20. 答案：－2010.【解析】∫0ln2e xdx ＝e x|0ln2＝e ln2－e 0＝2－1＝1. 答案：111.【解析】y ′＝1x ＋a (x ＋a)′＝1x ＋a，设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1x 0＋1＝ln(x 0＋a)，解得a ＝2. 答案：212.【解析】设y 1＝(x －1)2，则y 1的图象如图所示：设y 2＝log a x ，则当x ∈(1,2)时，y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2－1)2＝1， ∴a ≤2，∴1＜a ≤2. 答案：{a|1＜a ≤2}13.【解析】令t ＝1，则f(2)＝－f(0). ∴(2＋a)3＝－a 3， ∴a ＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26. 答案：－26 14.【解析】答案：②③15.【解析】(1)A ＝{x|2x ＋1－1>0}，2x ＋1－1>0⇒x －1x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x<1.∴A ＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)＝lg 1－x x ＋1，则f(－x)＝lg 1＋x －x ＋1＝lg(1－x x ＋1)－1＝－lg 1－xx ＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B ＝{x|x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a]， 当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a]，有A ∩B ＝∅. 反之，若A ∩B ＝∅，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2. 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P 的坐标代入两函数解析式，结合x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d 有唯一解，可求得b ，c ，d ，(2)若F(x)在R 上是单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≥0或F ′(x)≤0.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－2－1＋2＋d ＝－2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－3d ＝－3，且x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d ，即2x 2＋(b －2)x ＋c －d ＝0有唯一解， 所以Δ＝(b －2)2－8(c －d)＝0，即b 2－4b －8c －20＝0， 消去c 得b 2＋4b ＋4＝0，解得b ＝－2，c ＝－1，d ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 2－2x －1，g(x)＝－x 2＋2x －3， 故g ′(x)＝－2x ＋2， F(x)＝(f(x)＋m)·g ′(x) ＝(x 2－2x －1＋m)·(－2x ＋2)＝－2x 3＋6x 2－(2＋2m)x ＋2m －2， F ′(x)＝－6x 2＋12x －2－2m.若F(x)在R 上为单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≤0或F ′(x)≥0成立. 因为F ′(x)的图象是开口向下的抛物线， 所以F ′(x)≤0在R 上恒成立，所以Δ＝122＋24(－2－2m)≤0，解得m ≥2， 即m ≥2时，F(x)在R 上为单调递减函数.17.【解析】(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k ＞0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k). 当k ＜0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ， －k).(2)当k ＞0时，因为f(k ＋1)＝ek 1k+＞1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k ＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e ，等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k ＜0.故对∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0).18.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为 y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1).(2)y ′＝5a(4－2x －12x 2)，令y ′＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0<x<12时y ′>0；12<x<1时y ′<0，∴函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋mx (2＋x)x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋1212mx －＝m2x2(x 32－512).令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x<64时，f ′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当64<x<640时，f ′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以f(x)在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9， 故需新建9个桥墩才能使y 最小.19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，可得－m 2＋2m ＋3>0，再由f(x)为偶函数得m 的值.(2)g(x)仅在x ＝0处有极值，则意味着g ′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.【解析】(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0即m 2－2m －3<0，∴－1<m<3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f(x)＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f(x)＝x 4是偶函数， ∴f(x)＝x 4.(2)g(x)＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ， g ′(x)＝x(x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g(x)仅在x ＝0处有极值，则有x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式，得a ∈[－2,2].这时，g(0)＝－b 是唯一极值，∴a ∈[－2,2].20.【解析】(1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]， 当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32； 当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72， 故g(x)在[0,3]上的值域为[32，72]. (2)f ′(x)＝lnx ＋1，当x ∈(0，1e)，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1e，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增. ①0<t<t ＋2<1e，t 无解； ②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f(1e) ＝－1e； ③1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ； 所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t<1e tlnt ，t ≥1e .(3)g ′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到； 设m(x)＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x)＝1－x e x ， 易得m(x)max ＝m(1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g ′(x)＋1e x －2e成立.。
高三数学(理)一轮总复习课时跟踪检测(二) 四种命题和充要条件 Word版含解析
课时跟踪检测（二）四种命题和充要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快．“(－)＝”是“＝”的条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若(－)＝，则＝或＝，即不一定是＝；若＝，则一定能推出(－)＝.故“(－)＝”是“＝”的必要不充分条件．答案：必要不充分．(·苏州模拟)已知：<；：－－<，则是的条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由－－<，得(－)(＋)<，解得－<<；由<得－<<.注意到由－<<不能得－<<，即由不能得；反过来，由－<<可知－<<，即由可得.因此，是的必要不充分条件．答案：必要不充分．原命题：“设，，∈，若>，则>”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为．解析：当＝时，＝，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设，，∈，若>，则>”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有个．答案：．设命题：≤，命题：(－)[－(＋)]≤，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是．解析：解不等式≤，得≤≤，故满足命题的集合＝.解不等式(－)[－(＋)]≤，得≤≤＋，故满足命题的集合＝[，＋]．又是的必要不充分条件，则是的真子集，即≤且＋≥，解得≤≤，故实数的取值范围是.答案：．(·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题：①“>”是“>”的充分不必要条件；②“α>β”是“α< β”的必要不充分条件；③“＝”是“函数()＝＋(∈)为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为．解析：①是充要条件，故①错误；②是既不充分又不必要条件，故②错误；③正确．答案：③二保高考，全练题型做到高考达标．已知复数＝(∈，为虚数单位)，则“>”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：＝＝－(＋)＝－，若位于第四象限，则>，反之也成立，所以“>”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．答案：充要．命题“，∈，若＋＝，则＝＝”的逆否命题是．解析：＝＝的否定为≠或≠；＋＝的否定为＋≠.答案：，∈，若≠或≠，则＋≠．(·南京、盐城一模)设向量＝( θ，θ)，＝( θ，)，则“∥”是“θ＝”的条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若∥，则θ－θ＝，即θ－θθ＝，解得θ＝或θ＝，所以“∥”是“θ＝”的必要不充分条件．答案：必要不充分．命题：“若＝，则，，成等比数列”，则命题的否命题是(填“真”或“假”)命题．解析：命题的否命题是“若≠，则，，不成等比数列”．答案：假．(·镇江五校联考)若条件：≤，条件：≤，且是的充分不必要条件，则的取值范围是．解析：因为≤，则：－≤≤，：≤，由于是的充分不必要条件，则对应的集合是对应的集合的真子集，所以≥.答案：[，＋∞)．在命题“若＞－，则＞”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是．解析：若＝，＝，则>－，但<，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若＝－，＝－，则(－)>(－)，但－<，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为.答案：。
2025届百师联盟高三一轮复习联考(一)数学试卷(含答案)
2025届百师联盟高三一轮复习联考（一）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x ∈R ，12x 2−sin x >0”的否定是( )A. ∃x ∈R ，12x 2−sin x <0 B. ∃x ∈R ，12x 2−sin x ≤0C. ∀x ∈R ，12x 2−sin x ≤0D. ∀x ∈R ，12x 2−sin x <02.若全集U =R ，集合A ={x|x ≥0}，B ={x|x 3≤27}，则A ∩(∁U B)=( )A. (0,3)B. (3,+∞)C. [3,+∞)D. [0,3]3.在复平面内，复数z =(3+i)(1−i)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知sin (α+π6)=32+cos α，则cos (2α−π3)=( )A. −12B. 12C. −34D. 345.函数f(x)={13x 3+ax 2−a +4,x >0,ax +cos x,x⩽0在R 上单调，则a 的取值范围是( )A. [1,3)B. (1,3]C. [1,3]D. (1,3)6.若15log 1.52⋅t =6×10log 1.53，则t =( )A. 60B. 45C. 30D. 157.已知函数f(x)=sin x +a cos x ，且f(x)=f(10π3−x).则函数g(x)=a sin x +cos x 的图象的一个对称轴可以为( )A. x =π6B. x =5π6C. x =7π6D. x =π8.已知点O(0,0)，点P 1(π12,cos π12)，P 2(π8,cos π8)，P 3(π6,cos π6)，则下列选项正确的是( )A. |OP 1|>|OP 2|>|OP 3| B. |OP 1|>|OP 3|>|OP 2|C. |OP 2|>|OP 3|>|OP 1|D. |OP 3|>|OP 2|>|OP 1|二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021年高三理科第一轮复习阶段测试数学卷(第15周) 含答案
2021年高三理科第一轮复习阶段测试数学卷（第15周）含答案【测试范围】：xx年全国高考函数题型：选择，填空，解答【测试目的】：明确高考考点，掌握高考考试题型函数模型及其应用1. [xx·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p＋q2B.（p＋1）（q＋1）－12C.pqD.（p＋1）（q＋1）－12. [xx·陕西卷] 如图12，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图12A．y＝1125x3－35x B．y＝2125x3－45x C．y＝3125x3－x D．y＝－3125x3＋1 5 x导数及其运算3. [xx·安徽卷]设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．4.[实验班] [xx·安徽卷]设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{a n}满足a1＞c 1p，a n＋1＝p－1pan＋cpa1－pn，证明：a n＞a n＋1＞c1p.5. [xx·福建卷] 已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.6. [xx·广东卷]曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．7. [xx·江西卷] 若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．8．[xx·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．9. [xx·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．110. [xx·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．311. [xx·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．12.[xx·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .导数的应用13. [xx·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．14. [xx·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．答案提示：【导数部分习题难度较高，普通班可以选择：选择题、填空完成】函数模型及其应用1.[解析] 8．D 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x ＝（1＋p）（1＋q）－1.2. [xx·陕西卷] 9. 如图12，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图12 A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x导数及其运算3. [xx·安徽卷] 18． 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0， ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．4. [xx·安徽卷] 21． 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c pa －pk ＝ 1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1.由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1p >1＋p · 1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1＝c a p k .因此apk ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n＝k＋1时，不等式a n>c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n>c 1p均成立．再由an＋1an＝1＋1p⎝⎛⎭⎪⎫ca pn－1可得an＋1an<1，即a n＋1<a n.综上所述，a n>a n＋1>c 1p，n∈N*.方法二：设f(x)＝p－1px＋cpx1－p，x≥c1p，则x p≥c，所以f′(x)＝p－1p＋cp(1－p)x－p＝p－1p⎝⎛⎭⎪⎫1－cx p>0.由此可得，f(x)在[c 1p，＋∞)上单调递增，因而，当x>c1p时，f(x)>f(c1p)＝c 1p.①当n＝1时，由a1>c1p>0，即a p1>c可知a2＝p－1pa1＋cpa1－p1＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p⎝⎛⎭⎪⎫ca p1－1<a1，并且a2＝f(a1)>c1p，从而可得a1>a2>c1p，故当n＝1时，不等式a n>a n＋1>c1p成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式a k>a k＋1>c1p成立，则当n＝k＋1时，f(ak )>f(a k＋1)>f(c1p)，即有a k＋1>a k＋2>c 1p ，所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n>a n＋1>c 1p均成立．5. [xx·福建卷] 20．已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.20．解：方法一：(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<e x.(3)证明：①若c≥1，则e x≤c e x.又由(2)知，当x>0时，x2<e x.故当x>0时，x2<c e x.取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.②若0<c<1，令k＝1c>1，要使不等式x2<c e x成立，只要e x>kx2成立．而要使e x>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－2x＝x－2x.所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0.即存在x0＝16c，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.方法二：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c，由(2)知，当x >0时，e x >x 2，所以e x＝e x2·e x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22>4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 6. [xx·广东卷] 10．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.7. [xx·江西卷] 13． 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．8.解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19.所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. 9. C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.10. D [解析] y′＝a－1x＋1，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.11. 解：由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g 3(x)＝x1＋3x，…，可得g n(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即g k(x)＝x1＋kx.那么，当n＝k＋1时，g k＋1(x)＝g(g k(x))＝gk（x）1＋g k（x）＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋（k＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥0)，则φ′(x)＝11＋x－a（1＋x）2＝x＋1－a（1＋x）2，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(仅当x＝0时等号成立)．当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋nn＋1，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n＋1<ln(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>x1＋x，x>0.令x＝1n，n∈N＋，则1n＋1<lnn＋1n.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋lnk ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证． 12.解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，其在x轴上的截距为a2－1ln 2.由题意有a2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.从而a n＝n，b n＝2n，所以数列{anbn}的通项公式为anbn＝n2n，所以T n＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，2T n＝11＋22＋322＋…＋n2n－1，因此，2T n－T n＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝2－12n－1－n2n＝2n＋1－n－22n.所以，T n＝2n＋1－n－22n.导数的应用13. [xx·四川卷] 21．解：(1)由f(x)＝e x－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝e x－2ax－b.所以g′(x)＝e x－2a.当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12<a<e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12<a<e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a<e2.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，解得e－2<a<1.当e－2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))．若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点． 综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．14. [xx·安徽卷] 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0， ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，所以f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．33118 815E 腞 $40709 9F05 鼅24719 608F 悏32672 7FA0 羠30439 76E7 盧25697 6461 摡37221 9165 酥=d37137 9111 鄑28822 7096 炖29100 71AC 熬。
2023届北京市高考数学(理)一轮复习模拟收官卷(一)(解析版)
A B =（ 1,2．（2022·北京房山（ ） 5．（2022·北京|23MN ，那143k -403k0k 或43k -403k 2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（ ）2x = 3y x =- cos 2x =2ln2xy x-=+ 2022·北京·首都师范大学附属中学三模）设函数()1sin f x x =∈R ，其中A ．直线11A D 与直线EF 相交B ．当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面1AD F 的射影是点F C ．存在点E ，使得直线1AD 与直线EF 所成角为30 D ．三棱锥E ADF -的体积为定值9．（2022·北京师大附中高二期中）当N n ∈时，将三项式()21nx x ++展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为75，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-10．（2022·北京市第三十五中学高三阶段练习）如图，△11OB A ，△122A B A 是全等的等腰直角三角形，12,B B 为直角顶点，12,,O A A 三点共线.若点12,P P 分别是边1122,A B A B 上的动点（不包含端点）.记12=m OB OP ⋅，21=n OB OP ⋅，则（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．,m n 大小不能确二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）cos60，请写出一组符合题意的北京八十中模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这1,2)，描清华附中模拟预测）在ABC中，这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的：ABC的周长为A B =（ 1,2【答案】D【详解】解：因为A B ={0,1,2故选：D.．（2022·北京房山5 【答案】A【详解】由题意知，|23，那143k -403k0k 或43k -403k 【答案】D【详解】圆化简为标准方程为()22x -+，圆心()2,0到直线y 的距离2d k =22243k k ⎛- ⎝，4n S 成立，即项和中的最大值，10635a a .北京市大兴区兴华中学三模）李明开发的小程序在发布时已有【详解】经过又小程序在发布时已有又小程序发布经过A．直线A D与直线相交30C CB当点E 为BC 的中点时，//EF CB ，又AD CB ⊥，所以EF AD ⊥，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30︒，(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)F ，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =-=-，所以12EF BC a ⋅=-，又11cos30EF BC EF BC ︒⋅=，322212a -=⨯+⨯，解得43a =±， 不符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30︒，故C 错误；：如图，ADESBF ⋅为定值，所以ADF -()()5a 是全等的等腰直角三角形，12,B B 为直角顶点，,O A 12=OB OP ⋅，21=OB OP ⋅，则（A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．,m n 大小不能确232122 2=OB OP⋅=1232 2=OB OP⋅= m n<.故选：B.二、填空题（共5分，共25分．）．（2022·北京·清华附中模拟预测）函数)lg xx=的定义域为cos60，请写出一组符合题意的()cos9030sin30os60=-=，sin30，1,2)，描1,2)，两式作差得，{}n b 为正实数数列，故，因为11a b -清华附中模拟预测）在ABC 中，这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求ABC 的：ABC 的周长为3342; 选择条件22cos a c b B +-=所以存在两个ABC ，不符合题意； ，(0,πA ∈由正弦定理知，sin a A =所以ABC 的面积选择条件③：因为ABC 的周长为23c ac +-所以ABC 的面积（2022·北京市十一学校高三阶段练习）ABCD ，求证：Q 为求平面ACQ 求直线PB 到平面【答案】(1)证明见解析 PBD平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =20n AQ y z n AC x ⎧⋅=+⎨⋅=+=⎩，故可设(1,1,n =--ABCD 的法向量为()0,0,1m =， ACQ 与平面ABCD 夹角为θ， 1333m n m nθ⋅===⋅. 由于//PB 平面ACQ ，则()0,2,0BC AD ==,23BC n n⋅==的距离为23318．（2022·北京·人大附中模拟预测）某家电专卖店试销A B C ､､三种新型空调，销售情况如下表所示：a ⎧,都是32时，由于k a,都是3的倍数；2综上所述，若集合M存在一个元素是。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：8.1直线的倾斜角与斜率、直线方程Word版含答案
直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.易误提醒 任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在)[自测练习]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2.∴y ＝－3.答案：B2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：由题图可知k 1<0，k 2>0，k 3>0，且k 2>k 3，∴k 1<k 3<k 2. 答案：D知识点二 直线方程易误提醒 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．(4)由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[自测练习]3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A.3x －3y －6＋3＝0 B.3x －3y ＋6＋3＝0 C.3x ＋3y ＋6＋3＝0 D.3x ＋3y －6＋3＝0 解析：直线斜率k ＝tan 30°＝33，直线的点斜式方程为y －2＝33(x ＋1)， 整理得3x －3y ＋3＋6＝0，故选B. 答案：B4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：D考点一 直线的倾斜角与斜率|1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C. 答案：C2．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求：当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，则有－a a ＋1>1或－aa ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)3．(2016·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34.要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 注意已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用： 当k ＝tan α，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时的图象如图：考点二 直线的方程|根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用|直线方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．与最值相结合问题．2．与导数的几何意义相结合问题． 3．与平面向量相结合问题． 4．与数列相结合问题． 探究一 与最值相结合问题1．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：法一：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b≥21a ·1b＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.法二：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C. 答案：C探究二 与导数的几何意义相结合问题2．已知函数f (x )＝x －4ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析：由f ′(x )＝1－4x ，则k ＝f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，故切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.答案：3x ＋y －4＝0探究三 与平面向量相结合问题3．在平面直角坐标平面上，OA →＝(1,4)，OB →＝(－3,1)，且OA →与OB →在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为( )A ．－14B.25 C.25或－43D.52解析：直线l 的一个方向向量可设为h ＝(1，k )，由题⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·h |h |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·h |h |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |，解得k ＝25或k ＝－43，故选C.答案：C探究四 与数列相结合问题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n ＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( )A ．36B ．45C ．50D ．55解析：由a n ＝1n (n ＋1)可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9.∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.答案：B(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．17.忽视零截距致误【典例】 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[易误点评] 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．[防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．[跟踪练习] 若直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2＋1＝3，有一条．综上知，直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.答案：BA 组 考点能力演练1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：A2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案：D3．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.∴定点为⎝⎛⎭⎫－12，－3. 答案：D4．(2016·海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y＝－33x －33，选B. 答案：B5．(2016·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．选D. 答案：D6．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－247．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解析：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝09．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab， 得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3解析：法一：如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：D2．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3. 答案：－33．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |时取“＝”)．答案：5。
高三数学一轮复习第一次检测考试试题 理(含解析)
——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019高三一轮复习第一次检测考试数学（理科）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题. 10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）=lnx，若a=f（2﹣0.3），b=f（log3π），c=f（﹣）则a，b，c大小关系是（）A. b＞a＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞） B. （0，+∞） C. （1，+∞） D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。