【数学】北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试(理)
北京市海淀区2013-2014学年高二上学期期末考试数学文科
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2014.01一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 （1）抛物线22y x =的准线方程是 （ ） （A ） 12y =-（B ）1y =- （C ）12x =-（D ）1x =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12 （D ）2（320y +-=与圆224x y +=相交所得的弦的长为 （ ） （A） （B） （C（D（4）已知双曲线221x ay -=的两条渐近线方程为y =，那么此双曲线的虚轴长为（ ）（A） （B ）2 （C（D ）1（5）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，那么“0'()0f x =”是“0x 是函数()f x 的一个极值点”的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知命题:p 函数3()f x x =是增函数，命题:q x R $ ，1x的导数大于0，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）p q ∨是假命题 （C ）p ⌝是真命题 （D ）q ⌝是真命题（7）函数2e 1x y x =-的部分图象为 （ ）（B （C ） （D ）（8）在平面直角坐标系xOy 中，已知集合{}2()001x,y y x ,x ≤≤≤≤且所表示的图形的面积为31，若集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N ，则N M 所表示的图形面积为（ ） （A ）31 （B ）32 （C ）1 （D ）34二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知()cos f x x x =，则'()f x = .（10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线的方程是 .（11）曲线2y ax b =+在1x =处的切线方程为41y x =-，则a =______，b =______.（12）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（13）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .（14）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．给出下列四个结论：①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ； ③对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变. 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）已知函数321()43f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求)(x f 在区间[1,3]-上的最大值和最小值.F ED 1C 1B 1A 1DCA(16)（本小题共11分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于点P ，Q . （Ⅰ）若3PF =（点P 在第一象限），求直线l 的方程；（Ⅱ）求证：OP OQ ⋅为定值（点O 为坐标原点）.(17)（本小题共11分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(1,-，(0,1). （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设椭圆M 的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交椭圆M 于, A B 两点，求1ABF ∆面积的最大值.(18)（本小题共11分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为M ，求证：1M ≤.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 2014．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）cos sin x x x - （10）10y -= （11）2，1（12）32或1 （13 （14）①③④ 注：（11）题每空2分；（12）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）2'()2f x x ax =-. ………………………2分2x =是函数()f x 的一个极小值点，∴'(2)0f =.即440a -=，解得1a =. ………………………4分 经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点.∴ 实数a 的值为1. ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，321()43f x x x =-+.2'()2(2)f x x x x x =-=-.令'()0f x =，得0x =或2x =. ………………………6分 当x 在[1,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：当1x =-或2x =时，()f x 有最小值83； 当0x =或3x =时，()f x 有最大值4. ………………………11分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，由题意，00x >且00y >.点P 在抛物线C 上，且3PF =，∴点P 到准线1x =-的距离为3.∴013x +=，02x =. ………………………2分又 2004y x =，00y >，∴0y =∴(2,P .(1,0)F ， ………………………4分 ∴直线l的方程为1)y x =-，即y =-. ………………………5分（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为：1x my =+.由21,4x my y x=+⎧⎨=⎩得214y my =+，即2440y my --=. ………………………7分显然216160m ∆=+>恒成立.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12124,4.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ………………………9分∴1212OP OQ x x y y ⋅=+1212(1)(1)my my y y =+++21212(1)()1m y y m y y =++++224(1)41m m =-+++3=-.即3OP OQ ⋅=-为定值. ………………………11分（17）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）由题意1b =，椭圆M 的方程为2221(1)x y a a+=>. ………………………1分将点(1,-代入椭圆方程，得21112a +=，解得22a =. 所以 椭圆M 的方程为2212x y +=. ………………………3分（Ⅱ）由题意可设直线AB 的方程为：1x my =+.由221,22x my x y =+⎧⎨+=⎩得22(2)210m y my ++-=. 显然 2244(2)0m m ∆=++>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221222,21.2m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………7分因为 1ABF ∆的面积12121||(||||)2S F F y y =+，其中120y y <. 所以 12121||||2S F F y y =-. 又22121212()()4y y y y y y -=+-22221422m m m --⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22288(2)m m +=+， 12(1,0),(1,0)F F -. ………………………9分∴2212()S y y =-2222211118[]8()222(2)22m m m =-=--+≤+++.当0m =时，上式中等号成立.即当0m =时，1ABF ∆. ………………………11分（18）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0,)+∞.22'()2a f x x x =-2222x a x -=2()()x a x a x+-=. ………………………2分 令'()0f x =，解得x a =或x a =-（舍）.当x 在(0,)+∞内变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：由上表知，()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(0,)a .………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 的最小值222ln M a a a =-. ………………………6分 令22()2ln (0)g x x x x x =->，则'()24ln 24ln g x x x x x x x =--=-.令'()0g x =，解得1x =. ………………………8分 当x 在(0,)+∞内变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下：所以 函数()g x 的最大值为1，即()1g x ≤.因为0a >，所以 222ln 1M a a a =-≤. ………………………11分注：对于其它正确解法，相应给分.。
北京市西城区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案
2025届高二第二学期期中数学试题（答案在最后）一、单选题1.在等差数列{}n a 中，若45615aa a ++=，则28a a +=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=，代入可得55a =，而要求的值为52a ，代入可得．【详解】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=所以45615a a a ++=，即5315a =，55a =，故28522510a a a +==⨯=，故选：B ．2.已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【答案】C 【解析】【分析】令8n a =-，解出正整数n 即为数列的第几项.【详解】由题意，令8n a =-，解得7n =或6-（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n 为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829.∴第2天织的布的尺数=5+d =16329.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f =，()31f =，因此()()31131f f -=--，故选A【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x 2-x 1，②求函数值的增量△y=f （x 2）-f （x 1），③求函数的平均变化率()()2121f x -f x y =x x -x ∆∆.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a =)A.4B.10C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而352216a a =⋅=．故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；+++=，所以李明需要配送的天数为1050217-=.所以整个5月李明不用去配送的天数是301713故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.fB.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8.已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A.1B.12-C.12-或1 D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，代由等比数列的前n 项和公式化简即得所求【详解】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，由等比数列的前n 项和公式有()()()9631112111111a q a q a q q q q---=+---，化简得9632q q q =+，又0q ≠，所以6321q q =+解得312q =-或31q =（舍），故312q =-，故选：B.9.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A.62 B.92 C.122 D.152【答案】C 【解析】【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是()A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2 D.1[,1]2【答案】A 【解析】【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f （n ）＝（12）n ，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）．故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（共5小题；共10分）11.已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742a a a +=，所以17472a a a +==.故答案为：712.已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24f x x '=-，进而由0()2f x '=可得结果.【详解】由2()42f x x x =-+得()24f x x '=-，则00()242f x x '=-=，解得03x =.故答案为：3.13.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q 的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -，则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增，当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1.故答案为：1.15.小明用数列{a n }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b k ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b k ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a 1b 1+a 2b 2+…+a k b k＝m ，则气象台预报准确的天数为_____（用m ，k 表示）.【答案】①.28②.2m k +【解析】【分析】根据题意得到a k b k ＝1表示第k 天预报正确，a k b k ＝﹣1表示第k 天预报错误，从而得到2m kx +=，根据25m =得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若1k k a b =（131k ≤≤），则表示第k 天预报正确，若1k ka b =-（131k ≤≤），则表示第k 天预报错误，若1122k ka b a b a b m +++=⋯，假设其中有x 天预报正确，即等式的左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m kx +=，即气象台预报准确的天数为2m k+；于是若1122313125a b a b a b ++⋯=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2m k+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）211n a n =-（2）25-【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得5S 最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以()921211n a n n =-+-=-．【小问2详解】由（1）知211n a n =-，令2110n a n =-≤，得 5.5n ≤，所以数列{}n a 的前5项和5S 是n S 的最小值，即()()51min 5105921025n S S a d ==+=⨯-+⨯=-．17.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．【答案】（1）6（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130B CB ∠=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得AB ⊥平面1ACC ，得到三棱锥11B ACC -的高为11A B ；利用等体积法1111C AB C B ACC V V --=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1） 三棱柱为直三棱柱1BB ∴⊥平面ABC ，1AA ⊥底面ABC 1B C ∴与底面ABC 所成角为1B CB ∠130B CB ∴∠=11AB BB ==BC ∴=AC ∴=1AA ⊥ 底面ABC ，AB ⊂平面ABC 1AB AA ∴⊥又90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，1,AA AC ⊂平面1ACC ，1AA AC A= AB ∴⊥平面1ACC ，又11//AB A B 11A B ∴⊥平面1ACC 1111111111113326C AB C B ACC ACC V V S A B --∆∴==⋅=⨯=（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B ，()10,1,1B，)C，()0,0,0A )1,0BC ∴=-，()10,0,1BB = ，()10,1,1AB =，)AC =设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =11111100BC n y BB n z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则1y =，10z=()1n ∴=设平面1AB C 的法向量()2222,,n x y z =12222200AB n y z AC n ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令21y =，则21z =-，20x =()20,1,1n ∴=-121212cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==二面角1B B C A --为锐角∴二面角1B B C A --的余弦值为3【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33f x x x =-+；（2）,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()F x 的最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k ，根据切点处的导数等于切线斜率可得a ，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0f x '>即可；（3）求导，解方程()0F x '=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k +=，得2k =．因为()23f x x a ='+，所以()132f a ='+=，得1a =-．则()3f x x x b =-+．由()13f =得3b =．所以()33f x x x =-+．【小问2详解】由()33f x x x =-+得()231f x x ='-．令()2310f x x -'=>，解得3x <-或3x >．所以函数()f x的递增区间为,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【小问3详解】()()323,33F x x x F x x '=-=-，令()2330F x x -'==，得1211x x =-=，．列表：x 0()0,11()1,22()F x '-0+()F x 0递减极小值递增2因为()()()12,00,22F F F =-==，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-．19.已知函数()ln f x x x a =--．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【答案】（1）(],1∞-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()0f x '>，()0f x '<即可；（2）设12x x <，结合（1）可知1201x x <<<，构造函数()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数判断单调性即可得()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合()f x 在()0,1上单调递减即可得证.【小问1详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，解()10x f x x -'=>得1x >，解()10x f x x-'=<得01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-，又()0f x ≥，所以10a -≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围为(],1∞-．【小问2详解】不妨设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，2101x <<，构造函数()()112ln g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()22211210x g x x x x-=+-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当1x >时，()()10g x g >=，即当1x >时，()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，又()f x 在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，即121x x <．20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a =，进而得出1b =，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OM ON ⋅，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP 的方程，可表示出M 坐标，同理表示出N 的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OM ON ⋅.【详解】解：（1）因为椭圆ω过点(2,0)A -，所以2a =.因为2a b =，所以1b =.所以椭圆ω的方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =.不妨设此时3(1,2P ，(1,)2Q -，所以直线AP的方程为2)y x =+，即M .直线AQ 的方程为(2)6y x =-+，即(0,)3N -.所以1||||=3OM ON ⋅.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=.依题意，0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令0x =，得点M 的纵坐标为1122M y y x =+，即112(0,)2y M x +.同理，得222(0,)2y N x +.所以||||=OM ON ⋅12124(2)(2)y y x x ++212124(1)(1)(2)(2)k x x x x --=++2121212124[()1]2()4k x x x x x x x x -++=+++2222222224484(1)41414416+44141k k k k k k k k k --+++=-+++22222224(44841)44+16164k k k k k k k --++=-++221236k k =13=.综上，||||OM ON ⋅为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；（3）记12231k k A a a a a a a -=+++ ，求证：2A a <．【答案】（1）8a =（答案不唯一）；（2）12k a a -=，中2a 为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a =，然后取公比为2即可得8a =；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112k k k k a a a a a a a a -----=--可得232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，由2a 是整数a 的最小质因数可得232a a =，进而可得公比，然后可求a ；（3）利用()11i k ia a a i k +-=≤≤变形得22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】由题意可知，11a =，当4k =时,正整数a 的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a =．【小问2详解】根据约数定义可知，数列{}n a 中，首尾对称的两项之积等于a ，即()11i k i a a a i k +-=≤≤，所以11a =，k a a =，12k a a a -=，23k a a a -=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a a a a a a -----=--，所以3222123aa a a a a a a a a a --=--，化简可得()()2232231a a a a -=-，所以232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为3a *∈N ，所以3221a a a a *-∈-N ，因此可知3a 是完全平方数．由于2a 是整数a 的最小质因数，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以，数列21a a -，32a a -，L ，1k k a a --的公比为2322222121a a a a a a a a --==--，所以2132a a a a --，，L ，1k k a a --为21a -，222a a -，L ，1222k k a a ---，所以()124k a a k -=≥，其中2a 为质数．【小问3详解】由题意知1i k i a a a +-=（1i k ≤≤），所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=+++ ，因为21121212111a a a a a a a a -≤=-，L ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----≤=-，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+212112111k k k k a a a a a a a ---⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭2212231111111111k k k a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为11a =，k a a =，所以1111ka a -<，所以22111k A a a a a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，即2A a <．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住11,k a a k ==，()11i k i a a a i k +-=≤≤，以及2a 为质数即可求解.。
河北省南宫中学2013-2014学年高二下学期6月月考数学(理)试题 Word版含答案
南宫中学2013——2014学年度高二下学期6月月考数学（理科）试题命题人 郝红娟 2014.6一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线241x y -=的准线方程是（ ） （A ）1=x （B ）1=y （C ）1-=y （D ）1-=x2、从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有 （ ）（A ）140种 （B ）112种 （C ）168种 （D ）70种 3.到两点A （-3，0）、B （3，0）距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（ ） （A ）椭圆 （B ）线段 （C ）双曲线 （D ）两条射线 4、()()4611x x +-的展开式中x的系数是（ ）A ．-4 B.-3 C.3 D.45．设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.45 B. 5 C. 25 D.5 6、设随机变量ζ服从正态分布N (0,1),若P (ζ＞c+1)=P (ζ＜c －)1,则c = （ ）A.-1B.0C.1D.27、一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个，从中任取2个，则概率为1122644230C C C C +的事件是( )A.没有白球B.至少有一个白球C.至少有一个红球D.至多有一个白球8、某班举行联欢会，原定的6个节目已排出节目单，演出前又增加了3个节目，若将这3个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为 （ ） A ．504 B ．210 C ．336 D ．378 9、5张卡片上分别写有A,B,C,D,E 5个字母,从中任取2张卡片,这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 ( )A.51 B. 52 C.103 D.107 10.某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是（ ）A . 甲科总体的标准差最小B . 乙科总体的标准差及平均数都居中C . 丙科总体的平均数最小D . 甲、乙、丙的总体的平均数不相同11．已知随机变量ξ服从二项分布，且E ξ＝2.4，D ξ＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为A ．n=4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p=0.112、三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为凸数，如472,260等，那么任取一个三位正整数恰好是无重复数字的三位凸数的概率是 ( ). A.1675 B.1775 C.1754 D.1475第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
郑州二中2013-2014学年下期期中考试高二文科数学试题(含答案)
1 郑州二中2013—2014学年下学期期中考试高二数学（文）试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分，满分150分，测试时间120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡的相应位置上。
参考表及公式:（1）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知21i =-，则i(1)= .................................（ ）(A)i i + (C)i (D)i2.设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时…..............（ ）(A)y 平均增加2.5个单位 (B)y 平均增加2个单位(C)y 平均减少2.5个单位 (D)y 平均减少2个单位3. 两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是...................( ).A ．模型3的相关指数2R 为0.98 B. 模型2的相关指数2R 为0.80C. 模型1的相关指数2R 为0.50D. 模型4的相关指数2R 为0.254．下列四边形中一定有内切圆的是...................................（ ）A ．直角梯形B ．等腰梯形C ．矩形D ．菱形5．在极坐标系中，曲线的方程为θρsin 2=：则曲线的形状是.............( )A ．直线B ．两条直线C ． 圆D ．由θ的大小确定。
6.⊙O 的直径是15㎝，CD 经过圆心O ，与⊙O 交于C 、D 两点，垂直弦AB 于M ，且OM ：O C=3 ：5，则AB=（ ）A ．24㎝B ．12㎝C ．6㎝D ．3㎝7.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是........（ ）A 、假设三个内角至多有两个大于60°B 、假设三个内角都不大于60°C 、假设三个内角至多有一个大于60°D 、假设三个内角都大于60°8．下面给出了关于复数的三种类比推理：①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；。
浙江省台州市书生中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题
浙江省台州市书生中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.203cosπ= ( )12.A .B 12.C - .D 2. 已知集合{}{}0,1,2,|2,M N x x a a M ===∈，则集合MN = ( )A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,2 3．函数1()lg4xf x x -=-的定义域为 A.[14)， B.(14)， C. (1)(4)-∞+∞，， D.(1](4)-∞+∞，，4．下列函数中既是奇函数，又在区间11(,)-上是增函数的为 （ ） A ．sin y x = B ．y x = C ． x x y e e -=+ D ．3y x =-5. 设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D.b c a >>6．若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．1-或2D ． 1-或17．设0abc >，二次函数2()f x ax bx c =++的图象可能是 ( )8.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ） A ．sin()6y x π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(2)6y x π=- D ．cos(4)3y x π=- 9.已知,,a b R +∈则221a b ->“”是1a b ->“”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件： ○1对任意的x R ∈都有4()()f x f x +=； ○2对于任意的1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x >； ○32()y f x =-的图象关于y 轴对称. 则下列结论中，正确的是 ( ) 45157.(.)(.)()A f f f -<-< 45715.(.)()(.)B f f f -<<- 74515.()(.)(.)C f f f <-<- 15745.(.)()(.)D f f f -<<-二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分。
北京市海淀区2014届海淀高三上学期期中考试数学理试题带答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B = ( ) A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( ) A. ()f x x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( )A.55 B.55-C.255D.255-4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ ） A. 2[,0)3- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
黑龙江省哈三中2013-2014学年高二下学期第一学段考试数学理试题 Word版含答案
黑龙江省哈尔滨市第三中学2013－2014学年度高二下学期第一学段试题数学理科考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数ii+-12对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 若()1010101021x a x a a x +++=- ，则=+++1010a a aA ． 1B ．103 C ．1- D ．103- 3. 已知i 是虚数单位，()i z i =+21，则=zA ．i 5152+ B ．i 5152+- C ．i 5152- D ．i 5152-- 4. 已知x x x x f cos sin sin )(+=,则⎪⎭⎫⎝⎛'4πf 等于A ．21 B ．221 C ．21 D ．21- 5. 设ξ是离散型随机变量，取值分别为21x x 、，若43)(1==x P ξ ，41)(2==x P ξ，且21x x <，又已知163,45==ξξD E ，则21x x -的值为 A ．1 B ．1- C ．21 D ．21-6. 如图的程序框图表示的算法的功能是A ．计算小于100的连续奇数的乘积B ．计算从1开始的连续奇数的乘积C ．从1开始的连续奇数的乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数D ．计算100531≥⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯n 时的最小的n 值7. 右图是把二进制数)2(11111化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是 A ．4i >B ．4i ≤C ．5i >D ．5i ≤8.()dx x cos 122+-⎰ππ等于 A ．π B ． 2 C ．2-π D ．2+π9. 函数()()a x a x x y ++--+=323123在()1,0内有极小值,则实数a 的取值范围是A ．()3,0B ．()3,∞-C ．()+∞,0D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,010. 二项式522)11)(2(-+xx 的展开式的常数项是 A ．3- B ．2- C ．2 D ．311. 已知函数qx px x x f --=23)(的图像与x 轴切于点()0,1,则)(x f 的A ．极大值为274,极小值为0 B ．极大值为0,极小值为274- C ．极小值为275-,极大值为0 D ．极小值为0,极大值为27512. 函数()R x x f ∈ )(满足()()21,11<'=x f f ，则不等式()21222+<x x f 的解集为 A ．()1,-∞- B ．()+∞,1 C ．()()+∞⋃-∞-,11, D ．]()[∞+⋃-∞-,11, 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为 .14. 由曲线2x y =和直线1=y 所围成的封闭图形面积为__________________.15. 431(2)3nx x-的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为_________________.16. 若随机事件A 在一次实验中发生的概率为p )10(<<p ，用随机变量ξ表示A 在三次试验中发生的次数，则ξξE D 13-的最大值为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）（Ⅰ）已知a 是实数，i 是虚数单位，()()ii i a --1是纯虚数，求a 的值；（Ⅱ）设iiz 437++=，求z .18．（本小题满分12分）在某次测试中，甲、乙两人能达标的概率分别为0.5,0.8，在测试过程中，甲、乙能否达标彼此之间不受影响.（Ⅰ）求甲、乙两人均达标的概率；（Ⅱ）设ξ表示测试结束后甲、乙两人中达标的人数与没达标的人数之差的绝对值，求ξ的概率分布列及数学期望ξE .19．（本小题满分12分）已知函数()R x x x x f ∈-=221)(2，()()411ln 4)(≤<-++=x x m x g . （Ⅰ）求)(x f 在1=x 处的切线方程;（Ⅱ）是否存在实数m ，使得)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且仅有两个不同的交点？若存在，求出m 的值或范围；若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）某选手进行6次投篮训练，每次投中的概率均为p ，且每次投中与否是相互独立的，记投中的次数为X ，若随机变量X 的数学期望4=EX .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若这6次投篮中有4次或者4次以上未投中，则需继续训练，求该选手需要继续训练的概率.21．（本小题满分12分）设函数()()R a ax x a x x f ∈++-= 6132)(23. （Ⅰ）若)(x f 为R 上的单调递增函数，求a 的值； （Ⅱ）若[]3,1∈x 时，)(x f 的最小值为4，求a 的值．22．（本小题满分12分）函数()()R a ax x x f ∈-=22ln .（Ⅰ）当1=a 时，求()x f 的极值； （Ⅱ）求函数()x f 的单调区间；(Ⅲ) 当81=a 时，证明：()431424-+≤x x f .13-14学年下学期高二数学理科考试答案一、选择题112- DACC BDBD DD AC二、填空题 13．31 14．3415．7 16．1 三、解答题 17．（1）1-=a （2）2 18．（1）4.0 （2）()()1,212,210=====ξξξE P P 19.（1）0122=++y x（2）⎥⎦⎤ ⎝⎛---5ln 4,232ln 8 20．（1）23p = （2）7297321．（1）1=a （2）2=a22. （1）当12x =时，()f x 极大值为11ln 22-，无极小值； （2）()为增函数；在+∞≤,0,0a为减函数上为增函数，在，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>,220,0a a a a a . （3）41x +≥，即证2113ln 424x x x -≤-，()2113ln 424F x x x x =--+()0F x '=解得1x =为极大值点，所以()F x 最大值为()10F =证毕.。
向量练习2014期末
2014各区期末考试题（向量） 2014.3(高一期末)海淀：3.已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为 （ ）A.1-B.2C.1或2-D.1-或25.如图所示,矩形ABCD 中,4,AB = 点E 为AB 中点,若DE AC ⊥,则||DE = （ ） A.52 B. 23 C.3 D.22西城区:3．已知向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，那么向量122+e e 的坐标是（ ）（A ）(1,2)- （B ）(1,2)- （C ）(1,2)-- （D ）(1,2)5．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB AC ⋅=（ ）（A ）22 （B ）1 （C ）2 （D ）27．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则向量AD =（ ）（A ）1122AB AC + （B ）AB AC + （C ）1122AB AC - （D ）AB AC -9．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（ ）（A ）120︒ （B ）90︒ （C ）60︒ （D ）30︒13. 已知向量(1,3)=a ，(2,)k =-b ．若向量a 与b 共线，则实数k =___E D C BA延庆:12.如图，在单位长度为1的网格中，有三个向量c b a ,,.若b a c μλ+=， 则=),(μλ .)76,75(--（高三期末)西城：3．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k =（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1丰台：(5)已知平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =2，∠DAB =60o ，则AB AD ⋅uu u r uuu r 等于 (A)23 (B)2 (C)3 (D)1朝阳：13.在△ABC 中， ︒=∠120A ，1AB AC ⋅=-，则AB AC =昌平：(9) 已知向量(3,1),(,3)k ==a b ，若⊥a b ，则k =_______abc(高三月考东城)：2. 若向量a ＝（1，2），b ＝（2，1），c ＝（－5，－1），则c ＋a －2b ＝A. （－8，－1）B. （8，1）C. （0，3）D. （0，－3）5. 若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 昌平一中：6．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1 11. 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点. 若·0AD BE =, 则AB 的长为______，AE 的长为海淀高三期中：3.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C. 12 D. 2朝阳：6.已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列说法中错误．．的是( ) A ．c ∥b B ．⊥a bC ．对同一平面内的任意向量d ，都存在一对实数12,k k ，使得12k k =d b+cD ．向量c 与向量-a b 的夹角为45︒10.已知平面向量,a b 满足0=⋅a b ，2=a ，3=b ，则|a +b |= ________. 东城：7. 已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD = （ ）A.1B. 2-C. 2D.210．若向量a ＝1（，）2，b ＝(－3，4)，则 （a·b ）（a +b ）＝ 。
2018～2019学年北京市海淀区高二下学期期中考试数学试题(解析版)
绝密★启用前北京市海淀区2018～2019学年高二年级下学期期中质量检测数学试题2019年5月一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若3+4 i z =，则z =（ ）A. B. 5 C. 7 D. 25【答案】B【解析】【分析】直接利用复数模的公式求解即可.【详解】因为3+4i z =,所以5z ===,故选B.【点睛】本题主要考查复数模的公式,意在考查对基本公式的掌握与应用,属于基础题.2.下列四个函数：①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2x y =,其中在0x =处取得极值的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③ 【答案】B【解析】【分析】分别判断四个函数单调性,结合单调性,利用极值的定义可判断在0x =处是否取得极值.【详解】因为函数3y x =与函数2x y =都在R 上递增,所以函数3y x =与函数2x y =都没有极值,①④不合题意；函数21y x =+与函数y x =都在(),0-∞上递减,在()0,∞+上递增,所以函数21y x =+与函数y x =都在0x =处取得极小值,②③符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与极值,意在考查对基础知识的掌握情况,属于基础题.3.在极坐标系中,直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ= ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心与半径,利用点到直线的距离公式与勾股定理可得结果.【详解】直线sin cos 1ρθρθ-=的直角坐标方程为1y x -=,即10x y -+=,ρ=化为22ρ=,直角坐标方程为222x y +=,圆心为原点,半径为r =圆心到直线10x y -+=的距离为2d ==10x y -+=被圆222x y +=截得的弦长为==故选C. 【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法,属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-,结合韦达定理求解；二是利用半弦长,弦心距,圆半径构成直角三角形,利用勾股定理求解.4.已知函数()0()(2018ln ),2019f x x x fx '=+=,则0x =（ ） A. 2eB. 1C. ln 2018D. e 【答案】B【解析】【分析】求出导函数,由()02019fx '=,可得02019ln 2019x +=,从而可得结果.。
北京延庆县2013—2014学年度高二第一学期期末考试数学(理)试题(WORD精校版)
延庆县2013—2014学年度第一学期期末考试 高二数学（理科） 2014.1试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案涂在答题卡上.）1.在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 Ａ.65π Ｂ．32π Ｃ．3π Ｄ．6π ２. “2=a ”是“直线0=+y ax 平行于直线34=+ay x ”的 A .充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D .既不充分也不必要条件3. 若点)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是A . 01=-+y xB .032=-+y x Ｃ. 03=--y xD .052=--y x4. 已知命题:p R x ∈∃,022≤++a ax x .若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是 A. (0,1) B. (,0)(1,)-∞+∞ C. [0,1] D. (,0][1,)-∞+∞ 5. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱 的长度是Ａ.13 B .22 C .5 D .296．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,①若αα//,n m ⊥，则n m ⊥ ②若αγα⊥m ,//，则γ⊥m ③若αα//,//n m ，则n m // ④若γβγα⊥⊥,，则βα// 其中正确命题的序号是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④7．方程02=+ny mx 与 ,,(,122R n m ny mx ∈=+且)0≠mn 在同一坐标系中所表示的曲线可能是A ．B ．C ．D ．8．已知)1,2,1(-A 关于面xoy 的对称点为B ，而B 关于x 轴对称的点为C ，则=Ａ．)2,4,0( B ．)2,4,0(-- C ．)0,4,0(D ．)2,0,2(-9.点Q 在抛物线x y 42=上，点())0,a P 满足||||a PQ ≥恒成立，则a 的取值范围是 Ａ. )2,0( B . ]2,0[ C . ]2,(-∞ D . )0,(-∞ 10. 下列命题中真命题的个数是① 若D C B A ,,,是空间任意四点，则有0=+++DA CD BC AB ； ②在四面体ABCD 中，若0,0=⋅=⋅，则0=⋅BC AD ； ③在四面体ABCD 中点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅. 则BDC ∆是锐角三角形④对空间任意点O 与不共线的三点C B A ,,，若z y x ++= （其中R z y x ∈,,且1=++z y x ），则C B A P ,,,四点共面.A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．） 11. 若),1(),9,3(),3,3(m C B A -三点共线 则m 的值为________________.12. 直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于 .13. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 ．14. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以D C B A ,,,四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为．15. 已知)1,2,2(),2,1,2(=-=，则以,为邻边的平行四边形的面积为 ．16. 如图，把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8等份， 过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 7654321,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则=++++++||||||||||||||7654321F P F P F P F P F P F P F P ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.（本小题满分12分）已知直线082=-+y x 和直线012=+-y x 的交点为P ，分别求满足下列条件的直线方程.（Ⅰ）直线m 过点P 且到点)1,2(--A 和点)1,2(B 距离相等；； （Ⅱ）直线n 过点P 且在两坐标轴上的截距之和为12. 18．（本小题满分10分）已知直角坐标平面上点)0,2(Q 和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与||MQ 的比等于常数λ)0(>λ.求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.19.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，经过点)2,1(A ，其焦点F 在y 轴上，直线2+=kx y 交抛物线C 于B A ,两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为6为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面⊥PAD 平面ABCD ； （Ⅲ）求四棱锥ABCD P -的体积． 21．（本小题满分12分）如图直角梯形OABC 中，90=∠=∠OAB COA ，1,2===AB OA OC ，⊥SO 平面OABC ，1=SO ,分别以OS OA OC ,,为x 轴、z 轴建立直角坐标系xyz O -．（Ⅰ）求SC 与OB 夹角的余弦值； （Ⅱ）求OC 与平面SBC 夹角的正弦值； （Ⅲ）求二面角O BC S --． 22．（本小题满分12分）已知椭圆C :12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率为23，两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设点B 是椭圆C 的上顶点，点Q P ,是椭圆上；异于点B 的两点，且QB PB ⊥,求证直线PQ 经过延庆县2013—2014学年度第一学期期末考试参考答案 高二数学（理科） 2014.1一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11. 7 12. 54 13. x y 3±= 14.45 15. 65 16．35三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17.（本小题满分10分）已知直线082=-+y x 和直线012=+-y x 的交点为P ，分别求满足下列条件的直线方程.（Ⅰ）直线m 过点P 且到点)1,2(--A 和点)1,2(B 距离相等； （Ⅱ）直线n 过点P 且在两坐标轴上的截距之和为12. 解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+-=-+012082y x y x ，解得交点坐标为)4,2(P ，………………………2分因为直线m 过点P 且到点)1,2(--A 和点)1,2(B 距离相等 所以直线m 平行与直线AB ,或经过AB 的中点.由已知得21=AB k ，AB 的中点)0,0(C ,且2=PC k …………………5分 直线m 的方程为)2(214-=-x y 或x y 2=即062=+-y x 或02=-y x ………………………………7分 （解法二：设直线n 的方程为)2(4-=-x k y ，利用点到直线距离公式） （Ⅱ）设直线n 的方程为)2(4-=-x k y ， 令0=x ，得k y 24-=，令0=y ，得kx 42-=， …………………9分 依题意124224=-+-kk ，整理的0232=++k k ，解得1-=k 或2-=k . 所以直线n 的方程为)2(4--=-x y 或)2(24--=-x y .即06=-+y x 或082=-+y x . ………………………………12分 18．（本小题满分10分）已知直角坐标平面上点)0,2(Q 和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与||MQ 的比等于常数λ)0(>λ.求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解：设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：)0(|||||{>==λλMQ MN M P . …………2分 ∵圆的半径1||=ON ，∴1||||||||2222-=-=MO ON MO MN .………4分设点M 的坐标为),(y x ，则2222)2(1y x y x +-=-+λ …………6分整理得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x . 当1=λ时，方程为45=x ，它表示过点)0,45(且与x 轴垂直的直线；…8分 当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x ， 它表示圆心在)0,12(22-λλ，半径为|1|3122-+λλ的圆. …………………10分 19. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，经过点)2,1(A ，其焦点F 在y 轴上，直线2+=kx y 交抛物线C 于B A ,两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程.（Ⅱ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行； 解：依题意，设抛物线C 的方程为2ax y =， （Ⅰ）∵点)2,1(A 在抛物线C 上，∴ 1=a .∴抛物线C 的方程为22x y =…………………4分（Ⅱ）如图，设)2,(),2,(222211x x B x x A ，把2+=kx y 代入22x y =得0222=--kx x . 由韦达定理得1,22121-==+x x kx x ∴4221k x x x x MN =+==. ∴N 点的坐标为()8,4(2k k .……………8分设抛物线C 在点N 处的切线l 的方程为)4(82kx m k y -=-， 将22x y =代入上式得084222=-+-k mk mx x ， ∵直线l 与抛物线C 相切，∴0)84(822=--=∆k mk m .即0222=+-k mk m ∴k m =. ∴抛物线C 在点N 处的切线l 与AB 平行.…………………………12分20．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为6为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面⊥PAD 平面ABCD ； （Ⅲ）求四棱锥ABCD P -的体积．（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点．∵E 为棱PD 的中点． ∴EO PB //． ………………………………3分∵ ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，∴//PB 平面EAC EAC ． ………………………………………………4分 （Ⅱ）证明：⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分 ∵四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，∴⊥CD 平面PAD ． ………………………………7分∴平面⊥PAD 平面ABCD ． ………………………………8分 （Ⅲ）解：取AD 中点F ,连结PF ,∵PD PA =,∴AD PF ⊥．∵平面⊥PAD 平面ABCD , ∴⊥PF 平面ABCD ………………10分 又∵⊥PA 平面PDC ，∴PD PA ⊥. ∴PAD ∆为等腰直角三角形 ∵6=AD , ∴3=PF .∴363663131=⨯⨯⨯=⋅⋅=-PF AD AB V ABCD P ………………12分 21．（本小题满分12分）如图直角梯形OABC 中，90=∠=∠OAB COA ，1,2===AB OA OC ，⊥SO 平面OABC ，1=SO ,分别以OS OA OC ,,为xz 轴建立直角坐标系xyz O -．（Ⅰ）求SC 与OB 夹角的余弦值； （Ⅱ）求OC 与平面SBC 夹角的正弦值； （Ⅲ）求二面角O BC S --．解：如图所示：)0,1,1(),0,0,0(),1,0,0(),0,0,2(B O S C .∴)0,1,1(),1,0,2(=-=， ∴510252,cos =⋅>=<． SC 与OB 夹角的余弦值510． ……………………………………3分 （Ⅱ）①设平面SBC 的法向量),,1(q p n =，∵)0,1,1(),1,0,2(-=-=， ∴CB n SC n ⊥⊥,.∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CB n n ，即⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=-12,0102p q p q ， ∴)2,1,1(=n . …………6分 又∵)0,0,2(=OC ，∴66262||||,cos =⨯=⨯>=<OC n n∴求OC 与平面SBC 夹角的正弦值为66；……………………………………8分 （Ⅲ）∵⊥SO 平面OABC ，∴)1,0,0(=OS 为平面OABC 的法向量. 又∵平面SBC 的法向量)2,1,1(=n.∴3662||||,cos ==⨯>=<OS n n.二面角O BC S --的余弦值36. ……………………………………12分 22．（本小题满分12分）已知椭圆C :12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为3，两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．(Ⅰ)求椭圆C 的方程(Ⅱ) 设点B 是椭圆C 的上顶点，点Q P ,异于点B 的两点，且QB PB ⊥,求证直线PQ 经过y 轴上一定点.解：（Ⅰ）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距为c ，则⎪⎩⎪⎨⎧==23122ac a , 解得⎩⎨⎧==336c a , ∴92736222=-=-=c a b . 所求椭圆C 的方程为：193622=+y x . ………………………4分 (Ⅱ) 显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为b kx y +=联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=193622y x b kx y ，消去y 整理得03648)14(222=-+++b kbx x k . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则14364,1482221221+-=+-=+k b x x k kb x x ∴14221482)(2222121+=++-=++=+k b b k b k b x x k y y ，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=143614814)364(2222222222+-=++-+-=k k b b k b k k b k ………………………8分 ∵QB PB ⊥， 且)3,(),3,(2211-=-=y x y x ，∴09)(3)3)(3(2121212121=++-+=--+=⋅y y y y x x y y x x BQ BP ，即09146143614364222222=++-+-++-k b k k b k b ∴027652=--b b .解得59-=b 或 3=b （舍去） ∴直线直线PQ 经过y 轴上一定点)59,0(-.……………………………。
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海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）
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参考答案及评分标准2014．04
一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
题号
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
（8）
答案
B C C D C B B A
（8）讲评提示：考察函数()exfx.
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
（9）(2,)+?（10）4（11）16（12）2
（13）111111()2321nnnN*，12k（注：每空2分）
（14）20(,0)ab（注：回答出20(,0)ab给4分；答案为0(,0)abb或20(,0)bb或220(,0)2abb+给3
分；其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）
三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE.
在矩形ABCD中，AOOC=.
因为AEEP=，
所以OE∥PC. „„„„„„„„„2分
因为PCË平面BDE，OEÌ平面BDE，
所以PC∥平面BDE. „„„„„„„„„5分
（Ⅱ）在矩形ABCD中，BCCD^.
因为PDBC^，CDPDD=，PDÌ平面
PDC，DCÌ平面PDC
，
所以BC^平面
PDC
. „„„„„„„„„8分
因为PCÌ平面PDC，
所以BCPC^.
即PBC是直角三角形. „„„„„„„„„10分
O
AEBC
D
P
7
（16）（本小题满分11分）
解：（Ⅰ）因为()332fxaxx=++，
所以2'()33fxax. „„„„„„„„„2分
因为函数()fx的一个极值点是1,
所以'(1)330fa.
解得：1a. „„„„„„„„„4分
经检验，1a满足题意.
所以(2)0,'(2)9ff.
所以曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程是9(2)yx，即9180xy.
„„„„„„„„„6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：2'()33fxx.
令'()0fx，得121,1xx. „„„„„„„„„7分
当x在[2,3]上变化时，'(),fxfx的变化情况如下表
x
2 (2,1) 1
(1,1) 1 (1,3)
3
'()fx
- 0 + 0 -
()fx
4 ↘ 0 ↗ 4
↘ 16-
„„„„„„„„„10分
所以函数()fx在[2,3]上的最大值为4，最小值为-16. „„„„„„„„„11分
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为()eaxgxx，xR，
所以'()(1)eaxgxx．„„„„„„„„„2分
令'()0gx，得1x．
当x变化时，()gx和'()gx的变化情况如下：
x
(,1)
1
(1,)
'()gx
0
()gx
↗ 1ea ↘
故()gx的单调递减区间为(1,)；单调递增区间为(,1)．„„„„„„„„„5分
8
（Ⅱ）因为()eaxhxx，
所以'()1eaxhx. „„„„„„„„„6分
令'()0hx，得xa．
当x变化时，()hx和'()hx的变化情况如下：
x (,)a a
(,)a
'()hx
0
()hx
↘ 1a ↗
即()hx的单调递增区间为(,)a；单调递减区间为(,)a．„„„„„„„„„8分
所以()hx的最小值为()1haa.
①当10a，即1a时，函数()hx不存在零点.
②当10a，即1a时，函数()hx有一个零点. „„„„„„„„„10分
③当10a，即1a时，(0)e0ah，下证：(2)0ha.
令()e2xmxx，则'()e2xmx.
解'()e20xmx得ln2x.
当ln2x时，'()0mx，所以函数()mx在ln2,上是增函数.
取1ln2xa，得：ln2()e2e2ln222ln20amaa.
所以(2)e2()0ahaama.
结合函数()hx的单调性可知，此时函数()hx有两个零点.
综上，当1a时，函数()hx不存在零点；当1a时，函数()hx有一个零点；当
1a
时，函数()hx有两个零点. „„„„„„„„„12分
（18）（本小题满分11分）
（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段12AB与线段12AA不垂直；
（2）不是，因为线段23BB与线段23AA不垂直. „„„„„„„„„2分
（Ⅱ）命题“对任意nN且2n，总存在一条折线12nCAAA：有共轭折线”是
真命题.理由如下：
当n为奇数时，不妨令21,2,3,4,nkk，取折线1221kCAAA：.其中
(,)(1,2,,21)iiiAabik，满足211(1,2,,21),0(1,2,,),iiaiikbik
21(1,2,,1)i
bik
.则折线C的共轭折线为折线C关于x轴对称的折线.如图所示.
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当n为偶数时，不妨令2,2,3,4,nkk，取折线122kCAAA：.其中
(,)(1,2,,2)iiiAabik
，满足
22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)ikiiaiikakbikbik
.折线
C
的共轭折线为折线122'kCBBB：.其中(,)(1,2,,2)iiiBxyik满足
22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),ikkkixiikxkxkxkyik
2222121(1,2,,2),3,1,1ikkkyikyyy
.如图所示. „„„„„„„„„7分
注：本题答案不唯一.
（Ⅲ）证明：假设折线1234BBBB是题设中折线C的一条共轭折线（其中11BA，
44BA），设1(,)ttttBBxy (1,2,3t)，显然,tt
xy
为整数.
则由11ttttBBAA，
得：11223312312330, 30, 30, 9, 1. xyxyxyxxxyyy①②③④⑤
B
n-2
B
n-
3
B
n-
4
A
n-
4
An-3An-2∙∙∙∙∙∙B1B2B3B4B5Bn-5Bn-1BnAnA
n-1
An-5A5A4A
3
A
2
A
1
y
x
∙∙∙
∙∙∙
B1B2B3B4B5Bn-2Bn-1B
n
AnAn-1An-2A5A4A3A2A
1
y
x
10
由①②③式得11223,,.3333yxyxyx
这与⑤式矛盾，因此，折线C无共轭折线.„„„„„„„„„11分