第3讲 第一章
电力电子技术(第4版)第3讲 电力电子器件
电力电子技术
第1章：
电力电子器件
⑵ GTO的动态特性
iG
开通过程：与普通晶闸管相同 关断过程：与普通晶闸管有所不同 储存时间 t s ，使等效晶体退出饱 和 。 下降时间 t f ，
O t
尾部时间 t —残存载流子复
t
iA IA 90%合。
10%IA 0
电力电子器件
③最大可关断阳极电流 I A T O ——GTO额定电流。 ④ 电流关断增益off ——最大可关断阳极电流与门极负脉冲电 流最大值IGM 之比称为电流关断增益。
o ff
I ATO I GM
off一般很小，只有5左右，这是GTO的一个主要缺点。
1000A的GTO关断时门极负脉冲电流峰值要200A 。 电力电子技术
A 强 G K O U AK 光强度 弱
a)
b)
因此目前在高压大功率 的场合。
图1-10 光控晶闸管的电气 图形符号和伏安特性
a) 电气图形符号 b) 伏安特性
电力电子技术
第1章：
电力电子器件
1.6
典型全控型器件
1.6.0 引言
门极可关断晶闸管——在晶闸管问世后不久出现。
20世纪80年代以来，电力电子技术进入了一个崭新时 代。
第1章：
电力电子器件
1.6.2
术语用法：
电力晶体管
电力晶体管（Giant Transistor——GTR，直译为 巨型晶体管） 。
耐 高 电 压 、 大 电 流 的 双 极 结 型 晶 体 管 （ Bipolar Junction Transistor——BJT），英文有时候也称 为Power BJT。 应用:
第一章 第三讲 逆矩阵及初等矩阵_2-20_
定义 3.2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 由于矩阵有三种初等变换，所以初等矩阵也有三种类型： (1) E 的第 i , j 行(列)互换得到的矩阵，记 E (i, j )
1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 i 1 E (i, j ) = ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 j 1 ⋱ 1 i j
列 列
以 3 阶初等矩阵为例：
1 0 0 E (23(k )) = 0 1 k 0 0 1
的逆矩阵就是
1 0 0 E (23(− k )) = 0 1 − k 0 0 1
显然有
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 k 0 1 − k = 0 1 0 = E3 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 ⋯ 0 = E, ⋮ ⋮ 1 ⋯ an ⋯ 0 ⋯ 0 = E, ⋮ ⋮ ⋯ an ⋯
0 a2 ⋮ 0
所以 A 可逆，且
1 a 1 0 −1 A = ⋮ 0
−1
⋯ ⋯ ⋮ ⋯
0 0 . ⋮ 1 an
我们知道矩阵 A 经过初等变换到 B ， A 和 B 之间不能用等号连接，因为 B 完全是另外 一个矩阵。当引入了初等方阵的概念后， A 和 B 之间就存在了某种等式关系.先看下面的例 子. 设
1 1 1 6 A = 1 0 −1 −2 1 −2 1 0
，令对 A 进行如下初等行变换得到的矩阵为 B ，即
−1 −1
（3）在矩阵方程 AX = B 中，若 A 可逆，则有 A AX = A B 即 X = A 方阵的逆矩阵具有以 方阵的逆矩阵具有以下 逆矩阵具有以下运算性质： (1) 可逆阵 A 的逆矩阵仍可逆，且 ( A ) = A ； 1 (2) λ ≠ 0 时，数乘 λ A 仍可逆，且 ( λ A ) = A ； λ (3) 若 A 、 B 为同阶可逆矩阵，则 AB 仍可逆，且 ( AB ) = B A ； (4) 可逆阵 A 的乘方仍可逆，且 ( A ) = ( A ) ； (5) 可逆阵 A 的转置仍可逆，且 ( A ) = ( A ) ； 这里只证（3） ，其它性质由同学自证。 因为 ( AB ) B A = A ( BB ) A = AEA = AA = E ，及 B A ( AB ) = B ( A A ) B = B EB = BB = E ，故结论成立。
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词
第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。
2019年《·高考总复习》数学：第一章 第3讲 充分条件与必要条件
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8
解析：θ－1π2<1π2⇔0<θ<π6 ⇒sin θ<12，但 θ＝0 时，sin θ<12， 不满足θ－1π2<1π2，所以是充分而不必要条件.故选 A.
答案：A
2019年7月10日
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9
(2)(2017年浙江)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为 Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：z1，z2均为实数，显然z1－z2是实数；z1－z2是实数， 则z1，z2不一定都为实数，如z1＝1＋2i，z2＝5＋2i，所以“z1， z2均为实数”是“z1－z2是实数”的充分不必要条件.故选A.
2019年7月10日
2019年7月10日
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13
【规律方法】对于带有否定性的命题或比较难判断的命题， 除借助集合思想把抽象、复杂的问题形象化、直观化外，还可 利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判 断所求命题的等价命题.
2019年7月10日
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2019年7月10日
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17
解析：画出可行域(如图 1-3-1)，可知命题 q 中不等式组表 示的平面区域△ABC 在命题 p 中不等式表示的圆盘内.故选 A.
答案：A
图 1-3-1
2019年7月10日
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18
(3)(2017年天津)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1” 的( )
2018高考数学(理)一轮复习课件 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 课件
[解析] 根据逆否命题的定义，命题“若 m>0，则方程 x2＋x －m＝0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2＋x－m＝0 没有 实根，则 m≤0”．故选 D．
4.教材习题改编 命题：“若一个三角形的两边不相等，则这
“若一个三角形的 两条边所对的角也不相等”的否命题是_________________ 两边相等，则这两条边所对的角也相等” _____________________________________________．
[解析] 根据逆否命题的定义可以排除 A，D，由 x2＋3x－4 ＝0，得 x＝－4 或 1，故选 C.
3．下列命题中为真命题的是(
B
)
A．命题“若 x＞1，则 x2＞1”的否命题 B．命题“若 x＞y，则 x＞|y|”的逆命题 C．命题“若 x＝1，则 x2＋x－2＝0”的否命题 1 D．命题“若x＞1，则 x＞1”的逆否命题
(2)命题 p：“矩形的对角线相等”的逆命题为 q，则 p 与 q 的真假性是( A．p 真 q 假 C．p 假 q 真
A
) B．p 真 q 真 D．p 假 q 假
【解析】
(1) 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即
可．由 x＝y＝0 知 x＝0 且 y＝0，其否定是 x≠0 或 y≠0. (2)q：对角线相等的四边形是矩形，根据矩形的性质可知， p 真，q 假．
[解析] 对于 A，命题“若 x＞1，则 x2＞1”的否命题为“若 x≤1，则 x2≤1” ，易知当 x＝－2 时，x2＝4＞1，故为假命题； 对于 B，命题“若 x＞y，则 x＞|y|”的逆命题为“若 x＞|y|， 则 x＞y”，分析可知为真命题；对于 C，命题“若 x＝1，则 x2＋x－2＝0”的否命题为“若 x≠1，则 x2＋x－2≠0”，易 知当 x＝－2 时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于 D，命题 1 1 “若 ＞1，则 x＞1”的逆否命题为“若 x≤1，则 ≤1” ，易 x x 知为假命题，故选 B．
一轮复习第一章数与式第3讲--分式
1 负整数指数： a p ____a__p_（a≠0,p为正整数）
► 考点1： 分式的有关概念
命题角度： 1. 分式的概念； 2. 使分式有(无)意义、值为0(正或负)的条件．
例1下列式子是分式的是
A. x B. x
C. x y
2
x 1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（B ）
D. x
例2 (C
（1） )
若分式
5 1 x
别相乘，然后约去公因式，化为最简
分位_c_≠式置b_a0_除后,_分分然要分_以，d_式子后把子≠_；、再整，分与×0若分相式分式被)_分母乘与母_dc，除子分，分不__、解当式变把式_分因分的._除相_母式式分_式乘是，与子＝多看整相的，项能式乘分即a式 否 相 作bdc子，约乘为先分时积、将，，的(ab分b÷≠dc母0颠, 倒＝
有意义，则x的取值范围是
A．x＝0 B．x＝1 C．x≠1 D．x≠ 0
(2) [2012·温州] 若代数式
的值为零，则x
＝____3____.
[解析] (1)∵分式有意义，∴1-x≠0，∴x≠1. (2)x－2 1－1＝3x－－x1的值为零，则 3－x＝0，且分母
x－1≠0，所以 x＝3.
(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为 零时分式无意义．
＝
异分母分式 先通分，变为a 同c 分母的分a式d ，然后相bc加减，
相加减 即
b±d ＝_____ab_d±_d_b±c _____b_d__＝
bd
分式 的乘
除
乘法法则 除法法则
母分的式积分乘母做分当是积分式单式的项，与式分用分请，母式分您可相，牢先子乘记将即的时:分，积子若ab、做× 分分积子d母c、的分＝分__子ba_dc_，__分__
概率论第三讲
P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8
P ( A B ) = P( A ∪ B) = 0.2
陕西科技大学
3 September 2007
第一章 随机事件与概率
第11页
课后同学问： 上例 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) 而现在题中并未给出这一条件. 在§1.5中将告诉我们上述等式成立的 条件是 ：事件A1，A2 相互独立.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第16页
思考题
口袋中有2个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.
3 September 2007
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第一章 随机事件与概率
第17页
例1.3.4
一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率. 解：用对立事件进行计算, 记 A=“至少出现一次6点”， 则所求概率为
3 September 2007
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第一章 随机事件与概率
第20页
利用对称性
甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数. 因为 P(甲正>乙正)= P(n+1-甲反> n-乙反) = P(甲反-1<乙反)= P(甲反≤乙反) (对称性) = 1P(甲正>乙正) 所以 2P(甲正>乙正)=1, 由此得 P(甲正>乙正)=1/2
第3讲(1)整式A (1)
考点梳理
单项式 单项式的系数次数 整式 一.有理式 多项式 多项式的项数次数 分式
去括号 括号前是“—”号要注意“变
号”。 同类项：（1）字母相同 合并同类项 （2）相同字母的指数相同。
二.整式的加减
三.整式的乘除： 1.乘方及其性质 2.幂的运算性质 (1)am·an=am+n(a≠0，m、n为有理数) (2)am÷an=am-n(a≠0，m、n为有理数)
6.（2012•广东）先化简，再求值： （x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x各式符合代数式书写规范的是（ A ） 1 2 A、 ba B、a×3 C、3x-1个 x D、 n 2 1 y 9、下列各式：-x+1，π+3，9＞2， x y ，s= 12ab， 其中代数式的个数是（ C ）A、5 B、4 C、3 D、2 10、代数式2（a-3）2的意义是（ A ） A、a与3的差的平方的2倍 B、2乘以a减去3的平方 C、a与3的平方差的2倍 D、a减去3的平方的2倍 11、下列说法正确的是（ B ） A、-a是负数 1 B、|a|一定是非负数 a a 1 C、不论a为什么数， a D、7 一定是分数 12.“x与3的差的2倍”用代数式表示为（B ） A、2x-3 B、2（x-3） C、3（x-2） D、3x-2 13. 任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出 C ） 的结果（ A.m B.m2 C.m+1 D.m-1
（3）积的乘方：(ab)m=ambm （4）幂的乘方：(am)n=amn 3.单项式乘以多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 4.多项式除以单项式： (am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m
第3讲-建筑场地分析-2
建 筑 场 地 设 计 site planning 25
第二章：建筑场地分析（前提条件）
▪ 2.1、对建筑布局的规定
软件计算法：运用众智日照、ECOTECT等软件计算高层建筑之间 的日照控制。
22
23
第二章：建筑场地分析（前提条件）
▪ 2、相关规范的要求
城市规划比较偏重与对基地利用方式和场地总体形态的控制，设计 规范则比较偏重与对一些具体的功能和技术问题的要求。
这些要求一般包括：对场地内建筑的布置；建筑物与相邻场地的边 界线关系；建筑突出物与红线的关系；基地内的通路设置；通路对 外出入口的位置；绿化；管线的布置；场地竖向设计；对场地内的 消防车道要求；对建筑物的防火间距要求等等。
第一章：建筑场地设计概述
场地分析（规范及规划要求、设计任务书、基地条件） 场地布局（场地分区、实体布局、交通组织、景观配置） 布局实例（居住建筑、办公建筑、教育建筑、体育建筑、
博览建筑、纪念建筑、医疗建筑、剧院建筑、 商业建筑、旅馆酒店） 详细设计（交通道路、竖向定位、工程管线、绿化景观）
1
之 场地设计的前提条件
这些规划和规范，对于场地设计是硬性的标准，在设计中要予以满 足和遵守。在设计之初就对它们所能允许的可能性作出分析，在这 些可能性之中选择设计的发展方向，将法规规范的规定与设计的构 思结合在一起，这样设计的进行就会很顺利。
建 筑 场 地 设 计 site planning 3
第二章：建筑场地分析（前提条件）
建筑气候区划分 I，II，III气候区
高考物理一轮复习课件：第一章 第3讲 运动图象 追及和相遇问题
图1－3－5 A．2秒后甲、乙两车的加速度大小相等 B．在0～8 s内两车最远相距148 m C．两车只有t0时刻速率相等 D．两车在t＝8 s时相遇
【潜点探究】
(1)由图象斜率可比较加速度大小．
(2)由图象信息可知a、b开始时是向相反方向运动的，4 s时a反向，至t0时刻二者速度相同，此时，二者应相距最
图 1－3－7 A．前 3 s 内货物处于超重状态 B．最后 2 s 内货物只受重力作用 C．前 3 s 内与最后 2 s 内货物的平均速度相同 D．第 3 s 末至第 5 s 末的过程中，货物的机械能守恒
【解析】 由 v－t 图象可知，货物在前 3 s 内具有向上 的加速度，因此货物处于超重状态，选项 A 正确；最后 2 s 6 内，货物具有向下的加速度，其大小为 a＝2 m/s2＝3 m/s2 ＜g，因此货物在这一段时间内受重力和向上的拉力，选项 0＋6 B 错误；货物在前 3 s 内的平均速度 v1＝ 2 m/s＝3 m/s， 6＋0 最后 2 s 内的平均速度 v2＝ 2 m/s＝3 m/s， 两者速度相同， 选项 C 正确；第 3 s 末至第 5 s 末的过程中，货物在向上的 拉力和向下的重力作用下做匀速直线运动，拉力做正功，故 机械能不守恒，选项 D 错误．
【答案】
B
【即学即用】 3．(2012· 银川一中一模)两辆游戏赛车a、b在两条平行的 直车道上行驶，t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开
始．它们在四次比赛中的v－t图象如图所示．哪些图对应的
比赛中，有一辆赛车追上了另一辆( )
【解析】
由v－t图象的特点可知，图线与t轴所围面积
的大小，即为物体位移的大小．观察4个图象，只有C选项 中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故选项C正确．
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365 ⋅ 364 ⋅ ⋯ ⋅ ( 365 − 64 + 1) p1 = . 64 365
个人中至少有2人生日相同的概率为 故64 个人中至少有 人生日相同的概率为
365 ⋅ 364 ⋅ ⋯ ⋅ ( 365 − 64 + 1) = 0.997. p = 1− 64 365
说明
随机选取 n(≤ 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 ≤ 率为
区域的度量 .) 这样借助于几何上的度 量来合理规 定的概率称为 几何概型 . 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 就归结为几何概型. 就归结为几何概型
会面问题
这段时间内, 例4甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内 在预 甲 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 定地点会面 先到的人等候另一个人 经过时间 t ( t<T ) 后离去 设每人在 到T 这段时间内各时刻 后离去.设每人在 设每人在0 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 求甲、 连.求甲、乙两人能会面的概率 求甲 乙两人能会面的概率.
2. 古典概型中事件概率的计算公式
个样本点构成， 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 的任意一个事件， 个样本点， 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 出现的概率记为: 件 A 出现的概率记为:
m A 所包含样本点的个数 . P( A) = = n 样本点总数
称此为概率的古典定义. 称此为概率的古典定义.
A4 4 × 3 × 2 ×1 p = 44 = A10 10 × 9 × 8 × 7
1 . = 210
例1 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取
n 件 ,问其中恰有 k ( k ≤ D ) 件次品的概率是多少 ?
解 在N件产品中抽取 件的所有可能取法共有 件产品中抽取n件的所有可能取法共有 件产品中抽取 N 种, n 件产品中抽取n件 其中恰有 其中恰有k 在 N 件产品中抽取 件,其中恰有 件次品的取法 共有
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和 只黑球,现从袋中有放 只红球和6只黑球 问题 设袋中有 只红球和 只黑球 现从袋中有放 回地摸球3次 求前 次摸到黑球 求前2次摸到黑球、 回地摸球 次,求前 次摸到黑球、第3次摸到红球 次摸到红球 的概率. 的概率 解 设 A = { 前 2 次摸到黑球 , 第 3 次摸到红球 } 第3次摸到红球 4种 次摸到红球 种 第1次摸到黑球 6种 2次摸到黑球 种
(1)杯子容量无限 杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去 求第1、2个 个杯子中去,求第 问题 个杯子中去 求第1 个 杯子中各有两个球的概率, 杯子中各有两个球的概率 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 放任意多个球
3
3
3
3
4个球放到 个杯子的所有放法 3 × 3 × 3 × 3 = 34 种, 个球放到3个杯子的所有放法 个球放到
T 2 − (T − t )2 = T2 t 2 = 1 − (1 − ) . T
课堂小结： 课堂小结：
试验结果 连续无穷
最简单的随机现象
古典概型 古典概率
几何概型
m A 所包含样本点的个数 P ( A) = = n 样本点总数
作业布置： 作业布置：P25T5,6,11
第3讲
概率模型
排列组合知识回顾
1．加法原理 设完成一件事有k类方法， 设完成一件事有k类方法，每类分别有 m1,…,mk种方法，而完成这件事只需一种方法， ,m 种方法，而完成这件事只需一种方法， 则完成这件事可以有m 则完成这件事可以有m1+m2+…+mk种方法． +m 种方法． 2．乘法原理 设完成一件事有n个步骤，第一步有m 设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方 步有m 种方法， 第二步有m 种方法， ， 法，第二步有m2种方法，…，第n步有mn种方法， 则完成这件事有m 种方法。 则完成这件事有m1 · m2 · … · mn种方法。
古典概型的基本模型: 3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 问题 设袋中有4 只黑球, 设袋中有 只白球和 2只黑球 现从袋中无 只黑球 放回地依次摸出2只球 求这 只球都是白球的概率. 放回地依次摸出 只球,求这 只球都是白球的概率 只球 求这2只球都是白球的概率 解 设 A = {摸得 2 只球都是白球 }, 6 基本事件总数为 , 2 4 A 所包含基本事件的个数为 , 所包含基本事件的个数为 2 4 6 2 故 P ( A) = = . 2 2 5
m An 3．不同元素的选排列 个不相同的元素中，无放回地取出ｍ 从n个不相同的元素中，无放回地取出ｍ个 元素的排列(ｍ< ｎ)，称为从n个不同元素 元素的排列( 称为从n 中取ｍ个元素的选排列， 中取ｍ个元素的选排列，共有 Anm
其中 An
m
= n ( n − 1)( n − 2 )⋯ ( n − m + 1)
4 种 2
2个
2 种 2
2个
因此第1、 个杯子中各有两个球的概率为 因此第 、2个杯子中各有两个球的概率为
4 2 4 2 p = 3 = . 27 2 2
(2) 每个杯子只能放一个球 问题2 个球放到10个杯子中去 问题 把4个球放到 个杯子中去 每个杯子只能 个球放到 个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率 个杯子各放一个球的概率. 放一个球 求第 至第 个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第 个杯子各放一个球的概率为 至第4个杯子各放一个球的概率为 至第
分别为甲、 解 设 x , y 分别为甲、乙两人到达 的 时刻 , 那么 0 ≤ x ≤ T , 0 ≤ y ≤ T .
两人会面的充要条件为 x − y ≤ t ,
若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为
T⋅
o
y
y− x=t
x− y=t
•
•
阴影部分面积 p= 正方形面积
t
T
x
个元素的全排列，共有ｎ！ ｎ！种 当m＝n时，称n个元素的全排列，共有ｎ！种。 4．不同元素的重复排列 ． 个不同元素中，有放回地取ｍ个元素进行的排列， 在n个不同元素中，有放回地取ｍ个元素进行的排列， 共有 n m种。
5．组合 个不同元素中取m 从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的 n m n 排列， 排列，共有 C（或 m )种
( 3 × 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
3 × 12! 15! 6 p2 = = . 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 求 人生日相同的概率. 有2人生日相同的概率 人生日相同的概率 解 64 个人生日各不相同的概率为
D N − D 种, k n − k N . n
D N − D 于是所求的概率为 p = k n − k
例2 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 名新生中有3名是优秀生 去,这15名新生中有 名是优秀生 问 (1) 每一个班 这 名新生中有 名是优秀生.问 级各分配到一名优秀生的概率是多少? 级各分配到一名优秀生的概率是多少 (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 秀生分配在同一个班级的概率是多少 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数: 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数 名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
m n An n ( n − 1)⋯( n − m + 1) m 其中Cn = = = m! m m!
一、等可能概型(古典概型) 等可能概型(古典概型)
1. 定义
(1)试验的样本空间只包含有限个元素 (1)试验的样本空间只包含有限个元素 （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同 具有以上两个特点的试验称为等可能概型 或古典概型（ 或古典概型（Classical probability ）
365 × 364 × ⋯ × ( 365 − n + 1) p= . n 365
而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 × 364 × ⋯ × ( 365 − n + 1) p = 1− . n 365
我们利用软件包进行数值计算. 我们利用软件包进行数值计算
次来访,已知 例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访 已知 次来访 次接待都是在周二和周四进行的,问是 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的 问是 否可以推断接待时间是有规定的. 否可以推断接待时间是有规定的 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 规定 且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 中去接待站是等可能的 7 1 周一 7 2 周二 7 3 7 4
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的. 而可知接待时间是有规定的
二、几何概型
当随机试验的样本空间是某个区域， 定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且 长度、 任意一点落在度量 (长度、 面积、体积 相同的 长度 面积、体积) 子区域是等可能的， 子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为 SA P( A) = . S (其中 S 是样本空间的度量 , S A 是构成事件 A的子
第2次摸球 3次摸球 1次摸球
10种 种
基本事件总数为 10 × 10 × 10 = 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 × 6 × 4, 所包含基本事件的个数为 6× 6× 4 = 0.144. 故 P ( A) = 3 10