辽宁省沈阳市东北育才学校高中部学年高一数学上学期期末模拟一020902100
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21sin ,02A xx B x x x ⎧⎫=>=-<⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B =（ ） A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合,A B ，再由交集的概念求解即可. 【详解】522,Z ,{01},,1666A xk x k k B x x A B πππππ⎧⎫⎛⎫=+<<+∈=<<⋂=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∣∣. 故选：B.2．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，200x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，200x x -≤ D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【分析】由全称命题的否定即可选出答案.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是 “01x ∃>，2000x x -≤”故选：C.3．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >"是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件【答案】A【分析】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>即得22a b >，反之，由22a b >推不出ln ln a b >成立，由此可得答案.【详解】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>，继而可得到22a b >； 当22a b >时，比如3,2a b =-=-，推不出ln ln a b >成立， 故“ln ln a b >"是“22a b >”的充分不必要条件， 故选：A4．若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}41m m -<<B ．{1m m <-或}4m >C ．{}14m m -<<D ．{0m m <或}3m >【答案】C 【分析】先由()41614161141x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭结合基本不等式求出4161x y ++的最小值，进而得2359m m -+<，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦12094⎡≥+=⎢⎢⎣， 当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<， 即 ()()410m m -+<，解得14-<<m . 故选：C.5．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（ ）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【分析】根据不等式0ax b +>的解集可得,a b 关系，代入不等式2056ax bx x +>--，然后转化为整式不等式求解即可.【详解】解：因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩， 则()()()()()()()210006110566161ax b ax a x x x x x x x x x x +-->⇔>⇔>⇔-+->---+-+ 所以不等式的解为11x -<<或6x >. 故选：A. 6．函数cos ()22x xxf x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据0x >且趋近0时判断，最后利用()f x 的零点进行判断，即可得到答案 【详解】解：因为cos ()22x x x f x -=-，所以220x x--≠，解得0x ≠， 则()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 由cos ()22x x x f x -=-可得()cos -cos (-)2222x x x xx xf x --==--， 发现()(-)0f x f x +=，故()f x 为奇函数，故B 错误；当0x >且无限接近0时，0cos 0,22x x x ->->，所以此时()0f x >，故A 错误； 因为当cos ()022x xx f x -==-即cos 0x =，解得,Z 2x k k ππ=+∈，所以在x 轴正半轴的第一个零点是2π，第二个零点是32π，第三个零点是52π，第四个零点是72π，第五个零点是92π，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C 错误； 故选：D7．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（ ） A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-= D ．π2αβ-=【答案】C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=， 即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.8．已知不等式ln (1)2ln2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题意，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，进而通过数形结合求得答案. 【详解】由ln (ln4)0x x x k k +-+<可得：(1)ln 4ln k x x x x +<-，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，()ln4ln 1=--'g x x ，40,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，4,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，则当4e x =时函数()g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当0k ≤时，整数解超过了2个，不满足题意；当0k >时，需满足()()()()2233f g f g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩得：342ln ln 2433≤<k ．故选择：D ．【点睛】本题较难，可却是一道常规题型，一般做法是先对式子进行变形，等号一边为一次函数（通常过定点），另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解.二、多选题9．下列说法正确的有（ ） A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是 -1 B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2 D ．若实数x ，y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值是4-【答案】ABD【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案； 对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案； 对于D ，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->， 所以()()1112211121212112x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++⎢⎥---⎣⎦211≤-=-， 当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所以1221x x +-的最大值为-1，故A 正确； 对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=， 所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()4111553313y z x x y z ⎡+⎡⎤+=++≥+=⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣， 当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立， 所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确； 对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-(舍去)或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立， 所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-， 因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤--++ 当且仅当2stts=，即s 时取等号， 所以22x y x y x y+++的最大值是4-D 正确， 故选：ABD ．10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0θ（单位：oC ），环境温度是1θ（单位：o C ），其中01θθ>则经过t 分钟后物体的温度θ将满足()()101e (R kt f t k θθθθ-==+-⋅∈且0k >）.现有一杯80C 的热红茶置于20C 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln20.7)≈ A ．若()350C f =，则()635C f = B ．若110k =，则红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟 C ．若()35f '=-，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降D ．红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间比从60C 下降到40C 所需的时间多 【答案】ABC【分析】由题知()2060e ktf t θ-==+，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．【详解】由题知()2060e ktf t θ-==+，A ：若()350C f =，即3502060e k -=+，所以31e 2k -=，则()()2263162060e2060e206035C 2kkf --⎛⎫=+=+=+⨯= ⎪⎝⎭，A 正确；B ：若110k =，则1102060e 50t -+⋅=，则1101e 2t -=，两边同时取对数得11ln ln2102t -==-，所以10ln27t =≈，所以红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟，B 正确；C ：()3f '表示3t =处的函数值的变化情况，若()350f '=-<，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降，故C 正确；()D:f t 为指数型函数，如图，可得红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间()21t t -比从60C 下降到40C 所需的时间()32t t -少，故D 错误. 故选：ABC ．11．已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞，图象关于y 轴对称，导函数为()'f x ，且当0x <时，()()'f x f x x>，设1a >，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()(411a a f a a a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭B ．()(22f a a a >C ．()()414111af a a a f a a +⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭D ．()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭【答案】AD【分析】构造函数()()f xg x x=，利用导数判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，再由()f x 为偶函数，得()g x 为奇函数，从而判断出()g x 在(0,)+∞上的单调性，再结合选项逐一判断即可.【详解】解：当0x <时，()()'f x f x x >，即()()()()''0f x xf x f x f x x x--=>，所以'()()0xf x f x -<，构造函数()()f x g x x=，则''2()()()0xf x f x g x x -=<， ∴当0x <时，()g x 单调递减，又由题意可得()f x 是偶函数， ∴()g x 是奇函数，则当0x >时，()g x 也单调递减． 对于A ，∵1a >，∴401a a <<=+∴(41a g g a ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即4141a f f a a a ⎛⎫⎪+⎝⎭>+∴()(411a a f a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，故A 正确； 对于B ，∵1a>，∴20a >>，∴()(2g a g <，即()22f f aa()(2f a ，故B 错误；对于C ，∵1a >，()2141011a a a a a -+-=>++，即4101a a a +>>+，∴()411a g a g a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭， 即()411411a f f a a a a a ⎛⎫⎪++⎝⎭<++，∴()()414111af a a a f a a +⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭，故C 错误； 对于D ，∵1a >，()221422420111a a a a a a a a a a -+--==>+++，∴ 4201a a a >>+， ()421a g a g a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即()421421a f f a a a aa ⎛⎫⎪+⎝⎭<+，∴()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故D 正确． 故选:AD ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性，难点在于构造函数()g x ，并判断其在定义域上的单调性，属于较难题.12．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【分析】A ：()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，故203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； B ：求出区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点2x π=，由题可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知512x π=是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()214k k +∈Z 倍即可求出ω，从而求出其周期； C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，据此即可求ω的范围. 【详解】A ，∵7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确； B ，区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅为()f x 的最小正周期)，即ω3，又0>ω，∴03ω<.若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确. C ，由03ω<，得23Tπ，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，结合2T πω=，得81033ω<，又03ω<，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题综合考察()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的()214k k +∈Z 倍.三、填空题13．已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y =，()R A B ⋂=______. 【答案】()1,2【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得()R A B ⋂.【详解】因为02xx ≤-，等价于()2020x x x ⎧-≤⎨-≠⎩，解得02x ≤<，由1102x --≥，即121x -≤，即1022x -≤，所以10x -≤，即1x ≤；所以{}0022xA xx x x ⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{{}1B x y x x ==≤， 所以{}R 1B x x =>，因此，()()R 1,2A B ⋂=. 故答案为：()1,214．若π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】-1【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得到πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.【详解】因为π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以ππ5sin 26sin 024αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ10sin cos 6sin 0444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππsin 5cos 3044αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,当πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π5π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4α+=，所以3π4α=，所以3π22α=，所以3πsin 2sin 12α==-. 当π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即()23cos sin 25αα-=-， 所以()2219cos sin 2sin cos 225αααα+-=，所以181sin 225α-=，则7sin 225α=.因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，所以sin 20α<，故7sin 225α=不符合题意，应舍去， 综合以上sin 21α=-， 故答案为：-115．设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【答案】4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得14322211,4,4x x x x x x ==-=-，将()2221234x x x x +++转化为关于2x 的代数式，利用换元法，根据2x 的范围结合二次函数的性质即可求解. 【详解】解：∵24x <<时，()()4f x f x =-，∴()f x 在()2,4上的图象与()0,2上的图象关于2x =对称， 不妨设1234x x x x <<<,如图：可得14234x x x x +=+=，12ln ln x x .∴121,x x =14322211,4,4x x x x x x ==-=-. ∴()121222222212342342x x x x x x x x x x ++++++=+ ()2222222214421x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭+- 22222112830x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,2x ∈.令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则原式化为()252830,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，其对称轴为2t =，开口向上，∴()h t 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴()4522,2h t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.∴()2221234x x x x +++的取值范围为4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为:4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.16．已知0a >，若对任意的1[,),e x ∈+∞不等式2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，则实数a 的最小值为_______.【答案】12e【分析】根据式子的结构，把原不等式转化为1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥恒成立.令()ln g x x x =，判断出()g x 的单调性，转化为2e ax x ≥恒成立.利用分离参数法得到ln ln 2x a x -≥，令ln ln 2()x h x x-=，利用导数求出max ()h x ，即可求出实数a 的最小值. 【详解】1[,),e x ∀∈+∞2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，等价于1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥，令()ln g x x x =，则1[,),ex ∀∈+∞(2e )()0ax g g x -≥，则()1ln g x x '=+，所以当1ex ≥时都有()0g x '≥，所以1[,),e x ∈+∞()g x 单调递增.所以不等式转化为2e ax x ≥，即e 2axx ≥，即ln e ln 2axx ≥，即ln 2x ax ≥，即ln ln 2x a x-≥. 令ln ln 2()x h x x-=，则()221ln ln 2ln 2e ln x xh x x x -='-+=. 当1[,2e),ex ∈都有()0h x '>，所以()h x 单调递增；当()2e,+x ∈∞时，都有()0h x '<，所以()h x 单调递减.所以max ln 2e ln 2ln e 1()(2e)2e 2e 2eh x h -==== 所以12ea ≥，即a 的最小值为12e .故答案为：12e. 【点睛】恒成立问题的处理：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究()f x 的单调性及最值.四、解答题17．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos 2αβ+的值；(2)()tan αβ+的值.【答案】(1)14【分析】（1）先由已知条件判断,22βααβ--的范围，再利用同角三角函数的关系求出sin ,cos 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式可求得cos2αβ+，（2）由同角三角函数的关系求出sin 2αβ+，从而可求得tan2αβ+的值，再利用正切的二倍角公式可求得()tan αβ+的值. 【详解】(1)因为2απ<<π，02βπ<<， 所以42πβαπ<-<，422παπβ-<-<，所以sin 2βα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin .sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12==(2)因为3424παβπ+<<，cos 2αβ+=，所以sin2αβ+==所以sin2tan2cos 2αβαβαβ++==+，所以2222tan 2tan()1tan 12αβαβαβ⎛+⨯ ⎝⎭+===+⎛-- ⎝⎭18．已知曲线()321133y f x x ax bx ==+++在点()()1,1f 处的切线的斜率为3，且当3x =时，函数()f x 取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值． 【答案】(1)()321111513423f x x x x =-++(2)()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()34148f x =极大值，13【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值点处导函数为0求解即可；（2）求导分析区间内的单调性，进而求得极值，再与端点值判断大小关系可得最值.【详解】(1)()22f x x ax b '=++，结合题意可得()()1213,3690,'⎧=++=⎪⎨'=++=⎪⎩f a b f a b 解得114152a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()321111513423f x x x x =-++，经检验符合题意.(2)由（1）知()2111522f x x x '=-+． 令0fx，解得x ＞3或52x <，令0f x，解得532x <<，故()f x 在50,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()5341248f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，又因为()103f =，()85312f =，185312<，故()f x 在[]0,3上的最小值是13．19．已知()()()()sin ,21(0)2f x x g x f x x f x πωωωω⎫⎛⎫==+-+> ⎪⎪⎝⎭⎭.(1)若函数()g x 的最小正周期为π，求ω的值及()g x 的单调递减区间；(2)若0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()g x =ω的取值范围【答案】(1)1ω=，单调递减区间为：()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2)131544ω<.【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得()2sin(2)6f x x πω=+，利用正弦函数的性质即得；（2）由正弦函数的性质可得7283363πωπππ≤+<，进而即得． 【详解】(1)因为())π2sin sin 12sin sin 12g x x x x xx x ωωωωωω⎤⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦2cos 2sin 1x x x ωωω=-+cos22sin 2,6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为最小正周期22T ππω==，又0>ω， 所以1ω=，即()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222262k x k πππππ+≤+≤+，解得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)因为0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()22,,6636x f x ππωππω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦即sin 26x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以7283363πωπππ≤+<，即13215636πωππ≤<，解得131544ω≤<， 所以实数ω的取值范围是131544ω≤<. 20．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． 【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+， 因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立， 则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=，∴k ≥．21．设函数2(1)()x xa t f x a--=(0a >，且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求t 和a 的值；(2)若x ∀∈R ，2()(1)0-+-<f kx x f x ，求实数k 的取值范围； (3)是否存在实数m ，使函数22()22()xx g x mf x -=+-在区间2[1,log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2,2t a == (2)31k -<< (3)存在，7324m =【分析】(1)直接利用奇函数(0)0f =可得到t 的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a ；(2)利用奇函数的性质可得2()(1)f kx x f x -<-，再由函数单调性脱去“f ”，转化为二次不等式恒成立求解即可；(3)令 22x x t -=-换元后转化为二次函数有最大值，分类讨论求出最大值得出m 即可. 【详解】(1)∵f （x ）是定义域为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=且(0)0f =，∴1(1)(0)01t f --==， ∴ 2t =，此时()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-， 故2t =符合题意，∵函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴132a a --=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-，因为0a >且1a ≠，∴2a =．(2)由（1）知()22x x f x -=-，由2()(1)0-+-<f kx x f x ，得2()(1)-<--f kx x f x ， ∵()f x 为奇函数，∴2()(1)f kx x f x -<-，()22x x f x -=-为R 上的增函数，∴21kx x x -<-对一切x ∈R 恒成立，即2(1)10x k x -++>对一切x ∈R 恒成立， 故2(1)40k ∆=+-<，解得31k -<<． (3)由题意22()22(22)x x x x g x m --=+--设22,x x t -=-则22(22)(22)22x x x x m t mt -----+=-+，∵2[1,log 3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记2()2h t t mt =-+，∴函数2()2h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最大值为1，①若对称轴3825232212m t +=>=， ∴max 317313()12426⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭h t h m m ，不合题意．②若对称轴25212m t =≤， ()max2525212736,873241324m m m h t h m ⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在实数7324m =，使函数g （x ）在[]21,log 3上的最大值为1． 22．已知函数()()2ln f x ax x x a R =--∈.(1)当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当[]1,2x ∈，求函数()f x 的最大值；(3)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ，证明：()()12122ln f x x x x +>-+. 【答案】(1)21y x =-(2)()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分0a ≤、1a ≥和01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值；（3）利用分析法可得只需证()()212122+-+>a x x x x ，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，令12(01)x t t x =<<，只需证1ln 21t t t +⋅>-，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证.【详解】(1)解：当2a =时()22ln f x x x x =--，()141f x x x=--'∴，()12f '∴=，()11f =，∴切线方程为：21y x =-.(2)解：()212121(0)ax x f x ax x x x----'==>，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x ∴在[1，2]单调递减，()max 1f x a ∴=-②当1a ≥时，()()()2121210x x x x f x x x-+-'-≥=≥ ()f x ∴在[]1,2单调递增，()max 42ln2f x a ∴=--③当01a <<时，()01f x x =⇒≥， （i2<即318a <<时，()f x ∴在⎡⎢⎣⎦单调递减，2⎤⎥⎝⎦上递增()()(){}max31ln2183max 1,21ln242ln213a a f x f f a a ⎧+⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭∴==⎨+⎛⎫⎪--≤< ⎪⎪⎝⎭⎩（ii2≥即308a <<时，()f x ∴在[]1,2单调递减，()max 1f x a ∴=-，综上：()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.(3)证明：要证()()12122ln f x x x x +>-+，只需证()()()()212121212ln 2ln a x x x x x x x x +-+-+>-+， 只需证()()212122+-+>a x x x x ，因为2111ln 0ax x x --=，2222ln 0ax x x --=，两式相减得：()()()22121212ln ln 0a x x x x x x -----=.整理得()121212ln ln 1x x a x x x x -+=+-.所以只需证()()12121212ln ln 12x x x x x x x x ⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即1211221ln 21x x x x x x +⋅>-，不妨设120x x <<，令12(01)x t t x =<<， 只需证1ln 21t t t +⋅>-， 只需证()()1ln 210t t t +--<， 设()()()1ln 21n t t t t =+--， 只需证当01t <<时，()0n t <即可.()()221111ln 1,0(01)t n t t n t t t t t t'''-=+-=-=<<<，()n t ∴'在()0,1单调递减，第 21 页 共 21 页 ∴当01t <<时，()()10n t n ''>=，()n t ∴在()0,1单调递增，当01t <<时()()10n t n <=，∴原不等式得证.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试卷(含答案)
辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.设集合M={y|y=2x,x<0},N={x|y=1−xx}，则“x∈M”是“x∈N”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.给出下列四个结论：①“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；②若命题p:∃x≥0,2x=3，则¬p:∀x<0,2x≠3；③若x∈R，则x2≠4是x≠2的充分不必要条件；④若命题q：对于任意x∈R,x2+2x−a>0为真命题，则a<−1其中正确结论个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.下列函数中，既是奇函数又具有零点的是( )A. f(x)=|x|xB. f(x)=ln(x2+1−x)C. f(x)=e x+e−xe x−e−x D. f(x)=1−x2|x+3|+|4−x|4.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(2X+1)=( )X123P 13a16A. 116B. 113C. 143D. 2235.已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a4=b4=3，则( )A. b1b7≥a1a7B. b1+b7≥a1+a7C. b1b7≤a1a7D. b1+b7≤a1+a76.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)满足f(1)>1，且函数y=log a(x2−ax−1)在[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (1,4]C. (1,32)D. (32,4]7.已知函数f (x )={x,x ≤a x 2,(x >a)，若存在实数b ，使函数g (x )=f (x )−b 有两个零点，则a 的取值范围是( )A. a <0B. a <1且a ≠0C. a <1D. a >0且a ≠18.已知命题p:∃x ∈R,ax−e x =0为假命题，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0)∪[e,+∞)B. (−∞,0]∪(e,+∞)C. (0,e )D. [0,e )9.下列说法中，正确的是( )A. 若随机变量X ∼N (2,σ2)，且P(X >6)=0.4，则P(−2<X <2)=0.1B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1C. 若随机事件A ，B 满足：P(A)=12,P(B)=23,P(A ∪B)=56，则事件A 与B 相互独立D. 已知y 关于x 的回归直线方程为y =0.3−0.7x ，则样本点(2,−3)的残差为−1.910.已知函数f(x)定义域为R ，对∀x ，y ∈R ，恒有f(x +y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，则下列说法错误的有( )A. f(0)=1B. f(2x +1)=f(−2x−1)C. f(x)+f(0)≥0D. 若f(1)=12，则f(x)周期为611.对于函数f (x )=ln x x 2，下列说法正确的是( )A. f (x )在x =e 处取得极大值12eB. f (x )有两个不同的零点C. f ( 22)<f ( π)<f ( 3)D. 若f (x )<k−1x 2在(0,+∞)上恒成立，则k >e 2二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题(含解析)
东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间：120分钟 满分：150分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.已知集合，则中元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.62.设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A.3B.4C.15D.163.命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）A.B.C. D.4.设，则下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则5.若集合，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知，则的最小值为（ ）(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. B.C.D.或二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，9.设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是（ ）A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学､物理､化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学､物理两科的有10人，同时只参加物理､化学两科的有7人，同时只参加数学､化学两科的有11人，而参加数学､物理､化学三科的有4人，则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U ､､A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知集合为全体实数集，或.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知全集，集合，集合.（1）若，求实数的取值集合；（2）若集合，且集合满足条件__________（从下列三个条件中任选一个作答），求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件：②是的必要不充分条件：③，使得.17.（本小题15分）设，且.（1介于之间；（2）求；（3）你能设计一个比的吗？并说明理由.18.（本小题17分）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点：（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.（本小题17分）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由：（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由：命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集：（3）若非空集合是封闭集合，且为实数集，求证：不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解：在集合中，观察集合的条件，当是正整数且时，有等4个元素，则中元素个数为4个.故选C.2.解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，则集合的真子集有个，故选C.3.解：命题“，不等式”为假命题，则命题“，不等式”为真命题，所以，解得，所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为1，则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A.4.解：A ：令，则，故错误；B ：令，则，故错误；C ：令，则，故错误；D ：因为，所以即，故正确；故选D.5.解：由题可知：.当时，显然不成立即，则满足；B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时，，由可得：；综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解：由，根据的定义可知：不等式的解集是.故选A.7.解：因为，则，当且仅当时，即当，且，等号成立，故的最小值为故选B.8.当时，方程为有一个负实根，反之，时，则于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：9.解：因为，如下图所示，则，选项A 正确：，选项B 正确：，选项正确：，选项D 错误.故选ABC.10.解：分别取同正､同负和一正一负时，可以得到的值分别为，故A 正确；由得，12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为，故B 正确；由，可以得到符合条件的数对有，故C 正确；当时，；当时，，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合含有四个元素，故D 错误，故选ABC.11.解：由题意，，且方程的两根为和，所以，所以，所以A 正确；因为，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为B 正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为C 错误；，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D 正确.故选ABD.12.解：由，，{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得：或（舍去），或，即所求的解集为，故答案为.13.解：设参加数学､物理､化学三科竞赛的人分别组成集合，各集合中元素的个数如图所示，则全班人数为.故答案为43.14.解：分情况讨论：当时，，解得；当时，，当且仅当解得或；当时，，当且仅当由，解得.因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.故答案为：.15.（本小题13分）5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解：（1）当时，，所以或，又或，所以或；（2）由题可得，①当时，则，即时，此时满足；②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.16.（本小题15分）【答案】解：（1）若，则，解得，所以实数的取值集合为（2）集合，集合，则此时，则集合，当选择条件①时，是的充分不必要条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件②时，是的必要不充分条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件③时，，使得，有，则，解得，所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.（本小题15分）【答案】解：（1）证明：.之间.（2比.（3）令，则比.证明如下：由（2.故比18.（本小题17分）【答案】解：（1）由题意知：，，解得，所以，二次函数的不动点为和1.（2）依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a ､11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.19.（本小题17分）【答案】（1）解：对于集合，因为，所以是封闭集；对于集合，因为，所以集合不是封闭集；（2）解：对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故正确；（3）证明：假设结论成立，设，若，矛盾，所以，所以有，设且，否则，所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。
2022-2023学年辽宁省东北育才学校高中部高一上学期数学第一次独立练习试题(解析版)
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一、单选题 1．设集合{|0},{|||2}AxxBxZx，则RAB（ ） A．{2,1,0} B．{2,1} C．{1,2} D．{0,1,2} 【答案】C 【分析】先根据集合补集的定义求出AR，再解绝对值不等式得到集合B，最后求RAB即可.
【详解】集合{|0}Axx，{|0}RAxx， 又因为{|||2}=2,1,0,1,2BxZx， 所以{1,2}RAB.
故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算，属于基础题. 2．设xR，则“220xx”是“12x”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可. 【详解】由220xx得0,2x， 由12x得1,3x， 故“220xx”是“12x”的充分不必要条件. 故选：A. 3．下列说法不正确的是（ ） A．若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题. B．命题“2,10xRxx”的否定是“2,10xRxx”. C．设,AB是两个集合,则“AB”是“ABA”的充分不必要条件. 第 2 页 共 16 页
D．当0时,幂函数yx在0,上单调递减. 【答案】C 【分析】对于A中，根据复合命题的真假判定方法，可判定为真命题；对于B中，根据全称命题的否定，可得是正确的；对于C中，根据充要条件的判定可得应为充要条件，所以不正确；对于D中，根据幂函数的性质，可得是正确的，即可得到答案. 【详解】对于A中，根据复合命题的真假判定方法，可知若“p且q”为假，则,pq至少有一个是假命题，故A正确； 对于B中，根据全称命题的否定，可得命题“2,10xRxx”的否定是“2,10xRxx”，故B正确；
2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，则A B ⋃=（）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,2,3-【正确答案】D【分析】根据集合的并集运算即可得出答案.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，所以{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，故选：D.2．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD =2，AB =BC =CD =1，E 为AD 的中点．则下列式子不正确的是（）A ．AB AE AC+= B ．BE EC = C ．AB CD ED -=D ．0ED CB += 【正确答案】C【分析】先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析.【详解】由题意1,//,//,AE ED BC AE BC ED BC AE ED BC ===∴==，并且四边形ABCE 和四边形BCDE 都是平行四边形，即,BE CD AB EC ==，对于A ，AB AE AC +=，正确；对于B ，1,1BE CD EC AB ====，正确；对于C ，ED AE AB BE AB CD AB CD ==+=+≠-，错误；对于D ，,0ED BC CB ED CB ==-∴+=，正确；故选：C.3．“12x -≤”是“2211x x -≤+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】化简不等式，得到两个不等式的解，根据充分条件，必要条件的定义即可得出结论.【详解】解：由12x -≤，解得13x -≤≤，由2211x x -≤+，解得13x -<≤，显然1313x x -<≤⇒-≤≤，但是13x -≤≤推不出13x -<≤，所以“12x -≤”是“2211x x -≤+”的必要不充分条件．故选：B.4．下列函数是增函数且在(0,5)上有零点的是（）A ．()4f x x =+B ．()4f x x =-C ．()ln 3f x x =-D ．()38xf x =-【正确答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性及函数的零点存在性定理逐个选项判断即可．【详解】对于A ，()4f x x =+是增函数，令()40f x x =+=，则40x =-<，故A 错误；对于B ，()4f x x =-在()0,+∞上是减函数，故B 错误；对于C ，令()ln 30f x x =-=，则3e 5x =>，故C 错误；对于D ，()38x f x =-是增函数，令()380xf x =-=，则()3log 81,2x =∈，故D 正确；故选：D ．5．已知23log 2a =，5log 6b =，3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a>>【正确答案】C【分析】根据对数函数的单调性即可求解.【详解】由对数函数的单调性可知：2233log 2log 01a ==<，55log 65log 1b ==>，又()0,13c =，所以b c a >>．故选.C6．如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（）A ．38B ．716C ．58D ．916【正确答案】B【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，故所求的概率为716．故选：B.7．下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：‰），根据下图，则（）A ．这10年的人口出生率逐年下降B ．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45%C ．这10年的人口出生率的80%分位数为13.57‰D ．这10年的人口出生率的平均数小于12‰【正确答案】D【分析】由走势图对选项一一验证即可.【详解】对于A ：这10年的人口出生率有升有降，故A 错误；对于B ：这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于50%，故B 错误；对于C ：由于100.88⨯=，则这10年的人口出生率的80%分位数为从小到大第8个和第9个数的平均数13.5713.8313.702+=，故C 错误；对于D ：这10年的人口出生率的平均数为()114.5713.0313.8311.9913.5712.6410.8610.418.527.5211.69410+++++++++=小于12‰，故D 正确；故选：D.8．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t S ab =，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为34a（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为3a（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：lg 20.30,lg 30.48≈≈）A ．13年B ．14年C ．15年D ．16年【正确答案】D【分析】由条件列式434a ab =先确定参数，再结合对数运算解方程3ta ab =.【详解】由题意，434a S ab ==，即434b =，所以b =，令3t a ab =，即13tb =，故13t=，即1lg 3t =，可得1(lg32lg2)lg34t -=-，即4lg 3162lg 2lg 3t =≈-．故选：D二、多选题9．已知e 是直线l 上的一个单位向量，a 与b都是直线l 上的向量，且2a e = ，3b e =- ，则（）A ．b的坐标为3-B ．||3b = C ．23a b +的坐标为5D ．|23|5a b += 【正确答案】ABD【分析】根据题意得到22a e == ，33b e =-= ，,a b的夹角为180 ，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为3b e =- ，所以b的坐标为3-，故A 正确；对选项B ，33b e =-=，故B 正确.对选项C ，因为2a e = ，3b e =-，所以23a b + 的坐标为5-，故C 错误；对选项D ，因为22a e == ，33b e =-= ，,a b 的夹角为180 ，所以()()222223491242991223125a ba b a b +=++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-=，所以|23|5a b +=，故D 正确.故选：ABD10．为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（）A ．平均数为8.5B ．平均数为8C ．方差为10.5D ．方差为10【正确答案】BC【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.【详解】由题意，该样本数据的平均数10910781010a ⨯+⨯==+，方差222101011(98)8(78)10.52020s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦．故选：BC11．设函数()()ln f x x a =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．当1a =时，()f x 的单调递减区间为(),0∞-C ．若()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为(,0]-∞D ．若()f x 的值域为R ，则a 的取值范围为[0,)+∞【正确答案】AD【分析】根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解.【详解】对于A 选项，因为当0a >时，函数定义域为(,)(,)a a -∞-+∞ ，当0a =时，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ；当a<0时，函数的定义域为R ，函数定义域关于原点对称，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，故A 正确；对于B 选项，当1a =时，令10x ->，解得1x <-或1x >，由复合函数的单调性可知()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，故B 错误；对于C 选项，若()f x 的定义域为R ，则0x a ->恒成立，故a<0，则a 的取值范围为(),0∞-，故C 错误；对于D 选项，若()f x 的值域为R ，则0a -≤，故0a ≥，则a 的取值范围为[0,)+∞，故D 正确．故选.AD12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x 为偶函数，且()()11f x g x ++=，()()13f x g x +-=，则（）A ．()g x 的图象关于直线2x =对称B ．()f x 的图象关于点()0,2对称C ．()f x 是以3为周期的周期函数D ．()g x 是以4为周期的周期函数【正确答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性和周期性逐项进行求解即可．【详解】由()()11f x g x ++=，可得()()121f x g x +++=，又()()13f x g x +-=，所以()()22g x g x ++=-，则()()422g x g x +++=-，所以()()4g x g x +=，所以()g x 周期为4，故D 正确；同理可得()()4f x f x +=，所以()f x 周期为4，故C 错误；．因为()g x 为偶函数，所以()()()4g x g x g x -==+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，故A 正确；因为()()11f x g x ++=，可得()()11g x f x =--，又()()13f x g x +-=，所以()()13g x f x -=--，由()()g x g x -=，可得()()1113f x f x --=--，即()()114f x f x -+-=，所以()f x 的图象关于点()0,2对称，故B 正确；故选：ABD ．三、填空题13．已知(,2)a m =- ，(3,1)b = ，若a b ∥，则a =r ______．【正确答案】【分析】首先根据a b ∥得到6m =-，再计算a 即可.【详解】由a b ∥，得60+=m ，则6m =-，故||a ==故四、双空题14．某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，将数据按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[]60,70分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则=a ______．要从日支出在[]50,70的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在[]60,70中被抽取的人数为______．【正确答案】0.0052【分析】根据频率之和为1列出方程，求出0.005a =，得到[50,60)内和[]60,70内的样本比例，从而得到在[]60,70中被抽取的人数.【详解】()20.020.0250.045101a ⨯+++⨯=，解得0.005a =．因为[50,60)内和[]60,70内的样本个数比例为0.020:0.0054:1=，根据分层抽样可知，日支出在[]60,70中被抽取的人数为110214⨯=+．故0.005，2五、填空题15．设a ，b ∈R ，若22936a b ab ++=，则3a b +的最大值为______．【正确答案】【分析】利用条件变形和问题建立起联系：()2336a b ab +=+，再利用基本不等式求出ab 的范围即可求解.【详解】()22293633a b ab a b ab ++==+-，即()2336a b ab +=+，因为229363a b ab ab ++=≥，可得23ab ≤，当且仅当3a b =时，等号成立，所以()23368a b ab +=+≤，即3a b +的最大值为故答案为.16．已知ABC 内一点P 满足14AP AB AC λ=+ ，若PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，则λ的值为______．【正确答案】512【分析】过点P 作//PM AC ，//PN AB ，根据向量运算和平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得PAC ABC S S λ=△△，14PAB ABC S S =△△，列方程求λ的值.【详解】如图，过点P 作//PM AC ，//PN AB ，则AP AM AN =+，又14AP AB AC λ=+ ，由平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC = ．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．又因为PNG BAH ∽△△，所以PG PNBH ABλ==，因为PAC ABC S S λ=△△，同理14PAB ABC S S =△△．因为PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，所以11143λ++=，解得512λ=．故答案为.512六、解答题17．已知命题:p x ∃∈R ，20x mx m ++<，集合A 是命题p 为假命题时实数m 的取值集合，函数()()ln f x x a a x=++-B ．(1)求集合A ；(2)已知0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．【正确答案】(1)[]0,4A =(2)()4,+∞【分析】（1）分析可知，命题p 的否定为真命题，由0∆≤可求得集合A ；（2）求出集合B ，分析可知A B ，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：命题p 的否定为x ∀∈R ，20++≥x mx m ，命题p 的否定为真命题等价于240m m ∆=-≤，解得04m ≤≤，所以[]0,4A =．（2）解：0a > ，要使()f x 有意义，则00x a a x +>⎧⎨->⎩，解得a x a -<<，则(),B a a =-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ，所以，04a a -<⎧⎨>⎩，解得4a >，当4a =时，()4,4B =-，此时AB .因此，实数a 的取值范围是()4,+∞.18．已知幂函数()()23mf x m x =-⋅在()0,∞+上单调递减．(1)求()f x 的解析式；(2)若[]1,2x ∀∈，()2x af x x-≤，求a 的取值范围．【正确答案】(1)()2f x x-=(2)(,1]-∞【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；(2)根据题意分离变量得到12xa x≤-在[]1,2恒成立，利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为幂函数()()23mf x m x =-⋅在()0,∞+上单调递减，所以2310m m ⎧-=⎨<⎩，解得2m =-，所以()f x 的解析式为()2f x x -=．（2）由()2x a f x x-≤，可得12x a x ≤-，则12xa x ≤-，因为12,xy y x==-在[]1,2上单调递增，所以12x y x=-在[]1,2上单调递增，所以当1x =时，取得最小值1．所以a 的取值范围为(,1]-∞．19．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12log 4f x x m =++．(1)求m 的值并求出()f x 在(),0∞-上的解析式；(2)若()1f a >，求a 的取值范围．【正确答案】(1)2m =，()()12log 42f x x =--+-(2)(),4-∞-【分析】（1）根据函数为R 上的奇函数得到()00f =，求出m 的值，并利用函数的奇偶性求出解析式；（2）得到函数的单调性及()124log 821f -=--=，从而解不等式，求出答案.【详解】（1）由题可知()020f m =-+=，即2m =，经检验符合题意，令0x <，则0x ->，()()12log 42f x x -=-++，又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()12log 42f x x -=-++，故()()12log 42f x x =--+-，故()f x 在(),0∞-上的解析式为()()12log 42f x x =--+-．（2）由函数性质可知()f x 在[0,)+∞上单调递减，则()f x 在R 上单调递减．又因为()124log 821f -=--=，所以()1f a >，即()()4f a f >-，所以当4a <-时，()1f a >，即a 的取值范围为(),4-∞-．20．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲未获得奖金的概率；(2)求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．【正确答案】(1)0.825(2)0.0098【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出获得一二等奖概率，再利用对立事件即可求出甲未获奖金的概率；（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解.【详解】（1）获得二等奖的概率为0.70.50.50.80.14⨯⨯⨯=，获得一等奖的概率为0.70.50.50.20.035⨯⨯⨯=，所以甲未获得奖金的概率为10.140.0350.825--=．（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．甲和乙最后所得奖金之和为900元，则甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，则所求的概率为0.0350.140.140.0350.0098⨯+⨯=．21．已知m >0，n >0，如图，在ABC 中，点M ，N 满足AM mAB = ，AN nAC = ，D 是线段BC 上一点，13BD BC = ，点E 为AD 的中点，且M ，N ，E 三点共线．(1)若点O 满足2AO OB OC =+ ，证明：//OE BC ．(2)求2m n +的最小值．【正确答案】(1)证明见解析(2)43【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用,AB AC 依次表示,,,,AD AE AO OE CB ，再结合向量共线定理证明//OE CB 即可；(2)由(1)1136AE AM AN m n =+ ，结合结论可得11136m n+=，再利用基本不等式求2m n +的最小值．【详解】（1）由题可知()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，因为点E 为AD 的中点，所以1136AE AB AC =+ ．由2AO OB OC =+ ，则2AO OA AB OA AC =+++ ，即()14AO AB AC =+ ，()111113641212OE AE AO AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭ ，又CB AB AC=- 所以//OE CB ，又,,E C B 三点不共线，所以//OE BC ．（2）因为M ，N ，E 三点共线，所以可设ME MN λ= ，又AM mAB = ，AN nAC = ，所以()()11AE AM AN mAB nACλλλλ=-+=-+ 又1136AE AB AC =+ ，所以()111,36m n λλ-==，所以11136m n+=，所以11112242(2)36333633n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当23m =，13n =时，等号成立．所以2m n +的最小值是43．22．已知函数()()4422x x x x f x m n --=+-++．(1)证明：当0m n ==，()f x 在()0,∞+上单调递增．(2)若()f x 恰有3个零点，求m 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)()4,+∞【分析】（1）当0m n ==时，()44x x f x -=+，根据单调性定义证明设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，化简计算()()12f x f x -即可得到()()12f x f x <，即可证明；（2）计算可得()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，则当()f x 恰有3个零点时，()00f =，即可得到m 与n 的关系，即可代入函数解析式消去n ，得到()()()2222224x x x x f x m m --=+-++-在()0,∞+上恰有一个零点，根据单调性定义证明22x x y -=+在()0,∞+上单调递增，则令()222,x x t -=+∈+∞，得到2240t mt m -+-=在()2,+∞内恰有一个解，即可解出答案.【详解】（1）证明：当0m n ==时，()44x x f x -=+．设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()()()()1122121212144444414x x x x x x x x f x f x --+⎛⎫-=+-+=-- ⎪⎝⎭，因为120x x <<，所以12440x x -<，即121104x x +>-，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递增．（2）因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称．因为()f x 恰有3个零点，所以()00f =，即220m n -+=．此时()()()()2442222222224x x x x x x x x f x m m m m ----=+-++-=+-++-，所以()()()2222224x x x x f x m m --=+-++-在()0,∞+上恰有一个零点．由（1）同理可知22x x y -=+在()0,∞+上单调递增．令()222,x x t -=+∈+∞，则2240t mt m -+-=在()2,+∞内恰有一个解，即2m t =+，则4m >，所以m 的取值范围为()4,+∞．。
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东北育才学校高中部2018届 高三第一次模拟考试（数学理科）试题使用时间:9月9日 命题人:高三数学备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2<-+=x x x B ，则=B A A ．}1{- B ．}0,1{- C ．}1,0,1{- D ．}0,1,2{--2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x A ．2 B ．5 C ．3 D ．103.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S = A ．60 B ．75 C.90 D ．1054．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,则事件“sin y x ≤”发生的概率为 A.1π B.2π C.21π D.22π5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A.83 B.43C.248+D.246+ 6.下列判断错误．．的是 A ．“22bm am<”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若q p ,均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x7.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55 C. 2 D ．552 8.若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心22俯视图侧视图可以为 A ．)0,12(π B ．)0,6(π C ．)0,3(π D ．)0,2(π9. 见右侧程序框图，若输入110011a =，则输出结果是 A.51 B.49 C.47 D.4510.供食用，有5 食都至少有一名同学选择.同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5 案种数为A. 48B. 96C. 132D.14411.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B 、，交其准线于点C ，若||3||BF BC =，且4||=AF ， 则p 为 A ．34B ．2C ． 38D ．316 12.已知函数()21sin 21x x f x x x -=+++，若正实数b a ,满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为A.1B.29C.9D.18 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.在8)21(xx -的展开式中，2x 项的系数为 . 14.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是 .15.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，B A ,是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足︒︒=∠=∠45,30MBA MAB ，设椭圆C 的离心率为e ，则=2e ______.16.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则)2(+⋅的最小值为 .三.解答题：共70分。
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东北育才学校高中部2018届 高三第一次模拟考试（数学理科）试题使用时间:9月9日 命题人:高三数学备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2<-+=x x x B ，则=B A A ．}1{- B ．}0,1{- C ．}1,0,1{- D ．}0,1,2{--2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x A ．2 B ．5 C ．3 D ．103.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S = A ．60 B ．75 C.90 D ．1054．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,则事件“sin y x ≤”发生的概率为 A.1π B.2π C.21π D.22π5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A.83 B.43C.248+D.246+ 6.下列判断错误．．的是 A ．“22bm am<”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若q p ,均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x7.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55 C. 2 D ．552 8.若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心22俯视图侧视图可以为 A ．)0,12(π B ．)0,6(π C ．)0,3(π D ．)0,2(π9. 见右侧程序框图，若输入110011a =，则输出结果是 A.51 B.49 C.47 D.4510.供食用，有5 食都至少有一名同学选择.同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5 案种数为A. 48B. 96C. 132D.14411.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B 、，交其准线于点C ，若||3||BF BC =，且4||=AF ， 则p 为 A ．34B ．2C ． 38D ．316 12.已知函数()21sin 21x x f x x x -=+++，若正实数b a ,满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为A.1B.29C.9D.18 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.在8)21(xx -的展开式中，2x 项的系数为 . 14.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是 .15.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，B A ,是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足︒︒=∠=∠45,30MBA MAB ，设椭圆C 的离心率为e ，则=2e ______.16.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则)2(+⋅的最小值为 .三.解答题：共70分。
辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟(开学)考试数学试题
2024-2025学年度上学期高三第一次模拟考试数学学科一、选择题（共8小题）1．复数）A ．1B ．C ．iD ．2．设A ，B ，C ，D 是四个命题，若A 是B 的必要不充分条件，A 是C 的充分不必要条件，D 是B 的充分必要条件，则D 是C 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．定义：若集合A ，B 满足，存在且，且存在且，则称集合A ，B 为嵌套集合．已知集合，若集合A ，B 为嵌套集合，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：①为同时与垂直的向量：②三个向量构成右手系（如图1）；③，如图2，在长方体中，，则下列结论错误的是（）A ．B ．长方体的体积C ．D ．6．已知平面向量满足，若，则的取z 1-i-A B ≠∅ a A ∈a B ∉b B ∈b A ∉{}(){}2*2220,31||220x A x x x B x x a x aa =-≤∈=-+++<R 且()2,3(),1-∞()1,3()1,2()π2sin 06()f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()1f x =()0,2πω1526ω<≤516ω<≤413ω<≤413ω≤≤a b a b ⨯ a b ⨯ ,a b ,,a b a b ⨯sin ,a b a b a b ⨯= 1111ABCD A B C D -12,4AB AD AA ===1AB AD AA ⨯=1111ABCD A B C D -()1V AB AD CC =⨯⋅AB AD AD AB ⨯=⨯ ()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ,,a b c4,2,8a b c a b ===⋅=- (),,c a b λμλμ=+∈∈R R 2λμ+值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．经济学理论知企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用Q 表示产量，L 表示劳动投入，K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中，．当A 不变，K 与L 均变为原来的2倍时．下列说法正确的是（ ）A ．存在和，使得Q 不变B ．存在和，使得Q 变为原来的2倍C ．若，则Q 最多可变为原来的2倍D ．若，则Q 最多可变为原来的2倍8．已知函数与其导函数为定义域均为R ，且满足，，给出以下四个命题：①②③函数的图象关于直线对称④，其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题（共3小题）9．已知函数，则下列说法正确的有（ ）A ．若是R 上的增函数，则B ．当时，函数有两个极值C ．当时，函数有三个零点D ．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点10．如图，在棱长为1的正方体中，点P 在线段上运动，则下列判断中正确的是（）⎡⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎢⎣⎡-⎣11Q AK L βα=0,0,0A K L >>>1,1αβ>>2α>2β>12α<<12β<<4αβ⋅=()22222αβαβ+=()f x ()f x '()f x ()()()00,f f x f x =-=()()1140f t f t t --++=()00f '=()()2f x f x +=()2y f x x =-1x =()()2142f k k k '-=-∈Z ()()3213f x x ax x a =-+∈R ()f x []1,1a ∈-1a >()f x 1a >()f x 1a =()f x ()()0,0f ()f x 1111ABCD A B C D -1BCA ．三棱锥的体积是B ．平面C ．平面与平面所成的二面角为D ．异面直线与所成角的范围是11．已知随机变量X 的分布列如下：X 123…P…若数列是等差数列，则（ ）A ．若n 为奇数，则B ．C ．若数列单调递增，则D ．三、填空题（共3小题）12．某圆锥的侧面展开图为一个扇形，已知该扇形的圆心角为，半径为，则该圆锥的体积为______________．13．已知实数a ，b 满足，且，若关于t 的不等式恒成立，则实数t 的取值范围是____________．14．已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足，若M 为的外心，AM 的延长线交BC 于D ，且，则_______；的面积为___________．四、解答题（共5小题）15．已知不等式的解集为．（I ）求不等式的解集T ；（II ）设非空集合，若是的充分不必要条件，求m 的取值范围．16．已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知．（1）求a 的取值范围；（2）求最大时，的面积．17．如图，直角梯形ACDE 中，，B 、M 分别为AC 、ED 边的中点，将沿BE 边折起到的位置，N 为边的中点．1A D PC -16DP ∥1AB D1PA D 1ACD 60︒1A P 1AD ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦1P 2P 3P nP {}n P 112n P X n+⎛⎫== ⎪⎝⎭11n nP P n-={}n P 11nP <()()()1146n nP E X +⋅-=2rad π40a b ab +-=0ab >253a b t t +++≥ABC △3,6cos 2a b B c =+=ABC △MD =A =ABC △20x ax b ++<{}2|4M x x =-<<210bx ax -+>114|S x m x m =-<≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭x S ∈x T ∈ABC △23,sin ABC c S b C ==△B ∠ABC △14522A ED CD AC ∠=︒===,ABE △A BE '△A C '（1）证明：平面；（2）当三棱锥，且二面角为锐二面角时，求平面NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．18．设是数列的前n 项和，已知．（1）证明：是等比数列；（2）求满足的所有正整数n ．19．已知函数．（1）知函数的图象与函数的图象关于直线对称，试求； （2）证明；（3）设是的根，则证明，曲线在点处的切线也是曲线的切线．MN ∥A BE 'A BEN '-A BE C '--n S {}n a 111,1,22,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数{}22n a -20n S >()()1ln f x x x =-()()1ln f x x x =-()g x 1x =-()g x ()0f x ≥0x ()1f x x =+ln y x =()00,ln A x x x y e =。
辽宁省沈阳市东北育才学校高中部高一数学上学期同步练习 平面解析几何初步
平面解析几何初步综合练习一、选择题1.过点()2,3，且与原点的距离最大的直线方程是（ ）A.32120x y +-=B.23130x y +-=C.2x =D.50x y +-=2.若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:516C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为（ ）2C.43.如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，90D ∠=︒，4AD DC ==，1AB =，F 为AD 的中点，则点F 到BC 的距离是（ ） A.1 B.2 C.4 D.8CBF DA4.如图，定圆半径为a ，圆心坐标为(),b c ，则直线0ax by c ++=，与直线10x y +-=的交点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.设圆22:3C x y +=，直线:360l x y +-=，点()00,P x y l ∈，存在点Q C ∈，使60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是（ ）A.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]0,1C.60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.过点()2,4Q 引直线与圆221x y +=交于R ，S 两点，满弦RS 的中点P 的轨迹为（ ）A.圆()()22125x y +++= B.圆22240x y x y +++=的一段弧 C.圆22240x y x y +--=的一段弧 D.圆()()22125x y -+-=7.正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（ ） A.16 B.14 C.12 D.10 二、填空题1.若实数x 、y 满足()2223x y -+=，则yx的最大值为＿＿.2.对于任意实数m ，n ，直线()1220m n x my n ++-=恒过定点的坐标是＿＿.3.直线l 与圆()222403x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为()0,1，则直线l 的方程为＿＿.4.在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为两点()11,P x y ，()22,Q x y 之间的“折线距离”.则圆()()22434x y -+-=上一点与直线0x y +=上一点的“折线距离”的最小值是＿＿.5.已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在1l 和2l 上，且BC =A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为＿＿. 6.设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122=ax by cax by cδ++++，以下命题中正确的序号为＿＿.（1）不论δ为何值，点N 都不在直线l 上；（2）若=1δ，则过M ，N 的直线与直线l 平行； （3）若=1δ-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交. 7.已知()1,2A ，()3,4B ，直线1:0l x =，2:0l y =和3:310l x y +-=，设1P 是()11,2,3l l =上与A ，B 两点距离平方和最小的点，则三角形123PP P 的面积是＿＿. 三、解答题1.已知22:1O x y +=和定点()2,1A ，由O 外一点(),P a b 向O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =.（Ⅰ）求实数a ，b 间满足的等量关系； （Ⅱ）求线段PQ 长的最小值；（Ⅲ）若以P 为圆心所作的P 与O 有公共点，试求半径最小值是P 的方程.2.已知直线(:l y k x =+与圆22:4O x y +=相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S .（Ⅰ）试将S 表示成的函数()S k ，并求出它的定义域；（Ⅱ）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.3.设不等边三角形ABC 的外心与重心分别为M 、G ，若()1,0A -，()1,0B 且MG AB ∥. （Ⅰ）求三角形ABC 顶点C 的轨迹方程；（Ⅱ）设顶点C 的轨迹为D ，已知直线L 过点()0,1并且与曲线D 交于P 、N 两点，若O 为坐标原点，满足OP ON ⊥，求直线L 的方程.4.已知动圆过定点()4,0A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点()1,0B -，设不垂直于x 轴的直线与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线过定点.。
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辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2015-2016学年高一数学上学期
期末模拟（一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的.
1.图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A.UBACð B.ABBC C.UACBð D.
U
ACB
ð
CBAU
2.若fx是幂函数，且满足432ff，则12f（ ）
A.3 B.3 C.13 D.13
3.有以下四个命题
（1）垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）若异面直线a、b不垂直，则过a的任何一个平面与b均不垂直；
（3）三个平面两两相交，有三条交线，则三条交线交于一点；
（4）已知空间三条直线l、m、n.若l与m异面，且l与n异面，则m与n必异面.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B. 1 C.2 D.3
4.在平面直角坐标系xOy中，直线3450xy与圆224xy相交于A、B两点，则弦
AB
的长等于（ ）
A.33 B.23 C.3 D.1
5.若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四
个函数：122logfxx，22log2fxx，232logfxx，42log2fxx.则“同
形”函数是（ ）
A.1fx与2fx B. 2fx与3fx C. 1fx与4fx D. 2fx与4fx
6.如图，已知四棱锥PABCD为正方形，PA平面ABCD，给出下列命题：
①PBAC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行
③平面PBD平面PAC；④PCD△为锐角三角形.其中真命题的序号是（ ）
A.②③ B.①②③④ C.③④ D.②③④
P
D
C
B
A
7.定义在R上的函数yfx，在,a∞上是增函数，且函数yfxa是偶函数，当
1xa，2
xa
，且12xaxa时，有（ ）
A.12fxfx B.12fxfx≥ C.12fxfx D.12fxfx≤
8.圆22650xyya关于直线2yxb成轴对称图形，则ab的取值范围是（ ）
2
A.,4∞ B.,0∞ C.4,∞ D.4,∞
9.设函数121log2xfxx，2121log2xfxx的零点分别为1x，2x，则（ ）
A.1201xx B.12=1xx C.1212xx D.122xx≥
10.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC△是边长为1的正三角形，
SC
为球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（ ）
A. 26 B.36 C.23 D.22
11.已知函数3443fxxx，则fx的值域是（ ）
A.0,5 B.3,4 C.3,5 D.4,5
12.已知函数yfx是定义在R上的奇函数，当0x≤时，22fxxx.若存在正数a、
b
，使得当,xab时，fx的值域为11,ba，则ab（ ）
A.1 B.152 C.512 D.352
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.对任意实数x，不等式1xkx恒成立，则k的取值范围是＿＿.
14.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异
面，则a的取值范围是＿＿.
15.定义一个对应法则:,',,0,0fPmnPmnmn≥≥.现有点2,6A与点
6,2B
，点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则:'fMM.当点M在线段AB上
从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点'M所经过的路线长度为＿＿.
16.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于＿＿3cm.
2
24
4
3
2
4
2
侧视图俯视图正视图
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
设函数afxxx的图象过点52,2A
（Ⅰ）求实数a的值，并证明fx的图象关于原点对称；
（Ⅱ）证明函数fx在0,1上是减函数；
18.（本题满分12分）
如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD△为正三角形，CBCD，ECBD.
（Ⅰ）求证:BEDE；
（Ⅱ）若120BCD，M为线段AE的中点，求证:DM∥平面BEC.
3
E
D
C
B
A
19.（本题满分12分）
如图，平面直角坐标系xOy中，AOB△和COD△为两等腰直角三角形，2,0A，
,00Caa
.设AOB△和COD△的外接圆圆心分别为M，N.
（Ⅰ）若M与直线CD相切，求直线CD的方程；
（Ⅱ）若直线AB截N所得弦长为4，求N的标准方程；
ONMDCBA yx
20.（本题满分12分）
设2,fxxbxcbcR.若2x≥，0fx≥，且fx在区间2,3上的最大值为1，
（Ⅰ）求3f的值.
（Ⅱ）若2fxxbxc不存在零点，求b的范围，并求22bc的最大值。
（Ⅲ）若2fxxbxc存在零点，求b的值.
21.（本题满分12分）
在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别是棱AB和BC上的动点，且AEBF
(Ⅰ)求证11:AFCE；
(Ⅱ)当23AEBFa时，求三棱锥11AEFC的体积。
C
1
D
1
B
1
A
1
F
E
D
C
B
A
22.（本题满分12分）
已知函数fx是定义在,00,∞∞上的奇函数，当0x时，2logfxx.
（Ⅰ）求0x时，函数fx的表达式；
（Ⅱ）求满足11fx的x的取值范围；
（Ⅲ）已知对于任意的kN，不等式21kk≥恒成立，求证：函数fx的图象与直线
yx
4
没有交点.