全国大学生力学竞赛试题
第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角°≈63.4 ϕ时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）。
二、杂耍圆环(40分)1. 圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。
开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。
2.（1）圆环自己滚回的条件为：rv 00>ω 方向如图所示。
（2）距离： s20221s 8g )v -(r )(g 21s f t t f ω=−⋅⋅= （3）圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为 ：g )h r (4r )h 2r (v hg 4r 22212−<−< 3．当接触点A 与圆环中心C 的连线与铅垂线间的夹角t arctan arctanf r −=δα时，推力F 取最小值。
三、趣味单杠(30分)（1）结构中的最大应力][MPa 143max max σσ<==W M （2）结构中的最大应力][MPa 132max max σσ<==WM （3）在结构中增加拉杆后，（2）中为反对称结构，在对称面上只有反对称内力，故AB 杆轴力为零，无影响；（1）中为对称结构，在对称面上只有对称内力，故AB 杆轴力不为零，有影响。
四、跳板跳水(30分)（1）根据跳板的受力情况，可以将其简化为下图所示外伸梁。
（2）最小水平速度为 ==t s v 2/0.714m/s（3）跳板的最大动应力为==WM K B d d max σ78.02MPa （4）如运动员为弹性体，冲击时跳板中的最大动应力将减小。
（5）跳板的最大动应力为MPa 06.712162max max =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==a g bha Ga bh K W M K d d d γσ。
第十二届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题
第41卷第3期力学与实践2019年6月第十二届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题出题学校：清华大学(本试卷分为基础题和提高题两部分满分120分时间3小时30分)说明：个人赛奖项分为全国特、一、二、三等奖和优秀奖。
全国特、一、二等奖评选标准是：提高题得分进入全国前5%，并且总得分排在全国前列，根据总得分名次最终确定获奖者。
全国三等奖和优秀奖直接按赛区内总得分排名确定获奖者。
注意：试题请全部在答题纸上作答，否则作答无效。
各题所得结果用分数或小数表示均可。
第一部分基础题部分(共60分)第1题(30分)图示铅垂平面内的系统，T 形杆质量为m 1，对质心C 的转动惯量为J 1；圆盘半径为R ，质量为m 2，对质心O 的转动惯量为J 2；杆和盘光滑铰接于点O ，CO =s 。
设重力加速度为g 、地面和盘间的静摩擦因数为µ0、动摩擦因数为µ，不计滚动摩阻。
ROsC ωθΜROs C βΜΜ(a)(b)第1题图(1)如图(a)，盘以匀角速度ω沿水平地面向右作纯滚动。
为使杆保持与铅垂方向夹角θ(0 θ<π/2)不变，需在杆上施加多大的力偶矩M 1？并求此时地面作用于盘的摩擦力F ；(5分)(2)如图(b)，当盘上施加顺时针的常力偶矩M 2，同时M 1=0，杆作平移，分析圆盘的可能运动，并求杆与铅垂方向夹角β、盘的角加速度ε及地面对盘的摩擦力F 。
(25分)第2题(30分)如图所示宽为b 的矩形截面三层复合梁，各层固结为一体；已知各层材料弹性模量分别为E 1，E 2和E 3，相应的厚度分别为h 1，h 2和h 3，其中E 1=E 3=E 2/5=E ，h 1=h 2=h 3/50=h 。
对其进行四点弯曲试验。
(1)试求中性层的位置；(15分)(2)设弯曲后BC 段中性层曲率半径为ρ，试写出该段横截面上的正应力与ρ的关系，画出正应力的分布图；(9分)(3)当层2断裂时，层1和层3仍为线弹性变形，BC 段梁上缘的曲率半径为R ，由此计算层2材料的强度极限σb 。
力学竞赛试题
1、一根轻质弹簧一端固定，用大小为F₁的力压弹簧的另一端，平衡时弹簧长度为L₁；改用大小为F₁的力拉弹簧的另一端，平衡时弹簧长度为L₁。
已知弹簧的拉伸与压缩均在弹性限度内，则该弹簧的劲度系数为( )A. (F₁ - F₁) / (L₁ - L₁) （答案）B. (F₁ + F₁) / (L₁ + L₁)C. (F₁ + F₁) / (L₁ - L₁)D. (F₁ - F₁) / (L₁ + L₁)2、下列关于胡克定律F = kx 中的x、F、k 的单位，下列说法正确的是( )A. x 是长度单位，国际单位制中是mB. F 是力单位，国际单位制中是kgC. k 是劲度系数单位，国际单位制中是N/m （答案）D. k 是劲度系数，它没有单位3、弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，B、C相距20cm。
某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点。
求：(1)振动的周期和频率；(2)振子在5s内通过的路程及5s末的位移大小；(3)振子在B点的加速度大小跟它距O点4cm处P点的加速度大小的比值。
（答案：5:2）4、一列简谐横波沿x轴正方向传播，波速为6m/s。
已知x = 0处的质点，在t = 0时刻开始向上运动，且经过0.4s第一次到达波峰。
则下列说法正确的是_______ 。
A. 该波的周期为0.8sB. t = 0.5s时，x = 4m处的质点位于波峰C. t = 0.9s时，x = 6m处的质点位于波谷（答案）D. x = 10m处的质点，在t = 0.7s时，速度方向向下5、下列说法正确的是（）A. 物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于物体的固有频率B. 通过超声波被血流反射回来其频率发生变化可测血流速度，是利用了多普勒效应C. 只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或比波长更小时，才能发生衍射现象D. 质点的振动方向与波的传播方向在同一直线的波，叫作横波（答案：B）6、在“用单摆测重力加速度”的实验中，为使实验结果较为准确，在实验中，下列说法正确的是( )A. 要用细线、细铁丝等作为摆线B. 摆线长度等于摆球静止时摆线悬点到摆球上端的距离C. 开始计时时，应在摆球到达最高点时开始计时D. 要保证摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆（答案）7、关于简谐运动，下列说法正确的是（）A. 物体振动的最大位移等于振幅B. 物体的振动速度最大时，加速度也最大C. 物体每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同D. 物体每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同（答案：A、C）8、关于受迫振动，下列说法正确的是( )A. 物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于物体的固有频率B. 物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率（答案）C. 物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于物体固有频率和驱动力频率之和D. 物体做受迫振动时，振动稳定后的周期与物体固有周期和驱动力周期无关。
第 届全国周培源大学生力学竞赛个人赛试题答案
第 9 题（6 分）
(1)、①； (2)、 2 EI 。 2l 2
第 10 题（8 分） (1)、 2 2 m ；
9
(2)、 5 2 m或 5 2 m 。
18
18
-2-
第二部分 提高题部分（计算题，共60分）
第11题（共15分）
解答
组合刚体的运动存在两个阶段，一是绕 O 的定轴转动；
二是质心水平速度保持不变的平面运动。
(1分) (1分)
M A sin( )dA
(1分)
计算出积分，可得
M Er4 sin 4R
于是转角为
(1分)
sin1
E r4 4RM
sin1
E r4 4mR2
(1分)
(3) 内力的最大值Mmax
当=π/2 时，M=Mmax。
M max
Er4 4R
(1分) (1分)
-7-
第14题（共15分）
由质心运动定理
FN 2 2m aCn sin aC cos
(3)
aCn = r2, aC = r 。方程(3)也可由动静法得到。式(3)中代入加速度
FN 2
2mgr 2 JO
sin
3cos
2
（2 分）
球与凸台分离的角度由FN2 0 确定。
0
cos1
2 3
( 4 ) （1 分）
对应角速度0 2
解：(1)
记 D D t
①钢丝的伸长量 由力的平衡可得
g D F 2
qD F
2
q g
F 2n P
解此方程，得
F ( ) Pe ( 2n )
F F d
g d
q F()
第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案
8
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
设飞轮转动惯量为 J ，可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题，暂
时设 B 处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
系统对 A 点取矩，有
M s = Joε
(M1
+
M
2
)g
⋅
1 2
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG 和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G 点）。
7
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
（f）一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 （本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与 实践》小问题第 100 题，1985，No.4）
5
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
y
4
5
6
o
x
1
2
3
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1）。
y
4 H
C5 六
o
E 四
6 三G
五D 四
B Fx
A(x,y)
1
2I
时，如果要求
P
点的速度和加速度，你如何考虑？取 a
= 1m
，l
=
4m ，β
=
1 6
π
，ω
= 1rad/s ，
速度和加速度是多少？
9第九届全国周培源大学生力学竞赛试题及详细参考答案和评分标准
-1-
器之中时，他们意外发现，尽管各次放入后杆件滑动和滚动的情况都不一样，但最终静止时与水平面的夹
L 各处铰的重量均可以忽略。
(1) 暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时 O′ 处轴套向上升
起的高度 H = L 是额定的工作状态，那么相应的转速 ω0 是多少？ (2) 当转速恒定于 ω0 时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算
图示角度 ∠OAO′ 相对于把金属片视为刚体的情况而言的变化量。
A ωb
角每次基本上都是 45o ，如图 3 所示。小明兴奋地认为，由此就可以确定抛物线方程了。小刚对此表示怀
疑，他把杆水平地放在容器里，杆照样静止了下来。他认为，说不定杆的平衡状态有很多，利用这根杆件
来确定抛物线方程的想法不可靠。小明有些懊丧，一赌气把那根静止的水平杆拨弄了一下，那根杆立刻滑
动起来，最终又静止在 45o 的平衡角度上。小刚再次拨弄这根杆，杆运动一番后，仍然回到 45o 的平衡角
求得 J 截面上各个内力的数值？
图4
第 5 题（25 分）
在收拾整理第 3 题中所用的光滑均质杆时，小刚不小心将一根杆件滑落在 地上。小明“当心”的话还未说出口，就被杆件撞击地面时的现象所吸引，感 觉与自己的想象并不一致。两人找出几根材质不同但长度均为 2L 的杆件，让它 们在高度为 2L 处与铅垂线成θ ( 0 ≤ θ < 90o ) 角无初速地竖直落下，并与固定的 光滑水平面碰撞，如图 5 所示。
工学第三届全国周培源大学生力学竞赛材料力学试题
一、（10分）图示结构，各杆的抗拉（压）刚度均为EA，杆BG、DG、GE、CE长度均为，在E处作用力P，求各杆的轴力N；（i=1…4）。
二、（10分）一结构如图所示，AB轴的抗扭刚度，外杆CD和FG的抗拉刚度EA，尺寸及外力皆已知，圆轴与横梁牢固结合，垂直相交，立杆与横梁铰接，也垂直相交，横梁可视为刚体，试求杆的轴力N及圆轴所受的扭矩T。
三、（10分）等截面悬梁抗弯刚度EI已知，梁下有一曲面，方程为，欲使梁变形后与该曲面密合（曲面不受力）问梁的自由端应施加什么截荷，即力P与力矩M的值。
四、（10分）图示刚性杆，由弹簧支持，弹簧刚度为K，试导出它的临界戴荷。
五、（10分）图示圆杆，d= 200 m，P= kN，E= 200 X 103MPa，= 0．3，170MPa，在杆表面上K点处的，用第四强度理论校核强度。
六、（10分）图示两相同梁AB、CD，自由端间距，当重为Q的物体突然加于AB梁的B点时，求CD梁C点的挠度。
七、（10分）长为的悬臂梁，在距固定端s处放一重量为Q的重物，重物与梁之间有摩擦系数，在自由端处作用力P．(1)什么条件下不加力P，重物就能滑动(5分)(2)需加P才能滑动时，求P的值（5分）八、（10分）图示带铰的梁，在铰C处允许梁的转角不连续，试求转角间断值，梁的抗弯刚度为EI。
九、（10分）一半径为、长的弹性圆轴（弹性系数为E、），套在一刚性厚管内，轴和管之间有初始间隙，设轴受集中轴力P作用，当P=时，轴和刚性壁接触，求值（4分）当P＞后，壁和轴之间有压力，计为摩擦系数，这时轴能靠摩擦力来承受扭矩，当扭矩规定为M 时，求对应的P值（6分）十、（10分）相隔为120O的三片应变花，应变片1、2、3按反时针编号，今测出，并发现，试给出主应变，。
十一、（10分）高为的直立圆柱只受容重为的自重作用，若将其上下端固定且保持柱的原长h不变，若柱材料抗拉弹性模量不等于抗压弹性模量，试确定当，时，中的值。
周培源力学竞赛试题与解答
解上述六个方程�由于桌腿不能提供拉力�令 Ni>0(i=1,„„,6)�得到不等式 |3x±4y|<2a
得到解的区域为菱形 BCHI�不含边界��其中 B 点坐标为 下面设模特儿位于桌面第一象�限讨论其他几种情形。
�b�五腿受力�设腿 1 不受力�令 N1=0 �舍去方程(5)�求得均自然满足�根据
�2�如果 a �求空隙的函数表达式 0 > Γ a �并画出示意图。 Γ 0 与 Γ a 有何关系� 设 AB 与 yz 平面的交点是 P � BP 的长度为 ξ 。则根据几何关系� P 点的坐标为
消去参变量 ξ �有
所以 点的轨迹是抛物线�的一部分��这也就是空隙的方程。而曲线 Γ 0 是 Γ a 的渐进线。
第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛�样题�
时间 3 小时�满分 120 分
一、奇怪的独木桥�25 分� 一位游客在某处发现有座独木桥�上面写着�禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都
是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪�为什么 2 个人可以过桥 而 1 个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试�结果没走到半程�就把独木桥压断了 而掉入水中。
�3�当 时�设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点�当 P 点位于 AB 杆中点且时�如果要求 P 点 的速度和加速度�你如何考虑�如果取
速度和加速度是多少� 思路�采用点的复合运动关系�以 p 为动点� AB 杆为动系。相对运动沿 AB 杆�牵连运动作定 轴转动�绝对运动是在 yz 平面内的抛物线上运动。 当 P 为 AB 杆中点时�设 P 点的坐标为 (xp,yp , zp) � B 点的坐标为(xB,yB ,zB ) ∠BOC= θ 。 其中
第十届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)
b x1 0 ， b x2 0 。
(1-13)
即货箱在传送带 A 上运动时不会翻倒。① 如果考生只分析了一种货箱可能翻倒的情况，但仍然得出
“不会翻倒”这一结论，则此处不给分。
(2) （本小题 18 分）设货箱运动到底部与钢支承 B 撞击之前质心速度为 v1 。货箱从 O 点开始运 动，直到到达传送带 C 整个运动过程分三个阶段。第一阶段：从 O 点运动到传送带底部并获得速度 v1 ；第二阶段：撞击刚性支承 B；第三阶段：撞击后货箱运动到传送带 C。
v3
h3 H
设该位置货箱的动能为 T3 ，撞击后，货箱能翻到传送带
箱在上述两种情况下的惯性力分别为 F11 和 F12 ，利用达朗贝尔原理求解。如果考生只考虑了一种 货箱可能翻倒的情况，此处只给 ① 分。
首先分析货箱绕右下角 M 点倾倒情况。设 FN 距 M 点距离为 x1 ，如图 1-a(B) 所示，根据达朗
贝尔原理，
MM
F
0
，G sin
b 2
G
cos
b 2
FI1
(1) 若货箱在 O 处由静止轻轻放在传送带 A 上，如 图 (A) 所示，试判断货箱在到达刚性支承 B 之前是否会
O
v0
A
C
B
(A)
翻倒，并论证你的结论。 (2) 当货箱运动到传送带 A 底部时，其角部恰好与
刚性支承 B 的顶端发生撞击，假设撞击过程为完全非弹
s
O
v0
A
性碰撞，货箱能顺利翻过刚性支承 B 到达传送带 C，如 图 (B) 所示，则释放点 O 到传送带 A 底部的位置 s 应该 满足什么条件？（忽略两个传送带之间的距离）
Fmax fs FN fsG cos 。
第二届全国周培源大学生力学竞赛试题(印)
第二届全国周培源大学生力学竞赛试题理论力学试题一、填空题下列（1）至（5）题为填空题。
将答案填在答题纸上相应题号的答案栏内。
每栏填对得3分，填错或不填不得分。
（1）对牛顿万有引力定律和开普勒行星运动定律有两种说法。
第一种说法是：牛顿从开普勒行星运动定律导出万有引力定律；第二种说法是：开普勒从牛顿的万有引力定律和运动定律导出行星运动定律。
根据历史事实，第（）种说法是正确的。
（2）中国科学院力学研究所是我国规模最大的综合性力学研究单位。
它是1956年由著名科学家（）创建的，他于1991年10月被授予“国家杰出贡献科学家”荣誉称号。
（3）图1所示曲线为一旋轮线，其参数R为已知，图中M点处的曲率半径为（）（4）图2所示均质细杆AB，A端借助无重滑轮可沿倾角为θ的轨道滑动。
如不计摩擦，杆在自重情况下，从静止进入运动。
为使杆的运动为平动，则初瞬时杆与铅垂线的夹角α必须等于（）（5）如图3所示，AB是半径为R的一段均质细圆弧，可绕其中点的水平轴O转动。
此圆弧绕转轴微幅摆动的周期应为（）二、是非判断题下面（6）至（16）题为是非判断题。
根据每题的正确与错误在答题纸相应的题号的答案栏内填“是”或“非”。
每栏填对得3分，不填得1分，错填得0分。
（6）一均质球在重力作用下沿粗糙斜面纯滚动，则质心的轨迹或为直线或为抛物线。
（）（7）一个非平衡的空间力系总可简化为一个合力或者两个不相交的力。
（）（8）图4所示细直杆AB，重为P，其一段A靠在光滑的铅直墙上，同时又被一光滑棱C支承于图示位置（OA⊥墙面，OC⊥AB，且它们同时与重力P的作用线交于O点），则此时杆处于稳定平衡位置。
（）（9）六棱四面体受空间任意力系作用而平衡，则该力系分别对其六个棱边之主矩为零必是六个独立的平衡方程。
（）（10）如点的切向加速度和法向加速度的大小均为常值，则该点的运动方向在时间t内转过的角度为Aln(1+Bt²)，其中A、B为常数。
（）（11）半径为R的圆轮在铅直面内沿水平直线轨道纯滚动。
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第六届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间 3 小时，满分 120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图 1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m 。
为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图 1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35 分）有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有 6 条等长的桌腿（图 2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
图 2 模特儿的新舞台三、魔术师的表演（25分）魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；另一个道具是长为L的均质刚性板 AB，质量为 M2 ，可绕光滑的 A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。
魔术师首先把刚性板 AB水平放q置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡，且圆心O和接触点B的连线与垂线夹角为? 。
然后魔术师又把箱子固定在 AB板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图 3 所示。
魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。
更令人惊讶的是，当圆球离开 AB板后， AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。
（1）为什么在 AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？（2）根据上述介绍，你能否求出 AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？（3） AB板只在 A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。
魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有 A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。
你认为这可能吗？请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
图 3 魔术师的箱子四、出人意料的交线（35 分）设Oxy 是固定坐标系。
系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻CD杆沿轴；OB杆长为，沿 x轴正方向；AB杆长为l，开始时先与轴平行，绕 x轴负方向转动β 角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图 4 所示。
假设在平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕轴以匀角速度yz z ω转动，需要在纸上挖出某种形状的空隙让 AB杆通过（这里只考虑 AB杆）。
（1）如果 a=0，求空隙的函数表达式Γ0 ，并画出示意图。
（2）如果 a >0，求空隙的函数表达式Γa ，并画出示意图。
Γ0 与Γa有何关系？（3）当a >0 时，设 P 点是AB杆与 yz平面的交点，当 P点位于 AB杆中点且时，如果要求点的速度和加速度，你如何考虑？取速度和加速度是多少？图 4 初始时刻的系统位置第六届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）解答一、奇怪的独木桥（1）本问题与力学中的什么内容有关系？关键词：梁的弯曲、弯矩。
（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？该问题简化为下图，设人从 B 向 A走去，载荷 P与 B 点距离为x，AB 间的距离为L。
易求出支座 B 点的约束力为 RB=P(L-x)/L则 AB 间最大弯矩为 M(x)=P(L-x)/ L根据允许最大弯矩为[M] 600N m ，有 P(L-x)x/L≤ M代入数据，解出x ≤1，x ≥3即一个人最远可以向前走 1 米（另一解略去）。
（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？若两人同时上桥，一人在右侧外伸段距右端支座为x1处，另一个人在桥上，行至离左端支座x2处，其弯矩如图所示。
这时支座的反力为：RA=P(L-x1-x2)/L, RB=P(L+x1+x2)/L弯矩极大值为 M1=Px1,M2=P(L-x1-x1)x1/L欲要安全通过，要求，M1≤ [M] M2 ≤[M] ，代如数据得欲使上式恒成立，则需，解得0.536 ≤x1 ≤ 7.46考虑到M1≤ [M] ，得x1≤ 7.5m所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为(0.536-0.75)m 之间时，另一人可安全通过独木桥。
通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为( 0.536-0.75)m 之间，另一个人亦可安全通过。
（本题改写自：周道祥，《力学与实践》小问题第 120 题，1986，No.3）二、模特儿与新型舞台（1）本问题与力学中的什么内容有关系？关键词：受力平衡，变形的协调条件。
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？利用对称性及反证法。
设坐标系及各灯的标号如下。
由于结构与载荷对称，如果 1 灯不亮，则根据左右（y轴）对称，3 灯也不会亮。
又根据上下（x轴）对称，4灯和 6 灯不亮。
所以 1、3、4、6 灯的状态总是相同的，而 2 与5灯的状态也相同。
灯亮表示对应的桌腿受压，长度变短，而灯不亮表示对应的桌腿不受压，长度不变。
如果假设有部分灯亮，另一部分灯不亮，就会引起矛盾。
因此六盏灯全亮。
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
设模特儿重量为 P，所在 A点的坐标为( x,y) 。
由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压，下面就分析桌腿的受力：（a）设六条腿的受力分别是Ni(i=1,……,6)，有平衡方程由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程，比如可以列出解上述六个方程，由于桌腿不能提供拉力，令N i>0(i=1,……,6)，得到不等式|3x±4y|<2a得到解的区域为菱形 BCHI（不含边界），其中 B点坐标为下面设模特儿位于桌面第一象，限讨论其他几种情形。
（b）五腿受力，设腿 1 不受力，令 N1=0 ，舍去方程(5)，求得均自然满足，根据均自然满足，根据得这两个不等式，加上 BC，即得五腿受力区为三角形 BCD（包含 BC，但不包含边界 BD 和CD），其中D点坐标为（c）四腿受力有两种情况，第一种情况是 2、3、5、6 腿受力。
舍去方程(5)、(6)，并令N1=N4=0 ，再令N2>0，得 -x-y+a>0即知三角形 BDF为四腿(2，3，5，6)受力区（包含 BD，但不包含边界 DF），其中 F 点的坐标为(a,0)。
四腿受力的第二种情况是 3、4、5、6 受力。
舍去方程(4)、(5)，且令N1=N2=0 ，令N4>0，得 -6x-2y+5a> 0。
即知三角形 CDE 为四腿(3,4,5,6)受力区（包含 CD，但不包含边界 DE），其中 E 点的坐标为. （d）剩下的四边形 DEGF 为三腿(3,5,6)受力区。
另外对于桌子的边界，CE 表示亮三盏灯的区域（不含 E 点）。
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。
在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G点）。
（f）一盏灯亮对应的区域是 G点。
最后根据 x轴和 y轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。
（本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与实践》小问题第 100 题，1985，No.4）三、魔术师的表演（1）为什么在 AB板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？关键词：摩擦，自锁。
当 AB板压在圆球上时，圆球在自重，地面反力和B处反力作用下平衡。
这时圆球处于摩擦自锁，再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。
但是魔术师用水平力推圆球时，这时圆球从受三个力变为受四个力。
如果摩擦力已达最大值，水平力虽然很小，仍可破坏圆球的平衡。
（2）根据上述介绍，你能否求出 AB杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？利用三力平衡条件，圆球受力如右图。
利用几何法，有，由于 B R 要在摩擦角θ内，有由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡，所以 B R 要在摩擦角的边缘，因此（3） AB板只在 A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。
魔术师让观众来检查，证明时平板有且只有 A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。
你认为这可能吗？指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
系统只有 A铰而平衡，这从静力学角度是难以想象的，但是从动力学角度就可以实现。
中一种可能是：箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
设飞轮转动惯量为J ，可在箱内电机驱动下以角加速度ε 顺时针转动。
为说明问题，暂时设B处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩系统对A点取矩，有可以看出，如果B处的约束反力就为零（由于转子的转动与电流有关，而ε 是常数，因此事先设计好电流的大小即可），这时撤去B处的约束不影响板的平衡。
AB在表演魔术时，可以让B点与圆球接触时不通电，而圆球离开时通电。
四、出人意料的交线（1）如果a ，求空隙的函数表达式0 = 0 Γ ，并画出示意图。
容易看出，时 0 a = AB杆在一个圆锥上运动，圆锥与平面的交线为 yz（2）如果a ，求空隙的函数表达式0 > Γa，并画出示意图。
Γ0与Γa有何关系？设 AB与 yz平面的交点是P ， BP的长度为ξ。
则根据几何关系， P点的坐标为消去参变量ξ，有，所以点的轨迹是抛物线（的一部分），这也就是空隙的方程。
而曲线Γ0是Γa的渐进线。
（3）当时，设P点是 AB杆与yz平面的交点，当P 点位于 AB杆中点且时，如果要求 P点的速度和加速度，你如何考虑？如果取，速度和加速度是多少？思路：采用点的复合运动关系，以p为动点， AB杆为动系。
相对运动沿AB杆，牵连运动作定轴转动，绝对运动是在 yz平面内的抛物线上运动。