理论力学练习题参考答案
理论力学试题含答案
精选文档理论力学试题及答案一、是非题（每题2分。
正确用√，错误用×，填入括号内。
）1、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必定均衡。
2、力关于一点的矩不因力沿其作用线挪动而改变。
（）3、在自然坐标系中，假如速度υ=常数，则加快度α=0。
（）4、虚位移是偶想的，极细小的位移，它与时间，主动力以及运动的初始条件没关。
5、设一质点的质量为m，其速度与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mvx=mvcosa。
二、选择题（每题3分。
请将答案的序号填入划线内。
）1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果是。
①主矢等于零，主矩不等于零；②主矢不等于零，主矩也不等于零；③主矢不等于零，主矩等于零；④主矢等于零，主矩也等于零。
2、重P的均质圆柱放在V型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为 M时（如图），圆柱处于极限均衡状态。
此时按触点处的法向反力N A与N B的关系为。
①N A=NB；②N A>NB；③N A<NB。
3、边长为L的均质正方形平板，位于铅垂平面内并置于圆滑水平面上，如图示，若给平板一细小扰动，使其从图示位置开始倾倒，平板在倾倒过程中，其质心C点的运动轨迹是。
①半径为L/2的圆弧；②抛物线；③椭圆曲线；④铅垂直线。
4、在图示机构中，A//O2B，杆O2C//O3D，且O1A=20cm，O2C=杆O140cm，CM=MD=30cm，若杆AO1以角速度ω=3rad/s匀速转动，则D点的速度的大小为cm/s，M点的加快度的大小为cm/s2。
①60；②120；③150；④360。
.精选文档5、曲柄OA以匀角速度转动，当系统运动到图示地点（OA//O1B。
AB |OA）时，有V A V B，A B，ωAB 0，AB 0。
①等于；②不等于。
三、填空题（每题5分。
请将简要答案填入划线内。
）1、已知A重100kN，B重25kN，A物与地面间摩擦系数为0.2。
理论力学试题库及答案(通用篇)
理论力学试题库及答案(通用篇)一、理论力学试题库（通用篇）试题一：已知一质点在平面直角坐标系中的运动方程为 x = 2t² + 3，y = 4t² - t + 1。
求该质点在t = 2s 时的速度和加速度。
试题二：一质点沿圆周运动，其半径为 r，角速度为ω，角加速度为α。
求质点在任意时刻 t 的速度和加速度。
试题三：一质点从静止开始沿直线运动，受到恒力F 的作用。
求质点在任意时刻 t 的速度和位移。
试题四：一质点在平面内做匀速圆周运动，半径为r，角速度为ω。
求质点在任意时刻 t 的速度和加速度。
试题五：一质点在平面内做匀速运动，速度大小为v，方向与水平方向成θ 角。
求质点在任意时刻 t 的位移。
试题六：一质点在重力作用下做自由落体运动，求质点在任意时刻 t 的速度和位移。
试题七：一质点在水平地面上受到一斜向上的拉力F，拉力与水平方向的夹角为θ。
求质点在任意时刻 t 的速度和加速度。
试题八：一质点在平面内做匀速圆周运动，半径为r，角速度为ω。
求质点在任意时刻 t 的切向加速度和法向加速度。
试题九：一质点在平面内做匀速运动，速度大小为v，方向与水平方向成θ 角。
求质点在任意时刻 t 的位移和速度。
试题十：一质点在水平地面上受到一恒力 F 的作用，力与水平方向的夹角为θ。
求质点在任意时刻 t 的速度和位移。
二、答案答案一：t = 2s 时，速度 v = (4t, 8t - 1) = (8, 15) m/s；加速度 a = (8, 8) m/s²。
答案二：质点在任意时刻 t 的速度v = (rω, 0)，加速度a = (0, rα)。
答案三：质点在任意时刻 t 的速度 v = (F/m)t，位移 s = (F/m)t²/2。
答案四：质点在任意时刻 t 的速度 v =(rωcos(ωt), rωsin(ωt))，加速度 a = (-rω²sin(ωt), rω²cos(ωt))。
理论力学题库及答案
理论力学题库及答案一、理论力学题库（一）选择题1. 在牛顿力学中，物体的运动状态可以用以下哪个物理量来描述？A. 力B. 动量C. 动能D. 动能定理2. 以下哪个物理量是守恒量？A. 动量B. 动能C. 力D. 功3. 一个物体做直线运动，以下哪个条件是物体做匀速直线运动的必要条件？A. 合外力为零B. 合外力恒定C. 速度恒定D. 加速度恒定（二）填空题4. 牛顿第二定律的表达式为______。
5. 动量的定义为______。
6. 功的计算公式为______。
7. 动能定理的表达式为______。
（三）计算题8. 一质量为2kg的物体在水平地面上受到一个水平力F的作用，力F与物体运动方向相同。
已知物体从静止开始运动，经过3秒后速度达到6m/s。
求力F的大小。
9. 一质量为4kg的物体从静止开始沿着光滑的斜面下滑，斜面倾角为30°，求物体下滑3秒后的速度。
10. 一质量为5kg的物体在水平地面上以10m/s的速度运动，遇到一个斜面，斜面倾角为45°，物体沿着斜面上滑，求物体上滑的最大距离。
二、理论力学题库答案（一）选择题答案1. B. 动量2. A. 动量3. A. 合外力为零（二）填空题答案4. F=ma5. 动量 = 质量× 速度6. 功 = 力× 位移× cosθ7. 动能定理：动能的增量 = 外力做的功（三）计算题答案8. 解：根据牛顿第二定律，F=ma，其中a为加速度，m为质量。
由题意知，a=(6m/s - 0m/s) / 3s = 2m/s²。
代入公式，F=2kg × 2m/s² = 4N。
9. 解：根据动能定理，动能的增量 = 外力做的功。
由于物体从静止开始下滑，初始动能为0。
下滑过程中，重力做功，即mgh，其中h为下滑的高度。
由斜面倾角可知，h =lsin30°，其中l为下滑的距离。
因此，mgh = (4kg ×9.8m/s²) × (l × sin30°) = 4kg × 9.8m/s² × (l × 0.5)。
理论力学考试题及答案详解
理论力学考试题及答案详解一、选择题（每题2分，共10分）1. 牛顿第一定律又称为惯性定律，它指出：A. 物体在受力时，会改变运动状态B. 物体在不受力时，会保持静止或匀速直线运动C. 物体在受力时，会做圆周运动D. 物体在受力时，会保持原运动状态答案：B2. 根据胡克定律，弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，比例系数称为：A. 弹性系数B. 刚度系数C. 硬度系数D. 柔度系数答案：A3. 在理论力学中，一个系统动量守恒的条件是：A. 系统外力为零B. 系统外力和内力都为零C. 系统外力和内力之和为零D. 系统外力和内力之差为零答案：C4. 一个物体做自由落体运动，其加速度为：A. 0B. g（重力加速度）C. -gD. 取决于物体的质量答案：B5. 刚体的转动惯量与以下哪个因素无关？A. 质量B. 质量分布C. 旋转轴的位置D. 物体的形状答案：A二、填空题（每空2分，共10分）6. 一个物体受到三个共点力平衡，如果撤去其中两个力，而保持第三个力不变，物体的加速度将________。
答案：等于撤去的两个力的合力除以物体质量7. 根据动能定理，一个物体的动能等于工作力与物体位移的________。
答案：标量乘积8. 在光滑水平面上，两个冰球相互碰撞后，它们的总动能将________。
答案：守恒9. 一个物体在水平面上做匀速圆周运动，其向心力的方向始终________。
答案：指向圆心10. 刚体的角速度与角动量的关系是________。
答案：成正比三、简答题（共20分）11. 什么是达朗贝尔原理？请简述其在解决动力学问题中的应用。
答案：达朗贝尔原理是分析动力学问题的一种方法，它基于牛顿第二定律，用于处理作用在静止或匀速直线运动的物体上的力系。
在应用达朗贝尔原理时，可以将物体视为受力平衡的状态，即使物体实际上是在加速运动。
通过引入惯性力的概念，可以将动力学问题转化为静力学问题来求解。
12. 描述一下什么是科里奥利力，并解释它在地球上的表现。
理论力学习题答案
理论力学习题答案(总26页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2第一章 静力学公理和物体的受力分析一、是非判断题在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。
( ∨ ) 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。
( × ) 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。
( × ) 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。
( ∨ ) 两点受力的构件都是二力杆。
( × ) 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。
( × ) 力的平行四边形法则只适用于刚体。
( × ) 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。
( ∨ ) 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。
( × ) 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。
( × ) 合力总是比分力大。
( × ) 只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。
( × )若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。
( ∨ )当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。
( × )静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。
( ∨ )静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。
( ∨ )凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。
( × )如图所示三铰拱，受力F ，F 1作用，其中F 作用于铰C 的销子上，则AC 、BC 构件都不是二力构件。
( × )图3二、填空题力对物体的作用效应一般分为 外 效应和 内 效应。
对非自由体的运动所预加的限制条件称为 约束 ；约束力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向 相反 ；约束力由 主动 力引起，且随 主动 力的改变而改变。
(完整版)理论力学习题集册答案解析
第一章静力学公理与受力分析(1)一．是非题1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。
（）2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。
（）3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。
（）4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。
（）5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。
（）二．选择题1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（）①二力平衡公理②力的平行四边形法则③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理三．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
b(杆AB)a(球A )d(杆AB、CD、整体)c(杆AB、CD、整体))e(杆AC、CB、整体)f(杆AC、CD、整体四．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
)a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体第一章 静力学公理与受力分析（2）一．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
WADB CE Original FigureAD B CEWWFAxF AyF BFBD of the entire frame)a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体)c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体)e(杆CE、AH、整体)f(杆AD、杆DB、整体)g(杆AB带轮及较A、整体)h(杆AB、AC、AD、整体第二章平面汇交和力偶系一．是非题1、因为构成力偶的两个力满足F= - F’，所以力偶的合力等于零。
（）2、用解析法求平面汇交力系的合力时，若选用不同的直角坐标系，则所求得的合力不同。
（）3、力偶矩就是力偶。
（）二．电动机重P=500N，放在水平梁AC的中央，如图所示。
理论力学练习册题及解答
三、计算题
2.3.1把作用在平板上的各力向点O简化，已知F1=300kN，F2=200kN，F3=350kN，F4=250kN，试求力系的主矢和对点O的主矩以及力系的最后合成结果。图中长度单位为cm。
（答案：FR=678.86kN，MO=4600 kN.cm，d=6.78㎝，α=600）
1.1.11合力总是比分力大。 (×)
1.1.12只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。 (×)
1.1.13若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。 (∨)
1.1.14当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。 (×)
1.1.15静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。 (∨)
2.2.5重为P的均质圆球放在板AB与墙壁AC之间，D、E两处均为光滑接触，尺寸如图示，设板AB的重量不计，求A处的约束反力及绳BC的拉力。（答案：FC= FT= 2 P/3；）
2.2.6锻锤工作时，如受工件给它的反作用力有偏心，则会使锻锤C发生偏斜，这将在导轨AB上产生很大的压力，从而加速导轨的磨损并影响锻件的精度。已知打击力F=100kN，偏心距e=20mm，锻锤高度h=200mm试求锻锤给导轨两侧的压力。（答案：FN=10kN）
C. 都改变； D. 只有C处的改变。
三、受力图
1.3.1画出各物体的受力图。下列各图中所有接触均处于光滑面，各物体的自重除图中已标出的外，其余均略去不计。
1.3.2画出下列各物体系中各指定研究对象的受力图。接触面为光滑，各物自重除图中已画出的外均不计。
第二章 平面力系（汇交力系与平面偶系）
一、 是非判断题
第二章 平面力系（任意力系）
理论力学习题及答案(全)
第一章静力学基础一、是非题1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。
（）2．在理论力学中只研究力的外效应。
（）3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。
（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。
（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。
（）6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。
（）7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。
（）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。
（）二、选择题1．若作用在A点的两个大小不等的力F1和F2，沿同一直线但方向相反。
则其合力可以表示为。
①F1－F2；②F2－F1；③F1＋F2；2．作用在一个刚体上的两个力F A、F B，满足F A=－F B的条件，则该二力可能是。
①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。
③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。
3．三力平衡定理是。
①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点；②共面三力若平衡，必汇交于一点；③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。
4．已知F1、F2、F3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，由此。
①力系可合成为一个力偶；②力系可合成为一个力；③力系简化为一个力和一个力偶；④力系的合力为零，力系平衡。
5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。
①二力平衡原理；②力的平行四边形法则；③加减平衡力系原理；④力的可传性原理；⑤作用与反作用定理。
三、填空题1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是。
2．已知力F沿直线AB作用，其中一个分力的作用与AB成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为度。
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、概念题1正方体仅受两个力偶作用，该两力偶矩矢等值、反向，即M, M 2，但不共线，则正方体①_____________ 。
①?平衡；②?不平衡；③？因条件不足，难以判断是否平衡。
2 •将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x轴上的投影为？N,而沿x方向的分力的大小为？N,则F在y轴上的投影为①________ 。
①？0;②？50N;③？；④？；⑤？10023.平面平行力系的五个力分别为 F i?=?10 N, F2?=?4 N, F a?=?8 N, F4?=?8 N 和 F5?=?10 N, 则该力系简化的最后结果为大小为40kN・m转向为顺时针的力偶。
4.平面力系如图，已知 F l? = F2? = ?F3? = ?F4?=F,贝U：（1）力系合力的大小为F R , 2F ；⑵力系合力作用线距。
点的距离为d 2（ 2 1）；（合力的方向和作用位置应在图中画出）5.置于铅垂面内的均质正方形簿板重 P?=?100kN与地面间的摩擦系数f?=?,欲使簿板静止不动，则作用在点A的力F的最大值应为 _。
6.刚体作平面运动，某瞬时平面图形的角速度为？，A、B是平面图形上任意两点，设AB?=?I，今取CD垂直AB,贝U A B两点的绝对速度在CD轴上的投影的差值为 _1宀_。
7.直角三角形板ABC 一边长b,以匀角速度？?绕轴C转动，点M以s?=?v t自A沿AB 边向B 运动，其中v为常数。
当点M通过AB边的中点时，点M的相对加速度a r?=?_0_ ；牵连加速度a e?=?—b®2 _,科氏加速度a C?=?_2v3 —（方向均须由图表示）8 •图示三棱柱ABD的A点置于光滑水平面上，初始位置 AB边铅垂，无初速释放后，质心C的轨迹为_____ B_A.水平直线B.铅垂直线C.曲线1D.曲线29.均质等边直角弯杆OAB的质量共为2?m以角速度①绕0轴转动，则弯杆对0轴的动量矩的大小为 C 。
A. L O?=?3ml23B. L0?=?3 ml23C. L O?=?5ml23D. L C?=?7ml233 310.如图所示，质量分别为 m 2m的小球M、M，用长为l而重量不计的刚杆相连。
现将 M 置于光滑水平面上，且 MM与水平面成60°角。
如无初速释放、贝U当小球 M落地时，M球移动的水平距离为向左移动l /3。
11 .如图所示系统由匀质圆盘与匀质细杆铰连而成。
已知：圆盘半径为r、质量为M,杆长为l，质量为m在图示位置，杆的角速度为？？、角加速度为？？，圆盘的角速度、角加速度均为零。
则系统惯性力系向定轴 O简化后，其主矩为_________________ 。
ml Ml二、计算题图示平面结构，各杆件自重不计。
已知：q?=?6?kN/m M?=?5?kN - m, l =?4?m C、D为铰，求固定端A的约束力。
解：显然杆BD为二力杆，先取构件CD为研究对象，受力图如图（a）所示qlM C(F)0, 2l F D M解得 F D 券 241625(kN)再取整体为研究对象，受力图如图(b)所示，F B F D 1.625 (kN) 由M A(F) 0,2l F B M 2qlM A 03解得M A M 2ql2|F B 56 (kN m)3由 F x 0,F AX ql 0解得 F AX ql 24 (kN)由F y °，FAyFB解得F AyF B 1.625(kN)2、折梯放在水平地面上，其两脚与地面的摩擦系数分别为 f A ?=?, f B ?=?,折梯一边AC 的中点D 上有一重为P?=?500N 的重物，折梯重量不计，问折梯能否平衡如果折梯平衡。
试求出两 脚与地面间的摩擦力。
解：假定折梯处于平衡，经受力分析可知杆 BC 为二力杆，B 处全约束力的方向应沿杆设杆长为 l ，则 由 PlM A (F) 0,l F RB si n604解得F RB ——144.3 (N)6由 F x0,F SA F RB COS60解得 F SAF RBcos60 72.17 (N)Bf由F y 0,F NA F RB sin 60 P 0轴线BC 方向，如图所示，其与接触面公法线的夹角为30 ，而对应的摩擦角为arctan0.6 31 > 30，故B 处不会产生滑动。
arcta n f B解得 F NA F RB S in60 P 375 (N)最大静滑动摩擦力为F sAmaxF A F NA 0.2 375 75.0 (N) > F SA 72.17 (N)故A 处也不会产生滑动，平衡假设成立。
两脚与地面的摩擦力大小均为FSAFSBFRBCOS 60 72.17 (N)3、在图示机构中，已知：杆 OA 以匀角速度？?=?5?rad/s 转动，并带动摇杆OB 摆动，若设 OCP=?40?cm OA?二?30?cm 试求：当OO 丄OA 时，摇杆OB 的角速度及角加速度。
解：以滑块A 为动点，动系与摇杆 OB 固结，则绝对轨迹为圆，相对轨迹为直线，速度图如 图(a)所示。
由几何关系不难得sin 0.6, cos 0.8 , V a O 1A150 (cm/s)根据点的合成运动的速度合成定理V a V e V r下面求角加速度。
加速度图如图(b)所示，由点的合成运动的加速度合成定理4、已知圆轮以匀角速度 ？?在水平面上作纯滚动，轮轴半径为 r ；圆轮半径 R?=^3 r ，v r v a cos 120 (cm/s),v e v a sin 90 (cm/s)摇杆OB 的角速度为OBV e 9OA 51.8 (rad/s)a aa e a ea 「 a c其中a aO 1A 22750 (cm/s ),a ； OAa c2OB V r3.6 120 432(cm/s 2)将式(1) 向a c 方向投影得a a costa e a ca ；a a cos a c 600加速度为ta eOB168 3.36 (rad/s 2)OA50(1)O B 162 (cm/s 2),2432 168 (cm/s )摇杆 OB 的角n tAB?=?l ?=?2r, BC?=?r 。
在图示位置时，？？=?2?rad/s , OA 水平，杆BC 铅垂。
试求该瞬时：（1）杆AB 和杆BC 的角速度；（2）杆AB 的角加速度。
解：（1）杆AB 和杆BC 的角速度。
如图（a ）所示，D 和P 分别为轮O 和杆AB 的速度瞬心，由几何关系不难得根据计算速度（或角速度）的速度瞬心法，有5、在图示起重设备中，已知物块 A 重为P,滑轮O 半径为R,绞车B 的半径为r ，绳索与水 平线的夹角为B 。
若不计轴承处的摩擦及滑轮、绞车、绳索的质量，试求：（1） 重物A 匀速上升时，绳索拉力及力偶矩 M （2） 重物A 以匀加速度a 上升时，绳索拉力及力偶矩 M（3） 若考虑绞车B 重为P,可视为匀质圆盘，力偶矩 M 二常数，初始时重物静止，当重 物上升距离为h 时的速度和加速度，以及支座 O 处的约束力。
解：由于不考虑滑轮的质量，两段绳子的拉力大小 F T 应相同，且力偶矩M rF TADO BAP APB BAC 30AD BP AB 2r , AP 2r , 3ABV A ADAP AP—(rad/s), 3BCV BBP ABBCBC◎ (rad/s) 3转向如图（a ）所示。
（2）杆AB 的角加速度以点A 为基点，点B 为动点，加速度图见图 有 （b ）。
由计算加速度（或角加速度）的基点法, n t aBaBa An ta BA a BA将上式向铅垂方向投影，得a B a BA cos60a BA cos30n nja B a BA cos60aBAABt aBAABna B na BA cos60 2r cos30将 a B r B C16 r 3naBA2r2 AB代入上式解得 ABta BA ABna BA na B2r cos30cos60 号皿2）顺时针转向（1）重物A匀速上升时，由平衡条件可得绳索拉力大小就等于物块A的重力P,力偶矩M = rP （2）重物A 以匀加速度a 上升时，取物块A 为研究对象，如图（b ）所示(b )由质心运动定理 力偶矩 F T PF T P -a (1)gM rF T rP(1 -) g（3）考虑绞车B,受力图如图（ c ）,由刚体定轴转动微分方程M rF T1(2)P注意到F T 1 F T P a ,g住，以及运动学关系a r ，由式（2g可解得当重物上升距离为h 时的速度v 2最后求支座 且滑轮质量不计，故 2g(M rP) a3rP2ah 4hg(M rP) 3rP4hg(M rP) 3rP 0处的约束力，取滑轮 0为研究对象，受力图如图（d ）F T 1 P(1 2M 3rF OxF T1cosF T1 sinP 2M()cos3 3r P 2M ()(1 sin )3 3r。