高等代数 习题及参考答案
高等代数习题答案
高等代数习题答案高等代数习题答案高等代数是大学数学中一门重要的课程，它涉及到线性代数、矩阵论、群论、环论等多个分支。
对于学习者来说，解答高等代数习题是提高自己理论和实践能力的重要途径。
本文将为大家提供一些高等代数习题的答案，帮助大家更好地掌握这门课程。
1. 线性代数1.1 解答题1.1.1 设A为n阶方阵，若A的特征值都是实数，则A是否一定是实对称矩阵？答案：不一定。
特征值是实数并不意味着矩阵一定是实对称矩阵。
例如，对于下面的矩阵：A = [1 2; -2 1]它的特征值为1和-1，都是实数，但它并不是实对称矩阵。
1.1.2 设A为n阶方阵，若A的特征值都是正实数，则A是否一定是正定矩阵？答案：不一定。
特征值都是正实数并不意味着矩阵一定是正定矩阵。
例如，对于下面的矩阵：A = [1 0; 0 -1]它的特征值为1和-1，都是正实数，但它并不是正定矩阵。
1.2 计算题1.2.1 计算矩阵A = [1 2; 3 4]的特征值和特征向量。
答案：首先，计算A的特征多项式：|A - λI| = |1-λ 2; 3 4-λ| = (1-λ)(4-λ) - 6 = λ^2 - 5λ - 2解这个方程得到特征值λ1 ≈ 5.79和λ2 ≈ -0.79。
然后，代入特征值计算特征向量：对于λ1 ≈ 5.79，解方程组(A-λ1I)x = 0，得到特征向量x1 ≈ [0.82; -0.57]对于λ2 ≈ -0.79，解方程组(A-λ2I)x = 0，得到特征向量x2 ≈ [0.57; -0.82]2. 矩阵论2.1 解答题2.1.1 什么是矩阵的秩？答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
它表示矩阵的行（或列）空间的维数。
2.1.2 若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，是否可以得出A=0或B=0？答案：不一定。
若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，不能直接得出A=0或B=0。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
高等代数第5章习题参考答案
第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ， 且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。
2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。
高等代数习题参考答案
第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)在线性空间V 中，A ,其中 V 是一固定的向量;4) 在 P 3 中，A (X I ，X 2,X 3) (2X 15) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1)6) 在P[ X ]中，A f (X) f(X o )，其中X o P 是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间， A8)在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵.解1)当 0时,是;当 0时,不是。
2)当o 时，是；当 o 时，不是。
3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0),A (k )k A()。
4)是•因取(X 1,X 2,X 3),(y 1, y 2, y 3),有A()= A(X 1y 「X 2 y 2 ,X 3 y 3)= (2X 1 2y 1 X 2 y 2,X 2 y= (2X 1X 2, X 2 X 3,X 1) (2y 1=A+ A ,A (k ) A (kX 1, kX 2, kX 3)(2kx 1kx 2, kx 2=k A (), 3故A 是P 上的线性变换。
5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令u(x) f(x) g(x)则A ( f (x)g(x)) = A u(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=A f(x) + A (g(x)),再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)),故A 为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取 f (x)P[x], g(x) P[ x]则.A (f(x) g(x))=f(x 0) g(X 0 ) A ( f (x)) A (g(x)),2) 3) 在线性空间V 中，A 在 P 3 中,A(X l ，X 2,X 3)其中(X I 2,X 2V 是一固定的向量;2、X 3,X 3 )； X 2, X 2 X 3,X I ).X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2 y 3,y 1)(2kx 1kx 2, kx 2kx 3,kxjkx 3,kxjA(kf (x)) kf (x0) k A( f (x))。
高等代数第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ijy x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数(徐德余)习题及解答
习题1.11. 判断以下数集是否作成数环。
1）S={}Z ∈; 2）S={}0a a Q ≠∈; 3）S={},a b Z +∈; 4）S={},a a b Q +∈.解： 1）错误。
不能包含除0以外的整数。
2）错误。
对差不封闭。
3）正确。
4）正确。
{}{},5,13a bi ab Q a bi a b Q Q +∈+∈2. 填空：1) 包含5i 的最小数域是或 2) 包含{}{}{}0.,0,,,,0,1,2,3,,-00≠≠∈≠∈∈=+∈⋅∈≠≠==+L l S a S a S ka S a S k l a bi a b Q F c di c di d c c 3.证明：如果一个数环S ，那么含有无限多个数。
证 S 0可设是数环于是 其中故含有无限多个数。
4.证明：S=是一个数环，是不是数域？ 证 S 为数环，则S 对于数的加、减、乘封闭，且1=1+0i S 设+0，那么0否则 在的情形下，,与222222222200,()()()()(),,≠≠=∈++−++−==++−++−=++++−∈∈+++∴∈+di d c di c Q a bi a bi c di ac bd bc ad ic di c di c di cd ac bd bc adi c d c dac bd bc adQ Q c d c d a bi S S c di矛盾在的情形下,与矛盾因此 又由于 故是数域。
121212,F F F F F F I U 5.设均为数域，证明也是数域，一定是数域吗？举例说明。
{}121222112,,,==+∈⊄⊄I U U F F F F R F a bi a b Q F F F F 112 证 是数域，不一定是数域。
反例：设F 因 F F ，所以 不是数域()21,5(5,2)(2,3)(1)112;12(-1)(-2)12123455234125341+=+++++++ → →L L L L n n k k k k 习题1.21.计算下列排列的反序数： 1）75231468； 2）n(n-1)21;3)(2k)1(2k-1)2(k+1)k.解 ） ； 2） 3)2.利用对换把排列12345变成35241。
高等代数习题及答案
高等代数习题及答案高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。
（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。
（）3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。
（）4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。
（）5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。
（）6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
（）7、零变换和单位变换都是数乘变换。
（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。
（） 9、欧氏空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（）10、若n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 ni i i x 1，那么 ni ix12。
（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（）① n n nx g x f x g x f,, ；② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ；③ x g x g x f x g x f ,, ；④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。
2、设D 是一个n 阶行列式，那么（）①行列式与它的转置行列式相等；②D 中两行互换，则行列式不变符号；③若0 D ，则D 中必有一行全是零；④若0 D ，则D 中必有两行成比例。
3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（）①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零；②A 中每个r 阶子式都不为零；③A 中可能存在不为零的1 r 阶子式；④A 中肯定有不为零的r 阶子式。
高等代数试题及答案
高等代数试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|等于多少？A. 2B. 4C. 8D. 16答案：D2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵的什么？A. 行列式不为零B. 秩等于未知数的个数C. 行阶梯形矩阵D. 增广矩阵答案：B3. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列哪个向量组也线性无关？A. α1+α2, α2+α3, ..., αn-1+αnB. kα1, kα2, ..., kαn（k为非零常数）C. α1-α2, α2-α3, ..., αn-1-αnD. α1, α2, ..., αn-1, αn+α1答案：D4. 给定一个线性变换T: V → W，若V的一组基{v1, v2, ..., vn}在T下的像{T(v1), T(v2), ..., T(vn)}线性无关，则T是：A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆的答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设A是n阶方阵，若A^2=A，则称A为______矩阵。
答案：幂等2. 若矩阵A的秩为r，则A的行向量组和列向量组最多可以有______个线性无关的向量。
答案：r3. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若AB=0，则称矩阵B是矩阵A的______。
答案：零化子4. 线性空间V的一组基中包含的向量个数称为该基的______。
答案：阶数三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：若线性空间V上的线性变换T满足T^2=T，则T是幂等变换。
证明：由题意知T满足T^2=T。
设v∈V，则有T(T(v))=T^2(v)=T(v)。
因此，对于任意v∈V，都有T(T(v))=T(v)，即T是幂等变换。
2. 已知矩阵A=\[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\]，求A的特征值和特征向量。
高等代数(一)试题及参考答案
高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（ ）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ） 三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100200100D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分） 注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分） 进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分） 2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分）得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
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高等代数习题及参考答案
第一章多项式
1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：
322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）
2）
f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。
q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；
解 1）由带余除法，可得
2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。
2）同理可得
2．
m,p,q适合什么条件时，有
23x?mx?1|x?px?q， 1）
242x?mx?1|x?px?q。
2）
2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即
?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。
?所以当时有
?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当
2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。
?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。
??综上所诉，当或时，皆有
3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：
53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）
2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。
32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；
q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。
x?x0的方幂和，即表成
4．把f(x)表示成
c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：
5f(x)?x,x0?1； 1）
42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）
432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。
3）
2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；
432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得
42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。
5．求f(x)与g(x)的最大公因式：
43232f(x)?x?x?3x?4x?1,g(x)?x?x?x?1； 1）
4332f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1； 2）
42432f(x)?x?10x?1,g(x)?x?42x?6x?42x?1。
3）
解 1）(f(x),g(x))?x?1； 2）(f(x),g(x))?1；
2(f(x),g(x))?x?22x?1。
3）
6．求u(x),v(x)使u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))。
432432f(x)?x?2x?x?4x?2,g(x)?x?x?x?2x?2； 1）
43232f(x)?4x?2x?16x?5x?9,g(x)?2x?x?5x?4； 2）
4322f(x)?x?x?4x?4x?1,g(x)?x?x?1。
3）
2(f(x),g(x))?x?2?r2(x)
解 1）因为
?f(x)?q1(x)g(x)?r1(x)?g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x)再由?，
r2(x)?g(x)?q2(x)r1(x)?g(x)?q2(x)[f(x)?q1(x)g(x)]解得
?[?q2(x)]f(x)?[1?q1(x)q2(x)]g(x)u(x)??q2(x)??x?1，
于是
v(x)?1?q1(x)q2(x)?1?1?(x?1)?x?2。
1122u(x)??x?,v(x)?x2?x?133332）仿上面方法，可得(f(x),g(x))?x?1，且。
32(f(x),g(x))?1u(x)??x?1,v(x)?x?x?3x?2。
3）由可得
７．设f(x)?x?(1?t)x?2x?2u与g(x)?x?tx?u的最大公因式是一个二次多项式，求
t,u的值。
3232f(x)?q1(x)g(x)?r1(x)?(x3?tx2?u)?(x2?2x?u)解因为
g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x)，
?(x?(t?2))(x2?2x?u)?(u?2t?4)x?u(3?t)，
且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式
r2(x)为0，即
??(u?2t?4)?0??u(3?t)?0，
?u1?0?u2??2??t1?2t?3?从而可解得或 ?2。
８．证明：如果d(x)|f(x),d(x)|g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的组合，那么d(x)是
f(x)与g(x)的一个最大公因式。
证易见d(x)是f(x)与g(x)的公因式。
另设?(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，下证
?(x)|d(x)。
由于d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，这就是说存在多项式s(x)与t(x)，使
d(x)?s(x)f(x)?t(x)g(x)，
从而由?(x)|f(x),?(x)|g(x)可得?(x)|d(x)，得证。
９．证明：(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x)，(h(x)的首系数为１）。
证
因为存在多项式u(x),v(x)使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)，所以
(f(x),g(x))h(x)?u(x)f(x)h(x)?v(x)g(x)h(x)，上式说明(f(x),g(x))h(x)是f(x)h(x)
与g(x)h(x)的一个组合。
另一方面，由(f(x),g(x))|f(x)知(f(x),g(x))h(x)|f(x)h(x)，同理可得(f(x),g(x))h(x)|g(x)h(x)，
x)h)是x(f(x)h(x)与g(x)h(x)的一个最大公因式，又因为从而(f(x),g((f(x),g(x)h)的首项系数为１，所以x((f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x)。
１０．如果f(x),g(x)不全为零，证明：
??f(x)g(x),???1(f(x),g(x))(f(x),g(x))??。
证存在u(x),v(x)使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)，又因为f(x),g(x)不全为
０，所以(f(x),g(x))?0，
1?u(x)由消去律可得
f(x)g(x)?v(x)(f(x),g(x))(f(x),g(x))，
??f(x)g(x),???1(f(x),g(x))(f(x),g(x))?。
所以?11．证明：如果f(x),g(x)不全
为零，且u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))，那么
(u(x),v(x))?。
1
证由上题证明类似可得结论。
12．证明：如果(f(x),g(x))?1,(f(x),h(x))?1，那么(f(x),g(x)h(x))?1。
证由
假设，存在
u1(x),v1(x)及u2(x),v2(x)使
u1(x)f(x)?v1(x)g(x)?1 （1） u2(x)f(x)?v2(x)h(x)?1 （2）
将（1）（2）两式相乘，得
[u1(x)u2(x)f(x)?v1(x)u2(x)g(x)?u1(x)v2(x)h(x)]f(x)?[v1(x)v2(x)]g(x)h(x)?1
所以(f(x),g(x)h(x))?1。
13．设
，
f1(x),...,fm(x),g1(x),...,gn(x)都是多项式，而且
m,j?; (i?1,2,...1,n2, .。
(fi(x),gj(x))?1求证：
(f1(x)f2(x)...fm(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1。
证由于
(f1(x),g1(x))?1(f1(x),g2(x))?1..........................(f1(x),gn(x))?1，
反复应用第12题结论，可得
(f1(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1，
同理可证
(f2(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1................................................(f m(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1，
从而可得
(f1(x)f2(x)...fm(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1。
14．证明：如果(f(x),g(x))?1，那么(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。
证由题设知(f(x),g(x))?1，所以存在u(x),v(x)使u(x)f(x)?v(x)g(x)?1，从而u(x)f(x)?v(x)f(x)?v(x)f(x)?v(x)g(x)?1，即[u(x)?v(x)]f(x)?v(x)[f(x)?g(x)]?1，所以(f(x),f(x)?g(x))?1。
同理(g(x),f(x)?g(x))?1。
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