10.10初二数学讲义：实数
初二数学《实数》知识点
初二数学《实数》知识点一、算术平方根1算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，，那么这个正数x叫做a的算术平方根a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数规定：0的算术平方根是0也就是，在等式中，规定。
2的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数;当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
3当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大;当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
4夹值法及估计一个数的大小<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根a的算术平方根是x二、平方根1平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根即：如果，那么x叫做a的平方根2开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
3平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是34一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根;正数a的负的平方根可用-表示6平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个;联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
7<—>x是a的平方根a的平方根是x三、立方根1立方根的定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根，即如果，那么叫做的立方根2一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
3一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根，是它本身;一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。
4利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即<—>x是a的立方根a的立方根是x四、实数1有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
初中数学 什么是实数
初中数学什么是实数
实数是数学中的一个重要概念，它包括了整数、有理数和无理数。
实数可以用来描述和测量现实世界中的各种量，例如长度、时间、温度和质量等。
以下是对实数的详细解释：
1. 整数：整数是指包括正整数、负整数和零的集合。
整数可以用来表示没有小数部分的数值，例如1、-5和0等。
2. 有理数：有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。
有理数可以用来表示有限小数和循环小数，例如1/2、-3/4和0.333
3...等。
3. 无理数：无理数是指不能表示为有理数的比值的数。
无理数的小数部分是无限不循环的，它们无法被精确表示为分数形式。
常见的无理数包括根号2 (√2)、圆周率π和自然对数的底数e等。
4. 实数的性质：
-实数可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。
-实数满足交换律、结合律和分配律等运算法则。
-实数可以通过数轴上的点来表示，其中数轴上的每一个点对应一个实数。
-实数有大小关系，可以进行比较和排序。
-实数集合是无限的，其中包含了无穷多个数。
5. 实数的应用：
-实数在几何学中用于表示长度、面积和体积等量的大小。
-实数在物理学中用于表示物体的质量、速度和加速度等物理量。
-实数在金融学中用于表示货币的价值和利率等经济指标。
-实数在统计学中用于表示数据的测量结果和概率等。
总结起来，实数是数学中用来表示和测量现实世界中各种量的数。
它包括了整数、有理数和无理数，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质。
实数在各个领域中都有广泛的应用，是数学中的重要概念。
初二数学基础实数概念与性质速览
初二数学基础实数概念与性质速览在初二数学的学习中，实数是一个非常重要的概念，它是我们进一步学习数学知识的基础。
实数包括有理数和无理数，它们在数学中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起快速浏览一下实数的概念与性质。
一、实数的概念1、有理数有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。
例如，－3、0、1/2、0333（3 循环）等都是有理数。
整数可以看作是分母为 1 的有理数。
例如，－5 可以写成－5/1。
有限小数可以化为分数形式。
例如，025 可以写成 1/4。
无限循环小数也可以通过一定的方法转化为分数。
比如，0333（3循环）可以表示为 1/3。
2、无理数无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。
常见的无理数有π（圆周率）、√2（根号 2）、√3 等。
无理数的发现是数学史上的一个重要事件。
例如，古希腊数学家毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们认为所有的数都可以表示为整数或整数之比。
然而，当他们发现边长为 1 的正方形的对角线长度不能用有理数表示时，引起了巨大的震动。
这个长度就是√2，它是一个无理数。
3、实数实数是有理数和无理数的统称。
实数可以用数轴上的点来表示，数轴上的每一个点都对应着一个实数，反过来，每一个实数也都可以在数轴上找到对应的点。
二、实数的性质1、实数的运算性质（1）加法和乘法的交换律对于任意两个实数 a 和 b，有 a ＋ b ＝ b ＋ a，a × b ＝ b × a。
（2）加法和乘法的结合律对于任意三个实数 a、b 和 c，有（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)，（a × b) × c ＝ a ×（b × c)。
（3）乘法对加法的分配律对于任意三个实数 a、b 和 c，有 a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c。
2、实数的大小比较（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
初二数学实数知识点总结
初二数学实数知识点总结
鉴于数学知识点的重要性，小编为您提供了这篇初二数学实数知识点总结，希望对同学们的数学有所帮助。
一、实数的有关概念
1、无理数：无限不循环小数叫做无理数，这说明无理数有两个基本特征：一是小数位数无限多，二是不循环。
2、无理数的表现形式
在初中阶段，无理数的表现形式有几下三种：
① 开方开不尽而得到的数，如、、等
②含有的数，如、等
③无限不循环的小数，如1.1010010001(每二个1之间依次多一个0)
二、实数的分类
有理数、无理数统称实数;它可以按以下两种方式分类
实数或实数
三、实数的重要性质
1、有理数范围内的一些定义，概念和性质在实数范围内仍然适用，如绝对值、相反数、倒数等。
2、两个实数大小的比较;正数大于0;0大小一切负数;二个负实数，绝对值大的反而小
3、在实数范围内，加、减、乘、除(除数不能为0)、乘方五种运算畅通无阻，在开方运算中，正实数和0总能进行开方
运算，负实数只能开立方，不能开平方，
4、在有理数范围内的运算顺序和运算律在实数范围内仍然适用。
四、实数和数轴的关系
实数和数轴上的点存在着一一对应关系，即：任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的任何一个点都表示一个实数。
因此，我们不但可以将一个有理数用数轴上的一个点表示，同时，也可以将一个无理数用数轴上的点表示出来。
这篇初二数学实数知识点总结是精品小编精心为同学们准备的，祝大家学习愉快!。
八年级实数基本知识点总结
八年级实数基本知识点总结实数，就是浮点数，是指有理数和无理数的集合，也是数轴上的所有点的集合。
实数是数学中最基础的概念之一，它的理解和应用在学生的日常数学学习中具有非常重要的作用。
下面，我们来总结一下八年级中实数的基本知识点。
一、有理数的概念和性质有理数，是指可以用两个整数的比表示的数。
有理数除了整数之外还包括分数和小数。
有理数的性质有以下几点：1.加法性质：任何两个有理数之和也是有理数。
2.减法性质：任何两个有理数之差也是有理数。
3.乘法性质：任何两个有理数之积也是有理数。
4.除法性质：一个非零有理数除以另一个非零有理数也是有理数。
二、无理数的概念和性质无理数，是指不是有理数的数，也不能化为有理数的数。
常用的无理数有圆周率π、自然常数e、黄金分割数φ等。
无理数的性质有以下几点：1.无理数的小数部分是无限不循环的。
2.无理数和任何有理数的和都是无理数。
3.无理数和有理数的积是无理数。
三、实数的大小比较在实数中，有以下大小比较的关系：1.对于任意两个不等的实数a和b，它们中的一个必然大于另一个。
2.两个正数之积是正数，两个负数之积是正数，一个正数和一个负数之积是负数。
3.两个正数之和是正数，两个负数之和是负数，一个正数和一个负数之和可能是正数、负数或零。
四、实数的应用实数在各个领域都有广泛的应用，例如在物理学中，牛顿力学的描述以及爱因斯坦的广义相对论都需要实数的支持；在工程学中，常规的数值计算和控制计算也都需要实数和实数的计算。
此外，实数也在计算机科学中起着重要作用，因为计算机中的数字都是以实数的方式存储和计算的。
总之，实数在数学学习中起着重要的作用，学生需要掌握实数的基本概念、性质和应用。
只有充分理解实数的基础知识，才能在进一步的数学学习中更加深入地学习和应用实数。
初二数学 实数知识点汇总
初二数学|实数知识点汇总一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
3.实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数绝对值相等，符号相反的两个数。
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦然。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，lal≥0。
0的绝对值时它本身，若lal=a，则a≥0；若|al=-a，则a≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
0没有倒数。
三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根①如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
②一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
③正数a的平方根记做“±”。
2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。
3、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
初二数学讲座——实数的概念及性质
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初一数学讲座——实数的概念及性质
班级 姓名 座号 知识纵横： 1：有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq的形式；无理数是无限不循环小数，不能写
成分数pq的形式，这里p、q是互质的整数，且0p． 2：有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．
例题讲解： 题型(一)：化小数为分数：对于有限小数和无限循环小数均可化为分数，下面介绍如何将无限循环小数化成分数. ①代数法： 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数. 例1：310.393，70.79，350.3599，特别的，11510.050.51010918. 混循环小数化为分数：分别将不循环部分和循环部分化成分数，然后求和. 例2：115160.350.30.050.30.50.31010945. 115632248060.32560.320.560.321001009999002475.
②方程法 例3：把0.23化成分数 设0.23x，因为0.230.230.0023，所以0.230.01xx，解得：2399x. 题型(二)：利用非负性解题 例4：(全国初中数学联赛试题)若a、b满足357ab，则23sab的取值范围是 ．
例5：方程0185yyx的解是 ．
例6：已知x、y是实数，096432yyx，若yxaxy3，则a= ． 例7：已知x是实数， 则1xxx的值是 . 例8：若,ab是实数，且满足21224abb，则ab的值是 . 例9：设a是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个( ) A．小于0的有理数 B．大于0的有理数 C．小于0的无理数 D．大于0的无理数
《实数》知识点归纳
《实数》知识点归纳一、实数的定义实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数和分数，整数又包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。
有理数：能表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
例如：－3、0、1/2 等。
无理数：无限不循环小数，例如：π（圆周率）、√2（根号 2）等。
2、按正负分类实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示√2，我们可以先确定一个单位长度，然后以原点为起点，向正方向画出长度为√2 个单位长度的线段，其终点对应的数就是√2。
四、相反数绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。
实数a 的相反数是a，0 的相反数是 0。
例如，5 的相反数是－5，π 的相反数是π。
五、绝对值实数 a 的绝对值表示为｜a|，定义为：当a≥0 时，｜a| ＝ a；当 a＜0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的几何意义是数轴上表示数 a 的点到原点的距离。
例如，｜3| ＝ 3，｜－2| ＝ 2。
六、倒数若两个数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是1/a，0 没有倒数。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
七、平方根如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
例如，9 的平方根是±3，因为（±3）²＝ 9。
八、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a，0 的算术平方根是 0。
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初二数学讲义：实数
班级____________姓名____________2012．10
一、知识点：
一）、有理数1．概念： (1) 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
(2) 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。
(3) 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次
不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如： 0.333 …， 5.32727 …等等。
注意：循环小数是无限小数，也称作无限循环小数。
2 ．，因为整数和分数都可以写成有限小数或无限循环小数，所以有理数也可以分类为有限小数和无限循环小数。
二）、无理数：1．无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2．无理数的特征：(1)无理数的小数部分位数不限；
(2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。
三）、实数：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：由以上学到的，我们可以对实数进行分类
1．按定义：
2．按符号：实数分为正实数，零，负分数。
3．实数的性质：在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义，和在有理数范围内是一样的。
数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。
（实数与数轴上的点一一对应。
）
4．实数大小比较的方法：
1）．有理数大小的比较法则在实数范围内同样适用，即：
法则1：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
法则2：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小。
2）．平方比较法。
3．作差比较法。
5．实数化简公式：b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a b
a = (a ≥0,
b ＞0) 二、例题：
1、 已知一个立方体盒子的容积为216cm 3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？
2 、下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。
正确的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、已知22(4)0,()y x y xz -+++
求的平方根。
4、已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。
5a 2，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。
6、△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 2440b b -+=，求c 的取值范围。
三、实数练习题
一、选择题
1、边长为1的正方形的对角线长是（ ）
A 、整数
B 、分数
C 、有理数
D 、不是有理数
2、在下列各数中是无理数的有（ ）
-0.333…，4 ，5 ，-∏ ，3 ∏ ，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0，）76.0123456…（小数部分由相继的正整数组成）。
A 、3个
B 、4个
C 、5个
D 、6个
3、下列说法正确的是（ ）
A 、有理数只是有限小数
B 、无理数是无限小数
C 、无限小数是无理数
D 、2
∏-
是分数 4、下列说法错误的是（ ）
A 、1的平方根是1
B 、-1的立方根是-1
C 、 2 是2的平方根
D 、-3是2)3(-的平方根 5、若规定误差小于1，那么60的估算值为（ ）
A 、3
B 、7
C 、8
D 、7或8
6、下列平方根中，已经简化的是（ ）
A 、3
1 B 、0
2 C 、22 D 、112 二、填空题
7、把下列各烽填入相应的集合内： -7,0.32,1/3,46,0, 8 , 1623 , 2π
- .
①有理数集合（ ）；②无理数集合（ ） ③正实数集合（ ）；④实数集合（ ）
8、9的算术平方根是 ，3的平方根是 ，0的平方根是 ，-2的平方根是 。
9、-1的立方根是 ，1/27的立方根是 ，9的立方根是 。
10、2的相反数是_______，倒数是_______，-63 的绝对值是______。
11、比较大小：2______3;
103______5; 6_____2.35(填“＞”或“＜”)
12、2)4(-=______, 13、已知032=++-b a ，则______)(2=-b a ；
14、计算：______1112=-+-+-x x x ；
15、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则______3=++cd b a ；
三、解答题
16、求下列各式的值 ①44.1 ② -
027.03 ③610 ④64
9
17、化简： 24
6
12⨯ )32)(32(-+ 2)525(-
2224145-
)81()64(-⨯- 8+32—2 3
1+72*9
18、在数轴上作出3对应的点.
19、一正方形的面积为10厘米，求以这个正方形的边为直径的圆的面积（π取3.14）？
20、小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱的尺寸为50×40×30（长度单位为厘米），现小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，问这两个正方体纸箱的棱长为多少厘米？
21、小芳想在墙壁上钉一个三角架（如图），其中两直角边长度之比为3:2，斜边长520厘米，求两直角边的长度。
22、八年级（3）班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6米的树上，其中一位同学赶快搬来一架长为7米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2米远，另一个同学爬上梯子去拿羽毛球，问这位同学能拿到球吗？
23、已知0)2(12=-+-ab a ， 求
)
2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值
24、已知a a a =-+-20102009，求22009-a 的值；
25．如图，A 、B 是内壁高度同为4cm
的两个圆柱的容器，一水管单独向A 容器注水，1分钟可以注满，现将两容器在它们高度一半处用细管连通（连通细管的容积忽略不计），仍用该水管向A 容器注水，注2分钟时间，A 容器中水的高度是多少？
26．先阅读下列材料，再解答后面的问题 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n
n a a a a 记为个
⋅。
如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即。
一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n 且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即。
问题：
（1）计算以下各对数的值
===64log ,16log ,4log 222。
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又
满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
()0,0,10log log >>≠>=
+N M a a N M a a 且 根据幂的运算法则：m n m n a a a +=⋅以及对数的含义证明上述结论。