AHP——模糊综合评价方法的理论基础

AHP——模糊综合评价方法的理论基础

1. 层次分析法理论基础

1970-1980年期间，着名学者Saaty最先开创性地建立了层次分析法，英文缩写为AHP。该模型可以较好地处理复杂的决策问题，迅速受到学界的高度重视。后被广泛应用到经济计划和管理、教育与行为科学等领域。AHP建立层次结构模型，充分分析少量的有用的信息，将一个具体的问题进行数理化分析，从而有利于求解现实社会中存在的许多难以解决的复杂问题。一些定性或定性与定量相结合的决策分析特别适合使用AHP。被广泛应用到城市产业规划、企业管理和企业信用评级等等方面，是一个有效的科学决策方法。

Diego Falsini、Federico Fondi 和Massimiliano M. Schiraldi（2012）运用AHP 与DEA的结合研究了物流供应商的选择；Radivojevi、Gordana和Gajovi, Vladimir （2014）研究了供应链的风险因素分析；. Maniya和. Bhatt（2011）研究了多属性的车辆自动引导机制；朱春生（2013）利用AHP分析了高校后勤HR配置的风险管理；蔡文飞（2013）运用AHP分析了煤炭管理中的风险应急处理；徐广业（2011）研究了AHP与DEA的交互式应用；林正奎（2012）研究了城市保险业的社会责任。

第一，递阶层次结构的建立

一般来说，可以将层次分为三种类型：

（1）最高层（总目标层）：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。

（2）中间层（准则层和子准则层）：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。

（3）最低层（方案层）：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。

典型的递阶层次结构如下图1：

一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此，在建立递阶层次结构时，应注意到：

（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。 （2）整个结构不受层次限制。

（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。

（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。

第二，构造比较判断矩阵

设有m 个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m 个目标两两进行比较，把第i 个目标（i=1,2,…,m ）对第j 个目标的相对重要性记为ij a ，这样构造的m 阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，

简称判断矩阵，记作ij m m A ⨯=（a ）。

Satty 于1980年根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要性等级表（见表1）。利用该表取的ij a 值，称为1-9标度方法。

表1 目标重要性判断矩阵A 中元素的取值

若决策者能够准确估计ij a ，则有：1

,*,1ij ij ik kj ii ji

a a a a a a === ，其基本的定

理如下：

第一，设A=(a ij )m×m ，A>0，（即a ij >0;i,j=1,2,…,m ），如果满足条件（1）a ii =1（i =1,2,…,m ）；（2）a ij =1/a ji （i,j =1,2,…,m ），则称矩阵A 为互反正矩阵。

第二，设A=(a ij )m×m ，A>0，如果满足条件a ij= a ik ·a kj （i,j,k=1,2,…,m ）则称矩阵A 为一致性矩阵。

第三，对于任何一个m 阶互反正矩阵A ，均有m ax λ≥m ，其中m ax λ是矩阵A 的最大特征值。

第三，m 阶互反正矩阵A 为一致性矩阵的充分必要条件是A 的最大特征根为m 。

第三，单准则下的排序

层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。由于每个准则都支配下一层若干因素，这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。因此根据比较判断矩阵如何求得各因素w 1,w 2, …,w m 对于准则A 的相对排序权重的过程称为单准则下的排序。这里设A=(a ij )m×m ，A>0。 方法一：本征向量法

利用AW=λW 求出所有λ的值，其中m ax λ为λ的最大值，求出m ax λ对应的特征向量W *，然后把特征向量W *规一化为向量W ，则W=[w 1,w 2, …w m ]T 为各个目

标的权重。求λ需要解m 次方程，当m≥3时，计算比较麻烦，可以利用matlab 来求解。

（2）判断矩阵的近似解法

判断矩阵是决策者主观判断的定量描述，求解判断矩阵不要求过高的精度。这里，介绍三种近似计算方法：根法、和法及幂法。幂法适于在计算机上运算。

第一，根法

①A 中每行元素连乘并开m 次方，得到向量T

m w w w W ),...,,(**2*1

*=其中，m m

j ij i

a w ∏==1

*

②对W *作归一化处理，得到权重向量

W=(w 1,w 2, …w m )T ，其中∑==m

i i i

i

w w w

1

**/

③对A 中每列元素求和，得到向量S=(s 1,s 2, …s m )，其中s j =∑=m

i ij a 1

④计算m ax λ的值，SW w s i m

i i ==∑=1

max λ=∑=m i i i

w AW m 1)(1

方法二：和法

①将A 的元素按列作归一化处理，得矩阵Q=(q ij )m×m 。其中，∑==m

k kj ij ij a a q 1/

②将Q 的元素按行相加，得向量T

m ),...,,(21αααα=。其中，∑==m

j ij i q 1

α

③对向量α作归一化处理，得权重向量W=(w 1,w 2, …w m

)T ，其中∑==m

k k i i

w

1

/αα

④求出最大特征值∑==m i i

i

w AW m 1max )(1λ

方法三：幂法

幂法是一种逐步迭代的方法，经过若干次迭代计算，按照规定的精度，求出判断矩阵A 的最大特征值及其对应的特征向量。设矩阵A=(a ij )m×m ，A>0，则

CW e A e e

A k T k k =∞

→lim ，其中，W 是A 的最大特征值对应的的特征向量，C 为常数，