胡运权运筹学第五版第一章习题讲解

x11 x12 x13 x14 15 x12 x13 x14 x21 x22 x23 10 s.t. x13 x14 x22 x23 x31 x32 20 x x x x 12 14 23 32 41 xij 0(i 1, 2,3, 4; j 1, 2,3, 4)

一般形式的线性规划数学模型转化为标准形式
1.目标函数为求最小值： 作变换，令z'=(-z),化为求： max z' = -( c1x1 +c2x2 +…+ cnxn ) 2.约束条件为不等式： 当约束条件为≤时，加一非负的松弛变量。 当约束条件为≥时，减一非负的剩余变量。 注：松弛变量在目标函数中的系数为0 3.取值无约束的变量： 作变换，令xj=xj'-xj''(xj',xj''≥0),即将其化为两个非 负变量之差。 4.负变量 (xj<0): 作变换,令xj= - xj ,≥0 5.常数项为负： 约束两端同乘（-1）即可。 Return
Return

x4 x5
课后题答案
x1 x2 (c) 3 -1 x2 2 (i) -7 x3 x3 x4 1 0 I 0 x4 1/2 1/2 (k) x5 x5 0 1 0
1.8 答案：
b
cj-zj 6 1 (b) -1 (a) x1 (g) (h) 0
N
(d) (e) 2
x1 x5
B-1b
(f) 4 cj-zj
1.3 答案：
●单纯形法：
Cj CB 0 0 基 x3 x4 Cj-Zj 0 x3
10
x1
Cj-Zj
8/5
1
0
2/5
1 1
0
0 5/14
1/5
-2 -3/14
5
x2
3/2
0
10
x1
Cj-Zj
1
1
0
0
0
-1/7
-5/14
2/7
-25/14
Return

课后题答案
z' -3x1 x 2 'x 2 ' '-2x 3 '0x 4 0x 5 - Mx6 - Mx7
5( x111 x112 x113 ) 10 x211 6000 7( x x x ) 9 x 12 x 121 122 123 221 322 10000 6( x111 x121 ) 8( x211 x221 ) 4000 s.t. 4( x112 x122 ) 11x322 7000 7( x113 x123 ) 4000 x111 , x112 , x113 , x121 , x122 , x123 , x211 , x221 , x322 0
几种解的基本概念
1.可行解： 满足系统约束条件和非负性约束的解X=(x1 ,x2 ,… xn )T,称为LP问题的可行解。 2.最优解： 满足目标函数值最大的可行解称为LP的最优解。 3.基（本）解： 设B为LP问题的一个基，在系统约束方程组中，令非 基变量xm+1= xm+2 … =xn =0, 而B是满秩的，由克莱姆法 则，可解出由m个基变量表示的唯一解XB= (x1 ,x2 ,… xm)T 或X= (x1 ,x2 ,… xm，0，…，0)T ，称X为LP问题 的一个基解。 4.基（本）可行解： 满足变量非负性约束的基解称为基可行解。
台时 限制 6000 1000 0 4000 7000 4000
单位台 时费用 0.05 0.03 0.06 0.11 0.05
6 4 7 0.25 0.36 0.25 0.44 0.25 0.35
6 4 7 0.21 0.36 0.21 0.44 0.21 0.77
8
8 11
0.5 0.48
0.27 0.48

课后题答案
1.13 答案： 解：设该厂第i个月办理租借合同，租借j个月， 租借面积为xij，则该问题的线性规划模型为：
min z 2800( x11 x21 x31 x41 ) 4500( x12 x22 x32 ) 6000( x13 x23 ) 7300 x14
0.36 0.12
单件 原料 费用
单价
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.35
0.35
0.50
1.25
1.25
1.25
1.25
1.25
1.25
2.00
2.00
2.80

课后题答案
max z (1.25 0.25)( x111 x112 x113 x121 x122 x123 ) (2.00 0.35)( x211 x221 ) (2.80 0.50) x322 [5( x111 x112 x113 ) 10 x211 ] 0.05 [7( x121 x122 x123 ) 9 x221 12 x322 )] 0.03 [6( x111 x121 ) 8( x211 x221 )] 0.06 [4( x112 x122 ) 11x322 )] 0.11 7( x113 x123 ) 0.05
Return

课后题答案
1.14 答案：
解：设Ⅰ产品在A1B1上生产的数量记为x111，A1B2 、 A1B3 、A2B1 、A2B2 、A2B3依次记为x112，x113，x121， x122，x123，Ⅱ产品在A1B1、A2B1上生产的数量记作x211， x221，III产品在A2B2上生产的数量记作x322，建立模型 如下：
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课后题答案
1.16 答案： 由X*为最优解，可得此时：σ=C-CBB-1A≤0 (a) X*仍为最优解,max z=λCX； σ´=λC-λCBB-1A=λ(C-CBB-1A)≤0 (b)一般X*不再是问题的最优解。 σ´=(C+λ)-(CB+λB)B-1A=(C-CBB-1A)+(λ-λBB-1A ) (c)最优解变为λX*，最优值不变。令X*=X/λ
习题讲解

课程：运筹学 内容：第一章课后习题解
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作业分类汇总
1、LP问题解四种情况的判别 习题： 1.1(a)、1.1(b)、1.7(b) 2、LP问题解的基本概念 习题：1.2(b)、1.3(a) 3、LP问题的标准形式转化 习题：1.6(a) 4、单纯形法的计算 (标准型的系数矩阵中不包含单位矩阵的情况） 习题：1.7(b) 5、单纯形法计算的向量矩阵描述及特征应用 习题：1.8、1.12 6、现实问题应用 习题：1.13、1.14 7、证明题 END 习题：1.16、1.17
线性规划数学模型的标准形式
n max z c x j j j1 n (i 1,..., m) aijxj bi s.t. j 1 x 0 (j 1,..., n) j （目标函数）
（系统约束） （非负性约束）
即： 1.目标函数求极大值max z； 2.全部是等式约束； 3.常数项非负 （b ≥0 ）； 4.变量非负 （X ≥0 ) ； 5.n＞m。
单纯形法计算的矩阵描述
Cj
CB 0 XB XS σj=cj-zj b b
CB
XB B CB
CN
XN N CN
0
XS I 0
均左乘矩阵B1
Cj CB CB XB XB σj=cj-zj b B-1b
CB XB I 0
CN XN B-1N CN - CBB-1N
0 XS B-1 - CBB-1
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1.6（a）答案： 标准形式： max
初始单纯形表：
Cj -3 b 12 8 6 x1 2 4 3
' " ' 2 x1 3x2 3x2 4 x3 x4 12 ' " ' x5 x6 8 4 x1 x 2 x2 2 x3 s.t. ' " ' x7 6 3x1 x2 x2 3x3 x 0, ( j 1, 4,5, 6, 7), x ' , x" , x ' 0 2 2 3 j
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LP问题解四种情况的判别
1、LP问题的解总有四种情况：
•唯一最优解 •无穷多最优解 •无界解 •无可行解
2、判别方式：
•图解法：直观性强，但有其局限性，只适用 于问题中有两个变量的情况。 •单纯形法。
Return

图解法
唯一最优解
无穷多最优解
无界解
无可行解
Return

单纯形法
Return
x2 2 1 c2
C2
x3 1 3 c3
C3
x4 1 0 0
0
x5 0 1 0
0
b 2b
1 2 c1
C1
x1 1/5 3/5
x2 1 0
x3 0 1
x4 3/5 -1/5
x5 -1/5 2/5
x2 x3
1 3
cj-zj
-7/10
0
0
-3/5
-4/5
Return
最后结果：b=5, c1= 3/2, c2=2, c3 =3
x2 11/2 0 0 1/2
x3 0 11/5 0 2
x4 0 0 11/6 0
是否为基可 目标函数值 行解 否 是 否 是
P1 P1 P1 P2
43/5 5*
P2 P3
P4 P4
0 0
-1/2 0
0 1
2 1
否 是
5*
Return

课后题答案
●图解法：
10 b 9 8 x1 3 [5] 10 21/5 0 5 x2 4 2 5 [14/5] 0 x3 1 0 0 1 0 x4 0 1 0 -3/5
Return

课后题答案
1.17
答案：
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∵ CX*≤CX0， ∴ C(X* -X0)≤0， （1） 又：C*X* ≥ C*X0 ， ∴ C*(X* -X0)≥0， （2） （2）-（1）得：(C* -C)(X* -X0) ≥0。证毕。
Return
谢谢观看
B-1N
1 (j)
-1
B-1
0 1 (L)
最后结果：a＝3，b=2, c=4, d=-2, e=2, f=3, g=1, h=0, i=5, j=5, k=-3/2, L=0. Return
CN-CBB-1N
-CBB-1

课后题答案
x1 x4 x5 cj-zj
Cj CB C2 C3 基 b
1.12 答案
-1 x2' 3 1 -1
1 x2'' -3 -1 1
-2 x'3 4 -2 -3
0 x4 1 0 0
0 x5 0 -1 0
-M x6 0 1 0
-M x7 0 0 1
CB 0 -M -M
基 x4 x6 x7
Cj-Zj
7M-3
-1
1
-5M-2
0
-M
0
0
Return

课后题答案
1.7（b）答案： 大M法：
A工序 A1
B工序
B1 I （2*3=6种方式） B2 B3 II （2种方式） III （一种方式）
A2
产品 设备 A1 A2 B1 B2 B3 单件 台时 费用
1 x111 5
2 x112 5
3 x113 5
4 x121 7
5 x122 7
6 x123 7
7 x211 10
8 x221 9
9 x322 12
Cj-Zj Cj-Zj Cj-Zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/2 0 -1/2 -1/2 0 -1/2 -M+1/2 -1 -M+1/2 -1
两阶段法：
4 9 T x ( , , 0, 0, 0, 0, 0) 最优解为： 5 5
因为：σ3＝0，有非基变量检验数为0， 所以该问题有无穷多最优解。 且，目标函数最优值为Z*=7.

课后题答案
1.1（a）答案： 该问题有无穷多最优解。 取特殊值：(1.5,0) 计算目标函数最优值 得:min z=3。
1.1（a）
1.1（b）答案： 由图可知：该Lp问题没 有可行域，即可得出： 该问题无可行解
1.1(b)
Return

课后题答案
1.2（b）答案：
基解 基
x1 P2 P3 P4 P3 -4 2/5 -1/3 0