1-4 n阶行列式的定义

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det (aij ) 1t1 t 2 a p1q1 a p2q2 a pnqn
a p1q1 a p2q2 a pnqn 是位于不同行、不同列的 n 个元
素的乘积 (共 n! 种可能)； 其中 p1, p2, „, pn 取 1, 2, „, n 的一个特定排列， q1, q2, „, qn 取 1, 2, „, n 的所有可能排列. 反之亦可.
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问题(2) ：令乘积带有符号 ( 1)t1 t 2 ，即
( 1)t1 t 2 a2q1 a3q2 a1q3
其中，t1 是行标排列231的逆序数； t2 是列标排列q1q2q3的逆序数. 写出全部 6 个可能的乘积.
a21a32a13 ★ 带正号 a22a33a11 a a a 23 31 12
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
㈠ 概念的引入 ㈡ n 阶行列式的定义
小结 思考题 作业
㈠ 概念的引入
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引例 1 在布满棋子的3×3棋盘上，从不同行、不 同列取三个棋子(如下图)，问共有几种取法？ 1 2 3 解
1 2 3
wenku.baidu.com
用(i, j)表示一个棋子所在的行、列 依次从第 1, 2, 3 行取一个棋子 (1, q1) (2, q2) (3, q3)
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n [简记为 det(aij)， 其中数 aij 为行列式的 (i,j) 元] ann
等于所有取自不同行、不同列的 n 个数的乘积的代 数和，即
det (aij ) 1
t1 t 2
a p1q1 a p2q2 a pnqn
标准排列
列标排列
标准排列
行标排列、列标排列都是偶排列，该项带“+”号.
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解法二 交换元素位置，使行标排列变成标准排列，即 a32a43a14a51a66a25 a14a25a32a43a51a66 此时，列标排列的逆序数为 t (452316 ) 8 所以该项应带“+”号. 解法三 交换元素位置，使列标排列变成标准排列，即 a32a43a14a51a66a25 a51a32a43a14a25a66 此时，行标排列的逆序数为 t (534126 ) 8
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例 1 六阶行列式中，含如下乘积的项带什么符号. 解法一
a32a43a14a51a66a25
行标排列的逆序数为 t1 ( 341562) 6 t1 t 2 10 列标排列的逆序数为 t 2 ( 234165) 4 所以该项应带“+”号. 或者， 行标排列
偶数次对换 偶数次对换
1 0 0 0
例 3 计算四阶行列式 D
0 0 4
解
0 D 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
4( 41) 2 1 2 3 4
24
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1 2 3 4
例 4 计算四阶行列式 D
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
解
1 2 3 4 D 0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
三个棋子处于不同列 q1, q2, q3 必须是 1, 2, 3 的某个排列 共有 3!=6 种取法.
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不同行、不同列的三个棋子：(1, q1) (2, q2) (3, q3) 其中，列标 q1, q2, q3 取 1, 2, 3 的所有可能排列. 举一反三： (p1 , 1) (p2 , 2) (p3 , 3) 行标 p1, p2, p3 取 1, 2, 3 的所有可能排列. (p1 , q1) (p2 , q2) (p3, q3) 行标 p1, p2, p3 取 1, 2, 3 的一个特定排列. 列标 q1, q2, q3 取 1, 2, 3 的所有可能排列. (p1 , q1) (p1 , q2) (p3, q3) 列标 q1, q2, q3 取 1, 2, 3 的一个特定排列. 行标 p1, p2, p3 取 1, 2, 3 的所有可能排列.
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(3) 下三角行列式
a11 a21 a22
a11a22 ann
an1 an 2 ann
(主对角线以上的元素全为零，即，当 i < j 时，aij=0) 证 行列式的一般项为 1t a1q1 a2q2 anqn
其中， q1 1, q2 2, , qn n ，否则该项为零.
各项的符号 1t1 t 2 一半为“正”，一半为“负”， 为什么？
★ 对于每一项，由于行标排列采用相同的 3 元排列， 故逆序数 t1相同. 于是符号取决于各项的列标排列 的逆序数 t2(q1q2q3). q1q2q3 取所有可能的 3 元排列，奇、偶排列各占一半 (参见上节思考题)，故代数和中的符号正负各半.
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问题(5) ： 在代数和
t1 t 2 1 a2q1 a3q2 a1q3 中，
如果改变任意一项中三个元素的相乘顺序(这不会改 变乘积结果)，问：会改变该项的符号 1t1 t 2 吗？
★ 不会改变该项的符号. 如果在乘积中交换两个元素的位置，则这两个元素 的行标排列和列标排列同时发生一次对换， 于是， t1 和 t2 的奇偶性同时改变， 但(t1+t2)的奇偶性不变.
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( i j n 1时，aij 0)
a11 a1,n1
(6)
a1n
a21 a2,n1 an1
( 1)
n ( n1 ) 2
a1,na2 ,n1 an1
( i j n 1时，aij 0)
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0
0 0 3 0
0 2 0 0
三个棋子处于不同列 q1, q2, q3 必须是 1, 2, 3 的某个排列 共有 3!=6 种取法.
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引例 1 在布满棋子的3×3棋盘上，从不同行、不 同列取三个棋子(如下图)，问共有几种取法？ 1 2 3 解
1 2 3
用(i, j)表示一个棋子所在的行、列 依次从第 1, 2, 3 行取一个棋子 (1, q1) (2, q2) (3, q3)
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D 的展开式中，仅有一项可能不等于零：该项中每一 元素的列标 = 行标 ，即 q1 1, q2 2, , qn n (否则，项中至少有一个元素为零，从而乘积为零)
因此，D 1t (12...n ) a11a22 ann 12 n
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i ( i j n 1 时 ) (2) 记 D det ( aij ) ，其中 aij 0 ( i j n 1 时)
★ D a21 a22
a31 a32
a22a33a11 a23a31a12 a21a32a13 a22a31a13 a23a32a11 a21a33a12 1t1 t 2 a2q1 a3q2 a1q3
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问题(4) ： 在代数和
t1 t 2 1 a2q1 a3q2 a1q3 中，
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即，各元素列标可取值： q1 1 q2 1， 2
...
qn 1， 2， , n
由于 q1 q2…qn 是自然数 1,2,„,n 的某一排列，因此 q1 1，q2 2， ，qn n 于是，展开式中只有一项可能不等于零，得
D 1
t (12... n )
列标排列的逆序数 t 452316 8 ，该项应带“+”号. 所以， a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
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一些特殊行列式的计算公式
1
(1) 对角行列式
2

12 n ;
n
(非主对角线元全为零，即，当 i j 时，aij=0)
1 2
所以该项应带“+”号.
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例 2 试判断 a32a43a14a51a25a66 是否是六阶行列式 中的项.
解 a32a43a14a51a25a66 是6个不同行、不同列元素的乘积；
下面进一步判断乘积所应带有符号： 交换元素位置，使行标排列变成标准排列 a14a25a32a43a51a66

(2) 副对角行列式
n
1
nn1 2 12 n .
(当 i+j n+1 时，aij=0)
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证 i ( i j 时) (1) 记 D det ( aij ) ，其中 aij 0 ( i j 时) 行列式的一般项为 1t a1q1 a2q2 anqn (其中 q1 , q2 , , qn 是 1,2,„,n 的某个排列)
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结论 3 阶行列式是若干项的代数和： ● 每项都是不同行、不同的 3 个数相乘 (共 3! 项)； ●每项都带有符号 ( 1) ，t1 是行标排列的逆序数； t2 是列标排列的逆序数. (各项的符号一半是正的，一半是负的：符号取决 于是哪 3 个数相乘，但与相乘的顺序无关；).
t1 t 2
D 1t1 t 2 a p1q1 a p2q2 a p3q3
其中，行标 p1, p2, p3 取 1, 2, 3 的一个特定排列. 列标 q1, q2, q3 取1, 2, 3 的所有可能排列. 反之亦可.
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㈡ n 阶行列式的定义
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定义 由 n2 个数 aij (i, j = 1, 2, …, n) 组成的 n 阶行列式
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a11 a12 设有一个 33 的数表： a21 a22 a31 a32
引例 2
a13 a23 a33
从不同行、不同列取三个元素相乘，并表示为： a2q1 a3q2 a1q3 (行标排列为231，列标是 1, 2, 3 的所有可能排列) 问题(1) ：如上形式的乘积，共有几种可能？ ★ 3!=6 种
a p1q1 a p2q2 a pnqn 带有符号 1t1 t 2，正负各半.
其中t1, t2分别是行标排列和列标排列的逆序数. “ ”表示对列标(或行标)排列的所有可能求和.
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说明 (1) 两种常用的定义表达式： 元素的行标排列采用标准排列 (t1=0) det (aij ) 1t a1q1 a2q2 anq n t 是列标排列的逆序数. 元素的列标排列采用标准排列 (t2=0) t det (aij ) 1 a p1 1a p2 2 a pn n t 是行标排列的逆序数. (2) 根据定义，一阶行列式 a a ，注意不要与绝对 值记号相混淆.
a23a32a11 带负号 a21a33a12 a a a 22 31 13
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问题(3) ：将以上 6 项的代数和与 3 阶行列式的算式 进行比较，有何结论？
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
行列式的一般项为
1 a1q1 a2q2 anqn
t
D 的展开式中只有一项可能不等于零，此时
q1 n, q2 n 1, , qn 1
n( n 1) 相应的列标排列为 n (n-1) „1，逆序数 t 2
于是，D 1t a1na2,n1 an1

n( n 1) ( 1) 2 12 n
a11a22 ann a11a22 ann
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a11
(4) 上三角行列式
a12 an1 a22 a2 n a11a22 ann . ann
( i j时，aij 0)
(5)
a n1
a2 ,n1 an ,n1
a1n n ( n1 ) a2 n ( 1) 2 a1,na2 ,n1 an1 ann