均值不等式练习题

均值不等式

一、 知识点：

二、习题讲解：

例1：（1）求y=x+1xx>0的最小值

（2）求y=x+1xx≥2的最小值

（3）已知2>x ，求2

1

-+=x x y 的最小值

变式训练：

1. 已知0>x ，求x

x y 4

2--=的最大值

2.当1->x 时，求()1

1

++=x x x f 的最小值

3.已知45

4124-+-=x x y 的最大值

4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++222

5.

4

23(0)y x x x =-->的最大值是2-

6. 1

2,33

y x x x =+>- 7.

1

2sin ,(0,)sin y x x x

π=+

∈ 例2：（1）已知210<

1

-=的最大值

（2）已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1

b b

β=+，求αβ+的最小值

变式训练： 1.已知3

1

0<

3.设2

3

0<

4.已知01x <<

，求函数y =.；

5.

2

03x <<

，求函数y =

6.若21x y +=，则24x

y

+的最小值是______

7.已知,x y R +∈，且满足134

x y

+=，则xy 的最大值为 ________。

例3：求函数()11

3

32->+++=

x x x x y 的最小值

变式训练：

1.

231,(0)x x y x x ++=>

2.设⎪⎭

⎫

⎝⎛∈2,0πx ，则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为

3. 已知2

5

≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值

4. 2y =的最小值是

5.

求2710

(1)1x x y x x ++=

>-+的值域。

6.

求函数2y =的值域。

7.设z y x ,,为正实数，且满足032=+-z y x ，则xz

y 2

的最小值

例4：已知+

∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求证：91

11≥++c

b a

变式训练：

1.已知2,0,0=+>>b a b a ，则b

a y 4

1+=的最小值是

2.正数y x ,满足12=+y x ，求y x /1/1+的最小值。

3.设0,0.a b >>

若11

33a b a b

+与的等比中项，则

的最小值为（ ）

．

A ．8

B ．4

C ． 1

D ． 14

4.已知0,0x y >>，且19

1x y

+=，求x y +的最小值。

5.已知+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x +

的最小值

例6：若0,0>>b a ，则ab C b

a B

b a A =+=+=,2,222,b

a D 112+=

的大小顺序为：

1.若函数y x ,满足12

2

=++xy y x ，则y x +的最大值是：

2.函数x x y 313-+=的最大值是

3.若正数b a ,满足()1=+-b a ab ，则ab 的最小值为 综合练习：

已知+

∈R c b a ,,，求证：

3≥-++-++-+c c

b a b b a

c a a c b 已知+

∈R c b a ,,，求证：c b a c

ab b ac a bc ++≥++

已知+

∈R c b a ,,，求证：c b a a

c c b b a ++≥++2

22 判断下列命题:

(1)22,,=•≥+∴

∈+

b

a

a b b a a b R b a (2)y x y x R y x lg lg 2lg lg ,,•≥+∴∈+ (3)44

24,0,=•≥+∴

≠∈a a a a a R a (4)22,0,,-=⎪⎭

⎫

⎝

⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=+∴

<∈x y y x x y y x x y

y x xy R y x

P