研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
习题二
1.化下列矩阵为Smith 标准型:
(1)222211λλλλ
λλλλλ??
-??
-????+-??
; (2)2222
00
000
00(1)00000λλλλλλ
??
??
-?
?
??-??
-??
; (3)2222
232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ??
+--+-??+--+-????+---??
;
(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---??
.
解:(1)对矩阵作初等变换
1
3
3
1
22222222111001100(1)c c r r λλλλλλλ
λλλλλλλλλλλλλλ+-??????-??????
-???→-???→-????????????+---+?
?????
2
3221311(1)10
10
000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→?
???
????-++????
,
则该矩阵为Smith 标准型为
????
?
?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为
44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,
从而不变因子为
22
2341234123()()()
()1,()(1),()(1),()(1)()()()
D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ==
=-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ????-????-??-??
;
(3)对矩阵作初等变换
1332212
13
2132222222222242322
(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------????
+--+----????+--+-???→---????????+-----??????
-+--++-??????→--????--??312
2131211342322
(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+?+--?-???-+--++-???????→--??
??????-+---++-??????→-??
????
??--+???????→-???→-????-??
1)????????+??
故该矩阵的Smith 标准型为
??
??
?
?????+--)1()1(112
λλλ; (4)对矩阵作初等变换
1523
2323010
0014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--????????+++????
???????→????----????????------????
1221323132200010
0010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-????????+???????????→???→????---????????--????
2143145425222000101000
0000000
000000000010000000
100100000
01r r c c c c c c c c λλλλλλ
λλλλ--?-?????????--???????????→???
→????
--????????--????
在最后的形式中,可求得行列式因子
3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,
于是不变因子为
2541234534()()
()()()1,()(1),()(1)()()
D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ====
=-==-故该矩阵的Smith 标准形为
2
1
0000
010
0000100000(1)00
00
0(1)λλλλ??????????
-??
??-??
. 2.求下列λ-矩阵的不变因子:
(1)
21
0021002λλλ--????--????-??
;
(2)100
10000λαββλα
λαββ
λα+????-+?
???+??-+??
; (3)1
00100015
4
32λλ
λλ-????-?
???
-??
+??
; (4)0
012012012002000λλλλ+????+????+??+??
. 解:(1)该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1,故
12()()1,D D λλ==
而
33()(2)D λλ=-,
所以该λ-矩阵的不变因子为
2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;
(2)当0β=时,由于
4243()(),()()D D λλαλλα=+=+,21()()1D D λλ==,
故不变因子为
12()()1d d λλ==,2234()(),()()d d λλαλλα=+=+
当0β≠时,由于
224()[()]D λλαβ=++,
且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为
2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=,
则3()1D λ=,故21()()1D D λλ==,所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;
(3)该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-,故
123()()()1,D D D λλλ===
而
4324()2345D λλλλλ=++++,
所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;
(4)该λ-矩阵的行列式因子为
123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,
所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.
3.求下列λ-矩阵的初等因子:
(1)333232
212322λλλλλλλλ??++??--+--+??; (2)322322
2212122122λλλλλλλλλλ??-+--+??-+--??
. 解:(1)该λ-矩阵的行列式因子为
212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-,
故初等因子为2
1,(1)λλ+-;
(2) 该λ-矩阵的行列式因子为
212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-,
故不变因子为
12()1,()(1)(1),d d λλλλλ=-=+-
因此,初等因子为1,1,1λλλ+--.
4.求下列矩阵的Jordan 标准形:
(1)131616576687????---????---??;(2)452221111-????--????--??;(3)3
732524103-????--??
??--??;
(4)111333222-????--????--??;(5)03318621410????-????--??
;(6)1234012300120
001??
??????
??
??
. 解:(1)设该矩阵为A ,则
2
10001000(1)(3)E A λλλ??
??-→??
??-+??
,
故A 的初等因子为
2(1)(3)λλ-+,
则A 的Jordan 标准形为
300011001-??????????
; (2)设该矩阵为A ,则
3
10
001000(1)E A λλ????-→??
??-??
,
故A 的初等因子为
3(1)λ-,
从而A 的Jordan 标准形为
110011001??????????
;
(3)设该矩阵为A ,则
2
10001000(1)(1)E A λλλ??
??-→??
??-+??
,
故A 的初等因子为
1,,,i i λλλ-+-
从而A 的Jordan 标准形为
1000000i i ????-??????
; (4)设该矩阵为A ,则
2
1000000E A λλλ??
??-→??
????
,
故A 的初等因子为
2,λλ,
从而A 的Jordan 标准形为
000001000??????????
; (5)设该矩阵为A ,则
2
10001000(1)E A λλλ??
??-→??
??+??
,
故A 的初等因子为
2,(1)λλ+,
从而A 的Jordan 标准形为
000011001????-????-??
; (6)设该矩阵为A ,则
1234012300120001E A λλλλλ----????---??-=??--??-??
, 该λ-矩阵的各阶行列式因子为
123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-,
则不变因子为
123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-,
故初等因子为
4(1)λ-,
则A 的Jordan 标准形为
1100011000110
001????????
??
??
. 5.设矩阵
142034043A ??
??=--??
????
,
求5
A .
解:矩阵A 的特征多项式为
2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--,
故A 的特征值为11λ=,235λλ==.
属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)T
η=,
属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T T
ηη==-.
设
123121[,,]012021P ηηη????==-??????,100050005??
??Λ=??
????
,
则1A P P -=Λ.,故
4
45514
4441453510354504535A P P -??
??-?
?=Λ=-?????????
?
. 6.设矩阵
211212112A --????=--??
??-??
,
求A 的Jordan 标准形J ,并求相似变换矩阵P ,使得1
P AP J -=.
解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .
2
2
1110021201011200(1)I A λλλλλλ-????????-=-+→-????
????---????
,
故其初等因子为
21,(1)λλ--,
故A 的Jordan 标准形
100011001J ??
??=??
????
.
(2)求相似变换矩阵P .
考虑方程组
()0,I A X -=即1231112220,111x x x -????
???-= ?
?? ???--??
??
解之,得
12100,111X X ????
? ?== ? ? ? ?-????
.
其通解为
1122k X k X +=1212k k k k ??
?
? ?-??
,
其中21,k k 为任意常数.
考虑方程组
1122312111222,111x k x k x k k -?????? ? ???-= ? ?
?? ? ???---??????
11212121211111122200021110002k k k k k k k k k --????
????-→-+???
?????----????
,
故当1220k k -=时,方程组有解.
取121,2k k ==,解此方程组,得
3001X ??
?= ? ???
.
则相似变换矩阵
123100[,,]010111P X X X ??
??==??
??-??
.
7.设矩阵
102011010A ??
??=-??
????
,
试计算8
5
4
2
234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为
3()21A f I A λλλλ=-=-+,
由于
8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,
其中5
3
2
()245914f λλλλλ=+-+-. 且
32A A I O -+=,
故
8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --??
??-+=-????-??
.
8.证明:任意可逆矩阵A 的逆矩阵1
A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为
12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++L ,
则
12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=L ,
即
123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-L ,
因为A 可逆,故(1)0n
n a A =-≠,则
11
231211()n n n n n
A A a A a A a I a -----=-
++++L 9.设矩阵
2113A -??=????
,
试计算4
3
2
1
(5668)A A A A I --++-.
解: 矩阵A 的特征多项式为
2()57A f I A λλλλ=-=-+,
则
227A A I O -+=,
而
432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,
故
1
4321111211(5668)()12113A A A A I A I ----????
-++-=-==????-??
??. 10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1,-1,2,试将2n
A 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为
()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,
则设
22()()n f g a b c λλλλλ=+++,
由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得
21,
1,422.n a b c a b c a b c ++=??
--=??++=?
解之,得
2211
(21),0,(24)33
n n a b c =-==--,
因此
2222211
(21)(24)33
n n n A aA bA cI A I =++=---.
11.求下列矩阵的最小多项式:
(1)311020111-??????????;
(2)422575674-??
??--????--??
; (3)n 阶单位阵n I ;(4)n 阶方阵A ,其元素均为1;
(5)0
1231
03223013
2
1
0a a a a a a a a B a a a a a a a a ????--?
?=??--??--??
. 解:(1) 设311020111A -????=??????
,则 2
31
110002002011100(2)I A λλλλλλ--????????-=-→-????
????----????
,
故该矩阵的最小多项式为2
(2)λ-.
(2) 设422575674A -????=--????--??
,则 2(2)(511)I A λλλλ-=--+,
故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2
(2)(511)λλλ--+
(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为
1()n I A n λλλ--=-,
又2A nA =,即2
A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.
(5)因为
222222
00123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,
而22222
00123()2()m a a a a a λλλ=-++++是
I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩
阵B 的最小多项式.
2012矩阵论复习题
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
2016矩阵论试题
第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 习题二 1.化下列矩阵为Smith 标准型: (1)222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; (2)2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; (3)2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解:(1)对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? , 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??; (3)对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中,可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子: (1) 21 0021002λλλ--????--????-??; (2)100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ; 习题三 1.证明下列问题: (1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A ; (2)若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛,则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明:(1)设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(,,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim , 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ,ij m ij m a a =∞ →)(lim ,n j i ,,2,1, =, 故{} T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S , 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛,设其和为S ,即 S A c m m m =∑∞ =0 ,或S S m m =∞ →lim , 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ,故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛,且其和为T S , 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{} 1-m A ,1 -A 都存在,证明: (1)A A m m =∞ →lim ;(2){}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明:设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =, 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ = ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ , 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ, 华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得 矩阵理论试卷(A )(2008级) (共1页) 成绩 学院班级__ _; 姓名___ __; 学号_ __ __ 1 (15分)给定 2222{()|}ij ij R A a a R ??==∈(数域R 上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间)的子集 221122i j {()|0, } i j V A a a a a R ?==+=∈ (1)证明V 是22R ?的子空间;(2)求V 的维数和一组基;(3)求3253A ??= ?-?? 在所求基下的坐标。 2 (15分)设α为n 维欧氏空间V 中的单位向量,对V 中任意一向量x , 定义线性变换: ()2(,)T T x x x αα=-, (1)证明:T 为正交变换; (2)证明 T 对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量;(3)问T 能否在某组基下的矩阵为对角阵,说明理由。 3 (15分)设矩阵010120110A ?? ?=- ? ?-?? (1)求A 的若当标准形;(2)求A 的最小多项式;(3)计算532()45g A A A A E =+-+。 4(10分)设3 R 中的线性变换T 如下:123122323(,,)(2,,) ; ()i T x x x x x x x x x x R =--+∈ (1) 写出T 在基T T T 123 =(1, 1, 0),=(0, 1, 1), =(0, 0, 1)βββ下的矩阵;(2) 求3()T R 及()Ker T 。 5 (10分)已知多项式矩阵 2210007(2)00()00(1)00 00(1)(5)A λλλλλλλ-?? ?++ ?= ?- ?++??,求()A λ的初等因子及史密斯标准形。 6(10分)在欧氏空间4R 中, 对任意两个向量12341234(,,,) , (,,,),T T a a a a b b b b αβ==定义内积 1122334(, )2a b a b a b a b αβ=+++ 求齐次方程组1234123 20 = 0x x x x x x x +-+=??+-? 的解空间的一组标准正交基。 7 (10分)(1) 设A 为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有11||||||||--≥A A 。 (2)设???? ? ??--+-=21512363 11684i i A , 利用(1)的结论分别估计11||||-A 和∞-||||1A 的下界。 8(15分)已知200111113?? ?= ? ?-?? A , 求矩阵函数()e t f =A A 。 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。南航矩阵论2013研究生试卷及答案
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