【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理备课讲稿
精品文档 精品文档 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22yxdxdy
满足初始条件0)0(y的解的逐次逼近)(),(),(321xyxyxy，并求出h的最大值，其中h的意义同解的存在唯一性定理中的h。 解 函数22),(yxyxf在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域
byaxD,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题0)0(22yyxdxdy的解在
],[hh上存在唯一，其中)(max),,min(22),(yxMMbahDyx。
因为逐次逼近函数序列为 xxnndxxyxfyxy0))(,()(10，
此时，2200),(,0,0yxyxfyx，所以 0)(0xy ，
xxdxxyxxy0320213)]([)(
，
633)]([)(7032122xxdxxyxxyx，
xxdxxxxxdxxyxxy001410622223)396918929()]([)(
5953520792633151173xxxx
。
现在求h的最大值。 因为 ),,min(22babah 对任给的正数ba,，abba222，上式中，当 ba 时，22bab取得最大值
aabb212。 精品文档 精品文档 此时，)21,min()2,min(aaabbah，当且仅当aa21，即22ba时，h取得最大值为22。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的byaxDyxfMM
b
ahDyx,:),,(max),,min(
),(
等常数意义的理解和对逐次逼近函数列xxnndxxyxfyxy0))(,()(10的构造过程的理
解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 210,0)0(cos22xyxyy ，。
2） 322)21(0,0)0(xyyxy ，。 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,21:yxD。 易验证22cos),(xyyxf在区域D上满足解的存在唯一性定理的条件，求得2cosmax22),(xyMDyx，则21)21,21min(h。
因此初值问题
0)0(cos22yxyy
的解在]21,21[上存在唯一，从而在区间]21,0[上方程 cos22，xyy满足条件0)0( y的解存在唯一。
2） 以原点为中心作闭矩形区域byaxD,:。 易验证xyyxf2),(在D上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得22),(maxbaxyMDyx，
则),min(2babah。 精品文档 精品文档 由于baba22，所以当2ba时，当2ba取到最小值ba2，从而2bab可取到最大值abab212，故)21,min(aah。
当且仅当aa21，即3132)21(,)21(ba时，h取到最大值为32)21(h。 即证明了初值问题0)0(2yxyy的解在区间])21(,)21([3232上存在唯一。 从而在区间])21(,0[32上解存在唯一。 评注：此例是应用解的存在唯一性定理，求出初值问题解存在唯一的区间。一般解法是先作出适当的闭矩形区域；然后验证在此区域中满足解的存在唯一性定理的条件；最后求出定理3.1中的h。
例3-3 证明如果在闭矩形域D上yf存在且连续, 则),(yxf在D上关于y满足利普希兹条件，反之不成立。 证 因为在闭矩形域D上yf存在且连续,所以yf在区域D上有界，即0M，Dyx),(有
Myyxf
),(
成立，利用中值定理，Dyxyx),(),,(21 2121),(),(),(yyyxfyxfyxf＝21yyM
，
其中是介于21,yy之间的点，命题得证。 反之不成立。 因为对于方程ydxdy，取以原点为中心的矩形域D，yyxf),(在0y无导数， 但212121),(),(yyyyyxfyxf＝， 精品文档 精品文档 故),(yxf 在D上关于y满足利普希兹条件。 评注：通过本例的证明显然可以得到下面结论：若yf在某矩形区域D内某一点),(00yx处不存在，且在),(00yx的邻域内无界，则),(yxf 在D上关于y不满足利普希兹
条件。 例3-4 举例说明定理3.1 中的两个条件是保证初值问题的解存在唯一的充分条件，而非必要条件。 解 1） 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。如方程
axyaaxyayxfdxdy 00
),(，
显然),(yxf在以原点为中心的矩形域中不连续，间断点为直线axy，但解存在唯一，过原点的解为axy，0a。 2） 当利普希兹条件不满足时，解也可能存在唯一。如方程
0 00 ln),(yyyy
yxfdx
dy，
由于 0ln0ln)0,(),(11111yyyyxfyxf，
11ln,0yy，无界，
因而),(yxf在)0,(x的任何邻域内不满足利普希兹条件。然而 yydxdyln，dxyydyln
1lnlnCxy，xeCy2ln，
02yeyx
eC
，
可见方程通过)0,(x解存在唯一。 评注：在应用定理3.1时，一定要注意，当条件不满足时，不能得出解不存在唯一的结精品文档 精品文档 论。 例3-5 利用解的存在唯一性定理，寻找区域G，使得Gyx),(00，方程 21ydxdy
满足初始条件00)(yxy的解存在唯一。 解 设21),(yyxf，显然，它在整个平面上连续。 而21),(yyyyxf，由例3-3，在不包含1y的区域内，有21),(yyxf
满足利普希兹条件。 若1y时，yyxf),(不存在，但当1y，yyxf),(无界，即在包含点)1,(x或)1,(x的任何区域中利普希兹条件不成立。
故得所求区域为xxyxyxG1,11,1,),(。 评注：寻找解的存在唯一性定理中的条件所满足的区域，就是寻找),(yxf连续和关于y满足利普希兹条件的区域。对于所得到的区域G，Gyx),(
00，都能存在一个完全包
含在G内的闭矩形区域，使得在此矩形域中满足解的存在唯一性定理的条件，从而保证初值问题的解存在唯一。 例3-6 对于方程xydxdy和点),0(0y能否应用定理3.1? 解 当00y时，我们可以考虑方程
yxdydx，
其右端函数yxyxf),(满足定理3.1的条件，即方程yxdydx通过点),0(0y的解存在唯一，此时解为0x。 00y时，定理3.1不能用。事实上，由方程xydxdy的通解表达式Cxy知，方程通
过)0,0(的解不为一。 精品文档 精品文档 评注：在研究解的存在唯一性时，也可以将x视为y的函数。 例3-7 能否用逐次逼近序列求初值问题
0)0(31yydx
dy
的解。 解 不能，因为用逐次逼近函数序列00)(yxy，xxnndxxyxfyxy0))(,()(10得 0)(0xφ，00)(01xdxxφ，．．．，0)(xφn，．．．。
即)(xφn收敛于解0y。但另一方面，通过方程直接求解得2332)(xxy也是方程31ydxdy满足条件0)0(y的解，即用逐次逼近函数序列就不能得到此解。
评注：应在保证初值问题解存在唯一的情况下，利用逐次逼近序列序列求近似解。 例3-8 证明：如果函数),(yxf于整个xoy平面上连续有界，且关于y满足局部利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy的任一解均可以延拓到区间x。 证 易验证),(yxf满足延拓定理的推论的条件，则过平面上任一点),(00yx的解存在唯一且可延拓，设过),(00yx的解为),,(00yxx。 因为),(yxf有界，即2),(,0RyxM，均有不等式Myxf),(成立，我们考虑下列三个初值问题
00)(yxyMdxdy， 00)(),(yxyyxfdxdy，
00)(yxyM
dx
dy
，
显然，MyxfM),(，由第一比较定理，得， 当0xx时，000000)(),,()(yxxMyxxyxxM ， 当0xx时，000000)(),,()(yxxMyxxyxxM， 即对任何有限区间),(，当x趋于区间端点时，),,(00yxx都不可能无界，由延拓
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26） 中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
一阶微分方程解的存在定理10页word
第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
第三章一阶线性微分方程组
含有n个未知函数
的一阶微分方程组的一般形式为：
(3.1) 方程组(3.1)在 上的一个解，是这样的一组函数
使得在 上有恒等式
含有n个任意常数
的解
称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组
则称后者为(3.1)的通积分. 如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件
(3.2) 的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于 的n个方程式，如果从其中解得 ，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.
。 定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程
(3.5) 同解.为证(3.5)的解在
上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后， 唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成。 对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初 值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量y换成向量Y即可。
是方程组
的基本解组. 定理3.5 方程组(3.8)必存在基本解组. 证明 由定理(3.1)′可知，齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件
(3.11) 的n个解
.由于它们所构成的朗斯基行列式W
因而，由推论3.3知
是基本解组. 满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组.下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了. 定理3.6 如果 是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合
是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式
，
于是有
上式说明
是齐次方程组(3.8)的解. 定理3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程组(3.7)的一个特解之和.即若
第三章 一阶微分方程的解的存在定理A
解: M = max f ( x, y ) = 2, h = min 1, = ( x , y )∈R 从而解的存在区间为 x ≤
1 2
∂f 1 , L = max =2 ( x , y )∈R ∂y 2
1 . 2
由
ϕ n ( x) − ϕ ( x ) ≤
1 MLn n +1 h = < 0.05 ，知 取 n = 3 即可。 (n + 1)! (n + 1)!
初值问题的解不单依赖于自变量 x, 同时也依赖于初值 ( x 0 , y 0 ) 。在考虑初值 变动时，解可以看作三个变元的函数而记为
y = ϕ ( x, x 0 , y 0 )
它满足 y 0 = ϕ ( x 0 , x 0 , y 0 ) 。 下面讨论解关于初值的一些基本性质 解关于初值的对称性 设方程（3。1）的满足初始条件 y ( x 0 ) = y 0 的解是唯一 关于初值的对称性 初值 的，记为 y = ϕ ( x, x 0 , y 0 ) ，则在此表达式中，( x, y ) 和 ( x 0 , y 0 ) 可以调换其相对位置， 即在解的存在范围内成立着关系式：
作业及思考题
作业题： 88 页 1，2，3 题； 89 页 6 题 102 页 1 题
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
引言 在第二章介绍了能用初等解法的一阶方程的若干类型，但大量的一阶微分方程 一般是不能用初等解法求出它的通解的，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种 初始条件的解。自然提出问提： 初值问题的解是否存在？？如果存在是否唯一？？ ？？如果存在是否唯一 初值问题的解是否存在？？如果存在是否唯一？？ 举例： 举例：方程
解：通解为 y =
间为 ( −∞, +∞ ) 。 通过点 （ln2,-3） 的解为 y = 例2 讨论方程
阶微分方程的解的存在定理.docx
安徽理工大学一阶微分方程的解的存在定理《数学文化》徐正20113051082013/4/9采用皮卡（Picard）的逐步逼近法证明一阶微分方程在满足一定的初值条件时的解的存在唯一性定理。
一阶微分方程的解的存在定理《数学文化》的读书报告徐正数学11-2,2011305108摘要采用皮卡（Picard）的逐步逼近法证明一阶微分方程在满足一定的初值条件时的解的存在唯一性定理。
关键词利普希茨条件唯一连续初值条件引言存在唯一性定理可以明确地肯定微分方程的解在满足一定条件下的存在性和唯一性，它将是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。
另一方面，由于能够求得精确解的微分方程不多，所以微分方程的近似解法（包括数值解法）就具有十分重要的实际意义，而解的存在和唯一性又是进行近似计算的前提。
因此，对初值问题的解的研究就被提高到了重要的地位。
那自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？定义1 设一阶微分方程ⅆy=f(x,y)（1）ⅆx这里f(x,y)是在矩形域R：|x−x o|≤a，|y−y o|≤b上的连续函数。
定义2 函数f(x,y)称在R上关于y满足利普希茨（Lipschitz）条件，如果存在常数L >0，使得不等式|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|y1−y2|对于所有(x,y1)，(x,y2)∈R都成立，L称为利普希茨常数。
定理如果f(x,y)在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程（1）存在唯一)，的解y= φ(x)，定义于区间|x−x o|≤h，连续且满足初值条件φ(x0)=y0，这里h=min (a,bM |f(x,y)|。
M=max(x,y)∈R证明为了简单起见，现只就区间x0≤x≤x0+ℎ进行讨论，对于x0−ℎ≤x≤x0的讨论同理。
有关逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的主要思想可以参考文献【1】下面分五个命题来证明定理命题1 设y =φ(x )是方程（1）定义于区间x 0≤x ≤x 0+h 上，且满足初值条件φ(x 0)=y 0 （2） 的解，则y =φ(x )是积分方程y=y o +∫f (x,y )ⅆx xx 0，x 0≤x ≤x 0+h （3）上的连续解。
第三章一阶线性微分方程组第三讲一阶线性非齐次方程组的一般理论
第三讲 一阶线性非齐次微分方程组的一般理论（2课时）一、目的与要求: 理解一阶线性非齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性非齐次方程组的通解结构, 理解常数变易法.二、重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构, 常数变易法.三、难点：常数变易法.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1. 课题引入本节研究一阶线性非齐次方程组()()dY A x Y F x dx=+ (3.7) 的通解结构与常数变易法.2. 通解结构定理3.8 如果()Y x 是线性非齐次方程组(3.7)的解，而0()Y x 是其对应齐次方程组(3.8)的解，则0()()Y x Y x +是非齐次方程组(3.7)的解.证明 这只要直接代入验证即可.定理3.9 线性非齐次方程组(3.7)的任意两个解之差是其对应齐次方程组(3.8)的解. 证明 设()Y x 和()Y x 是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式 ()()()()dY x A x Y x F x dx=+ ，()()()()dY x A x Y x F x dx =+ 于是有 ()()[()()]d dY x dY x Y x Y x dx dx dx-=- ()()()()()()A x Y x F x A x Y x F x =+--()[()()]A x Y x Y x =-上式说明()()Y x Y x -是齐次方程组(3.8)的解.定理3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程组(3.7)的一个特解之和. 即若()Y x 是非齐次方程组(3.7)的一个特解，12(),(),,()n Y x Y x Y x 是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组(3.7)的通解为1122()()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x Y x =++++这里12,,,n C C C 是任意常数.证明 首先由定理3.8，不论12,,,n C C C 是什么常数，(3.16)都是(3.7)的解. 其次对于方程组(3.7)的任何一个解()Y x ，由定理3.9知，是()()Y x Y x -对应齐次方程组的解. 于是由基本定理3.6，存在常数11,,,n C C C 使得1122()()()()()n n Y x Y x CY x C Y x C Y x -=+++即 1122()()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x Y x =++++所以(3.16)是(3.7)的通解. 定理证毕. 3. 拉格朗日常数变易法在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其通解. 现在，对于线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢?事实上，定理3.10告诉我们，为了求解非齐次方程组(3.7)，只需求出它的一个特解和对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组. 而当(3.8)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(3.7)的一个特解.为了计算简洁，我们定义(3.8)的基本解矩阵如下：111212122212()()()()()()()n n n n nn y x y x y x x y x y x y x ⎢⎥⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中每一列均为(3.8)的解()(1,2,,)i Y x i n =，且12(),(),,()n Y x Y x Y x 是(3.8)的一个基本解组. 因此det ()()0x W x Φ=≠.由定理3.6知，齐次方程组(3.8)的通解可表为()()Y x x C =Φ ,其中C 为列向量12n C C C C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦它的各个分量(1,2,,)i C i n =为任意常数. 现在求(3.7)的形如()()()Y x x C x =Φ (3.17) 的解，其中12()()()()n C x C x C x C x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为待定向量函数. 将(3.17)代入(3.7)有()()()()()()()x C x x C x A x x F x ''Φ+Φ=Φ+其中111212122212()()()()()()()n n n n nn y x y x y x x y x y x y x ⎢⎥'''⎢⎥'Φ=⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦因为()x Φ是(3.8)的基本解矩阵，所以有()()()x A x x 'Φ=Φ. 从而，上式变为 ()()()x C x F x 'Φ= (3.18) 由于()x Φ是非奇异矩阵，故1()x -Φ存在，于是1()()()C x x F x -'=Φ积分得()()()xx C x t F t dt '=Φ⎰ 0x 为I 中任一点代入(3.17)得到()Y x 0()()()xx x t F t dt '=ΦΦ⎰ 显然()Y x 是(3.7)的一个特解，于是得到非齐次方程组(3.7)的通解公式()()()()()xx Y x x C x t F t dt '=Φ+ΦΦ⎰(3.19) 例1 求解方程组5cos ,x y t =- 2y x y =+解 由3.3节例4知，向量函数组11,tt x e y e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦22222tt x e y e ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如2122()()2t t t t x e e C t C t y e e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦的特解，此时(3.18)的纯量形式为212212()()5cos ()2()0t t t t C t e C t e t C t e C t e --''⎧+=-⎪⎨''-+=⎪⎩ 解之得110()cos ,3t C t e t '=- 225()cos 3t C t e t -'= 从而 15()(cos sin ),3t C t e t t =-+ 221()(2cos sin )3t C t e t t -=- 最后可得该方程组的通解为 212212()cos 2sin ()23cos sin t t t t x t C e C e t t y t C e C e t t--⎧=+--⎪⎨=-+++⎪⎩ 本讲要点：1． 非齐次通解=对应齐次通解+非齐次一个特解2． 常数变易法适用于：先求出齐次通解()Y x C =Φ, 再令()()Y x C x =Φ为非齐次特解代入原方程确定()C x .。
第三章 一阶微分方程的存在唯一定理2010
h = min(a, b ), M = max f ( x, y ) . ( x , y )∈R M
对定理的条件与结论作几点说明: 对定理的条件与结论作几点说明:
k +2
MLk +1 x ≤ ∫x0 x − x0 (k + 1)!
dx
MLk +1 ≤ x − x0 (k + 2)!
“函数项级数的一致收敛” 函数项级数的一致收敛” 1． ． 设函数项级数 在区间 I 上收敛于和函数 收敛于 即对 ， 数项级数 ， （1） ）
，或级数（1）的部分和所组成的数列 或级数（ ） 由数列极限定义， 对 。 由数列极限定义， ， ，
证明： 证明步骤如下： 证明： 证明步骤如下： （一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解； 的连续解；
y = y 0 + ∫ f ( x, y ) dx
x0
x
(1.4)
（二） 在区间 x − x0 ≤ h 上构造一个连续函数序列 {y n (x)}， 称为毕卡序列； 称为毕卡序列； 上一致收敛； （三） 证明 {y n (x)} 在区间 x − x0 ≤ h 上一致收敛； 是积分方程(1.4)的解； 的解； （四） 证明 {y n (x)} 的极限函数 ϕ (x ) 是积分方程 的解 （五）证明满足方程(1.1)和(1.2)条件的解必为ϕ (x ). 证明满足方程 和 条件的解必为
y k + 2 ( x) − y k +1 ( x) ≤
≤
∫
03 第三节 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程内容分布图示★ 一阶线性微分方程及其解法★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 伯努利方程 ★ 例7★ 例8★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题8-3★ 返回内容要点:一、 一阶线性微分方程形如)()(x Q y x P dxdy =+ (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程(3.1)成为0)(=+y x P dxdy (3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解.)(⎰-=dx x P Ce y (3.3)其中C 为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为,)()(⎰-=dx x P e x u y一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为[]⎰-⎰+=⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( (3.5)二、伯努利方程：形如 n y x Q y x P dxdy )()(=+ (3.7) 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以ny ，得),()(1x Q y x P dx dy y n n=+-- 或 ),()()(1111x Q y x P y nn n =+'⋅--- 于是，令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解.)1)(()()1()()1(1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰⎰----C dx e n x Q e y dx x P n dx x P n n例题选讲：一阶线性微分方程例1（讲义例1）求方程xx y x y sin 1=+'的通解. 例2（讲义例2）求方程2/5)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 例3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.,0)ln (ln =-+dx x y xdy x .1==e x y例4 求解方程)(,)(x dxd x dx d y dx dy ϕϕϕϕ=+是x 的已知函数. 例5（讲义例3）求方程0)12(23=-+dy xy dx y 的通解.例6 如所示, 平行于y 轴的动直线被曲线)(x f y =与)0(3≥=x x y 截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线).(x f例7 求y x y xdx dy 24=-的通解. 伯努利方程 例8（讲义例4）求方程2)ln (y x a x y dx dy =+的通解. 例9（讲义例5）求方程1)()(23=-+-+x y x x y x dxdy 的通解. 例10（讲义例6）求解微分方程.)(sin 12xy xy x dx dy -=课堂练习1.求微分方程yx y y y dx dy sin 2sin cos cos -=的通解. 2. 设函数)(x f 可微且满足关系式,1)(]1)(2[0-=-⎰x f dt t f x求)(x f .雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli ，1654~1705)伯努利瑞士数学、力学、天文学家。
微分方程PPT(罗兆富等编)第三章 一阶常微分方程组
第一节 初等积分法 首次积分 第二节 向量函数与矩阵函数 解的存在唯一性定理
第三节 一阶齐次线性方程组的一般理论 第四节 一阶非齐次线性方程组的一般理论
第五节 常系数齐次线性常微分方程组的解法
第六节 常微分方程(组)稳定性理论简介
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第一节 初等积分法 首次积分
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例4. 求解简化的常规战争模型
dx dy ay, bx, dt dt
x(0) x0 , y (0) y0
其中x0, y0 为双方战前的兵力. 解: 从方程组中消去自变量的微分 dt, 得
dy bx dx ay
aydy bxdx
ay 2 bx 2 C
2 2 d y1 2 ( x, y1 , , 2 , 3 )0 F ( x , y , y , y ), 2d y1 2 f1 1 2 f 3 dy f d y f d y d3 x dx dx 1 1 1 2 1 d x 2 3 dx x y1 dx y2 dx y3 dx d y1 y1 1 ( x, C1 , C2 , C3 ) 3 F3 ( x, y1 , y2 , y3 ). f1 f1 f1 f1 dx f1 f2 f3 x y y2 y3 通解! y2 d ), y ( x , C , 22 ( x, C1 , C2 , C3 1 3 3 1 C2 , C3 ). y1 F2 ( x, y1 , y2 , y3 ) (3.1.06) 2 dx 机动 目录 上页 下页 返回
r1 ln x2 1 x2 r2 ln x1 2 x1 ln C
一阶微分方程解的存在定理
第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
For personal use only in study and research; not for commercial use[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时For personal use only in study and research; not for commercial use[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。