2014年高考数学试题分类汇编函数与导数(含答案)

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2014山东数学高考导数题及答案

设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3. 由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22. 综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22.。

2014-2018年五年高考数学真题分类汇编：第三章导数及其应用(含答案)文科数学

第三章导数及其应用考点1 导数的概念及运算1．（2018全国I卷，6)设函数．若为奇函数，则曲线在点，处的切线方程为( )A．B．C．D．解析：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.答案D2.(2017浙江，7)函数y=f(x)的导函数()=的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是( )y f x'2解析原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．答案D3.（2018全国卷II ，13)曲线在点处的切线方程为__________．解析：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.答案y =2x –24．（2018天津，10)已知函数f (x )=e x lnx ，为f (x )的导函数，则的值为__________．解析：由函数的解析式可得：，则：.即的值为e. 答案e5.(2017课标1，14)曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 2解析因为y'=2x-x -2,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y'|x=1=2×1-1-2=1,所以切线方程为y-2=x-1,即y=x+1. 答案1y x =+6.(2017天津，10)已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为______________．.6 解析因为f '(x)=a-,所以f '(1)=a-1,又f (1)=a,所以切线l 的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,得y=1. 答案17.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝-x-1e －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.7.解析设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . 答案 y ＝2x8.(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 8.解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. 点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)．将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1. 答案 19.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.9.解析由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 810.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝a ax ln ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．10.解析 f ′(x )＝x a ln ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)，由f ′(1)＝3得，a (ln 1＋1)＝3，解得a ＝3.答案 311.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．11.解析由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1)．又y ′＝2ax －bx 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)．由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案－312.(2014·广东，11)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________12.解析由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝013.(2014·北京，20)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 13.解 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2.(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)．整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)，g(x)与g′(x)的情况如下：所以，g(0)＝当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．考点2 导数的应用1.(2016·四川，6)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A.－4B.－2C.4D.21.解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.答案 D2.(2015·陕西，9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数2.解析f(x)＝x－sin x的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－sin x≥0恒成立，所以f(x)在其定义域内为增函数，故选B.答案B3.(2015·安徽，10)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<03.解析由已知f(0)＝d>0，可排除D；其导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c且f′(0)＝c>0，可排除B；又f′(x)＝0有两不等实根，且x1x2＝ca＞0，所以a＞0.故选A.答案 A4.(2014·新课标全国Ⅱ，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)4.解析因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x ＜1，所以k ≥1.故选D.答案 D5.(2014·湖南，9)若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e2x －e 1x＞ln x 2－ln x 1B ．e2x －e 1x＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e 1x＞x 1e 2x D ．x 2e 1x＜x 1e2x5.解析构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x ，故f (x )＝e x －ln x 在(0，1)上有一个极值点，即f (x )＝e x －ln x在(0，1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，故函数g (x )＝e xx 在(0，1)上单调递减，故g (x 1)＞g (x 2)，x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C. 答案 C6.(2014·新课标全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)6. 解析由题意知f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，当a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增，在 ⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减．又f (0)＝1，此时f (x )在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增，要使f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则需f ⎝⎛⎭⎫2a ＞0，即a ×⎝⎛⎭⎫2a 3－3×⎝⎛⎭⎫2a 2＋1＞0，解得a ＜－2，故选C. 答案 C7．（2018全国卷I ，21）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．7.解析：（1）f （x ）的定义域为，，f ′（x ）=a e x –．由题设知，f ′（2）=0，所以a =．从而f （x ）=，f ′（x ）=．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则．当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．8．（2018全国卷II，21)已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．解析：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．令f ′（x）=0解得x=x=当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（，）时，f ′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．9．（2018全国卷Ⅲ，21）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．解析：（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以．因此．10．（2018北京，19)设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.解析：（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.11．（2018浙江，22）已知函数．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．22.（Ⅰ）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以．由基本不等式得．因为，所以．由题意得．设，则，所以-2所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故，即．（Ⅱ）令m=，n=，则f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a<≤<0，所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．由f（x）=kx+a得．设h（x）=，则h′（x）=，其中g（x）=．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．12．（2018天津，20)设函数，其中,且是公差为的等差数列.（I）若求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围.解析：（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0．（Ⅱ）由已知可得f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2．故=3x2−6t2x+3t22−9．令=0，解得x=t2−，或x=t2+．当x变化时，，f(x)的变化如下表：所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6；函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6．（Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0．设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点．=3x3+(1−d2)．当d2≤1时，≥0，这时在R上单调递增，不合题意．当d2>1时，=0，解得x1=x2=．易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增．g (x )的极大值g (x 1)=g ()=>0．g (x )的极小值g (x 2)=g ()=−．若g (x 2)≥0，由g (x )的单调性可知函数y =g (x )至多有两个零点，不合题意．若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．所以，的取值范围是．13.(2017课标1，21)已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．解析：（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性；（2）分0a =，0a >，0a <分别解0)(≥x f ，从而确定a 的取值范围．（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()xx x x f x eae a e a e a '=--=+-，①若0a =，则2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增． ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-．当(,ln())2ax ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增． 2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=lna 时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当ln()2ax =-时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln(-a/2))=a2[ 3/4 -ln(-a/2)].从而当且仅当a2[3/4-ln(-a/2)]≥0,即a≥-2e3/4时f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e3/4,1].答案（1）当0a =，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <，()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增；（2）34[2e ,1]-．14.(2017课标II ，21)设函数2()(1)x f x x e =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.14解析（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对a 分类讨论，当a ≥1时，()(1)(1)11x f x x x e x ax =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，取200000()(1)(1)11x f x x x ax =>-+=>+，当0＜a ＜1时，取0x =20000()(1)(1)1f x x x ax >-+>+.（1）2()(12)xf x x x e '=--令()0f x '=得1x =-当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<；当(11x ∈--时，()0f x '>；当(1)x ∈-+∞时，()0f x '<所以()f x 在(,1-∞- 和(1)-+∞单调递减，在(11--单调递增 (2)2()(1)x f x x e =-当a≥1时,设函数h (x)=(1-x)e x ,h'(x)=-xe x <0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f (x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x -x-1,g'(x)=e x -1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故e x ≥x+1.当0<x<1时,f (x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x 2),取x 0= ,则x 0∈(0,1),(1-x 0)(1+x 0)2-ax 0-1=0,故f(x 0)>ax 0+1.当0a ≤时，取2000001,()(1)(1)112x f x x x ax =>-+=>+ 综上，a 的取值范围[1，+∞）答案（Ⅰ）在(,1-∞- 和(1)-+∞单调递减，在(11--单调递增（Ⅱ）[1,)+∞14.(2017课标3，21)已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--． 14 解析试题分析：（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当0≥a 时，0)('≥x f ，则)(x f 在),0(+∞单调递增，当0<a 时，则)(x f 在)21,0(a-单调递增，在),21(+∞-a 单调递减.（2）证明3()24f x a ≤--，即证max 3()24f x a≤--，而)21()(m ax af x f -=，所以目标函数为121)21ln()243()21(++-=+---aa a a f ，即t t y -+=1ln （021>-=a t ），利用导数易得0)1(max ==y y ，即得证.(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,则当x ∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x ∈(0,-)时,f'(x)>0;当x ∈(-,+∞)时,f'(x)<0.故f(x)在(0, -)单调递增,在(-,+∞)单调递减. (2)由(1)知,当a<0时,f(x)在x=--取得最大值,最大值为ln(-)-1-. 所以f(x)≤---2等价于ln(-)-1-≤--2,即ln(-)+-+1≤0.设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=-1.当x ∈(0,1)时,g'(x)>0;当x ∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln(-)++1≤0,即f(x)≤--2. 答案（1）当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0<a 时，则)(x f 在)21,0(a -单调递增，在),21(+∞-a单调递减；（2）详见解析15.（2017山东，20）（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ., (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 答案(I)390x y --=,（2）(II)⑴0a =无极值；⑵0a <极大值为31sin 6a a --,极小值为a -；⑶0a >极大值为a -,极小值为31sin 6a a --. 解析(Ⅰ)由题意f '(x)=x2-ax, 所以当a=2时,f(3)=0,f '(x)=x2-2x, 所以f '(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3), 即3x-y-9=0.(Ⅱ)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx, 所以g'(x)=f'(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx =x(x-a)-(x-a)sinx =(x-a)(x-sinx), 令h(x)=x-sinx, 则h'(x)=1-cosx≥0, 所以h(x)在R 上单调递增. 因为h(0)=0, 所以当x>0时,h(x)>0; 当x<0时,h(x)<0.（1）当0a <时，'()()(sin )g x x a x x =--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，'()0g x >，()g x 单调递增；当(,0)x a ∈时，0x a ->，'()0g x <，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，'()0g x >，()g x 单调递增.所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-.（2）当0a =时，'()(sin )g x x x x =-，当(,)x ∈-∞+∞时，'()0g x ≥，()g x 单调递增；所以，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.（3）当0a >时，'()()(sin )g x x a x x =--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，'()0g x >，()g x 单调递增；当(0,)x a ∈时，0x a -<，'()0g x <，()g x 单调递减；当x ∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a 时g(x)取到极小值,极小值是31()sin 6g a a a=--综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是31()sin 6g a a a=--,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--. 16.（2017天津，19）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 解析 (Ⅰ)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得 f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f '(x)=0,解得x=a,或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a. 当x 变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).（II ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()exx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以0000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.（ii ）因为()e xg x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x >，可得()1f x ≤. 又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，由（I ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e xg x ≤在00,[11]x x -+上恒成立.由32()63()14a a f a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以2()612t'x x x =-，令()0t'x =，解得2x =（舍去），或0x =.因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7],1-.所以，b 的取值范围是[7],1-.17.（2017北京，20）已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．17答案(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.解析(Ⅰ)因为f (x )=e x cos x-x ,所以f'(x )=e x (cos x-sin x )-1,f '(0)=0.又因为f (0)=1,所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =1.（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-.当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-.18.（2017江苏，20）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3(x+)2+b-.当x=-时,f'(x)有极小值b-. 因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,所以f(-)=-+ -+1=0,又a>0,故b=+.因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-(27-a3)≤0,即a≥3.当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R 上是增函数,f(x)没有极值;当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=.列表如下故()f x 的极值点是12,x x 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞. (2)由(1)知,+.设g(t)= + ,则g'(t)=-.当t ∈(,+∞)时,g'(t)>0,从而g(t)在(,+∞)上单调递增. 因为a>3,所以a >3 故g(a )>g(3 即.因此b2>3a.（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >. 因为223()=09h a a a'--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤. 因此a 的取值范围为(36]，.19.(2016·新课标全国卷Ⅱ，20)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围.7.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a（x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0.(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0； (ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0，综上，a 的取值范围是(－∞，2].20.(2016·新课标全国Ⅲ，21)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ；(3)设c >1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x . 20.(1)解由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.(2)证明由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)证明由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，则g ′(x )＝c －1－c x ln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减. 由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x .21.(2016·山东，20)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 21.解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a . 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )＞0时，函数g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减. 所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增. 可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意. ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. 所以f (x )在x ＝1处取极大值，合题意 . 综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.22.(2016·四川，21)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立.22.(1)解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)证明令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解由(2)知，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1，由(1)有f ⎝⎛⎭⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝⎛⎭⎫12a >0. 所以f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立；当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)，当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增.又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.23.(2016·北京，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件.23.(1)解由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b . 又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c ).所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解由a ＝b ＝4得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2) 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0，解得x ＝－2或x ＝－23，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)，x 2∈⎝⎛⎭⎫－2，－23，x 3∈⎝⎛⎭⎫－23，＋∞，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝⎛⎭⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点. (3)证明当Δ＝4a 2－12b ＜0时，即a 2－3b ＜0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点.当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0.当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增.所以f (x )不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0，故a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要条件.当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b ＞0不是f (x )有三个不同零点的充分条件.因此a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件.24.(2015·新课标全国Ⅱ，21)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．24.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，a 的取值范围是(0，1)．25.(2015·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；解析 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点．当a >0时，因为e 2x 单调递增，－a x单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明由(1)可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a. 故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. )证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.26.(2015·福建，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)．26.解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0.解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意．当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意．当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x .由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42＜0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42＞1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0，即f (x )＞k (x －1)．综上，k 的取值范围是(－∞，1)．27.(2015·浙江，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．22.解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝a x 2＋b，得⎩⎨⎧a 25＋b＝40，a 400＋b＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0. (2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5，20]． ②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．28.(2015·湖南，21)已知a >0，函数f (x )＝a e x cos x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点．(1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值范围．28.解 (1)f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x ＝2a e x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 令f ′(x )＝0，由x ≥0，得x ＋π4＝m π－π2，即x ＝m π－3π4，m ∈N *. 而对于cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当k ∈Z 时，若2k π－π2＜x ＋π4＜2k π＋π2，即2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＞0. 若2k π＋π2＜x ＋π4＜2k π＋3π2，即2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＜0. 因此，在区间⎝⎛⎭⎫（m －1）π，m π－3π4与⎝⎛⎭⎫m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－3π4(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－34π(n ∈N *)．此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos ⎝⎛⎭⎫n π－3π4＝(－1)n ＋12a 2e n π－3π4. 易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋2 2a 2e （n ＋1）π－3π4（－1）n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列． (2)对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－3π4恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a ＞0)．设g (t )＝e tt (t ＞0)，则g ′(t )＝e t（t －1）t 2. 令g ′(t )＝0得t ＝1.当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减；当t ＞1时，g ′(t )＞0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增．因为x 1∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n ＜x n ＋1，所以[g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝⎛⎭⎫π4，g ⎝⎛⎭⎫5π4＝g ⎝⎛⎭⎫π4 ＝4πe π4. 因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4π4πe ，解得a ≥2π44π-e .故a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡∝+-,424ππe .29.(2015·山东，20)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．29.解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x＋1，所以a ＝1. (2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0.因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x （x －2）e x，所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0.且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）ln x ，x ∈（0，x 0]，x 2e x ，x ∈（x 0，＋∞）. 当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x （2－x ）e x，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增； x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减；可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e 2.30.(2015·浙江，20)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．30.解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2. 当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2. 当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2. 综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－32≤b ≤9－4 5. 当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0. 故b 的取值范围是[－3，9－45]．31(2015·天津，20)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a 3＋134. 31.(1)解由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3.当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明设点P 的坐标为(x 0，0)，则x 0＝413，f ′(x 0)＝－12. 曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)．令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0，即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )．(3)证明由(2)知g (x )＝－12(x －413)．设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a 12＋413. 因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)，因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )，可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x )．。

2014-2004辽宁省十一年高考数学导数大题含详解(第一道是14新课标二)

一．解答题（共14小题）1．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．2．（2014•辽宁）已知函数f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．3．（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．4．（2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．5．（2011•辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．6．（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．7．（2009•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．8．（2008•辽宁）设函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．9．（2007•辽宁）已知函数f（x）=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，g（x）=f′（x）．（I）证明：当时，g（x）在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；（III）证明：．10．（2007•辽宁）已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a n=b n，f（b n）=g（b n+1）（n∈N*）．（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），存在，求x的取值范围；（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f﹣1（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，a n+1＜a n（用t表示）．11．（2006•辽宁）已知函数f（x）=，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，，且a＞0，d＞0．设x0为f（x）的极小值点，在[1﹣]上，f′（x）在x1处取得最大值，在x2处取得最小值，将点（x0，f（x0）），（x1，f′（x1）），（x2，f′（x2，f（x2））依次记为A，B，C．（I）求x0的值；（II）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a，d的值．12．（2006•辽宁）已知f0（x）=x n，其中k≤n（n，k∈N+），设F（x）=C n0f0（x2）+C n1f1（x2）+…+C n n f n（x2），x∈[﹣1，1]．（1）写出f k（1）；（2）证明：对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）﹣n﹣1．13．（2005•辽宁）函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f'（x）是减函数，且f′（x）＞0．设x0∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））得的切线方程，并设函数g（x）=kx+m．（Ⅰ）用x0、f（x0）、f′（x0）表示m；（Ⅱ）证明：当x0∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）．14．（2004•辽宁）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m﹣f﹣1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围．2014年08月17日超微觀世界的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．）问的结论，设法利用2即知，当＜，并利用的近似值，故将ln代入，得＞，当，得的范围的端点值，达到了估值的目的．2．（2014•辽宁）已知函数f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．，，）＜=x[，，]，（）时，﹣，﹣）＜，﹣x[[，]﹣t，）上）））（，，3．（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．）时，⇔==）时，⇔．综上可知：=，则≤=x=4．（2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．）与直线可得）＜）与直线时，，∴①）＜．5．（2011•辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．+x﹣时的最小值大于零即可，，，且当）时，（）单调递增，在（+x（==）时，时，+x﹣（）＞＜﹣（）在（∴，6．（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．.，解得时，；）在单调增加，在，则．7．（2009•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．，则+x=，8．（2008•辽宁）设函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．．，知时，满足，且9．（2007•辽宁）已知函数f（x）=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，g（x）=f′（x）．（I）证明：当时，g（x）在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；（III）证明：．（，即证．又由且，即，都有，即10．（2007•辽宁）已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a n=b n，f（b n）=g（b n+1）（n∈N*）．（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），存在，求x的取值范围；（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，a n+1＜a n（用t表示）．，所以，知，，得，可得．，可知，是等比数列，其首项为，公比为，即存在，可得0.11．（2006•辽宁）已知函数f（x）=，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，，且a＞0，d＞0．设x0为f（x）的极小值点，在[1﹣]上，f′（x）在x1处取得最大值，在x2处取得最小值，将点（x0，f（x0）），（x1，f′（x1）），（x2，f′（x2，f（x2））依次记为A，B，C．（I）求x0的值；（II）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a，d的值．，故可根据﹣2+﹣∴＜﹣＜＞）﹣（﹣）﹣＞，知﹣﹣时，（﹣）（﹣，﹣）=2+得1+））=2+，得d+=2+a=312．（2006•辽宁）已知f0（x）=x n，其中k≤n（n，k∈N+），设F（x）=C n0f0（x2）+C n1f1（x2）+…+C n n f n（x2），x∈[﹣1，1]．（1）写出f k（1）；（2）证明：对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）﹣n﹣1．==13．（2005•辽宁）函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f'（x）是减函数，且f′（x）＞0．设x0∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））得的切线方程，并设函数g（x）=kx+m．（Ⅰ）用x0、f（x0）、f′（x0）表示m；（Ⅱ）证明：当x0∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）．14．（2004•辽宁）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m﹣f﹣1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围．．．即。

2014年高考北京文科数学各区模拟试题分类汇编——导数

x（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．2.设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程；（Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围．x（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 的图象上的点都在直线2y =的上方，求a 的取值范围．4.已知函数()(1)ln a f x a x x x =-++，其中R a ∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,e](e 2.718)=上的最小值.5.已知函数321()43f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点；导数第 3 页共 5 页（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.6．已知函数32()4f x x ax =-+-()a ∈R ，（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值；（Ⅱ）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()0f x ＞，求a 的取值范围.7.已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（Ⅱ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.8. 已知曲线()x f x ax e =-(0)a >.（Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线；（Ⅱ）若存在实数0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围.9. 已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围．10. 已知函数()e (1)xf x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；导数第 5 页共 5 页（Ⅱ）若对于任意的(,0)x ∈-∞，都有()f x k >，求k 的取值范围.11. 已知函数2()4ln(1).f x ax x a R =--∈（I ）当a=12时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题3：导数1(导数的概念、运算和几何意义)

2013-2019年高考数学真题分类汇编专题3：导数（导数的概念、运算和几何意义）（一）导数的概念和运算填空题1．（2015•天津文）已知函数()f x axlnx =，(0,)x ∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若f '（1）3=，则a 的值为 3 ．2．（2016•天津文）已知函数()(21)x f x x e =+，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '的值为 3 ．3．（2018•天津文10）已知函数()x f x e lnx =，()f x '为()f x 的导函数，则f '（1）的值为 e ．（二）导数的几何意义选择题1．（2014•新课标Ⅱ理）设曲线(1)y ax ln x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则(a = D )A ．0B ．1C ．2D ．32．（2014•大纲版理）曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于( C )A ．2eB ．eC ．2D ．13．（2014•陕西文）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A )A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+- 4．（2014•陕西理）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A )A ．3131255y x x =- B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+ 5．（2016•四川文理）设直线1l ，2l 分别是函数,01(),1lnx x f x lnx x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是( A )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞6．（2016•山东文理）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( A )A ．sin y x =B ．y lnx =C ．x y e =D ．3y x =7．（2018•新课标Ⅰ文理）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( D )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =8．（2019新课标Ⅱ文10）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( C )A ．10x y π---=B ．2210x y π---=C ．2210x y π+-+=D ．10x y π+-+=9．（2019•新课标Ⅲ文理）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则( D )A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-填空题1．（2014•广东文）曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 520x y ++=．．2．（2014•广东理）曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 53y x =-+．．3．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2(b y ax a x =+，b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 3- ．4．（2014•江西文）若曲线y xlnx =上点P 处的切线平行与直线210x y -+=，则点P 的坐标是 (,)e e ．5．（2014•江西理）若曲线x y e -=上点P 的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 (2,2)ln - ．6．（2015•新课标Ⅰ文）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)，则a = 1 ． 7．（2015•新课标Ⅱ文）已知曲线y x lnx =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a = 8 ．8．（2015•陕西文）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为 1y e=- ． 9．（2015•陕西理）设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 的切线垂直，则P 的坐标为 (1,1) ．10．（2016•新课标Ⅱ理）若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则b = 12ln - ．11．（2016•新课标Ⅲ文）已知()f x 为偶函数，当0x …时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是 2y x = ．12．（2016•新课标Ⅲ理）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是 210x y ++= ．13．（2017•新课标Ⅰ文）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为 10x y -+= ． 14．（2017•天津文）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 1 ．15．（2018•新课标Ⅱ文）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为 22y x =- ．16．（2018•新课标Ⅱ理）曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为 2y x = ．17．（2018•新课标Ⅲ理）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a = 3- ．18．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 4 ．19．（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 (,1)e ． 20．（2019•新课标Ⅰ文理）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 3y x = ．21．（2019•天津文11）曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程为 220x y +-= ．。

[2014-2018]北京高考数学真题分类汇编专题三导数及其应用

专题三导数及其应用1．（2018北京）设函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x ．（Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若f （x ）在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 2．（2017北京）已知函数f （x ）＝e x cos x ﹣x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．3. （2016北京）设函数f （x ）＝xe a ﹣x +bx ，曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ＝（e ﹣1）x +4，（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调区间． 4. （2015北京）已知函数f （x ）＝ln，（Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x ∈（0，1）时，f （x ）；（Ⅲ）设实数k 使得f （x ）对x ∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．5. （2014北京）已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，] （1）求证：f （x ）≤0；（2）若ab 对x ∈（0，）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．6. （2013北京）设l 为曲线:lnxC y x=在点(1,0)处的切线．（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．7. （2012北京）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1)-∞-上的最大值 8. （2011北京）已知函数2()()x kf x x k e =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e，求k 的取值范围 9. （2010北京）已知函数2()(1)(0)2k f x ln x x x k =+-+．（Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．专题三导数及其应用答案部分1．（2018北京）（Ⅰ）函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x 的导数为 f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ．由题意可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，可得（a ﹣2a ﹣1+2）e ＝0，且f （1）＝3e ≠0，解得a ＝1；（Ⅱ）f （x ）的导数为f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ＝（x ﹣2）（ax ﹣1）e x ，若a ＝0则x ＜2时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；x ＞2，f ′（x ）＜0，f （x ）递减． x ＝2处f （x ）取得极大值，不符题意；若a ＞0，且a，则f ′（x ）（x ﹣2）2e x ≥0，f （x ）递增，无极值；若a ，则2，f （x ）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f （x ）在x ＝2处取得极小值；若0＜a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（，+∞）．2．（2017北京）（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．3．（2016北京）（Ⅰ）∵y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x+4，∴当x＝2时，y＝2（e﹣1）+4＝2e+2，即f（2）＝2e+2，同时f′（2）＝e﹣1，∵f（x）＝xe a﹣x+bx，∴f′（x）＝e a﹣x﹣xe a﹣x+b，则，即a＝2，b＝e；（Ⅱ）∵a＝2，b＝e；∴f（x）＝xe2﹣x+ex，∴f′（x）＝e2﹣x﹣xe2﹣x+e＝（1﹣x）e2﹣x+e＝（1﹣x+e x﹣1）e2﹣x，∵e2﹣x＞0，∴1﹣x+e x﹣1与f′（x）同号，令g（x）＝1﹣x+e x﹣1，则g′（x）＝﹣1+e x﹣1，由g′（x）＜0，得x＜1，此时g（x）为减函数，由g′（x）＞0，得x＞1，此时g（x）为增函数，则当x＝1时，g（x）取得极小值也是最小值g（1）＝1，则g（x）≥g（1）＝1＞0，故f′（x）＞0，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间．4. （2015北京）（1）因为f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x．（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣2（x），则g'（x）＝f'（x）﹣2（1+x2），因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）＝0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）对x∈（0，1）恒成立．当k ＞2时，令h （x ）＝f （x ），则h '（x ）＝f '（x ）﹣k （1+x 2），所以当时，h '（x ）＜0，因此h （x ）在区间（0，）上单调递减．当时，h （x ）＜h （0）＝0，即f （x ）．所以当k ＞2时，f （x ）并非对x ∈（0，1）恒成立．综上所知，k 的最大值为2． 6. （2013北京）（Ⅰ）lnxy x=∴21lnxy x -'=l ∴的斜率1|1x k y =='= l ∴的方程为1y x =-证明：（Ⅱ）令()(1)f x x x lnx =--，(0)x > 曲线C 在直线l 的下方，即()(1)0f x x x lnx =-->，则1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--=()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又f （1）0= (0,1)x ∴∈时，()0f x >，即1lnxx x <- (1,)x ∈+∞时，()0f x >，即1lnxx x<- 即除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方7. （2012北京）（1）2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()3g x x b '=+，23k b =+，由(1,)c 为公共切点，可得：23a b =+① 又f （1）1a =+，g （1）1b =+，11a b ∴+=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（2）由题设24a b =，设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12ax =-，26a x =-；0a >，∴a a-<-，∴原函数在(,)2a -∞-单调递增，在(,)26a a --单调递减，在(,)6a -+∞上单调递增①若12a--，即02a <时，()h x 在(-∞，1]-递增，无最大值； ②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为()12ah -=；③若16a --时，即6a 时，最大值为()12ah -=．综上所述：当(0a ∈，2]时，无最大值；当(2,)a ∈+∞时，最大值为()12ah -=．8. （2011北京）（Ⅰ）22211()2()()()x x xkk k f x x k e x k e x k e k k'=-+-=-，令()0f x '=，得x k =±当0k >时，()()f x f x '随x 的变化情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-，和(,)k +∞，单调递减区间是(,)k k -；当0k <时，()()f x f x '随x 的变化情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是(,)k -∞，和(,)k -+∞，单调递增区间是(,)k k -；（Ⅱ）当0k >时，有11(1)k kf k ee++=>，不合题意，当0k <时，由()I 知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k f k e-=，∴任意的(0,)x ∈+∞，1()f x e，241()k f k e e ⇔-=，解得102k -<，故对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e ，k 的取值范围是102k -<．9. （2010北京）()I 当2k =时，21()(1),()121f x ln x x x f x x x'=+-+=-++ 由于3(1)(2),(1)2f ln f '==所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 32(1)2y ln x -=-．即322230x y ln -+-=1()()1(1)1II f x kx x x'=-+>-+ 当0k =时，()1x f x x'=-+ 因此在区间(1,0)-上，()0f x '>；在区间(0,)+∞上，()0f x '<；所以()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞；当01k <<时，(1)()01x kx k f x x +-'==+，得1210,0kx x k-==>；因此，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，()0f x '>；在区间1(0,)kk -上，()0f x '<；即函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间为1(0,)kk-；当1k =时，2()1x f x x'=+．()f x 的递增区间为(1,)-+∞当1k >时，由(1)()01x kx k f x x +-'==+，得1210,(1,0)kx x k-==∈-；因此，在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，()0f x '>，在区间1(,0)k k-上，()0f x '<；即函数()f x 的单调递增区间为1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间为1(,0)kk-．。

2014届高考数学(文科)名师指导(原创题、押题练、练中提能)【专题7】函数与导数【3】及答案

1．(交汇新)已知函数f(x)＝a ln x ＋bx 2图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x －y －3＝0.(1)求函数y ＝f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)＝f(x)＋m －ln 4，若方程g(x)＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2上恰有两解，求实数m 的取值范围．2．(背景新)已知函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋bx ，a ，b ∈R .(1)曲线C ：y ＝f (x )经过点P (1,2)，且曲线C 在点P 处的切线平行于直线y ＝2x ＋1，求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下试求函数g (x )＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )－73x (m ∈R ，m ≠0)的极小值；(3)若f (x )在区间(1,2)内存在两个极值点，求证：0＜a ＋b ＜2.[历炼]1．解析：(1)当x ＝1时，f(1)＝2x －3＝－1.又∵ f ′(x)＝a x ＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a ＋2b ＝2，f (1)＝b ＝－1⇒a ＝4，b ＝－1.∴y ＝f(x)＝4ln x －x 2.(2)g(x)＝f(x)＋m －ln 4＝4ln x －x 2＋m －ln 4，令g(x)＝0，得m ＝x 2－4ln x ＋ln 4，则此方程在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2上恰有两解．记φ(x)＝x 2－4ln x ＋ln 4，φ′(x)＝2x －4x ＝2x 2－4x ＝2(x ＋2)(x －2)x＝0，得 x ＝2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2. 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，2上，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；在(2，2)上，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，又φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e 2＋4＋2ln 2，φ(2)＝2－4ln 2＋2ln 2＝2，φ(2)＝4－4ln 2＋2ln 2＝4－2ln 2，φ(x)的图象如图所示．由φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞φ(2)，得2＜m ≤4－2ln 2. 故m 的取值范围是(2,4－2ln 2]．2．解析：(1)f ′(x)＝x 2＋2ax ＋b.由题设知：⎩⎨⎧ f (1)＝13＋a ＋b ＝2，f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－23，b ＝73.(2)由(1)知g(x)＝m 3(x 3－2x 2)，g ′(x)＝mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43. 当m ＞0时，g(x)在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43上递减，所以g(x)的极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－3281m ；当m ＜0时，g(x)在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43上递增，所以g(x)的极小值为g(0)＝0.(3)证明：因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，所以f ′(x)＝0，即x 2＋2ax ＋b ＝0在(1,2)内有两个不等的实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝1＋2a ＋b ＞0， ①f ′(2)＝4＋4a ＋b ＞0， ②1＜－a ＜2， ③Δ＝4(a 2－b )＞0. ④由①＋③得a ＋b ＞0，由④得a ＋b ＜a 2＋a ，由③得－2＜a ＜－1.又a 2＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14＜2，∴a ＋b ＜2.故a＋b的取值范围是(0,2)．。

2014届高三数学函数与导数测试题

2014届高三数学函数与导数测试题（理科）2设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则．命题：彭湘辉审题：高养忠考试时间：2013年8月16日．若曲线在点处的切线平行于轴，则．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．x已知函数有零点，则的取值范围是．A0,1,21．已知集合，则集合中元素的个数是( ) a14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9限价以及常数确定实际销售价格，这里，被称为乐观系设是周期为2的函数，当时，,则( ) )3111数.经验表明，最佳乐观系数恰好使得是和的等比中项，据此可得，最佳- (B) (C) (D) 2424x乐观系数的值等于下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( ) 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．322（A）(B) （C）(D) 15．（12分）已知集合，．．给定两个命题若是的必要不充分条件，则是的( )；（2）若，求实数的值．（1）当时，求，Rr (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件已知则( ) 244． A． B． C．x若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则x xxx222．（13分）若函数，当时，函数有极值为．y已知函数若有则（1）求函数的解析式；（2）若有3个解，求实数的取值范围．0.5b的取值范围为( )． A． B． C．x O1．函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则可能是（）（A）4 (B)3 (C) 2 (D) 1 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．1x．02x，已知函数，若,则实数的值等于．19.（14分）定义在正实数集上的函数满足下列条件：f(x)17．（13分）请你为某公司设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经m①存在常数，使得；②对任意实数，当时，恒有．（）过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/、100元/，mm（1）求证：对于任意正实数，；x、问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？（2）证明：在上是单调减函数；f(x)(0，28（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．≤aa（第17题图）18．（14分）已知函数.20．（14分）设函数（是自然对数的底数，）．x f（Ⅰ）若函数的图象在点(1，(1))处的切线方程为，求的单调区间；x（Ⅰ）求的单调区间、最大值；（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数．k（Ⅱ）若函数在为增函数，求实数的取值范围.4 217．2014届高三数学函数与导数测试题（理科）答题卷班级________ 学号________ 姓名___________成绩___________ 一．选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 （第17题图）答案二.填空题： 9. ；10. ；11. ；12．；13. ；14. ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分． 15． 18． 16．6 32014届高三数学函数与导数测试题（理科）参考答案解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为，且，（2分），4一．选择题：CDBA BCBD 则该仓库的侧面总造价（e二.填空题：9. ；10. ；11. ；12．；13. ；14. ，（8分）22三．解答题：本大题共6小题，满分80分．由得，即，（11分）2622R15．（12分）已知集合，．经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．（13分）m；（2）若，求实数的值．（1）当时，求（法二）设圆锥的高为m，且，（2分），5x或，15．解：，（1）当时，，则2则该仓库的侧面总造价（；（2）∵，，∴22，（8分）∴有，解得，此时，符合题意．16．（13分）若函数，当时，函数有极值为．532x由得，（11分）32（1）求函数的解析式；（2）若有3个解，求实数的取值范围．53532经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．（13分）16．解：．＝018．（14分）已知函数.（1）由题意；，解得，∴所求的．f（Ⅰ）若函数的图象在点(1，(1))处的切线方程为，求的单调区间；2（2）由（1）可得．令，得或，（Ⅱ）若函数在为增函数，求实数的取值范围.∴当时，；当时，；当时，．解：（Ⅰ）∵，因此，当时，有极大值；当时，有极小值，22xxx可知，得，428∴函数的图象大致如图．由图可知：．所以,的定义域是，225x5x17．（13分）请你为某公司设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积或故由得，由得，雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，2211且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单（0，），（，2）f(x)所以函数的单调增区间是单调减区间是。

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1 2014年高考数学题分类汇编函数与导数一、选择题 1.【2014·全国卷Ⅰ（理3，文5）】设函数()fx，()gx的定义域都为R，且()fx时奇函数，()gx是偶函数，则下列结论正确的是（） A.()fx()gx是偶函数 B.|()fx|()gx是奇函数

C.()fx|()gx|是奇函数 D.|()fx()gx|是奇函数

【答案】C 2. 【2014·全国卷Ⅰ（理6）】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()fx，则y=()fx在

[0,]上的图像大致为（）

【答案】C 3. 【2014·全国卷Ⅰ（理11，文12）】已知函数()fx=3231axx，若()fx存在唯一的零点0x，

且0x＞0，则a的取值范围为（） A.（2，+∞） B.（-∞，-2） C.（1，+∞） D.（-∞，-1）

【答案】B 4. 【2014·全国卷Ⅱ（理8）】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D

【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+= 5【2014·全国卷Ⅱ（理12）】设函数3sinxfxm.若存在fx的极值点0x满足222

00xfxm

，则m的取值范围是（）

A. ,66, B. ,44, C. ,22, 2

D.,14, 【答案】C。 6.【2014·全国卷Ⅱ（文3）】函数fx在0x=x处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是fx的极值点，则（A）p是q的充分必要条件（B）p是q的充分条件，但不是q的必要条件（C）p是q的必要条件，但不是 q的充分条件 (D) p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】C 7.【2014·全国卷Ⅱ（文11）】若函数()lnfxkxx在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（）（A）,2 （B）,1 （C）2, （D）1, 【答案】D 8. 【2014·全国大纲卷（理7）】曲线1xyxe在点（1,1）处切线的斜率等于（） A．2e B．e C．2 D．1 【答案】C 9. 【2014·全国大纲卷（理12）】函数()yfx的图象与函数()ygx的图象关于直线0xy对称，则()yfx的反函数是（） A．()ygx B．()ygx C．()ygx D．()ygx

【答案】D

10.【2014·全国大纲卷（文5）】函数3ln(1)(1)yxx的反函数是（） A．3(1)(1)xyex B．3(1)(1)xyex C．3(1)()xyexR D．3(1)()xyexR 【答案】D 11.【2014·全国大纲卷（文12）】奇函数()fx的定义域为R，若(2)fx为偶函数，且(1)1f，则(8)(9)ff（） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D

12. 【2014·山东卷（理3）】函数221()(log)1fxx的定义域为

（A）1(0,)2（B）(2,)（C）1(0,)(2,)2（D）1(0,][2,)2

【答案】C 13.【2014·山东卷（文3）】函数21()log1fxx的定义域为（） 3

(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,) (D) [2,) 【答案】C

14.【2014·山东卷（理5）】已知实数,xy满足xyaa（01a），则下列关系式恒成立的是

（A）221111xy （B）22ln(1)ln(1)xy （C）sinsinxy （D）22xy 【答案】D 15.【2014·山东卷（文5）】已知实数,xy满足(01)xyaaa，则下列关系式恒成立的是 (A) 33xy (B) sinsinxy

【答案】A 16.【2014·山东卷（文6）】已知函数log()(,0,1)ayxcacaa为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是

(A) 0,1ac (B) 1,01ac (C) 01,1ac (D) 01,01ac

【答案】D 17.【2014·山东卷（文9）】对于函数()fx，若存在常数0a，使得x取定义域内的每一个值，都有()(2)fxfax，则称()fx为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) ()fxx (B) 3()fxx (C) ()tanfxx (D) ()cos(1)fxx

【答案】D

18.【2014·山东卷（理6）】直线4yx与曲线3yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）22（B）42（C）2（D）4 【答案】D 19.【2014·山东卷（理8）】已知函数()|2|1fxx，()gxkx，若()()fxgx有两个不相

xEO 4

等的实根，则实数k的取值范围是（A）1(0,)2（B）1(,1)2（C）(1,2)（D）(2,) 【答案】B 20.【2014·安徽卷（理6）】设函数(fxxR)满足()fxfxsinx.当0x时，0fx，则236f



( )

A.12 B.32 C.0 D.12 【答案】A； 21.【2014·安徽卷（文、理9）】若函数()12fxxxa的最小值3，则实数a的值为（） A. 5或8 B. 1或5 C. 1或4 D. 4或8 【答案】D. 22.【2014·安徽卷（文5）】设3log7a，3.32b，3.30.8c，则（） A. bac B. cab C. cba D. acb 【答案】B 23.【2014·浙江卷（理6，文8）】已知函数32()fxxaxbxc 且0(1)(2)(3)3fff，则（）

A.3c B.63c C.96c D. 9c 【答案】C 24.【2014·浙江卷（理7，文8）】在同意直角坐标系中，函数xxgxxxfaalog)(),0()(的图像可能是（）

【答案】D 25.【2014·浙江卷（理10）】设函数21)(xxf，),(2)(22xxxf|2sin|31)(3xxf，99,,2,1,0,99iiai，记|)()(||)()(||)()(|98991201afafafafafafIkkkkkkk，

.3,2,1k则

A.321III B. 312III C. 231III D. 123III

【答案】B 5

26.【2014·北京卷（理2）】下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是（） .1Ayx 2.(1)Byx .2xCy

0.5.log(1)Dyx

【答案】A 27.【2014·北京卷（文2）】下列函数中，定义域是R且为增函数的是（） A.xye B.yx C.lnyx D.yx 【答案】B。 28.【2014·北京卷（文6）】已知函数26logfxxx，在下列区间中，包含fx零点的区间是（） A.0,1 B.1,2 C.2,4 D.4, 【答案】C 29.【2014·天津卷（理4）】函数212log4fxx的单调递增区间是（）

A．()0,+¥ B.(),0-¥ C. ()2,+¥ D.(),2-? 【答案】D. 【解析】函数fx的定义域为,22,。由于12logyu在0,上单调递减，而

24ux

在区间,2上单调递减，故(),2-?为函数yfx的单调递增区间，选D.

30.【2014·天津卷（文4）】设2logap=，12logbp=，2cp-=，则（）（A）abc>> （B）bac>> （C）acb>> （D）cba>> 【答案】C.

31.【2014·福建卷（理4，文8）】若函数log(0,1)ayxaa且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）

【答案】B 32.【2014·福建卷（理7，文8）】已知函数0,cos0,12xxxxxf则下列结论正确的是（） A.xf是偶函数 B. xf是增函数 C.xf是周期函数 D.xf的值域为,1 【答案】D