广义积分中值定理的推广与应用
微积分中值定理的统一及推广
微积分中值定理的统一及推广1. 微积分中值定理的基本概念微积分中值定理是一个重要的定理，它指出在一个函数在某一区间内取得最大值或最小值时，该函数在该区间的中点处的值必然是最大值或最小值。
它的统一及推广可以用来求解曲线上任意一点的最大值或最小值，从而求解函数的极值问题。
2. 微积分中值定理的推导过程首先，假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在这个区间上可导。
由于函数f(x)在[a,b]上连续，所以存在某一点$c \in (a,b)$，使得：$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$由于函数f(x)在[a,b]上可导，所以存在某一点$c \in (a,b)$，使得：$$f'(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f'(x)dx$$由此可得：$$f(c)-f(a)=f'(c)(b-a)$$即：$$f(c)=f(a)+f'(c)(b-a)$$以上就是微积分中值定理的推导过程。
3. 微积分中值定理的推广微积分中值定理的推广包括对函数的推广以及对定理的推广。
对函数的推广是指将函数的变量从一个变量推广到多个变量，这样就可以求解更复杂的函数。
对定理的推广则是将微积分中值定理的范围从一元函数推广到多元函数，使得定理可以应用到更复杂的函数中。
4. 微积分中值定理的应用微积分中值定理的应用可以被用来证明很多函数的性质，例如，它可以用来证明函数的最大值和最小值，以及函数的极值点。
此外，它还可以用来证明函数的单调性，以及函数的增减性。
此外，它还可以用来证明函数的拐点，以及函数的曲线是否是凸函数或凹函数。
最后，它还可以用来证明函数的极限值，以及函数的连续性。
5. 微积分中值定理的统一性微积分中值定理的统一性可以概括为：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则存在c∈[a,b]，使得f(c)=（f(a)+f(b)）/2。
这一定理可以推广到高次多项式函数，即在任意n次多项式函数f(x)在闭区间[a,b]上连续时，存在c∈[a,b]，使得f(c)=f(a)+f(b)+f(a+b)+...+f(a+(n-2)b)/n。
微积分中的积分中值定理与极限定理的应用
微积分中的积分中值定理与极限定理的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的导数和积分，以及两者之间的关系。
微积分在很多领域都有广泛的应用，比如物理、工程、经济学等。
在微积分中，积分中值定理和极限定理是非常重要的概念。
它们不仅是理论基础，而且在实际应用中也具有重要作用。
本文将重点介绍积分中值定理和极限定理的应用。
一、积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中一条重要的定理，它是求解积分的一种方法。
在积分运算中，很多时候我们需要求解一个函数在一定区间的平均值。
这个平均值可以用积分中值定理来得到。
积分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
下面我们分别来介绍一下它们的应用。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为第一中值定理，它是由法国数学家拉格朗日（Lagrange）在18世纪发现的。
该定理的表述如下：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)这里的c就是在区间[a,b]上的某个中间值。
我们可以通过拉格朗日中值定理来求一个函数在某个区间上的平均值。
例如，假设我们要求函数y=√x在区间[1,4]上的平均值。
首先，我们可以将该函数在该区间上的积分表示出来：∫1^4√xdx然后，我们可以用拉格朗日中值定理求出积分的值。
根据该定理，存在一个点c∈(1,4)，使得：∫1^4√xdx=√4-√1/(4-1)=√3因此，y=√x在区间[1,4]上的平均值为√3。
2.柯西中值定理柯西中值定理是由法国数学家柯西（Cauchy）在19世纪发现的，它是拉格朗日中值定理的推广。
该定理的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)这里的c仍然是在区间[a,b]上的某个中间值。
关于积分中值定理的教学探讨
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依赖于积分区间， 而且还依赖于极限式中自变量 , 的趋近方式。
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平顶山工学院学报
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第 !- 卷第 . 期
王东霞等： 关于积分中值定理的教学探讨
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积分中值定理的应用研究
积分中值定理的应用研究
颜雷
【期刊名称】《科学与财富》
【年(卷),期】2010(000)011
【摘要】积分中值定理及其推广定理的应用十分广泛.本文深入分析了积分中值定理的性质及其一般推广,并举例说明了其一般应用.
【总页数】2页(P60-61)
【作者】颜雷
【作者单位】杭州师范大学钱江学院,310012
【正文语种】中文
【相关文献】
1.广义积分中值定理与积分中值定理“中间点”渐近性基本定理
2.微分中值定理和定积分中值定理的相关性
3.拉格朗日中值定理与积分中值定理的关系
4.微分中值定理与积分中值定理的逆定理
5.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进
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积分的广义积分
积分的广义积分数学中的积分是一种非常重要的运算，通常被定义为计算函数下方某个区间内的面积。
但是，在实际问题中，有时候我们需要计算无限区间或不连续函数等情况的积分，这时候就需要用到广义积分。
广义积分的概念粗略而言，广义积分就是把无限区间上的积分或不连续函数的积分看做是一种极限的处理方式。
因此，广义积分的概念比起普通积分来说是更加宽泛和复杂的。
在广义积分的概念中，最重要的就是无限区间的积分。
对于一个实函数f(x)，如果它在一个无限区间[a, ∞)上是有界的，并且在除有限多个点以外的所有点处都连续，那么可以定义其广义积分为：$ \int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{T\rightarrow\infty}\int_a^Tf(x)dx$其中，T是无限区间中的一个有限值。
类似地，可以定义在(-∞, b]上的广义积分为：$ \int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{T\rightarrow-\infty}\int_T^bf(x)dx$同时，如果一个函数f(x)在一些点处不连续，但是在这些间断点的“左右极限”都存在，则可以定义其在这个区间[a, b]上的广义积分为：$ \int_a^b f(x)dx =\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\epsilon}^b f(x)dx +\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_a^{b-\epsilon} f(x)dx$其中，$\epsilon>0$表示一个无限小量。
需要注意的是，广义积分并不是所有情况下都有意义的。
如果一个函数在无限区间上的积分或在某些点上的积分不收敛，则广义积分不存在。
比如下面这个函数：$f(x) = \frac{1}{x}, x\in[1,+\infty)$它在无限区间上的积分就不存在。
广义积分的性质广义积分并不是所有求和规则适用，因此它具有一些特殊的性质。
广义积分中值定理
Ｋ—ｍ ａ ｘ ｛ Ｉ ｍ １ ， ｌ Ｍ Ｉ ）
ｌ ｆ （ ｘ ） ｇ （ ｘ ） ｄ ｘ一 （ ） Ｉ ｇ （ ｘ ） ｄ ｘ
２ ） 若 Ｉ ｇ （ ｘ ） ｄ ｘ ＞０ ， 因 ≤－ 厂 （ ｚ ） ≤ Ｍ及ｇ 在区间［ ｎ ， ＋。 。 ） 上非负， 所以 ｍ ｇ （ ｚ ） ≤厂 （ Ｌ ｚ ） ｇ （ ） ≤
从 而 对 任 意 的 ＞ ｎ ， ｆ ｕ ｇ （ ｚ ） ｄ ｚ 一 ０ ， 则 ｆ ｇ （ ｚ ） ｄ ． ｚ 一 ０ ， 与 假 设 ｒ 。 。 ｇ （ ｚ ） ｄ ｌ ｚ ＞ ０ 矛 盾 ， 所 以 必 有 Ｍ —
Ｍ一厂 （ ｚ ）＞ ０
ｚ Ｅ［ ｎ ， ＋ｃ ｏ ）
由ｌ 厂 （ ｚ ） ｇ （ ｚ １ ） ｄ ｘ —Ｍｌ ｇ （ ） ｄ ｘ ， 得到 ｌ ［ Ｍ一厂 （ ） ］ ｇ （ ｚ ） ｄ ｘ一０ ． 注意到被积函 数非负， 所以对任意
的“ ＞ａ ， 都有 Ｉ ［ Ｍ一－ 厂 （ ｚ １ ） ］ ｇ （ ｚ ） ｄ ｘ一０ ．
Ｍｇ（ ） ，于是 对任 意 ∈ （ 口 ， ＋。 。 ） ， 有
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Ｉ ｇ （ ｘ ） ｄ ｘ ≤Ｉ 厂 （ ｚ ） ｇ （ ｚ ） ｄ ｘ ≤Ｍｌ ｇ （ ｘ ） ｄ ｘ
√ 口 √ 口
令 一 ＋ 。 。 ， 得
ｒ 十∞ ｒ ＋ｏ 。 ｒ ＋∞
xbbjb8wucn第38卷定理5无界函数广义积分的第二中值定理设函数厂在n6上非负递减b为g的瑕点且瑕积分r6lgxdx收敛则存在e口6使得jor6gzdxjdjd证由阿贝尔判别法知ifxgxdx收敛
第３ ８卷 第 ８期
关于积分中值定理的初探
关于积分中值定理的初探韩静静（咸阳师范学院数学与信息科学学院陕西咸阳712000）摘要中值定理是数学上常见到的一个性质，其结果表现形式多种多样。
积分中值定理是数学分析课程中的基本定理之一，也是微积分学中最基本而且最重要的定理之一。
通过对积分中值定理的研究学习，可以对一些问题的背景、定理结论及其证明思路与相关知识点的联系有清楚的把握。
本文主要讨论积分中值定理的证明、推广及其应用。
关键词：中值定理;推广;应用Initially searches about the integral theorem of meanHan Jingjing(Department of mathematics of Xian yang normal university Xian yang Shaanxi 712000) Abstract：Value theorem is a mathematical common to a property, which led to the forms. Integral value theorem is a mathematical analysis course in one of the fundamental theorem of calculus, and it is the most basic and most important theorems. Through the integration of the mean value theorem of learning, can some of the background and theory and proof of concept and related knowledge points of contact have a clear grasp. This article focuses on the integration of the mean value theorem proving, promotion and application.Key words: mean value theorem; promotion; application引言积分中值定理是《数学分析》教材中得重要内容，其重要意义以体现在对其内容的理解有助于对积分概念进一步深化和理解。
积分第二中分定理推广
积分第二中分定理推广
同学们，今天要一起走进一个超级有趣的数学世界，这个世界里有一个很厉害的东西，叫做积分第二中值定理的推广。
大家都知道，在我们的数学课本里，很多定理就像一个个小魔法。
积分第二中值定理原本就像一个小魔法师，能帮我们解决很多关于积分的问题。
比如说，有一个长长的图形，我们想知道它的面积，这个定理就像一把神奇的尺子，可以量出这个面积来。
那这个定理推广之后，就像是小魔法师学会了更厉害的魔法。
就好比我们在玩搭积木的游戏，原来我们只能用一种形状的积木搭一个小房子，现在有了这个推广后的定理，就像我们有了好多不同形状的积木，可以搭出各种各样超级酷炫的建筑。
我给大家举个例子。
假如我们有一个很奇怪的曲线，它不是那种规规矩矩的圆形或者方形，而是弯弯扭扭像小蛇一样。
如果我们想要计算这个曲线和坐标轴围成的面积，普通的方法可能就有点吃力了。
但是有了积分第二中值定理的推广，就像有了一个超级导航仪，能轻松地带着我们算出这个面积。
又比如说，我们在计算一些关于速度和时间的问题时。
如果速度的变化是很复杂的，不是那种一直快快慢慢很有规律的。
这个时候，这个推广后的定理就像一个聪明的小助手，能很快地算出总路程，就像它知道每一个小时间段里汽车到底跑了多远，然后把这些距离都加起来。
所以，积分第二中值定理的推广就像一个神奇的宝藏，给我们的数学学习带来了更多的乐趣和可能。
同学们，一起好好探索这个宝藏，会发现数学的世界里有好多好多的惊喜等着我们。
积分型中值定理的推广及统一表示
积分型中值定理的推广及统一表示陈玉【摘要】通过减弱连续的条件,推广了一类积分型中值定理,在适当的条件下,用一个式子将Lagrange中值定理、Cauchy微分中值定理、积分型Cauchy中值定理、积分中值定理、积分第一中值定理、Lagrange型积分中值定理、Cauchy型积分中值定理及推广的积分第一中值定理这8个中值定理统一起来.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)002【总页数】5页(P61-65)【关键词】积分中值定理;微分中值定理;原函数【作者】陈玉【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌330022【正文语种】中文【中图分类】O172.2积分中值定理在微积分理论中占有十分重要的地位.近年来，人们利用微分中值定理证明积分中值定理，对积分中值定理与微分中值定理的内在联系及形式上的统一进行了不少研究，如文献[1-7].其中，文献[5]探讨了积分型中值定理的统一表示的问题，利用Rolle定理推广了文献[8-9]中的积分型Cauchy中值定理的形式，在适当的条件下，将Lagrange中值定理、Cauchy微分中值定理、积分型Cauchy中值定理、积分中值定理和积分第一中值定理用一个式子统一表示出来，得到了一类连续函数的积分型中值定理；文献[6]将连续的条件减弱，利用微分中值定理得到了Lagrange型积分中值定理，Cauchy型积分中值定理，分别推广了积分中值定理与文献[8-9]中的积分型Cauchy中值定理；文献[7]利用Cauchy中值定理，通过减弱被积函数乘积因子连续的条件，推广了积分第一中值定理，得到了文献[5]推论4的推广形式.本文将进一步研究积分中值定理与微分中值定理形式上的统一问题.通过减弱文献[5]中连续的条件，进一步推广积分型中值定理，在适当的条件下，不但将Lagrange中值定理、Cauchy微分中值定理、积分型Cauchy中值定理、积分中值定理、积分第一中值定理，而且将Lagrange型积分中值定理、Cauchy型积分中值定理及推广的积分第一中值定理这8个中值定理用一个式子统一表示，进一步揭示了积分中值定理与微分中值定理之间的内在联系，有助于人们深入地理解这些中值定理间的关系，所得结果推广了文献[5-8]的结果.为后面讨论的方便，先将有关定理叙述如下.定理1[5] 设p(x)，q(x)，r(x)在[a，b]上连续，∀x∈[a，b]，q(x)，r(x)≠0，则存在ξ∈(a，b)，使得推论1[5] 在(1)式中，当p(x)=f′(x)， q(x)， r(x)=1时，∃ξ∈(a，b)，使得推论2[5] 在(1)式中，当p(x)=f′(x)，q(x)=g′(x)， r(x)=1时，∃ξ∈(a，b)，使得如果取p(x)=f(x)， q(x)=g(x)， r(x)=1，则(1)式为推论3[5] 在(1)式中，当p(x)=f(x)， q(x)=r(x)=1时，∃ξ∈(a，b)，使得推论4[5] 在(1)式中，当p(x)=f(x)， q(x)=1， r(x)=g(x)时，∃ξ∈(a，b)，使得定理2[6](Lagrange型积分中值定理) 设f(x)在[a，b]上可积，且在[a，b]上有原函数，则存在ξ∈(a，b)，使得定理3[6](Cauchy型积分中值定理) 设f(x)，g(x)在[a，b]上可积，且在[a，b]上有原函数，g(x)≠0(a<x<b)，那么存在ξ∈(a，b)，使得定理4[7] 设f(x)在[a，b]上连续，g(x)在[a，b]上可积且有原函数，g(x)≠0(a<x<b)，则存在ξ∈(a，b)，使得下面给出本文的主要结论.定理5 设p(x)，q(x)，r(x)在[a，b]上可积，且在[a，b]上有原函数，q(x)，r(x)≠0(a<x<b)，则∃ξ∈(a，b)，使得由于可积但不连续的函数也可以有原函数[1]，而连续函数必可积且有原函数，因此定理5的条件比定理1更弱，定理1成为定理5的一个推论，从而进一步推广了积分型中值定理.定理5的证明需要以下引理.引理1[10] 设f(x)在[a，b]上可积，且f(x)>0，x∈[a，b]，则.引理2[11] 设f(x)，g(x)均为定义在[a，b]上的有界函数，若仅在[a，b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f(x)在[a，b]上可积时，g(x)在[a，b]上也可积，且引理3 设f(x)在[a，b]上可积，且f(x)>0，x∈(a，b)，则.证设引理4[12] 若f(x)在闭区间[a，b]上可积，且在[a，b]上有原函数，φ(x)在[a，b]上可积且不变号，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得下面给出定理5的证明.证设r(x)在[a，b]上的原函数为R(x)，R′(x)=r(x).由条件r(x)≠0(a<x<b)知，r(x)必在[a，b]上恒大于0或恒小于0.否则，若∃x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，使得推论5 在定理5中，当p(x)=f′(x)，q(x)，r(x)=1时，∃ξ∈(a，b)，使得推论6 在定理5中，当p(x)=f′(x)，q(x)=g′(x)， r(x)=1时，∃ξ∈(a，b)，使得推论7 在定理5中，当p(x)=f(x)，q(x)=r(x)=1时，∃ξ∈(a，b)，使得推论8 在定理5中，当p(x)=f(x)， q(x)=g(x)， r(x)=1时，则∃ξ∈(a，b)，使得在定理5中，令p(x)=f(x)， q(x)=1， r(x)=g(x)，即得推论9 设f(x)，g(x)在[a，b]上可积，且在[a，b]上有原函数，g(x)≠0(a<x<b)，那么∃ξ∈(a，b)，使得推论9进一步推广了积分第一中值定理，减弱了定理4[7]中f(x)在[a，b]上连续的条件，改进了定理4.定义如果对任意的x∈[a，b]，f(x)>0或对任意的x∈[a，b]，f(x)<0，称函数f(x)在[a，b]上严格不变号.从定理5的证明过程中可以看出以下结论成立：推论10 设f(x)在[a，b]上有原函数，且f(x)≠0(a<x<b)，则f(x)在[a，b]上严格不变号.在推论9中，g(x)≠0(a<x<b)的条件比要求函数g(x)不变号的条件要强些.通过以上推论5-9以及它们与推论1-4的关系，我们看到，通过加强函数的某些条件，可以把微积分学中主要的中值定理及其推广形式统一在定理5的一个式子中，这也揭示了它们之间的内在联系.。
广义积分
§ 6.7 广义积分一. 广义积分我们所讨论的定积分⎰ba dx x f )(都是以有限区间],[b a ，有界函数（特别是连续函数）)(x f 为前提。
广义积分指： 1. 无限区间上的积分 设)(x f ∈C [)+∞,a ，而⎰+∞→bab dxx f )(lim 存在，其极限称为)(x f 在[)+∞,a 上的广义积分。
此时说广义积分⎰∞+adx x f )( 存在或收敛，若极限不存在，就说广义积分⎰∞+adx x f )(不存在或发散。
类似可定义广义积分⎰∞-b dx x f )(=⎰∞-→b aa dx x f )(lim而⎰∞+∞-dx x f )(=⎰∞+a dx x f )(+⎰∞-adx x f )(⎰+∞∞-dx x f )(收敛⇔⎰∞+adx x f )(与⎰∞-adx x f )( 都收敛。
例1 求广义积分 dx xex⎰∞+-02解 dx xex⎰∞+-02dx xe b xb ⎰-∞+→=02lim)](21[lim 22x d eb xb --=⎰-∞+→21][lim 212|0-=-=-+∞→bxb e例2 当a 取何值时，广义积分 ⎰∞+1axdx 收敛？解：当a 1≠时，)1(11][1111111|--=-==---⎰⎰ababababaxadx xxdx⎪⎩⎪⎨⎧<∞+>-=--=∴-∞+→∞+⎰发散）收敛）(1,(1,11)1(11lim11a a a baxdx ab a当a =1时，时发散。
当时收敛，当积分（发散）1 1≤>∴∞+==⎰⎰∞+∞+∞+a a xdx x xdx a111||]|[ln）到广义积分收敛，且收敛解计算例ππππ(2)2(arctan limarctan lim1lim1lim1111.30222222=+--=+-=+++=+++=++∞+→∞-→∞+→∞-→∞+∞-∞+∞-∞+∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ba xdxx dxx dx x dxxdx xdx b a bb a a)0()(lim)(lim)(,)(lim c b][a,)()0()(lim )(,)(lim ,),[)()()())0(,)(lim()(],[)()0()(lim,)(,],()(.2122,10201cx 000>+=∞=>=∞=∈>=>∞→→∈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+→→→-→-→+→+→+εεεεεεεεεεεεεεεc abc ba b ab a bx ba ba ba ba ba dxx f dx x f dxx f x f x f dx x f dx x f x f b a C x f dx x f dx x f dx x f dxx f b a x f dx x f x f ax b a C x f 则广义积分外均连续，而上除点在当广义积分则而类似，若不存在或发散。
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广义积分中值定理的推广与应用
作者：李元玉
来源：《教育教学论坛》2012年第45期
摘要：广义积分中值定理是数学分析中的一个重要定理，对微分中值定理、曲线和曲面积分中值定理等的认识有很大帮助.本文根据广义积分中的广义积分和积分中值定理的定义和相关性质，扩展到广义积分中值定理中，重点在单调区间上的广义积分中值定理、带有参数的广义积分中值定理、广义Riemann积分中的推广这三方面进行探讨.
关键词：广义积分；积分中值定理；广义积分中值定理
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0164-03
1 广义积分
1.1 第一类广义积分
设函数f（x）在区间[a，b]上可积，则称■f（x）dx为第一类广义积分[1]，且当■■f（x）dx存在时，称该广义积分收敛，反之称之为发散。
同理，有■f（x）dx属于第一类广义积分形式，而■f（x）dx由双向极限（a→-∞，且
b→+∞）确定其收敛性，属第一类双边广义积分。
1.2 第二类广义积分
设f（x）在x=a右侧领域内无界（x=a称为f（x）的一个奇点），？坌X∈（a，b]，f （x）在[X，b]上可积，则称■f（x）dx为第二类广义积分[1]，且当■■f（x）dx存在时称■f （x）dx收敛，反之极限不存在时，称广义积分■f（x）dx发散。
被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而无界函数反常积分■f（x）dx 又称为瑕积分。
类似上述描述可有积分上限为奇点的第二类广义积分，甚至可有[a，b]内有奇点x=c的广义积分■f（x）dx称为第二类广义积分。
2 积分中值定理
2.1 积分中值定理及其几何意义
积分中值定理[1]：若f在[a，b]上连续，则至少存在一点ζ∈[a，b]，使得■f（x）dx=f （ξ）（b-a）.积分中值定理的几何意义：若f在[a，b]上非负连续，则y=f（x）在[a，b]上的曲边梯形面积等于以f（ξ）为高，[a，b]为底的矩形面积。
■■f（x）dx理解为f（x）在区间[a，b]上所有函数的平均值。
2.2 积分中值定理的推广
推广[2]函数f（x）在[a，b]可积，m，n∈R，且m≤1≤n，则存在ξ，η∈[a，b]，使：
■f（x）dx=m■f（x）dx+n■f（x）dx （2.2.1）
■f（x）dx=n■f（x）dx+m■f（x）dx （2.2.2）
3 广义积分中值定理
3.1 广义积分中值定理
广义积分中值定理[3]：设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且g（x）在[a，b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=f（ξ）■g（x）dx.当g（x）≡1时，即为积分中值定理.
引理[4]设函数f（x）在[a，b]上连续，g（x）在[a，b]上可积且不变号，则必存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=f（ξ）■g（x）dx.
（或存在0
特别地，当时g（x）≡1，结论为：存在ξ∈[a，b]使■f（x）dx=f（ξ）（b-a）.
（或存在0
3.2 广义积分中值定理的简单应用
例.■■（1-x2）ndx；
解：（1）对任意ε>0（ε
■（1-x2）ndx=■（1-x2）dx+■（1-x2）ndx
其中0≤■（1-x2）dx≤■dx
0≤■（1-x2）dx=（1-ξ2n）n（1-δ）
[ξn∈（0，1）]
因■（1-δ2）n+1=0，故对■>0，存在N，当n>N时，
有0≤■（1-x2）ndx
■（1-x2）ndx+■（1-x2）ndx
表明：■■（1-x2）ndx=0
3.3 广义积分中值定理的推广
3.3.1 在单调区间上的广义积分中值定理
定理1[1] 设函数f（x）在[a，b]上可积，且函数g（x）在[a，b]上减，g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=g（a）■f（x）dx ξ∈[a，b] （3.3.1）
定理2[1] 设函数f（x）在[a，b]上可积，且函数g（x）在[a，b]上增，g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得■f（x）g（x）dx=g（b）■f（x）dx η∈[a，b]
定理3[1] 设函数f（x）在[a，b]上可积，若g（x）为单调函数，则存在ξ∈[a，b]，使得：■f（x）g（x）dx=g（a）■f（x）dx +g（b）■f（x）dx
3.3.2 带有参数的广义积分中值定理
定理4 设f（x）在[a，b]上单调递增且非负，g（x）在[a，b]可积，n∈R且n≥1，则存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=nf（b）■g（x）dx
定理5 设f（x）在[a，b]上单调递减且非负，g（x）在[a，b]可积，n∈R且n≥1，则存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=nf（b）■g（x）dx
3.3.3 在广义Riemann积分中的推广
定理6 （关于无限区间上广义函数的广义积分中值定理）设f（x）在半直线[a，+∞]上有界连续，g（x）是[a，+∞]上的非负函数，且■g（x）dx0必存在一有限点ξ∈[a，+∞）满足■f （x）g（x）dx-f（ξ）■g（x）dx
定理7[5] （关于无界函数的广义积分中值定理）设f（x）在区间（0，c]上连续有界，g （x）在（0，c]上非负（无界）即：■g（x）dx0，必存在一点ξ∈（0，c]使■f（x）g（x）dx-f （ξ）■g（x）dx
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].高等教育出版社，2001.
[2]刘宁.强化积分中值定理结论，使其更具应用性[J].金华职业技术学院学报，2004，6（2）：50-52.
[3]闫彦综.关于积分中值定理的推广[J].牡丹江大学学报，2003，2（2）：68-69.。