19.2特殊的平行四边形课时练
19.2 特殊的平行四边形—菱形(1)
1 2
BD平分∠ABC、 BD平分∠ABC、∠ADC 平分
A
O
5 6 3 4 7 8
D
C
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O， 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O ABCD的对角线AC 相交于点 如图。 如图。
第十九章
平行四边形
19.2 特殊的平行四边形
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级下册
19.2.2 菱形的性质
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级下册
两次， 将一张矩形的纸对折两次，然后 沿图中的虚线剪下， 沿图中的虚线剪下，得到一个直角三 角形，打开即得到一个四边形。 角形，打开即得到一个四边形。
1.菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD的边 1.菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD的边 菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD 长是 5cm ； 2.下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） 2.下面性质中菱形有而矩形没有的是（ 下面性质中菱形有而矩形没有的是 （A）邻角互补 （B）四个角都为直角 （C）对角线相等 （D）对角线互相垂直
A O B C D
∴AC⊥BD，AC平分∠ ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD 平分
同理： AC平分 BCD； 平分∠ 同理： AC平分∠BCD； BD平分 ABC和 平分∠ BD平分∠ABC和∠ADC
菱形是特殊的平行四边形，既具有平行四边 的平行四边形， 形的所有性质，又具有自己的特殊性质：
八年级数学下册特殊的平行四边形课时练
八年级数学下册特殊的平行四边形课时练课时一矩形1·矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A ·对边相等B ·对角相等C ·对角互补D ·对角线平分2·直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（ ） A ·26 B ·13 C ·8·5 D ·6·53·矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AB=5,12,cm BC cm =则△ABO 的周长为等于 ·4· 如图所示，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠， 使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6， 则AF 等于 （ ）A ·34B ·33C ·24D ·８5· 如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 ．6·已知矩形的周长为40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长 的差为8cm ，则较大的边长为 ·7· 如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE AC ⊥于E ，CF BD ⊥于F 。
求证BE=CF 。
8· 如图所示，E 为□ABCD 外，AE ⊥CE,BE ⊥DE ， 求证：□ABCD 为矩形9·已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：S △PBC =S △PAC +S △PCD 理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．ABC DEF 第4题图 AB CD EFO第5题图第7题图 第8题图图l ∵ S△PBC+S△PAD=12BC·PF+12AD·PE=12BC（PF+PE）=12BC·EF=12S矩形ABCD又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=12S矩形ABCD∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD．∴ S△PB C=S△PA C+S△P CD．请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S△PB C、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．图2 图310·如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F·(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论·课时一答案：1·C；2·D，提示：由勾股定理求得斜边为：1351222=+，斜边的中线长为5.6213=；3·18，提示：AB=5,BC=12,AC=13,cmACABOBOAABLABO18513=+=+=++=∆；4·A，提示：DE=3,AB=AE=6,在直角三角形ADE中，∠DAE=30 ，由折叠的性质得∠BAF=∠EAF=30,设BF=x，则AF=2x，342,32,36422====-xAFxxx；5·3；6·14；7证明：∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,BO=CO,∵BE AC⊥,CF BD⊥,∴∠BEO=∠CFO=90 ,又∵∠BOE=∠COF第10题图则∆∆BOE COF ≅ ∴BE=CF8·连接AC 、BD ，AC 与BD 相交于点O ，连接OE 在□ABCD 中，AO=OC,BO=DO · 在DEB Rt ∆中，OE=BD 21, 在AEC Rt ∆中，OE=AC 21,∴BD=AC, ∴□ABCD 为矩形· 9· 猜想结果：图2结论S △PBC =S △PAC +S △PCD ； 图3结论S △PBC =S △PAC -S △PCD 证明：如图2，过点P 作EF 垂直AD ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点． ∵ S △PBC =12BC·PF=12BC·PE+12BC·EF=12AD·PE+12BC·EF=S △PAD +12S 矩形ABCD S △PAC +S △PCD =S △PAD +S △ADC =S △PAD +12S 矩形ABCD∴ S △PBC =S △PAC +S △P CD10· (1)证明：∵MN ∥BC ，∴∠BCE =∠CEO 又∵∠BCE =∠ECO∴∠OEC =∠OCE ，∴OE =OC ,同理OC =OF ，∴OE =OF(2)当O 为AC 中点时，AECF 为矩形，∵EO =OF (已证)，OA =OC ∴AECF 为平行四边形，又∵CE 、CF 为△ABC 内外角的平分线 ∴∠EOF =90°，∴四边形AECF 为矩形 课时二菱形1· 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的 中点，则下列式子中一定成立的是（ ） A ．AC=2OE B ．BC=2OE C ．AD=OE D ．OB=OE2· 如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（ ） A ·四边形ABCD 是平行四边形B ·AC ⊥BDC ·△ABD 是等边三角形D ·∠CAB ＝∠CAD3· 如图，如果要使ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．4· 菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为 。
2019-2020年八年级数学课时练：特殊四边形
【考点链接】1. 特殊的平行四边形的之间的关系：我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。
如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。
那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。
2. 特殊的平行四边形的性质3. 特殊的平行四边形的判别条件4. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．DC B AOE5.如图，在等腰梯形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点． 试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由；6.如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，若要使矩形AECF 成为正方形，则△ABC 需满足的条件是________。
ABCEF M NOB C【自我挑战】7．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为___________8．如图，抛物线232y ax x =--与x 轴正半轴交于点(30)A ，，以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF ． （1）求a 的值． （2）求点F 的坐标．A EPB C9.如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边OC 、OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（O 、C 、F 三点在x 轴正半轴上）.若⊙P 过A 、B 、E 三点(圆心在x 轴上)，抛物线c bx x y ++=241经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1. （1）求B 点坐标；（2）求证：ME 是⊙P 的切线；（3）设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝t，S△ACQ＝s，直接写出．．．．s与t之间的函数关系式.图甲图乙（备用图）24.解：（1）如图甲，连接PE 、PB ，设PC ＝n∵正方形CDEF 面积为1∴CD ＝CF ＝1根据圆和正方形的对称性知OP ＝PC ＝n ∴BC ＝2PC ＝2n ………1分而PB ＝PE ，22222254n n n PC BC PB =+=+=1)1(2222++=+=n EF PF PE∴2251)1(n n =++解得n=1 (21-=n 舍去) ……………2分 ∴BC ＝OC ＝2 ∴B 点坐标为（2，2）………3分 （2）如图甲，由（1）知A （0，2），C （2，0） ∵A ，C 在抛物线上∴2412++=bx x y ∴23-=b ∴抛物线的解析式为223412+-=x x y 即41)3(412--=x y ∴抛物线的对称轴为3x =,即EF 所在直线 ∵C 与G 关于直线3x =对称， ∴CF ＝FG ＝1 ∴FM ＝21FG ＝21在Rt △PEF 与Rt △EMF 中EF PF ＝2，221:1==FM EF ∴EF PF =FMEF∴△PEF ∽△EMF …………5分 ∴∠EPF ＝∠FEMPEM ＝∠PEF +∠FEM ＝∠PEF +∠EPF ＝90°∴ME 与⊙P 相切……………………………………………………………………6分 （注：其他方法，参照给分）（3）①如图乙，延长AB 交抛物线于A '，连A C '交对称轴x=3于Q ，连AQ则有AQ ＝A 'Q ，△ACQ 周长的最小值为（AC +A 'C ）的长……………………………7分∵A 与A '关于直线x=3对称∴A （0，2），A '（6，2）图甲P∴A 'C ＝522)26(22=+-，而AC =222222=+…………………8分∴△ACQ 周长的最小值为5222+ ……………………………9分②当Q 点在F 点上方时，S ＝t+1 ……10分当Q 点在线段FN 上时，S ＝1-t ……11分当Q 点在N 点下方时，S ＝t-1 ……12分【关键词】正方形的性质、待定系数法、二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】解：（1）∵抛物线232y ax x =--与x 轴正半轴交于点(30)A ，∴把(30)A ，的坐标代入232y ax x =--得：9a -3-23=0∴a =21(2)设正方形BDEF 的边长为x ，则D （3+x ，3）∵点D 在抛物线上∴32333212=-+-+）（）（x x 解这个方程得：x 1=210-，2102--=x （不合题意，舍去）F (3，110+)。
19.2平行四边形(第一课时)
平行四边形的有关概念
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形的表示：平行四边形用符号“□ “表示。
如图1所示，平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作”平 行四边形ABCD”。
A
B
注意：顶点字母按顺时针或逆时针方向来排列。
对边： AB与CD，AD与BC
B
图3
C
（2）由（1）知 ∠AEB=∠ABE=40°, ∴∠A=180°－ (40°＋40°)=100° ∵∠C=∠A（平行四边形的对角相等） ∴∠C=100°
练一练：
1.如图，AB∥EF∥DC,AD∥GH∥BC, A E
D
那么图中共有__9__个平行四边形。 G
K
H
BF
C
2.填一填：在□ABCD中，AB=a，BC=b，∠B=60°，那么
平行四边形。 （2）性质定理1 平行四边形的对边相等。 （3）性质定理2 平行四边形的对角相等。 （4）推论1 夹在两条平行线间的平行线段相等。 （5）推论2 平行线间的距离处处相等。
布置作业 & 课后反馈
课堂作业：习题20.2 2、3题 家庭作业：习题20.2 第1题
对角： ∠A与∠C， ∠B与∠D
D
邻角： ∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠D，∠D与∠A 等。（平行四边形的邻角互补）
C 图1
实验操作 & 猜想性质
画一画：你能根据定义快速地画一个平行四边形吗？
量一量：用刻度尺和量角器测量一下你所画的平行四边
形的对边和对角，你发现了什么？
推理论证 & 归纳性质
例2.已知：如图4，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行
19.2平行四边形的判定定理(2)
如图 A( 3, 2 ), B( 1, 1), C( 3, 2 ), D(1, 1)
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
3, 2 ) 与 C( 3, 2 )关于原点O对称
A(
y
D
B( 1, 1) 与 D(1, 1) 关于原点O 对称
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ 连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
A
E O F
D
B
C
讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？ 大概的步骤是怎样的？
例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且AE=CF。
大 显 身 手
B
求证：四边形BFDE是平行四边形 证明： 连接对角线BD，交AC于点O
A
E
O F
D
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO ∵AE=CF ∴AO－AE=CO－CF ∴EO=FO
19.2平行四边形的判定（2）
A
D
平行四边形有哪些性质？
B
C
Ⅰ.边: 平行四边形对边平行且相等 Ⅱ.角:
平行四边形对角相等、邻角互补
Ⅲ. 对角线: 平行四边形对角线互相平分.
我们学过平行四边形有哪些判定方法？
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相四边形是否还有其它的方法？
方法四该如何证明？
A
O B C D
A
D
B
C
已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， 且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ, 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明∵在三角形AOD与三角形COB中
∵ AO=CO,OD=OB,∠AOD=∠COB
新课标人教版初中数学八年级下册第十九章19.2特殊的平行四边形--正方形的判定-精品课件
练习1：判断 （1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 （6）四边相等，有一角是直角的四边形是 正方形
例2 已知：在正方形ABCD中，A′、B ′、C ′、 D ′分别从顶点A、B、C、D沿AB、BC、CD、 DA方向同时以同样速度向B、C、D、A移动。
D
M
A
E
F
C
N
B
练习2（2019年山东省济南市中考试题）如图，是 一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由5种颜色 不同的正方形组成。设中间最小的一个正方形边 长为1，则这个矩形的面积是
练习4 （2019年陕西省中考题）如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，BF平行 于DE。若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5： 2，求阴影部分的面积。
例题3：已知正方形ABCD中，Q在CD上，且 DQ=QC,P在BC上，AP=CD+CP; 求证：AQ 平分∠DAP.
证明：延长AQ交BC延长线与E,
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD,AD∥CD;
A
D
∴∠D=∠QCE,∠DAQ=∠E, 又∵DQ=CQ,
Q
∴⊿ADQ≌⊿ECQ (AAS).
∴∴ACDD==CCEE,,又∴AADP==CCDD,+CP=CE+CP=EPB.
①AE与BF相等吗？为什么？
②AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
练习7：如图，已知正方形ABCD中，
E、F分别为BC和DC上的点，且
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数学：19.2特殊的平行四边形
课时一矩形
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等 C.对角互补 D.对角线平分
2.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（ ）
A.26 B.13 C.8.5 D.6.5
3.矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB=5,12,cmBCcm则△ABO的周长为等于
.
4. 如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，
使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，
则AF等于 （ ）
A.34 B.33 C.24 D.８
5. 如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，23ABBC，，
则图中阴影部分的面积为 ．
6.已知矩形的周长为40cm，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长
的差为8cm，则较大的边长为 .
7. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F。
求证BE=CF。
8. 如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE，
求证：□ABCD为矩形
9.已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P
作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．
A
B
C
D
E
F
第4题图
A
B
C
D
E
F
O
第5题图
第7题图
第8题图
课时二菱形
1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的
中点，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．AC=2OE B．BC=2OE
C．AD=OE D．OB=OE
2. 如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（ ）
A.四边形ABCD是平行四边形
B.AC⊥BD
C.△ABD是等边三角形
D.∠CAB＝∠CAD
3. 如图，如果要使ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．
4. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为 。
5.□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；②AB=BC;③AC平分∠BAD；
④AO=DO，使得□ABCD是菱形的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为 .
7. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1)AB=CD；(2)AB∥CD；(3)OA=OC；(4)OB=OD；
(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。如
(1)(2)(5)ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________ABCD是菱形；________ABCD
是菱形。
8. 如图所示，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交
AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.
9..□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，
四边形AFCE是否是菱形？为什么？
10.. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB
的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
第1题图
A
B
C
D
第2题图
A
D
C B
第3题图
第10题图
第8题图
第9题图
课时三正方形
1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BD
C.AD∥BC，∠A=∠C D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
2. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）
A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+62
3. 已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件
即可).
4. 下列命题中的假命题是( )．
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.
6.
如图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各
边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形的面积是 ．
7. 如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，
则∠EAC＝___度．
8. 已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，
F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；
(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
9如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
第6题图
A 第7题图 B C D
E
第8题图
第9题图
10. 把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如
图）．试问线段HG与线段HB相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．
（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比．
（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E•运动到CE：
ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过
程）；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题（根据提出的问题给附加分，•最多4分，计入
总分，但总分不超过120分）．
D C
A
B
G
H
F
E
第10题图