云南省德宏州潞西市高中数学1.3函数的基本性质2(2)函数奇偶性的应用教学案(无答案)新人教A版必修1
函数的奇偶性教案
函数的奇偶性教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数奇偶性的概念；（2）学会判断函数的奇偶性；（3）能够运用函数的奇偶性解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，探索函数的奇偶性；（2）利用函数的奇偶性进行函数图像的变换。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）激发学生对数学的兴趣，提高学习积极性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数奇偶性的概念及其判断方法；（2）函数奇偶性在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）函数奇偶性的判断方法；（2）函数奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习已学过的函数性质，如单调性、周期性等；（2）提问：同学们，你们知道函数还有其他的性质吗？2. 探究新知：（1）介绍函数奇偶性的概念；（2）通过示例，让学生观察、分析、归纳函数的奇偶性；（3）引导学生掌握判断函数奇偶性的方法。
3. 典例分析：（1）分析函数f(x)=x^3的奇偶性；（2）分析函数f(x)=|x|的奇偶性；（3）分析函数f(x)=sinx的奇偶性。
4. 练习巩固：（2）运用函数的奇偶性解决实际问题。
四、课堂小结本节课，我们学习了函数的奇偶性，掌握了判断函数奇偶性的方法，并能够在实际问题中运用。
希望大家能够继续努力学习，不断提高自己的数学能力。
五、课后作业2. 运用函数的奇偶性解决实际问题：已知函数f(x)=x^2+1的图像关于y轴对称，求函数f(x)在x=-1时的值；3. 探究函数的奇偶性与单调性的关系。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论函数奇偶性的性质，以及如何判断一个函数的奇偶性。
2. 案例分析：通过具体的函数例子，让学生理解并掌握函数奇偶性的判断方法。
3. 互动提问：教师提出问题，引导学生思考并回答，以检查学生对函数奇偶性的理解和掌握程度。
七、教学评价1. 课堂问答：通过提问学生，检查他们对函数奇偶性的概念和判断方法的理解。
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性学案(含解析)新人教版必修1
1.3.2 奇偶性学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).知识点 函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(1)对于函数y ＝f (x )，若存在x ，使f (－x )＝－f (x )，则函数y ＝f (x )一定是奇函数.( ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.( )提示 (1)× 反例：f (x )＝x 2，存在x ＝0，f (－0)＝－f (0)＝0，但函数f (x )＝x 2不是奇函数；(2)× 存在f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数，又是偶函数；(3)× 函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈R 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数.题型一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0.解 (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数.(2)∵函数f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x )＝0， 又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数.(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x ).综上可知，对于任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法：(2)图象法：【训练1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1.解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称.又∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)f (x )的定义域是R ，关于原点对称.又∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数.(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数.题型二奇、偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).规律方法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象.2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小.解f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，由图象知，f(2)<f(4).考查题型三函数奇偶性的应用方向【例3－1】 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，若f (－3)＝10，则f (3)＝( ) A.26 B.18 C.10D.－26解析 法一 由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8， 得f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx . 令G (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＝f (x )＋8， ∵G (－x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x ) ＝－(x 5＋ax 3＋bx )＝－G (x )， ∴G (x )是奇函数，∴G (－3)＝－G (3)， 即f (－3)＋8＝－f (3)－8.又f (－3)＝10， ∴f (3)＝－f (－3)－16＝－10－16＝－26. 法二 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＝（－3）5＋a （－3）3＋b （－3）－8，①f （3）＝35＋a ·33＋b ·3－8，② ①＋②得f (3)＋f (－3)＝－16， 又f (－3)＝10，∴f (3)＝－26. 答案 D方向2 利用奇偶性求参数值 【例3－2】 若函数f (x )＝（x ＋1）（x ＋a ）x为奇函数，则a ＝________.解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即（－x ＋1）（－x ＋a ）－x＝－（x ＋1）（x ＋a ）x，显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，解得a ＝－1. 答案 －1方向3 利用奇偶性求函数的解析式【例3－3】 已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式.解 设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝2(－x )－1＝－2x －1. 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝2x ＋1.又f (x )(x ∈R )是奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.规律方法 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )可求函数值，比较f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )的系数可求参数值.2.利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x ).课堂达标1.下列函数是偶函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1，1]解析 对于A ，f (－x )＝－x ＝－f (x )，是奇函数；对于B ，定义域为R ，满足f (x )＝f (－x )，是偶函数；对于C 和D ，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B.答案 B2.若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 f (－x )＝(m －1)x 2－(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)，f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)，由f (－x )＝f (x )，得m －2＝0，即m ＝2. 答案 B3.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12. 答案 124.如图，已知偶函数f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝0，则不等式f (x )<0的解集为________.解析 由条件利用偶函数的性质，画出函数f (x )在R 上的简图(如图).数形结合可得不等式f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，435.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，求f (x )的解析式.解 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )＝x －1.当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，0，x ＝0，x －1，x <0.课堂小结1.定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0).3.应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，利用f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )对函数值及函数解析式进行转换.基础过关1.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称解析 ∵f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝－1x＋x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x－x 是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称，故选C.答案 C2.设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f (x )g (x )是偶函数B.|f (x )|g (x )是奇函数C.f (x )|g (x )|是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数解析 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴|f (x )|为偶函数，|g (x )|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x )|g (x )|为奇函数，故选C. 答案 C3.一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图，下列说法正确的是( )A.这个函数仅有一个单调增区间B.这个函数有两个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值是7D.这个函数在其定义域内有最小值是－7解析 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出在[－7，7]上的图象，如图所示，可知：这个函数有三个单调增区间；这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7；这个函数在其定义域内最小值不是－7.故选C.答案 C4.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数， 则a －4＝0，即a ＝4. 答案 45.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f (2)＝－3，则m 的值为________.解析 因为f (x )是奇函数，f (2)＝－3，所以f (－2)＝－f (2)＝3，即f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，解得m ＝12.答案 126.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3xx 2＋3； (2)f (x )＝(x －1)x ＋1.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－3xx 2＋3＝－f (x )，故f (x )是奇函数.(2)f (x )的定义域为[－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.7.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1. (1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间. 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1. 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1. 当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x <0.(2)作出函数图象，如图所示.由函数图象易得函数的增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.能力提升8.定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2为( )A.奇函数B.偶函数C.奇函数且为偶函数D.非奇函数且非偶函数解析 f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2＝4－x2（x －2）2－2，由⎩⎨⎧4－x 2≥0，（x －2）2－2≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， 所以f (x )＝4－x 2（2－x ）－2＝－4－x2x ，易得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数. 答案 A9.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.－12D.12解析 依题意得：f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.故选B.答案 B10.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.解析 在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，即f (1)＋g (1)＝1. 答案 111.函数f (x )为R 上的偶函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝________. 解析 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1). 因为函数f (x )为R 上的偶函数， 故f (x )＝f (－x )＝x (x ＋1). 答案 x (x ＋1)12.判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1（x >0），x 3＋3x 2－1（x <0）的奇偶性. 解 函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ①当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )3＋3(－x )2－1＝－x 3＋3x 2－1＝－(x 3－3x 2＋1)＝－f (x ). ②当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )3－3(－x )2＋1＝－x 3－3x 2＋1＝－(x 3＋3x 2－1)＝－f (x ). 由①②知，当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时， 都有f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.13.(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c (a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值.解 ∵函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).因此，有ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c，∴c ＝－c ，即c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .由f (2)<3，得4a ＋1a ＋1<3，即a －2a ＋1<0，解得－1<a <2.∵a ，b ，c ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1. 当a ＝0时，b ＝12∉Z (舍去).当a ＝1时，b ＝1.综上可得，a ＝1，b ＝1，c ＝0.。
2021学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2第2课时函数奇偶性的应用课件新
较系数可解．
1．函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，那么a＝______. 解析：因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 即ax2－2x＝－ax2－2x， 由对应项系数相等得，a＝0. 答案：0
( )1 A.3
B．23
C．34
D．2
思路点拨：(1)偶函数f(x)的定义域为[a－1,2a]，那么a－1 与2a有什么关系？(a－1与2a互为相反数，即(a－1)＋2a＝0)
(2)函数f(x)为偶函数，那么f(－x)与f(x)有什么关系？(f(－x) ＝f(x)，即f(x)－f(－x)＝0)
解析：因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋ 2a＝0，
函数的奇偶性与单调性
设 定 义 在 [ － 2,2] 上 的 奇 函 数
f(x)在区间[0,2]上单调递减，假设f(m)＋f(m－1)>0，求实
数m的取值范围． 思路点拨：
fm＋ fm－1>0
→
f1－m<fm
→
列不等式组
→ 解得m的范围
解：由 f(m)＋f(m－1)>0，得 f(m)>－f(m－1)，即 f(1－m)<f(m)． 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴ f(x)在[－2,2]上为减函数．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用的条件，结合函数的奇偶性，把不等式转化为 f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f〞求 解． (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调 性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数 自身定义域对参数的影响．
函数的性质奇偶性教案(3篇)
第1篇课时：2课时年级：高一教材：人教版高中数学必修1教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 通过实例，感受函数奇偶性与现实生活中的对称性之间的联系。
3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学重点：1. 函数奇偶性的概念及判断方法。
2. 函数奇偶性与图像对称性之间的关系。
教学难点：1. 理解函数奇偶性的定义。
2. 正确运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾函数的概念，引导学生思考函数与对称性之间的关系。
2. 展示生活中具有对称性的实例，如建筑物、花卉等，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 介绍函数奇偶性的概念，强调奇函数、偶函数、非奇非偶函数的定义。
2. 通过实例分析，让学生理解函数奇偶性的几何意义。
3. 讲解判断函数奇偶性的方法，包括定义法、图像法、解析式法等。
三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的例题，巩固所学知识。
2. 教师选取一些具有代表性的题目，进行讲解和指导。
四、总结1. 总结本节课所学内容，强调函数奇偶性的定义和判断方法。
2. 强调函数奇偶性与图像对称性之间的关系。
第二课时一、复习1. 复习上一节课所学内容，检查学生对函数奇偶性的理解程度。
2. 学生分享自己解决函数奇偶性问题的经验。
二、新课讲授1. 讲解函数奇偶性的性质，包括奇函数、偶函数的性质。
2. 通过实例分析，让学生理解函数奇偶性在解决实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取一些具有挑战性的题目，进行讲解和指导。
四、总结1. 总结本节课所学内容，强调函数奇偶性的性质和应用。
2. 鼓励学生在生活中发现具有对称性的现象，运用所学知识进行分析。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对函数奇偶性的掌握程度。
2. 关注学生在解决问题时的思维过程，培养其逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学反思：1. 本节课的教学目标是否达成？2. 教学方法是否合理？是否激发了学生的学习兴趣？3. 学生在学习过程中遇到的问题有哪些？如何改进教学方法？4. 如何将函数奇偶性与现实生活中的问题相结合，提高学生的应用能力？第2篇一、教学目标1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法，并能利用奇偶性解决实际问题。
云南省德宏州梁河县高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大
1.3.1单调性与最大（最小）值 一、学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会划分函数的单调区间，判断单调性（重点、难点）； 2.会用定义证明函数的单调性（重点）．
二、课前学习 阅读教材第27 页至 29 页内容，完成下面问题： 1、函数f(x)的增减性（根据定义画出增减函数的图像） 增函数 减函数
定义 对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
x1 2)
x1 2)
图象 自左向右图象是___________ 自左向右图象是___________ 注：增函数：x1 fx1－fx2x1－x2______0（同号增） 减函数：x1 f(x2) (x1－x2)____ 0 2.用定义证明/判断函数单调性步骤 ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________
三、例题与变式 例1 （课本29页例1 ）； 变式1 （课本32页练习第3题） 例2 （课本29页例2）； 变式2 （课本32页练习第4题） 写出变式题的解答过程 变式1 变式2
四、目标检测（时间：5分钟） 1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
五、课堂小结
六、课后配餐 A组 1.课时精练80页1、2、3、4题 2.课本39页A组第2题 B组 1.课时精练80页6题 2.课时精练80页第12题 C组 1.课本A组题第3题
高二数学教案函数的性质与应用
高二数学教案函数的性质与应用高二数学教案：函数的性质与应用引言：在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
它以一种明确的方式描述了不同变量之间的关系，并且在解决实际问题时具有广泛的应用。
本教案将重点介绍函数的性质与应用，帮助学生深入理解函数的概念和意义。
第一部分：函数的定义与性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
数学上，我们通常用 f(x) 表示函数，其中 f 代表函数的名称，x 表示自变量，f(x) 表示函数对应的函数值。
1.2 函数的性质1) 定义域与值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是函数值可能取值的集合。
通过确定函数的定义域与值域，我们可以更好地理解函数的范围和限制。
2) 单调性与增减性：函数的单调性描述了函数值的变化趋势，它可以分为递增和递减两种情况。
增减性则是函数在各个区间的单调性性质。
3) 奇偶性：奇函数在定义域内满足 f(-x) = -f(x)，偶函数在定义域内满足 f(-x) = f(x)。
奇偶性对于函数图象的对称性有重要影响。
4) 周期性：周期函数具有以固定间隔重复的模式，这些模式称为周期。
周期性函数在函数图象上呈现出明显的重复特征。
第二部分：函数的应用2.1 函数的建模函数在实际问题中有广泛的应用，其中一项重要的应用是函数的建模。
通过观察问题的背景和要求，我们可以将实际问题抽象成数学模型，进而建立相应的函数关系。
例如，一个人行走的距离和时间之间的关系可以用线性函数来建模，而一个物体的下落高度和时间之间的关系可以用二次函数来建模。
2.2 函数的极值与最值极值与最值是函数应用中常见的概念。
极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值，而最值则指的是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
通过求解导数为零的点，我们可以确定函数的极值点，并通过对比函数值得出最值。
2.3 函数的解析式与图像的关系函数的解析式提供了一种直观的函数表达方式，而函数的图像则可以更好地展示函数的性质与特点。
度高中数学第一章集合与函数的概念1.3函数的基本性质1.3.2第二课时函数奇偶性的应用习题课课件新人教A版必
(C)既是奇函数又是偶函数
(D)既不是奇函数又不是偶函数
2.(奇偶性与单调性)已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则(
)
(A)f(1)>f(2) (B)f(1)<f(2)
(C)f(1)=f(2) (D)以上都有可能
A
3.(由奇偶性求值)已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+ 1 ,则f(-1)
解:(1)函数f(x)在[-1,1]上单调递增,证明如下: 由题意,设x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,则x1-x2<0, 因为x,y∈[-1,1],x+y≠0 有(x+y)·[f(x)+f(y)]>0. 令x=x1,y=-x2,所以f(x1)+f(-x2)<0. 因为函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,所以f(x1)-f(x2)<0, 所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增.
第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)
课标要求:1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶 性与单调性分析,解决较简单的问题.
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1.(奇偶性判断)若函数f(x)= (A)偶函数
1, x 0, 1, x 0,
则f(x)为(
B
)
(B)奇函数
变式探究2:本例中函数的值域是什么?
解:由于 f(x)= x 在(-1,1)上是增函数, 1 x2
且 f(-1)=- 1 ,f(1)= 1 ,
2
2
所以函数值域为(- 1 , 1 ). 22
方法技巧 利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2) 或f(x1)<f(x2)的形式,再利用单调性脱掉“f ”求解. (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等 式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.
函数奇偶性的教案
函数奇偶性的教案【篇一：《函数的奇偶性》教案】1.3.2《函数的奇偶性》一、教材分析1．教材所处的地位和作用“奇偶性”是人教a版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的及数、三角函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
2．学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．3．教学目标基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标：【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。
2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。
【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。
【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。
从课堂反应看，基本上达到了预期效果。
4、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义。
几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。
他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。
因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。
因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。
在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。
难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。
由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。
因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。
部编版2020学年高中数学第一章1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性学案含解析新人教A版必修014
1．3.2 奇 偶 性[提出问题]已知函数(1)f (x )＝x 2－1，(2)f (x )＝－1x，(3)f (x )＝2x 的图象分别如图所示：问题1：各个图象有怎样的对称性？提示：题图(1)关于y 轴对称；题图(2)(3)关于坐标原点对称．问题2：对于以上三个函数，分别计算f (－x )，观察对定义域内的每一个x ，f (－x )与f (x )有怎样的关系？提示：(1)f (－x )＝f (x )；(2)f (－x )＝－f (x )；(3)f (－x )＝－f (x )．[导入新知]偶函数奇函数定义 一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数定义域关于原点对称图象 特征理解函数的奇偶性应关注四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x ，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇(偶)函数．(2)函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y ＝x 2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.(4)若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f (x )＝0，x ∈D ，D 是关于原点对称的实数集．判断函数的奇偶性[例1] (1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x 3＋3x ，x ∈[－4,4)； (3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0.[解] (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以函数f (x )＝x 3＋3x ，x ∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|－|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －2|－|－x ＋2|＝|x ＋2|－|x －2|＝－(|x －2|－|x ＋2|)＝－f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|－|x ＋2|是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－1＝－f (x )．综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0是奇函数．[类题通法]判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f (x )的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f (x )为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )． ③下结论．若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数； 若f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数；若f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，则f (x )为非奇非偶函数． (2)图象法：f (x )是奇(偶)函数的等价条件是f (x )的图象关于原点(y 轴)对称．(3)性质法：①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [活学活用]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋4x，x >0，－x 2－x ＋4x，x <0.解：(1)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为R.因为对于任意的x ∈R ，都有f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )， 所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－－x2－－x ＋4－x ＝x 2＋x ＋4x＝f (x )；当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x2＋－x ＋4－x ＝－x 2－x ＋4x＝f (x )．综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋4x，x >0，－x 2－x ＋4x，x <0是偶函数.利用函数奇偶性的定义求参数[例2] (1)若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )A.12 B.23 C.34D ．1(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________；(3)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.[解析] (1)要使函数式有意义，则x ≠－12，且x ≠a ，而函数f (x )为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此得a ＝12，经验证当a ＝12时，函数f (x )是奇函数．(2)因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(3)由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. [答案] (1)A (2)13 0 (3)0[类题通法]由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． [活学活用]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋x ，即ax 2＋x ＝x 2＋x ，∴a ＝1. 答案：1利用函数的奇偶性求解析式[例3] 2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数f (x )的图象．[解] (1)由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0. 当x ＜0时，－x ＞0.∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )] ＝－x 2－2x .综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ＞0，0， x ＝0，－x 2－2x ， x ＜0.(2)f (x )的图象如图所示．[类题通法]利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．[活学活用]已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，求x ∈(－∞，0) 时，f (x )的解析式． 解：设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1. ∴f (－x )＝x 2－x －1. ∵函数f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )． ∴f (x )＝x 2－x －1.∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2－x －1.3.函数的单调性与奇偶性的综合问题[典例] (12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．[解题流程][活学活用]设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．解：由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f (x )在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3， 即3a －2>0，解得a >23，∴a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a >23.[随堂即时演练]1．函数f (x )＝3－x2x的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称 解析：选B 由题意知f (x )＝3－x2x的定义域为[－3，0)∪(0，3]，∴定义域关于原点对称， 又∵f (－x )＝3－x2－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．2．定义在R 上的偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．f (3)>f (－4)<f (－π) B ．f (－π)<f (－4)<f (3) C ．f (3)<f (－π)<f (－4) D ．f (－4)<f (－π)<f (3)解析：选C ∵f (x )在R 上是偶函数， ∴f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)． 而3<π<4，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (3)<f (π)<f (4)，即f (3)<f (－π)<f (－4)． 3．已知函数f (x )＝x ＋mx 2＋nx ＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，则常数m ，n 的值分别为________．解析：由题意知f (0)＝0，故得m ＝0.由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，即－xx 2－nx ＋1＝－xx 2＋nx ＋1，∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1， ∴n ＝0.答案：0,04．设偶函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：因为偶函数的图象关于y 轴对称，所以可根据对称性确定不等式f (x )<0的解集． ∵当x ∈[0,5]时，f (x )<0的解集为{x |2<x ≤5}， 所以当x ∈[－5,0]时，f (x )<0的解集为{x |－5≤x <－2}． ∴f (x )<0的解集是{x |－5≤x <－2，或2<x ≤5}． 答案：{x |－5≤x <－2，或2<x ≤5} 5．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝1x2＋x 2，x ∈(－1,0)∪(0,1]；(2)f (x )＝1－x2|x ＋2|－2.解：(1)因为函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1]，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．(2)由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1， 又∵|x ＋2|－2≠0， ∴x ≠0，∴－1≤x ≤1且x ≠0，∴定义域关于原点对称，且x ＋2>0， ∴f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x .∵f (－x )＝1－－x2－x ＝－1－x2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) A ．y ＝1x2B ．y ＝1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 易判断A，C为偶函数，B，D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.2．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( ) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))解析：选B ∵f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，∴点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)图象上．3．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )A．10 B．－10C．9 D．15解析：选C 由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，又∵f(x)是奇函数，∴f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9，故选C.4．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )A．－26 B．－18C．－10 D．10解析：选A 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．又∵f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10⇒g(－2)＝18.∴g(2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )A．3 B．1C．－1 D．－3解析：选D 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.二、填空题6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．解析：令x <0，则－x >0. ∴f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x . 又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0－x 2－2x ， x <07．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是________．解析：偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，所以函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13 ①或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，2x －1>－13②，解①得12≤x <23，解②得13<x <12.综上，得13<x <23，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 8．设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝________.解析：令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)． 故12＝－12＋f (2)，则f (2)＝1. 令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.令x ＝3，得f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.答案：52三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R. (1)试判断f (x )的奇偶性； (2)若a ＝0时，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1＝f (x )． 当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， 此时f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (a )．∴当a ＝0时，f (x )为偶函数，当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数． (2)当a ＝0时，f (x )＝x 2＋|x |＋1为偶函数， ∴x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，x ＝0时，f (x )min ＝1，∴f (x )min ＝1. 10．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0.解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x1＋x2.(2)证明：任取x 1，x 2且满足－1<x 1<x 2<1， 则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21＝x 2－x 11－x 1x 21＋x 211＋x 22. ∵－1<x 1<x 2<1，∴－1<x 1x 2<1,1－x 1x 2>0. 于是f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x )为(－1,1)上的增函数． (3)f (t －1)<－f (t )＝f (－t )． ∵f (x )在(－1,1)上是增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12.11．已知函数f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )．(1)求f (0)，f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论． 解：(1)令a ＝b ＝0，则f (0×0)＝0×f (0)＋0×f (0)＝0， ∴f (0)＝0.令a ＝b ＝1，则f (1×1)＝f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.(2)f (x )是奇函数．证明如下：∵f (1)＝f ((－1)2)＝－f (－1)－f (－1)＝0， ∴f (－1)＝0. 令a ＝－1，b ＝x ，则f (－x )＝f (－1·x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．12．已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，0)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n. 比较得n ＝－n ，则n ＝0. 又∵f (2)＝53，∴4m ＋26＝53， 解得m ＝2，故实数m 和n 的值分别是2和0.(2)函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数． 证明如下：由(1)可知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .设x 1<x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. 当x 1<x 2≤－1时，x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2－1>0， 则f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数； 当－1<x 1<x 2<0时，x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2－1<0.则f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 故函数f (x )在(－1,0)上为减函数．(A 卷 学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1．设全集U ＝{x ∈Z|－1≤x ≤5}，A ＝{1,2,5}，B ＝{x ∈N|－1<x <4}，则B ∩(∁U A )＝( ) A ．{3} B ．{0,3} C ．{0,4}D ．{0,3,4}解析：选B ∵U ＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B ＝{0,1,2,3}， ∴∁U A ＝{－1,0,3,4}． ∴B ∩(∁U A )＝{0,3}．2．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( )A ．{0,2,3}B ．{1,2,3}C ．{－3,5}D ．{－3,5,9}解析：选D 将A 中的元素－1代入得－3，A 中的元素3代入得5，A 中的元素5代入得9，故选D.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3，x ∈－6，－1，1x ，x ∈[－1，1，x ，x ∈[1，6]，则f (2)等于( )A.22B. 2 C ．7D ．无法确定解析：选B ∵1<2<6， ∴f (2)＝ 2.4．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列结论：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f (x )·f (－x )≤0；④f xf －x＝－1.其中不正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：选A 由奇函数的性质可知①②③正确，④错误，故选A.5．已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝( )A ．8B ．9C ．11D ．10解析：选C ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，f (x )是周期为4的奇函数，∴f (6)＝f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝0.7．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )解析：选A 由于函数y ＝f (x )·g (x )的定义域是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x ＝0处是断开的，故可以排除C ，D ；由于当x 为很小的正数时，f (x )>0且g (x )<0，故f (x )·g (x )<0，可排除B ，故选A. 8．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选D 因为f (x )是偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以f (x )＞f (1)可转化为f (|x |)＞f (1)，又因为x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以|x |＞1，即x ＜－1或x ＞1.9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 由f (x )为奇函数可知，f x －f －x x ＝2f xx<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0.10．设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若对所有的x ∈[－1,1]及任意的a ∈[－1,1]都满足f (x )≤t 2－2at ＋1，则t 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选C 由题意，得f (1)＝－f (－1)＝1. 又∵f (x )在[－1,1]上是增函数， ∴当x ∈[－1,1]时，有f (x )≤f (1)＝1. ∴t 2－2at ＋1≥1在a ∈[－1,1]时恒成立． 得t ≥2，或t ≤－2，或t ＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．当A ，B 是非空集合，定义运算A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ＝{x |y ＝1－x }，N ＝{y |y ＝x 2，－1≤x ≤1}，则M －N ＝________.解析：集合M ：{x |x ≤1}，集合N ：{y |0≤y ≤1}， ∴M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }＝{x |x <0}． 答案：{x |x <0}12．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)＝________. 解析：设g (x )＝ax 3＋bx ，显然g (x )为奇函数， 则f (x )＝ax 3＋bx －4＝g (x )－4，于是f (－2)＝g (－2)－4＝－g (2)－4＝2， 所以g (2)＝－6，所以f (2)＝g (2)－4＝－6－4＝－10. 答案：－1013．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，0≤x ≤3，x 2＋6x ，－2≤x ≤0的值域是________．解析：设g (x )＝2x －x 2,0≤x ≤3，结合二次函数的单调性可知：g (x )min ＝g (3)＝－3，g (x )max ＝g (1)＝1；同理，设h (x )＝x 2＋6x ，－2≤x ≤0， 则h (x )min ＝h (－2)＝－8，h (x )max ＝h (0)＝0.所以f (x )max ＝g (1)＝1，f (x )min ＝h (－2)＝－8. 答案：[－8,1]14．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)＝0，所以f (－2)＝0. 又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数，故f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 故满足f (x )<0的x 的取值范围应为(－2,2)， 即f (x )<0的解集为{x |－2<x <2}． 答案：{x |－2<x <2}三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R. (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1＜x ＜6} ＝{x |1＜x ≤8}．∵∁U A ＝{x |x ＜2或x ＞8}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |1＜x ＜2}．(2)∵A ∩C ≠∅，作图易知，只要a 在8的左边即可， ∴a ＜8.∴a 的取值范围为(－∞，8)．16．(12分)已知集合P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)求集合∁R P ；(2)若P ⊆Q ，求实数m 的取值范围； (3)若P ∩Q ＝Q ，求实数m 的取值范围． 解：(1)∁R P ＝{x |x <－2或x >10}；(2)由P ⊆Q ，需⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为[9，＋∞);(3)由P ∩Q ＝Q 得，Q ⊆P ，①当1－m >1＋m ，即m <0时，Q ＝∅，符合题意；②当1－m ≤1＋m ，即m ≥0时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，得0≤m ≤3；综上得：m ≤3，即实数m 的取值范围为(－∞，3]．17．(12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2. 解：(1)在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1， 则有f (1)＝f (1)－f (1)， ∴f (1)＝0. (2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2＝f (6)＋f (6)， ∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9，即不等式的解集为(－3,9)．18．(12分)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值，并画出函数f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增函数，结合函数f (x )的图象，求实数a 的取值范围；(3)结合图象，求函数f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又∵函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x 2－2x )＝x 2＋2x .又∵当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ，∵对任意x <0，总有x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2. 函数f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0.由图象可知，函数f (x )的图象在区间[－1,1]上的图象是“上升的”， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数． 要使f (x )在[－1，a －2]上是增函数，需有⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]．(3)由图象可知，函数f (x )的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f (1))，最低点是(－1，f (－1))．又因为f (1)＝－1＋2＝1，f (－1)＝1－2＝－1，所以函数f (x )在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1.19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋m x，且此函数的图象过点(1,5)． (1)求实数m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)讨论函数f (x )在[2，＋∞)上的单调性，并证明你的结论． 解：(1)∵f (x )过点(1,5)，∴1＋m ＝5⇒m ＝4. (2)对于f (x )＝x ＋4x，∵x ≠0，∴f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∴f (－x )＝－x ＋4－x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)证明：任取x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－4x 1x 2.∵x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增．20．(12分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3 h 后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s (单位：km)与离家的时间t (单位：h )的函数关系式为s (t )＝－5t (t －13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h 的速度沿原路返回．(1)求这天小张的车所走的路程s (单位：km)与离家时间t (单位：h)的函数解析式； (2)途经一加油站，距离小张家60 km ，求这天小张的车途经该加油站的时间． 解：(1)依题意得，当0≤t ≤3时，s (t )＝－5t (t －13)， ∴s (3)＝－5×3×(3－13)＝150. 即小张家距离景点150 km ，小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)． ∴当3<t ≤8时，s (t )＝150， 小张从景点回家所花时间为15060＝2.5(h)， 故s (10.5)＝2×150＝300. ∴当8<t ≤10.5时，s (t )＝150＋60(t －8)＝60t －330.综上所述，这天小张的车所走的路程 s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5t t －13， 0≤t ≤3，150， 3<t ≤8，60t －330， 8<t ≤10.5.(2)当0≤t ≤3时，令－5t (t －13)＝60得t 2－13t ＋12＝0， 解得t ＝1或t ＝12(舍去)， 当8<t ≤10.5时，令60t －330＝2×150－60＝240，解得t ＝192.答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1．设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2＞4，x ∈N}，B ＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x ＞2，x ∈N}B ．{x |x ≤2，x ∈N}C ．{0,2}D ．{1,2}解析：选C 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B ∩(∁U A )，∁U A ＝{x |x 2≤4，x ∈N}＝{x |－2≤x ≤2，x ∈N}＝{0,1,2}，∵B ＝{0,2,3}，∴B ∩(∁U A )＝{0,2}，选C. 2．函数y ＝2x ＋3＋1－xx的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32<x ≤1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32≤x ≤1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32≤x ≤1且x ≠0D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32≤x <1且x ≠0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，1－x ≥0，x ≠0，∴－32≤x ≤1且x ≠0.3．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0C ．f (x )＝3x 2，g (x )＝(3x )2D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析：选C 选项A 、B 、D 中函数的定义域不同，不是同一函数． 4．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5]，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)解析：选A 因为函数y ＝2x －1在(－∞，1)和[2,5]上都是减函数，故y ∈(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 5．函数f (x )＝x 2＋2ax －b 在(－∞，1)上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选B ∵对称轴是x ＝－a ，∴－a ≥1，∴a ≤－1.6．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1 C. 1D. 3解析：选C 在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，即f (1)＋g (1)＝1.7．若函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (－2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－2)C ．f (－2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 解析：选D ∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，所以f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．8．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选A.9．小明去上学，由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程．如果用纵轴表示与学校的距离d ，横轴表示出发后的时间t ，则下列四个图象中比较符合此人走法的是( )解析：选D t ＝0时，小明在家，与学校的距离d ≠0，因此排除A ，C ；小明先跑后走，因此d 随t 的变化是先快后慢，故选D.10．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析：选C 令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2f (0)＋1，所以f (0)＝－1.令x 2＝－x 1，得f (0)＝f (x 1)＋f (－x 1)＋1，即f (－x 1)＋1＝－f (x 1)－1，所以f (x )＋1为奇函数．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．满足条件{1,2,3}∪A ＝{1,2,3,4,5}的所有集合A 有________个．解析：A ＝{4,5}，{1,4,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．答案：812．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ，－f (x )＝－ax 2－bx ，故x 2－x ＝－ax 2－bx ，所以－a ＝1，－b ＝－1，即a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.答案：013．若f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－∞，2]上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝a ，要使f (x )在(－∞，2]上是减函数，故a ≥2.答案：[2，＋∞)14．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>1.其中，正确的命题是________．解析：由y＝f(x＋1)的图象知y＝f(x)的图象如图所示．∴①正确，②不正确，③不正确，④正确．答案：①④三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求(1)A∪(B∩C)；(2)(∁U B)∪(∁U C)．解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．16．(12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．(1)证明：函数f(x)是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象；(3)写出函数的值域．解： (1)证明：∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|－(x＋1)|＋|－(x－1)|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，∴函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)为偶函数．(2)由x －1＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，f (x )＝－2x ； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2； 当x >1时，f (x )＝2x . ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.f (x )的图象如图所示．(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．17．(12分)已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1.(1)求f (9)，f (27)的值；(2)若f (3)＋f (a －8)<2，求实数a 的取值范围． 解：(1)由原题条件，可得到f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝1＋1＝2， f (27)＝f (3×9)＝f (3)＋f (9)＝1＋2＝3.(2)f (3)＋f (a －8)＝f (3a －24)，又f (9)＝2， ∴f (3a －24)<f (9)． 又函数在定义域上为增函数， 即有3a －24<9，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －24<9，a －8>0，解得8<a <11，∴a 的取值范围为(8,11)．18．(12分)某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y (元)关于通话时间t (分钟)的函数图象；(2)如果一次通话t 分钟(t >0)，写出话费y (元)关于通话时间t (分钟)的函数关系式(可用[t ]表示不小于t 的最小整数)．解：(1)如下图所示．(2)由(1)知，话费y 与时间t 的关系是分段函数． 当0<t ≤3时，话费y 为0.2元；当t >3时，话费y 应为(0.2＋[t －3]×0.1)元．所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2，0<t ≤3，0.2＋[t －3]×0.1，t >3.19．(12分)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝1＋1x －1. (1)求f (2)的值及y ＝f (x )的解析式；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0]上的单调性．解：(1)由函数f (x )为偶函数，知f (2)＝f (－2)＝1＋1－2－1＝23；又x >0时，－x <0，由函数f (x )为偶函数，知f (x )＝f (－x )＝1＋1－x －1＝1－1x ＋1，综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x －1，x ≤0，1－1x ＋1，x >0.(2)在(－∞，0]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1； 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．20．(12分)已知二次函数f (x )满足f (x )－f (x ＋1)＝－2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式 f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的范围； (3)设G (t )＝f (2t ＋a )，t ∈[－1,1]，求G (t )的最大值． 解：(1)令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，代入已知条件，得：⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ，c ＝1，图 1图2∴⎝ ⎛a ＝1，b ＝－1，c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )>2x ＋m 恒成立， 即x 2－3x ＋1>m 恒成立；令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈[－1,1]．则对称轴：x ＝32∉[－1,1]，g (x )min ＝g (1)＝－1，∴m <－1.(3)G (t )＝f (2t ＋a )＝4t 2＋(4a －2)t ＋a 2－a ＋1，t ∈[－1，1]，对称轴为：t ＝1－2a4.①当1－2a 4≥0时，即：a ≤12；如图1：G (t )max ＝G (－1)＝4－(4a －2)＋a 2－a ＋1＝a 2－5a ＋7，②当1－2a 4<0时，即：a >12；如图2：G (t )max ＝G (1)＝4＋(4a －2)＋a 2－a ＋1＝a 2＋3a ＋3，综上所述：G (t )max＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋7，a ≤12，a 2＋3a ＋3，a >12.。
德宏州潞西高中数学对数函数及其性质教学案 必修
芯衣州星海市涌泉学校德宏州潞西中学2021高中数学2.2.2对数函数及其性质教学案A版必修1一、内容及解析1．内容：本节内容是在学习了对数的概念与运算性质后，进一步学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用；研究方法与指数函数性质的研究方法是一样的。
2．解析：由于学生已经学习了指数函数的性质，本节的研究方法与指数函数的性质的研究方法是一样的，因此，在教学时可以类比指数函数图象和性质的研究，引导学生自己研究对数函数的性质。
二、目的及解析1、目的〔1〕理解对数函数的性质，掌握对数函数的图像和性质；〔2〕掌握运用对数函数的单调性比较两个数的大小；理解对数函数在实际生活中的运用；理解同底的对数函数与指数函数互为反函数；〔3〕注重函数思想，等价转化、分类讨论等思想的浸透，进步数学建模才能。
2．解析认识底数a对函数值变化的影响；三、教学问题诊断对数函数的图像和性质是本小节的重点，也是教学的一个难点。
打破难点的关键在于认识底数a对函数值变化的影响。
四、教学支持条件应用根本教学设施教学五、教学过程设计第一课时〔一〕教学根本流程1． 新课导入以课本P67例6为背景引入对数函数，让学生利用生物死亡的年数t 与生物内碳14的含量P的关系logt P =和计算器完成表2-3中的数据。
2．新课探究 问题1你能根据logtP =抽象出对数函数的模型吗？学生：考虑、交流； 教师：板书对数函数的定义： 一般的，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 叫做自变量，函数的定义域是()0,+∞。
问题2对数函数解析式log a y x =中，为什么要求0,1,0a a x >≠>且？师生活动：教师启发学生将对数式log a y x =化回指数式获解。
设计意图：导出对数函数的概念，培养学生的概括归纳才能、抽象思维才能。
问题3我们如何来研究对数函数的性质呢？学生：类比研究指数函数的思路，确定研究对数函数的方法与步骤：通过画一些详细的对数函数的图像，观察、分析、归纳出一般对数函数的图像与性质。
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1
函数奇偶性的应用
教学目标：1.巩固函数的奇偶性含义及几何意义;
2.会利用函数的奇偶性解答一些简单的有关问题
教学重点：函数奇偶性的应用;
教学难点：函数奇偶性与单调性的综合应用
二、预习导学
（一） 知识梳理
1．奇、偶函数代数特征的灵活变通
由f(-x)=-f(x),可得f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)≠0);由f(-x)=f(x),可得f(-x)-f(x)=0或=1(f(x)
≠0).在判定函数的奇偶性方面,有时利用变通后的等式更为方便.
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0,有时可以用这个结论
来否定一个函数为奇函数.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(x).
（二）
1．奇、偶函数在各自对称区间上的单调性如何?
提示:根据奇、偶函数图象的对称性可以推知:奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其
单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
三、问题引领，知识探究
1.奇函数、偶函数的图象有何特点?
提示:奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称.
2..已知函数的部分图象,能否根据函数奇、偶性作出另一部分图象?
提示:可以.利用奇函数、偶函数的对称性作出另一部分图象
.
例1设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,求不等式f(x)<0的解
2
集
.
思路分析:利用奇函数图象的对称性,画出函数f(x)在[-5,0]上的图象,再根据图象写出不等式
f(x)<0的解集.
解:因为函数f(x)是奇函数,所以函数f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.根据f(x)在[0,5] 练习1.如图,给出偶函数f(x)的局部图象,则使f(x)>0的x的集合是 不等式(组)求解. 四、目标检测 2.若函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有两个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( ) 3.已知函数f(x)是偶函数,且x<0时,f(x)=3x-1,则x>0时,f(x)=( ) 答案 1.B 2.C 3.C
上的图象画出在[-5,0]上的图象,如图中虚线所示.由图象知不等式f(x)<0的解集为{x|-2
.
答案:{解析:根据偶函数的图象关于y轴对称,作出y轴右边的部分,由图象得,
使f(x)>0的x的集合是{x|-1
活动与探究
1.若已知函数f(x)的单调性,怎样求解形如f(g(x))
2.若在上述问题的基础上再加上奇偶性与定义域的条件,应如何处理?
提示:应先根据奇偶性化成第1种问题的形式再求解,同时要考虑g(x)与h(x)都应在定义域之
内.
例2定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数,若f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数
a
的取值范围.
思路分析:利用f(x)是奇函数,把f(1-a)+f(1-3a)<0变形为f(1-3a)
解:原不等式化为f(1-3a)<-f(1-a).
∵f(x)是奇函数,∴-f(1-a)=f(a-1).
∴原不等式化为f(1-3a)
∴有解得0
练习2..已知函数y=f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减.若f(a)
解:∵y=f(x)是偶函数,∴f(a)=f(a).
∵f(a)
∴a>2,即a>2或a<-2.
∴实数a的取值范围是a<-2或a>2.
1.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)>0,则a与b的关系是
( )
A.a+b>0 B.a+b<0 C.a+b=0 D.不确定
A.2 B.1 C.0 D.-1
A.3x-1 B.3x+1
C.-3x-1 D.-3x+1
4
五、分层配餐
A组 课本P44 9.10
B组 课本P45 6