(完整版)《方程的根与函数的零点》导学案
名师教学设计《方程的根与函数的零点》完整教学教案
教学设计课题名称：方程的根与函数的零点学科年级：高中数学教材版本:一、教学内容分析本章在粗略估计零点存在域及零点个数上在导数大题中有很深的应用二、教学目标~~1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2.掌握零点存在的判定定理。
三、教学重难点教学重点：零点的概念及零点存在的判定定理教学难点：零点存在的判定定理的理解四、学习者特征分析学生对二次函数基本知识的掌握很薄弱，因此从二次函数的相关习题补充练习开始，逐步加入单调性、指、对运算比较大小等知识，逐步应用零点存在性定理帮助学生掌握该性质的使用。
五、教学过程教师活动一、预习反馈1.一元二次方程加+bx+c=O (川。
) 的解法：判别式△=当4—0,方程有两根，为X\.2 = ----------- ；当A—0,方程有一根，为X。
=------------ ；当4―0,方程无实根。
2.方程加+Z;x+c=()(〃工())的根与二次函数y=ax2+bx+c(a=0)的图象之间有什么关系二、自学与探究(一)自学提示整合教材知识，落实基本能力探究一：函数零点与方程的根的关系1.方程X2-2X-3=O的解为,函数y = x2—2x —3的图象与X轴有个交点，坐标为；2.方程X2-2X+1=0的解为,函数、=工2-2工+1的图象与X轴有个交点，坐标为；3.方程X2-2X +3=O的解为,函数y = x? - 2x + 3的图象与X轴有个交点，坐标为O 预设学生活动设计意图学生通过回顾自主填答练习1 ： ( 1 )函数y = %2—4x +4的零点为;(2)函数y = log? (*-1) - 2 的零点为O小结：方程/(%) = 0有实数根O函数y = /(X)的图象与R轴有交点o函数y = /(x)有零点。
回顾旧知让学生通过探究了解方程有实数根、函数图像与X轴有交点和函数有零点三者之间的联系和区别，以及相互间的切换。
方程的根与函数的零点导学案2
方程的根与函数的零点导学案学习目标 ：1.了解函数的零点与对应方程根，图像与X 轴交点，三者的联系；2. 掌握零点存在的判定定理。
学习要点：1、 会判断函数的零点、方程的根与图像与X 轴交点的关系2、 会利用零点存在定理去解决问题。
学习过程：课前预读：课本P70对数函数定义，P71对数函数性质表，P77幂函数定义回顾练习：1、 已知幂函数f (x )＝x α的图象过(8，14)点，则f (x )＝___________________2、 已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝_________________ 3、 方程2230x x --=的解为新课导学：1、方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为2、反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？3、观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b 0； 在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c 0； 在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d 0结论：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b ______0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.巩固训练：1、函数220y x x =-++的零点为 图象与x 轴有 个交点，对应方程的根___个。
2、函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、函数f(x) =log 2（x+2x-1）的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2) 4、01lg =-x x 有解的区域是（ ）A ．(0,1]B ．(1,10]C ．(10,100]D ．(100,)+∞5x ________.学习小结：① 零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理课外作业：《创新设计》 P69 课后智能提升 1—5用二分法求方程的近似解导学案学习目标 ：1. 能够根据具体函数图象、表格，借用二分法求相应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.学习要点：1、 理解二分法的思路2、 学会运用二分法的思想解决问题。
“方程的根与函数的零点”教学教案设计
方程的根与函数的零点教学教案设计一、教学目标1. 让学生理解方程的根与函数的零点的概念及其联系。
2. 让学生掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用到实际问题中。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 方程的根与函数的零点的概念及其联系。
2. 一元二次方程的求解方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：方程的根与函数的零点的概念及其联系，一元二次方程的求解方法。
2. 教学难点：一元二次方程的求解方法在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究方程的根与函数的零点的关系。
2. 使用多媒体课件，帮助学生直观地理解一元二次方程的求解过程。
3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考方程的根与函数的零点的关系。
2. 讲解概念：介绍方程的根与函数的零点的概念，并解释它们之间的联系。
3. 演示求解过程：利用多媒体课件，演示一元二次方程的求解过程，让学生了解求解方法。
4. 练习与讲解：让学生独立完成练习题，对其中出现的问题进行讲解。
5. 实际问题应用：引导学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
7. 布置作业：布置一些有关方程的根与函数的零点的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对方程的根与函数的零点的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置课后练习题，评估学生对一元二次方程求解方法的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们对于实际问题应用的掌握情况。
七、教学拓展1. 介绍一元二次方程的其他求解方法，如配方法、因式分解法等。
2. 探讨方程的根与函数的零点在实际问题中的应用，如物理学、工程学等领域的应用。
八、教学反馈1. 学生反馈：收集学生对课堂内容的反馈意见，了解他们的学习需求和困惑。
2. 教学反思：根据学生的反馈和课堂表现，反思教学过程中的不足之处，并进行改进。
《方程的根与函数的零点》教案
《方程的根与函数的零点》教案教案：方程的根与函数的零点教学内容：1.方程的根及其性质2.函数的零点及其性质3.方程与函数的关系教学目标：1.了解方程的根的概念，并能够分析方程的根的性质。
2.了解函数的零点的概念，并能够分析函数的零点的性质。
3.掌握方程与函数的关系，能够利用方程的根求解函数的零点。
教学准备：1.课件及多媒体设备2.相关教学实例3.板书工具及相关材料教学过程：Step 1：方程的根及其性质（20分钟）1.引入方程的根的概念，例如“方程是什么？方程的根又是什么？”2.说明方程的根是指使方程成立的未知数值，例如“方程2x-1=0的根是1/2、”3.分析方程的根的性质，例如“一元一次方程一般只有一个根，而二次方程一般有两个根。
”4.通过多个实例，让学生理解方程的根的概念及性质。
Step 2：函数的零点及其性质（20分钟）1.引入函数的零点的概念，例如“函数是什么？函数的零点又是什么？”2.说明函数的零点是指使函数的值为零的自变量的取值，例如“函数f(x)=x^2-4的零点是x=2和x=-2、”3.分析函数的零点的性质，例如“函数的零点可能有一个或多个，也可能没有。
”4.通过多个实例，让学生理解函数的零点的概念及性质。
Step 3：方程与函数的关系（30分钟）2.说明方程的根可以用来求解函数的零点，例如“将方程代入函数，若方程的根也是函数的零点，则可以用方程的根求得函数的零点。
”3.分析方程与函数的关系的应用，例如“通过方程的根求解函数的零点可以帮助我们更好地分析函数的性质。
”4.通过多个实例，让学生掌握方程与函数的关系，并能够利用方程的根求解函数的零点。
Step 4: 练习与巩固应用（30分钟）1.分组完成练习题，要求学生利用方程的根求解函数的零点。
2.检查并纠正答案，让学生互相评价答案的正确性。
3.解答学生对练习题的疑问，对不会解答的问题进行补充讲解。
Step 5: 拓展与延伸（20分钟）1.引导学生思考如何利用函数的零点求解方程。
方程的根与函数的零点导学案2课时
3.1.1方程的根与函数的零点导学案（2课时）课前预习案【使用说明和学法指导】1、仔细阅读课本，课前完成好预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过20分钟。
在做题过程中，如遇不会的问题再回去阅读课本；AA 完成所有题目，BB 完成除★★外所有题目，CC 完成不带★题目。
2、认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
3、小组长在课上讨论环节时要在组内起引领作用，控制讨论节奏。
4、必须掌握的数学方法和数学思想：数形结合思想；利用零点的概念、方程的根与函数的零点的关系、零点存有性定理准确处理和解决具体问题。
课前准备：1、课本、《方程的根与函数的零点导学案》、典题本、练习本、双色笔。
2、分析错因，自纠学案。
3、标记疑难，以备讨论。
一．学习目标：1、理解函数的零点概念，理解并掌握函数零点与相对应方程根的联系 。
2、掌握判定函数零点存有的条件，并能确定具体函数存有零点的区间；3、学会将求方程的根的问题转化为求相对应函数零点的问题，转化为求相对应函数的图象与x 轴的交点问题，转化为求两函数图象的交点问题；4、激情投入，高效学习，培养学生形成扎实严谨的科学态度和勇于探索的数学精神。
重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存有的判定条件及应用．难点：探究发现函数零点的存有性.求函数零点的个数、方程根的个数、两函数图象交点的个数问题二．预习导学：自主学习教材P86～P87页内容，思考下列问题，找出疑惑之处。
复习：①函数零点定义：对于函数()y f x =,把使得 的实数x 叫做()y f x =的零点复习：②函数()y f x =有零点的等价条件函数 ()y f x =有零点⇔方程()0f x =有⇔函数()y f x =的图像函数()y f x =的零点⇔方程()0f x =的⇔函数()y f x =的图像复习：③函数零点的求法：代数法、图象法基础落实：④函数零点存有性定理如果函数()y f x =在区间[a,b]上的图象是 的一条曲线，并且有，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）内有零点，即存有c ∈（a,b ），使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根三．小试牛刀：（1）函数82xy =-的零点为（2）函数()2x f x x =+ 的一个零点所在的大致区间为（ ）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D. （1，2）一、合作探究重点讨论内容：1、零点存有的判定条件；（结合思考1-6及例1）2、函数零点的个数、方程根的个数与两函数图象交点的个数问题的等价转化。
新人教版高中数学方程的根与函数的零点导学案(1)
（二）重难点：
1教学重点：体会函数的零点与方程的根以及函数的图象与x轴的交点的横坐标三者之间的联系
2教学难点:求函数的零点
问题
助学
探究(一)：函数零点的概念
问题1：观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的横坐标以及函数值为0时x的值
方程
函数
方程的实数根
画函数的图象并写出其与x轴交点的横坐标
函数值为0时x的值
提出疑问：方程的根，函数图象与x轴交点的横坐标以及函数值为0时x的值三者之间有什么关系？
结论：________________________________________________________
问题2：函数零点的概念
教学内容所在教材位置
课题
方程的根与函数的零点
课型
新授课
流程
学习内容
个性笔记
明确
目标
（一）三维目标：
1知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根以及函数的图象与x轴的交点的横坐标三者之间的关系；
2过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系；在课堂探究中体会数形结合的数学思想.
3.函数 的零点为__________
4.若函数有2个零点，则a的取值范围是____________
总
结
评
价
我的收获（1）知识方面：
1.函数零点的概念.
2.方程的根、函数的零点、函数图像与X轴交点之间的关系
“方程的根与函数的零点”教学教案设计
“方程的根与函数的零点”教学教案设计一、教学目标：1.了解方程与函数的概念；2.理解方程的根和函数的零点的概念；3.能够根据给定的方程或函数，求解其根或零点；4.掌握方程与函数的根和零点的性质。
二、教学重难点：1.方程与函数的概念；2.方程的根和函数的零点的概念；3.方程与函数的根和零点的性质。
三、教学准备：1.教材：教科书、课本、笔记本。
2.教具：黑板、白板、彩色笔、多媒体投影仪。
3.教学资源：视频教学素材、互动教学软件。
四、教学步骤：步骤一：导入（15分钟）1.引入学生的经验：请学生列举一些关于方程和函数的例子，让他们了解方程和函数的概念。
2.通过展示一些方程和函数的图片，让学生能够直观地理解方程和函数的关系。
步骤二：讲解方程的根和函数的零点（20分钟）1.讲解方程的根的概念：方程的根是使得方程等式成立的未知数的值，比如方程x^2-4=0的根是2和-22.讲解函数的零点的概念：函数的零点是使得函数为0的自变量的值，比如函数f(x)=x^2-4的零点是2和-23.通过数学符号和实际例子的对比，让学生能够理解方程的根和函数的零点之间的关系。
步骤三：方程的根与函数的零点的计算（30分钟）1.教学方程的根的计算方法：讲解解一元二次方程和解线性方程的方法，让学生能够掌握求解方程的根的技巧。
2.教学函数的零点的计算方法：讲解求解函数的零点的方法，包括图像法、试值法、代数法等，让学生能够灵活运用不同的方法求解函数的零点。
步骤四：方程与函数的根和零点的性质（30分钟）1.讲解方程与函数的根和零点的性质：包括根与零点的个数、根与零点的关系，以及根与零点与方程或函数的图像的关系等内容。
2.通过示例和练习，让学生能够熟练理解和运用方程与函数的根和零点的性质。
步骤五：小结和巩固（15分钟）1.总结本课的内容：方程与函数的概念，方程的根和函数的零点的概念，方程与函数的根和零点的计算方法，方程与函数的根和零点的性质。
2.布置课后作业：要求学生用所学的知识解决一些练习题，巩固所学的内容。
高中数学：高一必修一 2.4.1方程的根与函数的零点(导学案)
2.4.1方程的根与函数的零点通过本节学习应达到如下目标:1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2、通过对零点定义的探究掌握零点存在性的判定方法．3、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．学习重点：零点的概念及存在性的判定．学习难点：零点的确定．学习过程（一） 自主探究1、 观察下面几个一元二次方程及其相应的二次函数如：方程0322=--x x 与函数322--=x x y方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y (在下面坐标系中分别做出上述二次函数的图象，并解出的方程根)试说明方程的根与图象与x 轴交点的关系。
(1) (2) (3)2、利用上述关系，试说明一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根及其对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象有怎样的关系？3、利用以上两个问题的的发现，试总结函数)(x f y =零点的定义，并说明函数)(x f y =的零点，方程0)(=x f 实数根，函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标的关系？（二）合作探讨1、（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象 (见图1) ，完成下面各小题。
1) 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． 2) 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象(如图)，完成下面各小题。
1)在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． 2) 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． 3) 区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． 4) 区间],[d a 上______(有/无)零点；有 个零点；)(a f ·)(d f _____0（＜或＞）． 由以上几步探索，可以得出什么样的结论？2、(根的存在性定理)：在根的存在性定理中只须加入什么条件，零点的个数就是唯一的？3、求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．(可以借助计算机或计算器来画函数的图象)（三）巩固练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ； （2）3)2(2-=-x x ；（3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）53)(3+--=x x x f ； （2）3)2ln(2)(--=x x x f ；（3）44)(1-+=-x e x f x ； （4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．（四） 能力拓展：设函数12)(+-=ax x f x 。
方程的根与函数零点教案
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点【教学目标】知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用.能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.情感、态度与价值观:认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】函数零点存在性定理的理解及初步应用【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.【教学过程】（一）抛转引玉浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃．在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：1）是否存在某时刻的温度为0℃？2）你能从数学的角度来解释这一现象吗？3）能计算出具体的时刻吗？（设计意图：当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）（二）溯本逐源（设计意图：回顾二次函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）在《几何画板》下展示如下函数的图象： ()()()21226y x x x =-+-、28x y =-、()2y ln x =-，比较函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系. 函数()y f x =的图象与x 轴交点，即当()0f x =，该方程有几个根，()y f x =的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数.）1．函数零点概念对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．2．方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为相应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为相应方程问题．这正是函数与方程思想的基础． （三）顺藤摸瓜浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃ ．在这段时间内，温度是不均匀变化的，问：是否仍存在某时刻的温度为0℃？（学生在事先准备好的图纸上画出温度随时间的变化图，教师选取几个具有代表性的图用实物投影仪加以展示，并让学生解释为什么这一时刻仍存在，使学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.）（设计意图：通过类比得出零点存在性定理,此刻体现变式教学．）给出零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.（四）牛刀小试1. 10x x -=３试判断方程＋３是否有根？2．求函数26f (x )x x =+-ln 的零点的个数．(设计意图：通过例题分析，领会方程函数的转化思想,学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法．)（五）抽丝剥茧问题1. 如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？问题2.若()()0a,b上一定没有零点吗？一定f a f b>，函数()=在区间在[]y f x有零点吗？问题3.若()()0a,b上只有一个零点吗？可能=在区间在[]y f xf a f b<，函数()有几个？问题4.在满足定理的条件下，能否增加条件,可使函数()a,b=在区间在[]y f x上只有一个零点？(设计意图：函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断．结论的逆命题不成立，通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理．)（六）再接再厉1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个2.函数()376=--在区间[-4，4]上是否存在零点？若存在零点,能确f x x x定零点的个数及大小吗?(设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。
新人教版高中数学方程的根与函数的零点导学案
§3.1.1 方程的根与函数的零点课前预学案一、预习目标1.通过具体的一元二次方程和相应的函数观察出方程的根和函数的图象之间的关系，进一步将这种关系推广到一般的一元二次方程和函数，最后拓展到一般的方程和函数。
2.会求一些简单函数的零点二、预习过程预习课本P 86－P 87,完成下面的表格（1）解下列一元二次方程：0322=--x x ，0122=+-x x ，0322=+-x x 。
（2）画出下列函数的图象：322--=x x y ，122+-=x x y ，322+-=x x y 。
一般结论：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的 .提问：零点是一个点吗？（零点指的是一个 ）反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：判断下列函数是否有零点，若有求出函数的零点。
（1）y=2x-1 （2）244y x x =-+ （3）243y x x =-+（4）;3x y = （5）x y 2log = （6）xy 1=小结：方程()0f x =有 ⇔函数()y f x =的图象与x 轴有⇔函数()y f x =有 .课内探究学案一、学习目标① 理解函数（结合二次函数）零点的概念； ② 领会函数零点与相应方程的关系； ③ 掌握零点存在的判定定理； ④会求简单函数的零点.学习重点与难点：函数零点的判别。
二、预习结果梳理：1. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .2.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的 .3. 方程()0f x =有 ⇔函数()y f x =的图象与x 轴有⇔函数()y f x =有 .三、预习检测：1.判断下列函数是否有零点，若有求出函数的零点。
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第1课时 方程的根与函数的零点
1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.
2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.
3.能够运用函数思想、数形结合思想和化归思想解决方程的根的问题.
一个小朋友画了两幅图:
问题1:上面的两幅图中哪一幅能说明图中的小朋友一定渡过河?
显然,图1说明了此小朋友一定渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动
的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.
问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗?
(2)二次函数的零点个数如何判断?
(1)对于函数y=f(x),我们把使 的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不
是点.
(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当 时,有两个零点;当Δ=0时,有 零点;当
时,没有零点.
问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?
(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零
点呢?
(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为
f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.
(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,
那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
(2)至少有一个.
(3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.
利用零点的概念求零点
判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=𝑥+3𝑥;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.
函数零点所在区间的判定
函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ).
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
函数零点的个数判定
函数f(x)=1𝑥+x2-2x有几个零点?
(2014年·北京卷)已知函数f(x)=6𝑥-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)
考题变式(我来改编):
第1课时 方程的根与函数的零点
知识体系梳理
问题2:(1)f(x)=0 (2)Δ>0 一个 Δ<0
问题4:(1)f(a)·f(b)<0
重点难点探究
探究一:【解析】(1)令𝑥+3𝑥=0,解得x=-3,所以函数f(x)=𝑥+3𝑥的零点是-3.
(2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,
所以方程x2+2x+4=0无实数根,
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
(3)令2x-3=0,解得x=log23,
所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.
(4)令1-log3x=0,解得x=3,
所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.
【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,
该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.
探究二:【解析】因为f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选C.
【答案】C
【小结】要判断函数的零点所在的区间,只需把各区间的端点代入函数解析式中,看区间两端点对应的
函数值是否异号,再用函数的零点存在性定理判断.
探究三:
【解析】由1𝑥+x2-2x=0,得1𝑥=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=1𝑥和y=-x2+2x的图象,如图所示.
由图可知,两个函数图象有2个交点,所以函数f(x)=1𝑥+x2-2x有2个零点.
[问题]得到的答案是否正确?
[结论]不正确,画图不够准确.
(法一)由1𝑥+x2-2x=0,得1𝑥=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=1𝑥和y=-x2+2x的图象,如图所示.
由图可知,两个函数图象有3个交点,所以函数f(x)=1𝑥+x2-2x有3个零点.
(法二)解方程1𝑥+x2-2x=0,即𝑥3-2𝑥2+1𝑥=0,(x-1)·(x2-x-1)=0,所以方程有三个解,分别为x1=1,x2=1-√52,x3=1+√52.
【小结】判断函数的零点个数有以下几种方法:①解方程;②画出函数图象,根据图象与x轴交点的个数
判断零点的个数;③结合函数的单调性,根据函数的零点存在性定理进行判断;④把方程转化为两个函数,画出
两个函数的图象,根据它们交点的个数判断零点的个数,要求准确地画出函数的图象.
全新视角拓展
【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=64-log24=32-2=-12<0,
由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.
【答案】C
思维导图构建
实数x x轴 有零点 f(a)·f(b)<0