大学物理-利用留数定理计算实积分
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sin xdx x∞，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->?为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。
而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。
2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下：1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路；2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+??；3）()lf z dz ??可以应用留数定理，1()l f x dx ?就是所求的定积分。
如果2()l f z dz ?较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则d z izdx =∴dzdx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑?? 图1类型二-()f x dx ∞∞.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ?两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=?()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+??在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x d x f z dz π∞-∞+??在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dz Rf z dz zf z zf z zf z zf z zzR≤≤=?→?所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞,0()sin G x mxdx ∞?.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=?求解方法：00111()cos ()()()()222imx imx imximx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+?经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=?同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+??在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和所以0()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=?在上半平面所有奇点的留数之和 0 ()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形考虑积分-()f x dx ∞∞，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路.于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++??取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有图3()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=?-??所以()0lim 0C P z dz εεα→-=?而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εε??παε?ππαααε----=-==-=---?于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx iResf z iResf z ππ∞∞=+∑∑上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=?这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有10=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞??==被积函数在单极点的留数即sin =2x dx x π∞推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==?(m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-?(m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分2sin()x dx ∞和20cos()x dx ∞解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==∴2210ix I iI e dx ∞+=取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izle dz =?? 即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=?令R →∞.222()/4/4/40lim lim()i i i i i RRR R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-/4(1)8i e i πππ=-=-+/4222222i R Riz ReizizC C z Re dz e dz e iziz π==+??2Riz C e dz ?而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）图4。
留数在求实积分中的应用
Ñ f ( z )dz 2 i Res[ f ( z ), zk ].
k 1 k 1 k 1
(1)
p
s
l
R( x)dx 2i Res[ R( z ), zk ]
k 1
l
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用
R( x)dx lim R R( x)dx lim 0 R( x)dx
R1
1
0
R2
p.v. R( x)dx lim
z2 (2) R( z ) 6 在上半平面上有三个简 单极点： z 1 z1 e 6 , z 2 e
i
i
3 6
, z3 e
i
5 6
( z 6 1 z k ?)
B1 1 1 1 , B2 , B3 . 6i 6i 6i
其中 z1, z2 ,, zs 为 R(z ) 在上半平面上所有的极点.
y
k 1
CR [R, R]
CR
( R 1)
.z .z
R
1
s
.z . .z
k
2
x
O
R
ÑR( z )dz
(1)
CR
R( z )dz R( x)dx
R
R
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用
42留用留数定理计算实变函数定积分
42留用留数定理计算实变函数定积分假设我们要计算实变函数f(x)的定积分∫abf(x)dx，我们可以将其表示为复变函数在实轴上的延拓。
具体来说，我们将f(x)定义为实轴上的复变函数f(z)，其中z=x+0i。
这样，我们就可以将实变函数的定积分转化为复变函数的积分。
然后，我们需要确定函数f(z)的奇点及其类型。
对于实变函数来说，奇点一般包括不连续点（包括可去奇点、跳跃奇点和极性奇点）以及无穷远点。
我们只需要关注有限个奇点，因为无穷远点的留数为零。
对于可去奇点，我们可以将其用幂级数展开，并去除它的主部。
这样，我们得到的复变函数在该奇点周围的展开式与原函数f(z)相同，但是去除了主部项。
对于跳跃奇点，我们可以将其用Laurent级数展开。
Laurent级数包括正幂级数和负幂级数两部分。
我们可以将原函数f(z)分解为这两部分，然后计算每一部分的积分。
对于极性奇点，我们可以将其用Laurent级数展开，并利用留数定理计算主要项的留数。
主要项是Laurent级数中的负幂级数部分，它的系数就是该奇点的留数。
我们将主要项的负幂级数部分的系数与2πi相乘，就得到了该奇点的留数。
最后，我们利用留数定理，将函数f(z)在所有有限奇点上的留数相加，再加上无穷远点的留数，就得到了定积分的值。
留数定理可以表示为以下公式：∮f(z)dz = 2πi(Res[f,a1] + Res[f,a2] + ... + Res[f,an] +Res[f,∞])其中An是函数f(z)在复平面上的所有奇点，Res[f,ai]表示函数f(z)在ai处的留数。
综上所述，利用留数定理可以计算实变函数的定积分。
只需要将实变函数表示为复变函数的形式，并确定复变函数的奇点类型，然后根据所得的展开式计算留数，最后将留数相加即可得到定积分的值。
用留数定理计算实积分的再讨论
毕业论文（2014届）题目用留数定理计算实积分的再讨论学院数计学院专业数学与应用数学（师范）年级2010级(2)班学生学号***********学生姓名刘艳指导教师汪文帅2014年5月8日用留数定理计算实积分的再讨论数学计算机学院数学与应用数学师范专业2014届刘艳摘要:正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径,然而大量教材或者相关文献长期或者有意无意的按照既定思维对某些实积分计算问题选择基本固定不变的积分路径进行求解,在一定程度上给学生造成思维定势. 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想.这为进一步开拓思维,更为深刻理解留数定理有积极的意义.关键词:留数定理;实积分;积分曲线中图分类号:O174Further discussion of Calculation on real integral by the residue theoremAbstract: The correct use of the residue theorem to calculate real integration means to understand its essence and to construct easy-solved integral path, but a lot of materials or the relevant studies always select the same integral path to solve the similar problem, which give the students wrong understanding when most teachers did not pay attention to the ideological inspiration in teaching. T o some extent, this limits students’ thinking. In this paper, the selection method of integral curve is given with examples in view of the different integral path and the core idea of the residue theorem is shown in calculating process, which has a positive significance for further development of thinking and more understanding of the residue theorem. Key words: real integral；residue theorem；integral curve目 录1 引言 (1)2 主要定理 (1)3 留数定理为实积分的计算提供了新思路 .........................................................................4 4 留数定理在实积分计算中的应用 ......................................................................................4 4.1 如何把实积分转化为复积分 ............................................................................................4 4.2 实积分计算方法中的固定模式 ...................................................................................5 4.2.1计算形如dx x R ⎰+∞∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数 (5)4.2.2 用留数定理讨论所构造的三种积分曲线上的实积分的计算 .....................8 4.2.3 计算形如⎰+∞∞-cos )(mxdx x f 或⎰+∞∞-sin )(mxdx x f )0(>m (13)结束语 ...........................................................................................................................................17 参考文献 ......................................................................................................................................19 致谢 (20)用留数定理计算实积分的再讨论1 引言对于留数定理，国内外数学家已经有了很多研究，如:留数定理的应用及推广，留数定理计算广义积分[1]、定积分[2]以及用留数定理解决某些物理问题[3]都做出了相应的讨论和研究. 留数定理是柯西定理在区域内有孤立奇点时的推广，因其在理论和实际计算中的重要性使得他至今在大学理工科复变函数教材中仍占有一席之地. 推广的留数定理进一步解决了以往实积分的计算难题，这些都使得用留数定理计算实积分的过程更为简单可行. 但是纵观这些理论所建立的基础，不难发现在研究很多实积分计算的问题时，在选择相应的积分路径的过程中，都大同小异，都选取包含实轴的或者部分实轴的封闭曲线而且对于其他可以选取的路径只是提到，也没有加以讨论. 在这样的教学情境下，必然会对学生掌握留数定理造成错误的认识，让学生误认为: 在用留数定理计算实积分的时候只能选取包含x轴的这样一个封闭曲线. 事实上，我们知道，正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径，用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取不会影响积分值，这只是我们通过柯西积分公式以及留数理论所得出的结论，然而对本部分的认识我们还是建立在理论认识之上,并没有一个系统的分类，计算和验证.那么讨论不同的积分曲线的选取是否会影响积分值? 或者,研究一个不包含实轴的封闭曲线是否能计算实积分就显得很有意义了. 本文在前人研究的基础之上，总结和讨论了以往实积分计算方法当中存在的某些惯性思维，进而对这些惯性思维进行补充和改进. 本文主要介绍了留数定理在复变函数积分中的应用，用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想，为进一步开拓思维，更为深刻理解留数定理有积极的意义. 如何将实积分转化为复积分? 讨论在转化的过程中不同的曲线选取对于积分计算的影响. 探讨了用留数定理计算实积分方法中存在的某些既有思维，通过三种积分曲线的选取，说明了积分曲线的选取不会影响积分值．2主要定义和定理为了后文的求解方便，我们先列出一些主要的定义和运用到的定理: 定义 2.1 留数设f 在域0<0z z -<R 内解析，称环绕着孤立奇点0z ()∞≠的积分dz z f i L⎰)(21π (其中:L 0z z -=,ρR <<ρ0)，为f 在0z 的留数，记为es R ()=0,z f dz z f iL ⎰)(21π. 由多连通域柯西积分定理知,当R <<ρ0时，留数的值与ρ无关(甚至将L 改为域中环绕0z 的任何分段光滑封闭曲线也可以).定义 2.2 无穷远点处的留数设f 在域R <z <∞+内解析，称环绕着孤立奇点∞的积分⎰-L f iπ21为f 在∞点的留数，记为=∞),(Re f s ⎰-L f i π21,这里:L ,ρ=z .+∞<<ρR 积分曲线L 取顺时针方向. 则 =∞),(Re f s ⎰-L f i π211α-=，即f 在∞点的留数等于它在∞邻域的罗朗展式中负一次幂的系数的相反数.定理 2.1 柯西积分定理: 设f 是在区域D 内解析的函数，0L ，1L 是区域D 内具有相同起点和终点的简单光滑弧或者是区域D 内的简单光滑闭曲线. 若它们在D 内同伦，即)(~10D L L ，则⎰⎰=1L L f f . 特别地，当简单光滑闭曲线0L 在D 内同伦于零，即)(0~0D L 时，则00=⎰L f .定理 2.2 多连通区域柯西定理 设区域D 是由复合闭路--++++=n L L L L 10为边界的有界的多连通区域，其中n L L L ,,,21 是简单封闭光滑曲线0L 内部互相相离的n 条简单封闭光滑曲线(以后称这样的曲线组L 为复合闭路),若f 在D 上连续，在D 内解析，则有0=⎰Lf ，其中L 取关于D 的正向，或写为⎰⎰⎰⎰+++=nL L L L f f f f 21.定理 2.3 柯西积分公式 设区域D 是由复合闭路--++++=n L L L L 10所围成的有界多连通域. 若f 在D 上连续,而在D 内解析，则对D 内任意一点z ,都有ξξξπd zf i z f L ⎰-=)(21)(. 其中的积分称为柯西积分，把整个式子称为柯西积分公式.定理 2.4 留数定理（留数基本定理） 设是D 由复合闭路--++++=n L L L L 10所围成的有界多连通域. 若函数f 在D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 外解析，在D -{n z z z ,,,21 }上连续，则∑⎰==nk k Lz f s i f 1),(Re 2π，其中L 取关于D 的正向.这个定理把沿封闭曲线L 的积分归结为求在L 内各孤立奇点处的留数和. 若边界上有孤立奇点时需要将留数定理推广.定理 2.5 推广的留数定理（路见可） 设D 是由复合闭路--+++=n L L L L 10 所围成的有界多连通域,.,,,,,,,2121L t t t D z z z N m ∈∈ 设函数)(z f 在-D {m z z z ,,,21 }解析，在},,,;,,,{2121N m t t t z z z D -连续，)(z f 在N t t t ,,,21 分别有关于D 的N n n n ,,,21 阶的极点，则 ∑∑⎰==+=Nj j j m k k L )s(f,t β)s(f,z f πi 11Re Re 21其中j β为在j t 处关于D 的张度，L 取关于D 的正向，积分在每个j t 处在高阶奇异积分（重极点时）或柯西主值（单极点时）意义下理解，j β的计算方法不再详细叙述.+0L-1L-2L-n L图2.1 有界的多连通区域图3 留数定理为实积分的计算提供了新思路在数学分析以及实际问题中，往往要计算一些定积分和反常积分. 而这些积分中被奇函数的原函数不能用初等函数表示出来；或者，即使可以求出原函数，计算也常常比较复杂. 因此寻求新的计算方法就显得尤为重要. 而在复变函数的积分当中柯西定理充当了相当重要的角色，这使得复变函数理论进一步延伸和发展，多连通域上的柯西积分定理更进一步说明了复积分之值与所选择的积分路径无关，这就为解有关复积分问题提供了新的研究思路和解题方法，然而留数在一点处的定义作的非常巧妙，留数定理的得出采用多连通域上的柯西积分定理的思想将积分的值化为求域内各个孤立奇点处留数之和. 留数定理以比较简洁的形式阐述了有关复变函数积分的新思路，这使得复变函数的积分有了一套比较系统的方法. 那么对于有些比较复杂的实积分可否化成复变函数的积分,再运用留数定理得到解答呢?应用留数理论对于复变函数的积分计算比起线积分计算方便,计算某些实变函数的积分时，可以化为复变函数沿闭合回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被奇函数在闭合回路曲线内孤立奇点上求留数的计算. 接下来就讨论如何用留数定理计算一些实积分. 在选取积分路线上的方式，探讨所选积分路线是否影响积分值?4 留数定理在实积分计算中的应用4.1 如何把实积分转化为复积分计算实积分的第一步就是讲实积分转化为复积分，比如讨论实积分: ⎰+∞+=02)1(x dxI .由被奇函数的偶性，有 ⎰-+∞→+=R R R x dx I 22)1(lim 21.考虑复函数 22)1(1)(z z f +=. 它（在实轴上就是被奇函数）在i z ±=有二阶极点. 以原点为中心，以R >1为半径作上半平面的半圆周R Γ，以i 为心、以充分小的半径ρ做圆周ρC ，使ρC 完全落入上半圆盘（图4.1），则)(z f在上半闭圆盘除去小圆盘ρ<-i z 后的连通封闭区域上满足柯西定理:.)()()1(22dz z f dz z f x dxC RR R ⎰⎰⎰++=++Γ-ρ (4.1)对此式子两边取极限，因为当R +∞→时,0)(lim=⎰+Γ+∞→dz z f RR . 所以对于(4.1)式中第二个积分就趋于零了，第一个积分趋于I 2，而右端的积分是与R 无关的常数. 因此，我们看到，要将实积分转化为复积分运用留数定理计算，首先积分应该转化到封闭的积分曲线上(其实质是应用留数定理)，而且积分曲线一般都会包含实轴(对于其它情形见后文讨论)，并且在非实轴的积分曲线上被积函数的积分值可以求出. 于是我们所求解的实积分就可以化成复变函数的积分，从而应用留数定理进行计算.4.2 实积分计算方法中的固定模式我们给出两种积分模型，通过采用不同的方法讨论实积分计算方法中存在的可优化的问题，在前人讨论的基础上，提出几种自己的看法和思考. 为此，我们分别给出所构造的积分区域，并用留数定理计算有关题型.4.2.1 计算形如dx x R ⎰+∞∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数，型1 计算形如dx x R ⎰+∞∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数，分母的次数至少比分子高二次. 这时可以设辅助函数为)(z R ，它在C 上有有限个极点j z . 以0=z 为圆心在上半平面作半径图 4.1R 为充分大的半圆盘，其包含所有0Im ≥j z 的极点，如图4.2（若下半平面极点的个数少于上半平面，则以下半平面作围道更便于计算） 于是由留数定理⎰⎰Γ-+Rdz z R dx x R RR)()( )),((Re 20Im j z z z R s ij ∑≥=π,其中R Γ为上半圆周R z =)0(Im ≥z ,令)()()(x Q x P x R =,其中)(x P 和)(x Q 均为多项式，0)(=x Q 没有实根(即在实轴上无奇点)且)(x Q 的次数比)(x P 的次数至少高两次. 积分路线如图4.2所示由留数定理)),((Re 2)()()()(0Im ∑⎰⎰≥Γ-=+j R z j RR z z R s i dz z Q z P dx x Q x P π 在R Γ上令θi z Re =，有θπθθθd Q i P dz z Q z P i i i R ⎰⎰=Γ0)(Re Re )(Re )()(. 因为)(z Q 的次数比)(z P 的次数至少高两次，于是当∞→z 时，=)()(z Q z zP )(Re Re )(Re θθθi i i Q P 0→，所以0)()(lim =⎰Γ∞→dz z Q z P R z ， 则)),((Re 2)()(0Im ∑⎰≥-=j z j RR z z R s i dx x Q x P π 即0)(lim =∞→z zR z ,故 0)(lim=⎰Γ+∞→Rdz z R R .从而图4.2∑⎰≥+∞∞-=0Im )),((Re 2)(j z jzz R s idx x R π[4]这种积分区域的选取通常是我们最容易选取的，因为在实轴上的积分就表示我们所求的实积分，在计算上只要会计算留数并且满足相应的引理，积分值便很容易求解. 然而,如果纵观一些实积分计算方法，很多积分的积分曲线都采用的是包含实轴的上半圆. 这种积分曲线的选取会对学习者造成些许思维定势，使得学习者在解题过程中墨守成规，不懂得变通或者产生错误的认识.例题 4.1 计算积分dx x I ⎰+∞+=0411[5] 解 分母次数比分子次数至少高两次，奇点是4ie π,43i eπ,45i eπ,47i eπ.实轴上无奇点，所以积分存在，在上半平面有两个极点4ie π和43i eπ.8)1(2))()((1lim ),(Re 47454344+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→i e z e z e z e z f s ii i e z ii πππππ8)1(2))()((1lim 2),(Re 474544343--=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→i e z e z e z i e z f s i i i e z iiππππππ 利用被奇函数的偶性，可得dx x I ⎰+∞∞-+=11214由留数定理得∞→R limdx x RR ⎰-+114+dz z R ⎰Γ+114=),(Re 24i e f s i ππ+),(Re 243i e f s i ππ由于∞→R lim dz z R⎰Γ+114=0, 所以∞→R limdx x RR ⎰-+114=),(Re 24i e f s i ππ+),(Re 243i e f s i ππ22π=则dx x I ⎰+∞∞-+=11214=21∞→R limdx x RR ⎰-+114-=21∞→R lim dx x RR⎰-+11442π=.在本题中，应用了型1所给出的积分区域模型,其实本题有四个极点，上半平面与下半平面极点的个数一样多，但很多人都会选择上半平面来计算实积分，而不会去考虑下半平面的情况，或者选择其他封闭区域的情况. 当然通常我们所选取的封闭曲线是上半圆盘连同实轴，那么如果选择下半圆盘、右半圆盘、倾斜的半圆盘是否同样能应用留数定理计算实积分呢? 并且不会影响最后的积分值.4.2.2 用留数定理讨论所构造的三种积分曲线上实积分的计算针对型1我们给出构造的三种不同的积分区域，并且在每一个积分区域上计算给定的实积分.例题 4.2 计算积分dx x I ⎰+∞+=0411,dx x J ⎰+∞-=0411，积分J 在1=x 处理解为柯西主值.第一种: R z =的下半圆周和实轴组成的封闭区域.解 利用被奇函数的偶性，可得dx x I ⎰+∞∞-+=11214，dx x J ⎰+∞∞--=11214.由留数定理以及推广的留数定理得dx x RR⎰--114+dz z R ⎰Γ-114=),(Re 2i f s i -π+))1,(Re )1,((Re -+f s f s i π. 图4.3由于011lim4=-⎰Γ∞→dz z R R ，所以∞→R lim dx x R R ⎰--114=),(Re 2i f s i -π+))1,(Re )1,((Re -+f s f s i π =)1)((1lim22---→z i z i i z π+))1)(1(1lim )1)(1(1lim (2121+-+++-→→z z z z i z z π =2π+0 ∞→R limdx x RR⎰--114=dx x R R ⎰---114=2π-, 所以dx x J ⎰+∞∞--=11214=21∞→R lim dx x RR ⎰--114=2π-21⨯ =4π- 而∞→R limdx x RR⎰-+114+dz z R ⎰Γ+114=),(Re 245i e f s i ππ+),(Re 247i ef s i ππ由于∞→R limdz z R⎰Γ+114=0，所以 ∞→R limdx x RR⎰-+114=),(Re 245i e f s i ππ+),(Re 247i ef s i ππ=))()((1lim 24743445ii iez ez e z e z i iπππππ---→+))()((1lim 24543447i iiez ez ez e z i iπππππ---→=))1(221)1(221(2i i i i +-+-π=22π-则dx x I ⎰+∞∞-+=11214=21∞→R limdx x RR ⎰-+114-=21∞→R lim dx x RR⎰-+11442π=. 第一种积分区域的选取上选择了包含实轴的封闭曲线，在理解上很容易接受，也符合一般的思维，即: 将实积分转化为复积分就必须要选择包含实轴的封闭曲线，这是一种思维上的误导. 所以在以后的教学或者学习过程中，要尽量从不同的角度来阐述一个问题，不拘泥于固定的模式和固定的思维. 接下来给出第二种封闭区域，不包含实轴的封闭曲线.第二种: R z =的右半圆周和虚轴组成的封闭区域.用此积分区域解例题4.2，过程如下:解 利用被奇函数的偶性，可得dx x I ⎰+∞∞-+=11214，dx x J ⎰+∞∞--=11214 由留数定理以及推广的留数定理得dz z iRiR⎰--114+dz z R ⎰Γ-114=),(Re i f s i -π+）i f s i f s i ,(Re )1,(Re 2ππ+. 在虚轴上，令=z 2i re π.)(1)1242iiRiRire d re ππ⎰--（dr r e RRi⎰--=142π=dr r i R R ⎰---114i -=dx x RR ⎰--411由于 0dz 1z 1limRΓ4R =-⎰∞→，所以 ∞→R lim dx x R R ⎰--411=),(Re i f s i -π+）i f s i f s i ,(Re )1,(Re 2ππ+=2π- 则dx x J ⎰+∞∞--=11214=21∞→R limdx x RR ⎰--114=4π-. 由留数定理可得dz z iRiR⎰-+114+dz z R ⎰Γ+114=),(Re 24ie f s i ππ+),(Re 247ie f s i ππ图4.4由于 011lim4=+⎰Γ∞→dz z RR ，在虚轴上令=z 2ire π. dz z iRiR⎰-+114=2421)(1iiR iRidre re ππ⎰-+dr r iRR⎰+=-4122i π-= 所以dx x I ⎰+∞∞-+=11214=21∞→R limdx x RR ⎰-+114-=21∞→R lim dx x RR⎰-+11442π=. 用第二种方法计算例题4.2，能得到与第一种方法相同的结论，值得注意的是第二种方法中所选取的积分曲线并不包含实轴，而是选取了虚轴和R z =的右半圆盘. 说明了在用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取并非只能选取含有实轴的封闭曲线. 对于不含实轴的我们可以将其用复数形式表达出来，再作相应的变换，就可以化为实积分的计算. 为了进一步验证上述结论，下面给出另外一种积分区域并且得出用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选取不会影响积分值. 第三种: R z =的右上半圆盘和l :43i rez π=组成的封闭区域.用此积分区域解例题4.2，过程如下 解 利用被奇函数的偶性，可得图4.5dx x I ⎰+∞∞-+=11214 ,dx x J ⎰+∞∞--=11214 由留数定理得dz z ii ⎰--4343ReRe 411ππ+dz z R ⎰Γ-114=）i f s i f s i ,(Re 2)1,(Re 2ππ+. 在直线上，令=z 43i re π.由于0dz 1z 1lim R Γ4R =-⎰∞→，所以43Re Re 44343431)1i i drerei i ππππ⎰--（dr r e R R i⎰---=1443π⎰-+--=R R dr r 143cos 4π⎰---R R dr r i 143sin 4π⎰-+-=R R dr r i 11)1(224.而）i f s i f s i ,(Re 2)1,(Re 2ππ+)1(2-=i π所以∞→R limdx x RR ⎰+-41122π=dx x I ⎰+∞∞-+=11214=21∞→R limdx x RR ⎰-+114=42π. 由留数定理以及推广的留数定理可得dz z i i ⎰-+4343ReRe411ππ+dz z R ⎰Γ+114=),(Re ,(Re ),(Re 247434i ii e f s i e f s i e f s i ππππππ++）在直线上，令=z 43ire π.由于 0dz 1z 1lim R Γ4R =+⎰∞→,所以43Re Re 44343431)1i i drerei i ππππ⎰-+（dr r e R R i⎰-+-=1443π⎰-+-=R R dr r 143cos 4π⎰--R R dr r i 143sin 4π)1(22-=i ⎰--RR dr r 114.又因为),(Re ,(Re ),(Re 247434i iief s i e f s i e f s i ππππππ++）)1(2-=i iπ所以∞→R limdx x RR ⎰--4112π-= dx x J ⎰+∞∞--=11214=21∞→R lim dx x R R ⎰--114=4π-.通过上述三种构造的积分区域，分别计算了例题4.2的实积分，并且不管采用上述哪种积分区域，都能得到相同的答案. 值得注意的是: 在第二种和第三种方案中都没有选取含有实轴的封闭曲线，在计算实积分的过程中，充分应用了复变函数的有关知识，比如:复变函数的三角函数式和欧拉式，通过应用相关的复变函数的知识将实积分的计算转化为复积分计算问题再通过变量代换，在封闭区域上，应用留数定理以及推广的留数定理求出积分的值. 而积分的值是不会因为积分区域的变化而变化，也充分说明，在用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取不会影响积分值，可以根据个人的需要，选择不同的积分曲线进行计算.4.2.3 计算形如⎰+∞∞-mxdx x f cos )(或⎰+∞∞-mxdx x f sin )(（0>m ）型2 其中)(z f 在0Im ≥z 上除有限个孤立奇点外处处解析（且在实轴上的孤立奇点只能是极点），而且当z 在0Im ≥z 时，0)(lim =∞→z f z .为后面的积分估计，我们先来介绍约当(Jordan)引理的一个简单情形.约当引理 设)(z f 在闭区域21arg θθ≤≤z ，+∞<≤z R 0(00≥R ,)021πθθ≤<≤上连续，并设R Γ是这封闭区域上的一段以原点为圆心、R 为半径的圆弧)(0R R >. 若当z 在这封闭区域上时,0)(lim =∞→z f z ，则对任何0>m ，有0)(lim=⎰Γ+∞→dz e z f Rimz R有了本引理,我们设辅助函数为)(z f e imz . 作与型1相同的围道见（图4.2).使这个上半闭圆盘内含)(z f 的所有0Im ≥j z 的孤立奇点j z （实轴上的只是极点），由推广的留数定理，有dx x f e RRimx )(⎰-dz z f e Rimz )(⎰Γ+)),((Re 20Im j imz z jz z f e s ij ∑≥=βπ. (4.2)当+∞→R ，由引理0)(=⎰Γdz z f e Rimz ，比较上式左右两边的实部与虚部，就得出所求的积分.例题 4.3 求积分dx xxI ⎰+∞=0sin . 方法 1 此函数在数学分析中用比较法则，可以判断为绝对收敛但无法用实分析的方法求出[6]. 因此将实积分化为复变函数的积分，应用留数定理解 由被积函数的偶性有dx xx I R R R ⎰+-+∞→=sin lim 21而x i x e ix sin cos +=. 所以⎰⎰⎰+-+∞→+-+∞→+-+∞→+=R R R R R R RR ixR xx i dx x x dx x e sin lim cos lim lim 又因为0cos lim=⎰+-+∞→dx x xRR R , 于是dx xx I R R R ⎰+-+∞→=sin lim 21=dx x e i R R ixR ⎰+-+∞→lim 21. 令 )()(z f e ze z g iz iz ≡=，它在0=z 有一阶极点. 01lim )(lim ==∞→∞→z z f z z . 由(4.2)式 i g s i dz z g dx x e R RR ixππ==+⎰⎰Γ-)0,(Re )(.令 R +∞→，i dx xe ixπ=⎰∞+∞-. 从而2π=I .在此例题中，我们所选取的积分曲线是一个如(图4.2)所示的封闭曲线且是包含实轴的部分和R z =的上半圆周两条线共同围成的封闭区域，并且满足约当引理的条件，就可以在此区域内将实积分化成复变函数的积分，从而应用留数定理会使得计算简便，还能便于理解. 在此方法的基础上，再介绍另外一种方法.方法二[7]解 考虑函数ze zf iz=)(沿图7所示的围线C （具有半圆形缺口的矩形周线）的积分，则由留数定理知 0)(=⎰dz z f C，即dz z e rC iz⎰+dx x e R r ix ⎰+dy i iy R e R y iR ⎰+-0+dx iRx e R R R ix ⎰--++idy iy R e R y iR ⎰+---0+dx x e r R ix⎰--=0 (4.3)把(4.3)式等号左边各个积分依次记为1I ,2I ,...,6I . 则2I +6I =2i⎰Rrdx xxsin 注意到R y R iy R iy R ≥+=+-=+22. R iR x ≥+,1===-iR ix iR ie e ie ，则由积分的性质543543I I I I I I ++≤++dx R e dy R e R R RRy⎰⎰+---+≤02012−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→--R R R e R e 在r C 上令θi re z =.θπθd e i dz ze I i rire C iz⎰⎰==01R -R图4.6[]θθθπθd r i r e i r ⎰+-=-0sin )cos sin()cos cos([]i r i e r e i r r r πθθπθθ-−−→−+-=→--02sin 1sin )cos sin()cos cos(21 式中1θ与2θ皆介于0与π间，故由（4.3）式，令0→r ，∞→R 取极限，得2sin 0π=⎰∞dx x x .方法三解 考虑函数ze zf iz=)(沿图4.7所示的围线C 的积分，则由留数定理i f s i dz z f Cππ2)0,(Re 2)(==⎰有dz ze rC iz⎰+dx x e R r ix ⎰+dy i iy R e R y iR ⎰+-0+dx iR x e R R R ix ⎰--++idy iy R e R y iR ⎰+---0+dx x e r R ix ⎰--=i π2 (4.4)把(4.4)式等号左边各个积分依次记为1I ,2I ,...,6I . 则 2I +6I =2i⎰Rrdx xxsin 注意到R y R iy R iy R ≥+=+-=+22. R iR x ≥+，1===-iR ix iR ie e ie ，则由积分的性质图4.7543543I I I I I I ++≤++dx R e dy Re R R R Ry⎰⎰+---+≤02012−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→--R R R e R e 又 θππθd ei I i ire ⎰=21[]θθθππθd r i r e i r ⎰+=-2sin )cos sin()cos cos([]i r i e r e i r r r πθθπθθ−−→−+=→--02sin 1sin )cos sin()cos cos(21 式中1θ与2θ皆介于π与π2间，故由(4.4)式，令0→r ，∞→R 取极限，得2sin 0π=⎰∞dx x x . 上述三种方法都应用了留数定理的思想，但不同的是选取了不同的积分曲线，第一种方法是用留数定理解决实积分计算的一种普遍的方法，通过将整个复平面分为上下两个部分，再观察在哪个平面上的极点个数少，就选取这个平面作半圆周，连同实轴所围成的封闭区域上应用留数定理. 将实积分的计算转化成复变函数的积分，只要计算相应极点的留数，再应用留数定理问题就得到解答. 显然，这种方法对于解决形如⎰+∞∞-mxdx x f cos )(或⎰+∞∞-mxdx x f sin )(（0>m ）的积分，满足相应的引理的条件，那么计算也省去了复杂的过程. 第二种方法也应用了留数定理的思想，选择了封闭区域，使得积分区域内部没有孤立点，应用积分的性质将各个部分的积分整理合并，最终通过取极限得到积分的值，整个过程的计算很繁琐，但是，通过这种方法依然可以得到答案. 第三种方法同样应用了留数定理的思想，只不过将半圆型缺口的矩形中的半圆换成下半圆，这样积分路径所围成的封闭区域内部含有一个孤立奇点，我们采取与第二种方法同样的计算方法，通过整理、化简、合并最后应用留数定理得到最终的解答. 比较三种方法，我们知道，这三种方法选取了不同的积分曲线，积分曲线的不同，只会使得我们的计算方法上有所差别，但是积分曲线的选取是不会对积分的结果产生影响. 其实对于每一种方法，他们所采用的思想是一样的，即是用柯西积分定理，留数定理的思想. 当然，我们还可以选取任意的简单光滑封闭曲线连同实轴部分只要包围上半平面，或者下半平面的所有极点，也可以得到同样的积分值. 这里通过引用第二种方法，就是要说明对于某些实积分的计算方法,我们不应该拘泥于一种固定的方式，当然，能正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质意义并且在计算实积分的过程中把握留数定理的核心思想选取我们容易求解的积分路径.上述三种方法应用了留数定理的基本思想，选取不同的积分路径，得出了相同的积分值，也就是说用留数定理计算实积分的过程中积分路径的选取不会影响积分的值.结束语本文主要研究和提出了几种用留数定理计算实积分的新思路，通过比较以往用留数定理计算实积分方法中存在的固定模式构造了几种不同的积分区域，并且在所构造的积分区域上对给定的实积分进行计算，得出了用留数定理计算实积分的过程中积分路径的选取不会影响积分值的结论. 留数定理的核心思想就是在复合闭路上的复积分的值不会随着积分路径的变化而变化. 于是根据这个核心点，我们讨论了在应用留数定理计算实积分的过程中积分路径的选取会不会影响积分值?并且考虑将实积分的计算化为复变函数的积分进而应用留数定理算出积分值. 在讨论中，我们引用最常见的两种实积分类型，并用留数定理的思想，针对大家普遍认为正确的但没有进行具体验证的问题提出自己的想法和解题思路. 然而，并不是所有的实积分都可以化为复积分应用留数定理进行解答,而留数定理却为我们解决某些复杂的实积分计算问题提供了更加简洁的计算方式.参考文献[1] 黄庆波.围道积分法计算一种类型的广义积分——利用留数定理计算实变函数定积分[J].科技创新导报,2009,(3),235.[2] 李小飞.留数定理在一类定积分中的计算[J]黄冈师范学院学报,2011,31(6):34-35.[3] 戴海峰.留数定理在一类物理问题中的应用[J].淮北师范大学学报（自然科学版）2012,(2)：85-88.[4]路见可,钟寿国.复变函数（第二版）[M].武汉：武汉大学出版社,2001.[5] 郭晓梅.用留数定理解决实积分的计算问题[J].枣庄学院学报2009,26(5):78-81.[6]王瑞苹.论留数与定积分的关系[J].山东:菏泽学院学报,2005,27(2):70-72.[7] 魏汝龄.对用留数计算实积分的浅见[J].中国大学教学,2013,(12):37-38.致谢论文完成，四年的大学生活即将结束，感慨万千！首先，感谢我的导师汪文帅老师，从课题选择、开题，到论文写作的整个过程，汪老师都倾注了大量的心血. 正是在汪老师科学、严谨的指导下，我的论文写作才能顺利进行，这篇论文也才得以顺利完成。
教学课件第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
需要注意的问题和难点
03
在应用留数定理计算实变函数的定积分时，需要注意定积分的
定义域、奇偶性、极点等问题，以及留数的计算和判断。
留数定理在实变函数中的进一步应用
留数定理在解决更复杂定积分问题中的应用
除了简单的定积分计算，留数定理还可以应用于解决一些更复杂的定积分问题，例如与 微分方程、积分方程等相关的定积分计算。
选择一个简单的积分路径， 使得计算留数变得容易。
避免奇点
避免积分路径经过函数的 奇点，以免影响留数的计 算。
考虑对称性
根据函数的对称性，选择 适当的积分路径以简化计 算。
计算被积函数的留数
确定奇点
确定被积函数在积分路径 内部的奇点。
计算留数
根据留数定理，计算被积 函数在奇点的留数。
处理无穷大
如果被积函数在奇点处无 穷大，需要特别处理以正 确计算留数。
留数定理的重要性
留数定理在实变函数中的应用，使得原本难以计算的定积分变得简单易行，提高 了计算的效率和准确性。
留数定理不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域发挥了重要 的作用，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
02
留数定理的原理
留数的定义与性质
留数
对于在闭曲线上的奇异点附近的 积分，通过将函数在奇异点的左 右极限值相减，得到的值即为留 数。
导。
积分路径的可去性
积分路径可以是任意的简单或 复合闭曲线，但必须保证不经 过奇异点。
留数的可求性
在奇异点附近，被积函数必须 能够解析或通过其他方法求得 留数。
唯一性
对于同一个奇异点，其留数是 唯一的，不依赖于积分路径的
选取。
03
计算实变函数定积分的步骤
复变函数6.2用留数计算实积分
cm zm bn zn
z
n
.
1 z
n m 1
c0 b0
cm zm bn zn
.
由假设条件(1)知n-m-1≥1,故沿R上就有:
| z f (z) |0 (R+∞).
在等式(6.12)中命R+∞,并根据引理6.1,
R
f ( z )dz i ( 0)0 0
p
3) p=1时
1 1 1 1 I dz dz | z| 1 ( z 1)(1 z ) | z| 1 ( z 1)2 i i
I
2
无法算！
0
2 d d 1 2 d 2 0 2 2 cos 1 2 p cos p 2 0 1 cos
i 被积函数在 z 1 内只有一个二阶极点： z 3
i 2 5 5 2 iRes[ f ( z ), ] 2 i 3 i 256 64
2. 计算
P ( x ) Q ( x )
dx 型积分
R
SR
引理6.1 设f(z)沿圆弧
例6.7 计算积分 解 (1) p=0时 令：z=ei
I
2
2
0
d 1 2 p cos p2
I d 2
0
(2)以下设 p0
z z 1 z z 1 dz cos ,sin , d 2 2i iz
2
1 ( z p)(1 pz ) 2 1 2 p cos p 1 p z p z z 2 d z 1 I dz 2 0 1 2 p cos p | z| 1 ( z p)(1 pz ) iz
留数定理计算积分
留数定理计算积分
留数定理的应用--积分的计算:
利用留数计算积分的特点： （1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题， 转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大 化简了计算；
2 a 3.
(a 2 1) 2
例3
计算 I
0
1cos2
. x
解 令 z eix ,
I
2 1
0
1cos2
dx x
1 z 11 ( z2 1)2
dz iz
2z
10
2 i
z4
z 1
2zdz 6z2 1
2 i
z4
z 1
dz 2 6z2
1
令 z2 u, 则 当 z 绕 z 1 正 向 一 周 时 ,u 绕 u 1 正 向 二 周 ;
思想方法 : 把定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分 .
两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
形如02πR(co,ssin)d
令zei dzieid
sin1(eiei) z 2 1 ,
2i
2 iz
d dz ,
iz
3
cos1(eiei) z 2 1 ,
2
2z
当 历经变程 [0,2π]时,
2ki
ak ae 4 ,k0,1
而Re s zak
f
(z)
1 4z3
|z ak
1
4
a
3 k
ak 4a4
,
20
所 以
dx 0 x4a4
4.2留用留数定理计算实变函数定积分
解析延拓246224611...(||1)1()1...(||1)||1()b z z z z zf z z z z z z f z -+-+=<+=-+-+<<↓是幂级数，在单位圆内部收敛，其和是解析函数，但在单位圆外级数发散而没有意义。
在一较小的区域上为解析函数21()1b B F z z i =+±↓在除去z=的全平面上是解析函数。
在含区域的一个较大的区域上是解析函数22|z|<1b 1F(z)f(z)1z +...(|z|<1)1z两者在较小的区域（）上等同称＝是＝－的＋解析延拓b ()F(z)Bb ().f z f z ⇒解析延拓：已给某个区域上的解析函数找出另一函数，在含有区域b 的一个较大区域上为解析函数，且在区域上等同于即解析函数定义域的扩大bB4.2 利用留数定理计算实变函数定积分留数定理的一个重要应用是计算某些实变函数的定积分。
实变函数的定义域在实轴上，而运用留数定理时需要寻找一个回路，显然在计算此类积分时需要构造一些回路。
教学重点：介绍三类实变函数定积分的计算().baf x dx a b l →⎰1积分区间[,],可看作复平面上的实轴上的一段xyo l 2121212(1)(2)B ()B (z)()()()ll l l l l l l l l f x f f z dz f x dx f z dz→−−−−→=+⎰⎰⎰ 解析延拓构造回路方法：利用自变数变换将复平面上某个新的回路补一段曲线，使＋＝回路，包围区域，则上的闭上的↓↓↓利用留数待求积分较易算出的积分定理计算 一般为0或用待求 积分表示bal 1B20(co i ,s ,s n )R x x dx ππ⎰类型一：特点：被积函数为三角函数的有理式积分区间[0,2],:0~2,11()ix ix ixixz e x z e z z dz dz d e ie dx dx izπ===−−−−−→===∴=绕原点一周回到方法：作变数代换：令则从xyo2πl 11111||11111cos (),sin ()2222I=(,)2Re (),221()(,)22ix ix ix ixk z e e e e x z z x z z i iz z z z dzR i sf z i iz z z z z f z R iz iπ------=--+-==+==-→+-=+-=⎰ 则实变函数定积分复变函数回路积分则原积分2012||1||1I=(01)1cos ,/()2212ixz z dx x dz z e dx iz dz iz dzI z z i z z πεεεεε-==<<+==∴==++++⎰⎰⎰ 例1：解：令则1122122221,21121122||122(1)()()244111112()111Res '()2222212222Re ()21z z z z z z z z z z z z z z z z f z z z z dz I i sf z i z z i εεεεεεεεεεεεϕψεεεππεεε===++++=---±--±-==-±-=∴===++-∴===++-⎰ 令＝在|z|=1内只有一个奇点，且为单极点()=2212221111|1(1)(1)111111|1z z εεεεεεεεεεεε-+---==---<=---+-==>>且||2022022222002I=(0)cos 2(01)1cos 11122()cos (1cos )1dxa a x dx x dx dx a x a a a x a aππππεεπεεεππεεεε>>+=<<+-∴===+-+-⎰⎰⎰⎰例：解：由可作为公式来用20220222023322222222233220022222I=(1)cos (01)1cos 2cos 1222(cos )2()()221(cos )1cos ()(1)dxa a x dx x dx a a x a dx aa a x a a dxadxa a x x a ππππππεεπεεππεεεππεεεε>+<<+=+--=-=-+--===++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰例：例：（）解：在基础上两端对求微分再令，（）2201122||1||1||12||1||11I=(01)12cos 1,,cos ()22/()()122,()(1)()(1),ix ixixz z z z z dxx dz e e z e dx x z z iz dz iz idz idzI z z z z z z z z idz idzz z z z z πεεεεεεεεεεεεεεεε---=====<<-++====+--∴===+--+----+-==----∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例：计算解：令则211212||11||1Res ()lim()()(1)12I=2Res ()()(1)1z z z z z i if z z z z idz i f z z z εεεεεεεεππεεε→====∴==----==---⎰ 是被积函数的两个单极点，但在内只有一个极点。
留数定理计算积分
留数定理计算积分留数定理（Residue Theorem）是复变函数论中的一个重要定理，用于计算恰当积分（狭义上的积分）。
留数定理是由法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）首次提出的，后来由数学家埃伯特（Augustin-Louis Cauchy）进一步发展和推广。
留数定理的基本思想是：将一个复变函数在复平面上的奇点（pole）附近进行留数运算，可以得到函数在这些奇点处的留数（Residue），而这些留数又与函数的积分值有着密切的关系。
具体来说，留数定理是基于复变函数的洛朗级数展开定理（Laurent series expansion），将复变函数表示为有限项幂级数的形式。
留数定理的表述如下：设f(z)是在以z0为中心的一个除去z0的可去奇点的域D上的解析函数，若沿着C所绕一圈的积分为I，则I=2πi∑Ci=1Res[f(z),zi]，其中Ci表示D中唯一一种类型的奇点，zi是沿C所绕一圈所取的这种类型的奇点。
简单来说，就是对于一个解析函数f(z)，如果它的奇点及其类型都已知，并且积分路径C能包围这些奇点，那么C绕这些奇点一圈的积分值就等于这些奇点处留数的和的2πi倍。
这个定理在计算积分时非常有效，因为通过计算奇点处留数，就能把积分问题转化为简单的代数运算。
下面我们通过一个具体的例子来说明留数定理的应用。
例子：计算函数f(z)的积分∮Cf(z)dz，其中C是圆周，z，=2的路径，函数f(z)=sin(1/z)。
解：首先，函数f(z)在z=0处有一个非孤立奇点，因此奇点处的留数需要通过级数展开来计算。
将函数f(z)展开为洛朗级数，得到：f(z)=sin(1/z)=1/z-1/(3!z^3)+1/(5!z^5)-1/(7!z^7)+…对于sin(1/z)来说，其除0外的所有整数次幂项的系数都为0，因此只需要计算奇点处的1/z系数即可。
由于我们只需要计算z=0处的留数，所以只需要取展开式的第一项，即留数为1根据留数定理，积分∮Cf(z)dz=2πi×留数=2πi×1=2πi。
山东大学《数学物理方法基础》课件-第4章
f
( z )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
8
小结
1. 判断极点的阶
lim
z z0
(z
z0
)
f
(z)
非零有限值Leabharlann z0为一阶极点lim
z z0
( z
z0 )m
f
( z )
非零有限值
z0为m阶极点
2. 计算极点的留数
lim
z z0
(z
z0 )m
f
( z )
非零有限值
a m
Resf
(z0 )
f(z)在m阶极点z0的留数a-1 = Resf(z0)是(z-z0)m-1项的系数， 该系数可以通过对(z-z0)mf(z)求m-1阶导数求得，
Resf
(z0 )
lim
z z0
1 dm1
(m
1)!
dz
m1
( z
z0 )m
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
9
1
例1：求 f (z) e z 在z0=0的留数Resf(0)
解： 利用e1/z在z0=0邻域上的洛朗级数展开式
1
ez
1 (1)k 1 1 1 1
1 1
1
,
1 (
)
k0 k ! z
定积分 b f (x) d x的积分区间[a,b]可以看作是复数平面上 a
实轴上的一段l1,
方法1：利用自变数的变换把l1 变换为某个新的复数平面
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闭合回路 L 的构成：原积分路线上增加半圆 CR (R→ )
则
其中 bk 为 F (z) 在上半平面的孤立奇点。
在以上推导中，还需
。
(实际上是求在引入曲线 CR 上的积分) 约当引理：
若 z 在上半平面及实轴上趋于 时，f (z) 一致地趋于 零，则
其中 m > 0，CR 是以 z = 0 为圆心、R 为半径的位于上半 平面的半圆。
证明：1. 令
，因为在
所以
设 则
而
这说明 – tan 单调递减，且由于 G(0) = 0，故
从而
所以 g ( ) 在 (0, / 2] 是递减函数，则
因此 即
函数
与函数
的曲线图
2. 令 z = Re i ，则 dz = Re i i (半圆上)，于是 而 |d|=d ， ：实数，且 d > 0 (逆时针) ，对于积分
式中已经变换了求和指标，并利用了
ln 2 (1)k 1 1 1 1 1
k 1
k
234
三、
型积分 (常见于傅里叶变换中)
因为
故求上式中等号右边的两个积分归结于求左边的积分。
注：
理解为它的积分主值。
对 f (z) 有以下假设： 1. f (z) 在上半平面中除了有限个孤立奇点外解析，在实轴
1 , 2 0 c1
x c 1,2 0 c1
它一般不为零。但由于右边的被积函数是奇函数，如果
1 = 2，则在 1= 2 = 趋于零之前，积分就已经是零。
因此，当 c 为 f (x) 的一阶极点时，有
c
lim f (x)dx 0
0 c
(4-2-2'' )
代入 (4-2-3)，得到：当 c 为 f (x) 的一阶极点时，有
i
dz |z|1 z2 2(2a2 1)z 1
2
第三，被积函数有两个一阶极点
z1,2 (2a2 1) 2a a2 1
易见 z1 在 |z| = 1 的回路内部，z2 在回路外。由留数定理有
I
2
i
1 i
lim
z z1
[
z
2
1 2(2a2
1) z
1]
'
2 i[
1 i
lim
z z1
2z
2. 方法：(1) 令 z = e i ——将自变量作变换： → z，把被
积函数变为复变函数，且有
[0, 2 ] → |z| = 1：沿区间 [0, 2 ] 的积分变成沿单位圆
的回路积分。 (2) 利用留数定理
设
于是，有
例：计算积分
I
2
dx
0 a2 sin2 x
(式中 a > 0)
解：首先作变换 = 2x，将积分区间化为 [0， ]，再
0
由上式，可得以下几个公式： 若 f (x) 为偶函数，则 若 f (x) 为奇函数，则
例：求
解：作辅助函数 f (z) 的奇点 (在上半平面)：z = ia，即 f (z) 在上半平面有 一个孤立奇点，且实轴上无奇点，又 f (z) 满足：
因此，本积分可以利用第三类型积分的相关公式。 F(z) 的留数： F(z) = f (z) eimz 在上半平面有一阶极点 z = ia，在该点的留 数为：
当 k = –1 时，有 当 k > –1，即 k + 1 > 0 时，有
因此 对于第二类型积分在实轴上外加一阶极点 b 时，有
则 从而
同理，第三类型积分在实轴上外加一阶极点 b 时，有
其中 F(z) = f (z) eimz，bk 为 f (z) 在上半平面的孤立奇点。 说明： (1) 如果实轴上有 n 个一阶极点，则引入 n 个无限小的
这一部分积分是不收敛的。这样不能采用半圆形积分回路。
(2) / 4 扇形回路：仍然有
又：沿辐角为 / 4 的直线方程是
分为
，沿此直线的积
在扇形回路内 没有奇点，则有
令 R→ ，得
即 所以
例2：计算积分
说明：(1) 已知
(2) 在量子力学中用到该积分
解：1. 选择辅助函数
若选第三类型的积分回路，则不满足
(2) 定积分化为沿闭合回路的积分； (3) 利用留数定理； (4) 如遇奇点，可绕过奇点。
例1. 计算费涅尔积分： 说明：(1) 已知 解：1. 选择辅助函数
；(2) 在光学中要用到该积分。
2. 闭合回路 (1) 采用第二类型积分的半圆型回路，则在半圆 CR 上， 有 z = Re i ，故
当 R→ 时，从 / 2 到 (此时 sin2 < 0，则 –R2 sin2 > 0)
a
a
c 2
c1
由于 f (x) 在 c 点连续，所以
因而
lim c2 f (x)dx 0
1 , 2 0 c1
(4-2-2)
b
f (x)dx
lim
[
c1 f (x)dx
b
f (x)dx]
a
1 , 2 0 a
c1
(4-2-3)
但如果 c 是函数 f (x) 的一个奇点，情况就不同了。例如， 设 f (x) 在 c 点趋于无穷，则 (4-2-2) 式一般不成立。
半圆，计算方法相同； (2) 实轴上出现高阶极点或本性奇点，在此不讨论。
注：教材 p115 对积分路径上有一阶极点的相关说明
设 f (x) 在 c 点连续。令 1 , 2 为两个小正数，我们有
b
f (x)dx [
c1 f (x)dx
b
f (x)dx] c2 f (x)dx
(4-2-1)
由留数定理，得到
又因为
所以，有
关键：计算 因为
故 从而
说明： f (z) 在实轴上没有奇点这一限制在一定条件下可以放宽
例：计算积分
I
dx
(1 x2 )ch x
2
解：(1) 辅助函数，令
f
(z)
(1
1 z2 )ch
z
2
它在上半平面有无限多个极点 bk = (2k+1) i (k = 0,1,…)， 但这些留数有简单的规律，仍可按第二类型积分计算。
4.2 利用留数定理计算实积分
留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定积分 思路：设法把实变函数定积分与复变函数闭合回路积
分联系起来。
将实变定积分联系于复变函数闭合回路积分的要点：
1. 定积分
的积分区间 [a,b] 可以看作是复数平面
上的实轴上的一段 L1；
2. 利用自变量的变换把 L1 变换成某个新的复数平面的回 路，这样就可以应用留数定理了。
符号 P 表示，即有
a
五、其它类型积分的例子 利用留数定理计算实变函数积分的四种典型方法要求
被积函数满足一定的条件。实际中遇到的积分，被积函数 又往往不满足所需条件。此时利用留数定理计算实积分的 基本思想还是一样的：
(1) 选择一个辅助函数和一条闭合回路 (增加路径上的积分 要么证明为零，要么容易计算)；
当 f (c) → 时，有
lim c2 f (x)dx 0
1 ,2 0 c1
因而 (4-2-3) 也不成立。
(4-2-2' )
现在假定 c 是 f (x) 的一阶极点，有洛朗展开式，即
f (x) A c( x c ) xc
代入 (4-2-2) 式的左边，得到
(4-2-4)
lim c2 f (x)dx lim c2 A dx
表示积分
的柯西主值，简称积分主值，即
对于无穷积分：
(实轴上有奇点)
设实轴上的点 b 是 f (z) 的一阶极点，若极限
及
存在，则
(I) 若上式的极限至少一个不存在，但
存在，则此极限
称为的积分主值，即
(II)
若(I)式的极限存在，则 (I)式等于(II)式，可略去V.P.。当然 有(II)式的极限存在，而(I)式的极限不存在，不能略去V.P.。 对 f (z) 的假设：与第二、第三种类型积分相同，除了在实
故 所以 于是
对约当引理的扩展： 若 z 在下半平面及实轴上趋于 时，f (z) 一致地趋于
零，则
其中 m < 0，CR 是以 z = 0 为圆心、R 为半径的位于下半平 面的半圆。
令 z = Re i ，则 dz = Re i i (半圆上)，于是
而 (m < 0)
(n = –m > 0) 故
lim[ f (x)dx f (z)dz]
R R
CR
L f (z)dz 2 i Re s f (bk ) k 0
2
i[ 1 2
i
k 1
(1)k i
1
2 (2k
1)2
]
1
k 1
(1)k
( k
1 1
1) k
1 (1)k1 (1)k1 2 ln 2
k2 k
k1 k
(2) 积分回路。因为 lim z f (z) 0 ，故 z lim f (z)dz 0 R CR
因此，仍可取图 4.5 的回路。f (z) 在回路中所有奇点处的
留数为
Re
s
（f b0）
1
2 i
Re
s
（f bk）
（2 1）k
i[1（2k 1）2 ]
(k 1, 2,
)
(3) 按留数定理计算
R
的条件。
例：沿 y 轴向上
。观察被积函数，
其为指数函数 与余弦函数
的乘积，而三角函数