河南省南阳市第一中学高二数学下学期期末考前模拟试题理(扫描版)
河南省南阳市第一中学_学年高二数学下学期开学考试试题理(PDF)【含答案】
南阳一中2017春期高二开学考试数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（ ）A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零 2．函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A.)2()3()3()2(0f f f f -<'<'<B.)2()2()3()3(0f f f f '<-<'<C.)2()3()2()3(0f f f f -<'<'<D.)3()2()2()3(0f f f f '<'<-<3．在曲线2y x =上的切线的倾斜角是4π的点为（ ） A ．(0,0) B.(2,4) C.11(,)416 D.11(,)244．如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）,则第n 个图形中共有（）个顶点。
A ．（n+1）（n+2）B ．（n+2）（n+3）C ．2n D ．n5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB|等于（ ）A ．8B ．10C ．6D ．46．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当F B →⊥A B →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12 B.5－12C.5－1D.5＋1 7．已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．221x y 36-=D ．221x y 63-= 8．在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）A ．c b a ,,成等差数列B ．b c a ,,成等差数列C ．b c a ,,成等比数列D ．c b a ,,成等比数列9．已知椭圆)20(1cos sin 22πααα<≤=-y x 的焦点在y 轴上，则α的取值范围是（ ）A ．34ππ（，） B.1344ππ（，） C.12ππ（，） D.1324ππ（，）10．抛物线C 1：y=12px 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A.16 B.8 C.3 D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11.已知函数的导函数为，若，则 .()f x ()'f x ()()2'1ln f x f x x =+()1f =12.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．13.已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是______14.曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a . 其中所有正确的结论的序号是 .三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本小题满分10分）已知函数26()ax f x x b-=+的图像在点M （-1，(1)f -）处的切线方程为250x y ++=，求函数()y f x =解析式。
河南省南阳市第一中学2018_2019学年高二数学下学期开学考试试题文(扫描版)
河南省南阳市第一中学2018-2019学年高二数学下学期开学考试试题文（扫描版）高二文科数学开学考试参考答案1-5 DABAB6-10CCBDC 11-12DB13． 14.[-1，]15．16．217．（Ⅰ）；（Ⅱ）或.解：（Ⅰ）若为假命题，则为真命题.若命题p真，即对∀x∈[0，1]，恒成立⇔所以.（Ⅱ）命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆∴⇒或.∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题∴p、q一真一假①如果p真q假，则有；②如果p假q真，则有.综上实数m的取值范围为或.18.（1）（2）解：（1）由及正弦定理，得. 因为为锐角，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，所以.考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.19．解：（1）由题得a n2+a n=2S n，a n+12+a n+1=2S n+1，两式子相减得：结合a n＞0得a n+1﹣a n=1，令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，所以{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，即a n=n（2）因为b n ==（n ≥2），所以T n =+…+①T n =+…++②①﹣②得T n =1++…+﹣=﹣，所以数列{b n }的前n 项和T n =3﹣．20．（1）y 2＝4x ．（2）﹣12＜k ＜0．解：（1）设P （x ，y ），由题意可得，P 在直线x +2＝0右边，所以P 点到直线x ＝﹣1和到F （1，0）距离相等，所以P 点的轨迹是顶点在原点，F 为焦点，开口向右的抛物线，∵F 和顶点的距离1，2p ＝4，所以轨迹C 的方程是y 2＝4x ．（2）由题意知直线l 的斜率存在设为k ，所以直线l 的方程y ＝kx+2（k≠0），M （），N （）联立得消去x 得ky2﹣4y+8＝0∴，，且△＝16﹣32k ＞0即k ． ∴（）•（）＝（）•（）+y1y2∵，∴﹣12＜k ＜0，满足k ，∴﹣12＜k ＜0．21解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝()xa x a x )1)(1(---．(i)若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<aa －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0. f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>a a －1，所以不合题意．(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<aa －1，符合题意． 综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．22.解：（1）椭圆：的离心率为，可得，，点在椭圆上，可得，解得，，椭圆的标准方程为：； （2）假设在轴上存在定点，使得为定值.设，， 椭圆的右焦点为，设直线的方程为，联立椭圆方程，化为，则，，.令，解得，可得，因此在轴上存在定点，使得为定值.。
南阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题参考答案
南阳市2022-2023学年高二下学期期末数学参考答案一.选择题.1-8.BCAD CCCA 二.选择题.9.AD 10.ABD11.BD12.AC三．填空题.13.17114.13-=x y 15.73+16.22（本空2分）324+=n n a （本空3分）提示16.由题知，若n 为奇数，则n n f =)(；若n 为偶数，则).2()(n f n f =故,21=a ）（）（）（）（）（）（）（）（n n n f f f f f f f f a 264212531+++++-++++= ）（）（）（）（）1232112(531-+++++-++++=n n f f f f 11114,222----=-∴+⋅=n n n n nn a a a 112211)()()(2a a a a a a a a n n n n n n +-++-+-=≥∴--- 时，324241)41(42444121+=+--=++++=---n n n n ，又21=a 符合上式324+=∴n n a 四.解答题:17.解：（1）由题知,5)76543(51=++++=x ................1分,54.1)2.29.15.11.11(51=++++=y ................2分32.05513554.1557.41ˆ2=⨯-⨯⨯-=∴b，................5分06.0532.054.1ˆ-=⨯-=a................6分故y 关于x 的线性回归方程为06.032.0-=x y ................7分（2）由（1）知，当10=x 时，14.306.01032.0=-⨯=y 所以预测该月用户为3.14万人.................10分18.解：（1）由题得................2分成绩低于110分不低于110分合计感兴趣91625不感兴趣21425合计302050828.101220302525)211694(5022>=⨯⨯⨯⨯-⨯=χ................4分所以有99.9％的把握认为“该校高二年级学生对数学的感兴趣程度与成绩不低于110分有关”.................5分（2）由题意知，X 的可能取值为0,1,2,3.,141)0(484503===C C C X P ,73146)1(483513====C C C X P ,73146)2(482523====C C C X P 141)3(481533===C C C X P .................9分X 的分布列为X 0123P1417373141故期望2314137327311410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ................12分19.解：（1）1=n 时，1,121111=∴=-=a a a S .....2分2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a ，21=∴-n na a .....4分∴数列}{n a 是以1为首项，2为公比的等比数列故*12N n a n n ∈=-，.....6分(2)由（1）得12)1(-∙-=n n n b .....7分12102)1(222120-∙-++∙+∙+∙=∴n n n T =n T 2n n n n 2)1(2)2(2120121∙-+∙-++∙+∙- .....9分nn n n T 2)1(2222132--++++=-∴- 22)2(2)1(21)21(21---=----=-n n n n n .....11分*,22)2(N n n T n n ∈+-=∴.....12分20.解：（1）证明： AC C A C A AC AA AC A ⊥=∴==︒=∠1111,2,2,22,45.....2分又因为平面⊥11A ACC 平面ABC ，交线为AC，111A ACC C A 平面⊂，ABC C A 平面⊥∴1，.....4分BC A C A 11平面⊂，∴平面⊥BC A 1平面ABC.....5分（2）以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示则)2,3,1(),2,0,2(),0,3,1(),2,0,0(111--B C B A .....7分)2,0,2(),2,3,1(),2,3,3(111-=--=--=∴BB BA BC 设平面11BC A 的法向量),,(111z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,011BA m BC m 即⎩⎨⎧=+--=+--,023,023*******z y x z y x 令21=y ，则)3,2,0(=m .....9分设平面11C BB 的法向量),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,011BB n BC n 即⎩⎨⎧=+-=+--,022,023322222z x z y x 令12-=y ，则)3,1,3(-=n .....11分71||||,cos =∙>=<∴n m n m n m 二面角111B BC A --的余弦值为71......12分21.解：（1）设直线l 的方程为：,n my x +=代入x y =2得02=--n my y ，设),(),,(2211y x B y x A ,则ny y m y y -==+2121,.....3分由6)(2212212121=-=+=+=∙n n y y y y y y x x OB OA 2-=∴n （舍去）或3=n 故点M 的坐标为（3，0）......5分(2)由（1）知321-=y y ，不妨设01>y ，123y y -=.....6分)323)(23||||21112121y y y y y y OM S OAB +=-=-=∆（.....8分1283||||21y y OF S S OBF OBC ===∆∆.....10分∴2133134283)1348383923111111=∙⨯≥+=+=+=∆∆y y y y y y S S S OBC OAB OABC （四边形当且仅当11134y y =，即2131=y 时等号成立故四边形OABC 面积的最小值为2133......12分22.解：（1）函数)(ln )(2R k kx x x f ∈-=有两个零点化为2ln xxk =有两个正根，设2ln )(x xx g =，),0(+∞∈x ，3ln 21)(x x x g -='，.....2分由0)(>'x g 得),0(e x ∈，由0)(<'x g 得)(∞+∈，e x )(x g ∴在,0(e 单增，在)(∞+，e 单减.....4分又，0)1(=g ee g 21)(=当1>x 时0)(>x g 故实数k 的取值范围为21,0(e.....6分（2）由（1）知211x e x <<<由题得⎩⎨⎧==222211ln ln kx x kx x ∴⎩⎨⎧-=-+=+）（）（212212212212ln ln ln ln x x k x x x x k x x .....8分12212212122122212221ln 1)(1)(ln ln ln x x x x x x x x x x x x x x -+=-+=+∴，设),1(12+∞∈=t x x 由题知，需证明,1ln 1122>-+t t t 对),1(+∞∈t 恒成立即,011ln 22>+--t t t 对),1(+∞∈t 恒成立，.....10分记11ln )(22+--=t t t t ϕ，0)1()1()1(41)(222222>+-=+-='t t t t t t t ϕ)(t ϕ∴在),1(+∞上单调递增且0)1(=ϕ，故0)(>t ϕ对),1(+∞∈t 恒成立综上所述，1ln ln 21>+x x 成立......12分。
河南省南阳市第一中学高二数学下学期第二次月考试题理(扫描(2021年整理)
河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题理（扫描版）
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河南省南阳市第一中学高二下学期期末考前模拟数学(文)试题
2016年春期高二文科数学期末考前模拟试卷参考答案一选择题 ACABB BBAAB AA二填空题 5；16； S BCD2=S ABC2+S ACD2+S ADB2 ； 4三解答题17解：设复数a=x+yi,(x,y 为实数)，则错误！未找到引用源。
，得方程错误！未找到引用源。
，解方程得：错误！未找到引用源。
，所以复数a=错误！未找到引用源。
(10分) 18解：（1）由框图可知∵a i+1=a i +d ，∴{a n }是等差数列，设公差为d ，则有∴=，由题意可知，k=5时，∴得或（舍去）故a n =a 1+（n ﹣1）d=2n ﹣1 (6分) （2）由（1）可得：b n =2an=22n ﹣1∴b 1+b 2+......+b m =21+23+......+22m ﹣1==所以当m=5时，答案为682 (也可逐项求出再求和) （12分） 19 解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程式（t 为参数），得（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=25即为圆C 1的普通方程， 即x 2+y 2﹣8x ﹣10y+16=0．将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入上式，得．ρ2﹣8ρcos θ﹣10ρsin θ+16=0，此即为C 1的极坐标方程； (6分) （Ⅱ）曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ化为直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2y=0， 由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．（12分）20解：（1）X=2即为甲连赢两场或者乙连赢两场，两者之间互斥，概率为错误！未找到引；(4分)用源。
（2）X=4的可能情况为甲一赢二输三赢四赢，概率错误！未找到引用源。
一输二赢三赢四赢，概率错误！未找到引用源。
乙一赢二输三赢四赢，概率错误！未找到引用源。
一输二赢三赢四赢，概率，错误！未找到引用源。
（12分）四种情况之间彼此互斥，所以P(X=4)=错误！未找到引用源。
21 解：（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（4分）（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x﹣2y﹣7=0，求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin（θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．) （此处最值4分，Q点坐标4分）（12此时Q(错误！未找到引用源。
河南省南阳市第一中学高二数学下学期开学考试试题 理(
高二春期开学考试理科数学参考答案一、选择题1-5 CDACB 6-10 BCCDD 11-12 CD二、填空题13．()()11216n n n ++ 14．2 15．-4 16．43三、解答题17．(1)由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a -⋅-< 又0a >，所以3a x a <<当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x <<由2560x x -+≤得23x ≤≤ 所以q 为真时，实数x 的取值范围是23x ≤≤.若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3(2)设{}|3A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤ q 是p 的充分不必要条件，则B A⊂所以021233a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是()1,2 .18．(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝3π.(2)由S ＝12bcsin A ＝12bc·2＝4bc ＝，得bc ＝20. 又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a又由正弦定理，得sin Bsin C ＝b a sin A·c a sin A ＝2bc a·sin 2A ＝2021×34＝57. 19．（I ）因为1121121,22222S a S a a ⨯==+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+， 由题意，得2111(22)(412)a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-.（II ）11144(1)(1)(21)(21)n n n n n n n b a a n n --+=-=--+111(1)()2121n n n -=-+-+ 当n 为偶数时，1111111(1)()()()33523212121n T n n n n =+-+++--+---+L 1121n =-+221n n =+ 当n 为奇数时，1111111(1)()()()33523212121n T n n n n =+-++++-+---+L 1121n =++2221n n +=+ 所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，（或1n 21(1)2+1n n T n -++-=） 20．解：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，xy y x p 200400900++=S S S S xy y x p xy S 12002002004009002200400900+=+⨯≥++=∴=，Θ 又因为0160632000120020032000≤-+≤+≤S S S S p ，化简得，所以，解得01016>≤≤-S S ，又,1000≤<∴S ，当且仅当320100400900=⎩⎨⎧==x xy y x ，即时S 取得最大值。
河南省南阳市近年-近年学年高二数学下学期期末考试试题文(扫描版)(最新整理)
2019年春期高中二年级期终质量评估数学试题（文)参考答案一、选择题1．A 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8. B 9。
D 10．C 11．B 12．C 二、填空题13．丁 14．4＋3i 15． 16．②④三、解答题 17．解析：（1）∵为纯虚数，∴∴，所以……………………………………………………………5分(2),∴。
∴复数. ……………………………………………………………10分18。
解析：(1）曲线的普通方程为， ………………………………………2分,曲线表示焦点在轴上的椭圆. …………………………………………4分（2）将直线的参数方程（为参数）代入椭圆方程，整理得,即， …………………………………………6分，设对应的参数分别为、,则……………………………………………………8分 由的几何意义知,，,ωxl21212286.1at t t t a++⋅=+于是，，， …………………………10分若，，成等比数列，则有，即，解得，所以实数的值为。
……………………………………………………………12分19．解析：（1）由已知得错误!解得d ＝2， …………………2分故a n ＝2n －1＋错误!，S n ＝n （n ＋错误!)． …………………………………………6分 (2)证明：由(1）得b n ＝错误!＝n ＋错误!.假设数列{b n ｝中存在三项b p ，b q ，b r （p ，q ，r∈N ＊，且互不相等)成等比数列,则b 2q ＝b p b r 。
即（q ＋错误!)2＝(p ＋错误!）（r ＋错误!）．∴（q 2－pr)＋错误!(2q －p －r ）＝0. ……………………………………………8分 ∵p，q ，r∈N ＊，∴q 2－pr 为有理数．而若2q －p －r≠0,则错误!(2q －p －r ）为无理数．显然(q 2－pr ）＋错误!（2q －p －r ）＝0不成立．…………………………………10分 ∴错误!∴，（p －r)2＝0。
河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期期末考前模拟数学(文)试题扫描版含答案
2016年春期高二文科数学期末考前模拟试卷参考答案一选择题 ACABB BBAAB AA二填空题 5；16； S BCD2=S ABC2+S ACD2+S ADB2 ； 4三解答题17解：设复数a=x+yi,(x,y 为实数)，则121213,2(24),(2612)(246)1z i z x y i z z x y y x i =-=++∙=++++-=，得方程261212460x y y x ++=⎧⎨+-=⎩，解方程得：1203720x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以复数a=1372020i - (10分) 18解：（1）由框图可知∵a i+1=a i +d ，∴{a n }是等差数列，设公差为d ，则有∴=，由题意可知，k=5时，∴得或（舍去）故a n =a 1+（n ﹣1）d=2n ﹣1 (6分) （2）由（1）可得：b n =2an=22n ﹣1∴b 1+b 2+......+b m =21+23+......+22m ﹣1==所以当m=5时，答案为682 (也可逐项求出再求和) （12分） 19 解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程式（t 为参数），得（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=25即为圆C 1的普通方程， 即x 2+y 2﹣8x ﹣10y+16=0．将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入上式，得．ρ2﹣8ρcos θ﹣10ρsin θ+16=0，此即为C 1的极坐标方程； (6分) （Ⅱ）曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ化为直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．（12分）20解：（1）X=2即为甲连赢两场或者乙连赢两场，两者之间互斥，概率为22115 33339⨯+⨯=；(4分)（2）X=4的可能情况为甲一赢二输三赢四赢，概率21228 333381⨯⨯⨯=一输二赢三赢四赢，概率12228 333381⨯⨯⨯=乙一赢二输三赢四赢，概率12112 333381⨯⨯⨯=一输二赢三赢四赢，概率21112 333381⨯⨯⨯=，四种情况之间彼此互斥，所以P(X=4)= 2081（12分）21 解：（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（4分）（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x﹣2y﹣7=0，求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin（θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．此时Q(329,55-) （此处最值4分，Q点坐标4分）（12分）22解：(1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由已知得f ′(1)＝0，f (1)＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＋2＝－1，解得b ＝1，c ＝－5.经验证：b ＝1，c ＝－5符合题意． (5分) (2)由(1)知f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2x －5. 由f ′(x )＝0得x 1＝－53，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：根据上表，当x ＝－3时函数取得极大值且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27，当x ＝1时函数取得极小值且极小值为f (1)＝－1.根据题意结合上图可知k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22927.（12分）。
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期阶段检测考试数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期阶段检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()51213i i z +=，则z =（ ）A ．15B ．12C ．1D ．5【答案】C 【分析】化简1251313z i =+，即得解. 【详解】因为13(512)125512131313i i i z i i -===++， 所以1z =． 故选：C2．已知函数2()6f x x =-，且()02f x '=，则0x =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【分析】依题意求出函数的导函数，再解方程即可；【详解】解：由题意可得()6f x '=-+，因为()0062f x '=-+=，所以0x = 故选：B3．已知x 为正数，随机变量ξ的分布列为则x =（ ） A ．19B ．112 C ．16D ．18【答案】C【分析】利用分布列的概率和为1，即可求解. 【详解】由分布列可知，321x x x ++=，得16x =． 故选：C4．下面给出的类比推理中（其中R 为实数集，C 为复数集），结论正确的是（ ）A ．由“已知,a b ∈R ，若a b =，则a b =±”类比推出“已知,a b C ∈，若a b =，则a b =±”B ．由“若直线a ，b ，c 满足//a b ，//b c ，则//a c ”类比推出“若向量a →，b →，c →满足//a b →→，//b c →→，则//a c →→”C ．由“已知,a b ∈R ，若0a b ->，则a b >”类比推出“已知,a b C ∈，若0a b ->，则a b >”D ．由“平面向量a →满足22a a →→=”类比推出“空间向量a →满足22a a →→=” 【答案】D【分析】根据复数知识判断选项A ；根据平面向量知识判断选项B ；根据复数不一定可以比较大小判断C ；根据空间向量知识判断选项D ；【详解】在复数集C 中，若两个复数满足||||a b =，则只表示它们的模相等，a ，b 不一定相等或相反，所以A 不正确；当b →为零向量，a →，c →为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，所以B 不正确；在复数集C 中，例如2a i =+，1b i =+，此时10a b -=>，但a ，b 都是虚数，无法比较大小，所以C 不正确；平面向量或空间向量a →，均满足22a a →→=，所以D 正确． 故选：D.5．某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球，则恰有5次投中的概率为（ ） A ．520.80.2⨯ B ．5527C 0.80.2⨯⨯C ．0.85D ．557C 0.8⨯【答案】B【分析】根据独立重复试验的概率计算公式直接计算出结果.【详解】根据独立重复试验的概率计算公式()()1n kkk nP X k C p p -==⋅-⋅可知：恰有5次投中的概率为55270.80.2P C =⨯⨯．故选：B.6．已知函数2()ln 21f x x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．0x y +=B ．20x y --=C ．210x y +-=D ．240x y --=【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解切线的斜率，最后写出切线方程即可.【详解】因为()2ln 2f x x x x '=+-， 所以(1)121f '=-=-． 因为()11f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x +=--， 即0x y +=． 故选：A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数在切点处的取值为切线的斜率，这类问题需要注意题目中的关键信息，是在这个点处还是过这个点，注意区别对待.7．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则()|P B A =（ ） A ．1011 B ．56C ．12D ．512【答案】C【分析】根据已知条件先分析事件A 对应的情况数，然后分析事件,A B 同时发生的情况数，由此求解出()(),P A P AB 的值，再根据公式()()()P AB P B A P A =求解出结果.【详解】由题知，事件A 出现的情况有66630⨯-=种，事件A ，B 同时出现的情况有3515⨯=种，所以()1536P AB =，30()36P A =，()()()151302P AB P B A P A ===． 故选：C.8．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A ，B ，C 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B 说：“你的名次在C 之前．”对C 说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（ ） A ．108 B ．120 C ．144 D ．156【答案】A【分析】先选冠军有13C 种可能，最后一名有13C 种可能，再排剩下4个位置，即得解. 【详解】因为A ，B ，C 都没有得到冠军，所以从D ，E ，F 中选一个为冠军，有13C 种可能．因为C 不是最后一名，B 的名次又在C 之前，所以最后一名有13C 种可能，剩下4个位置．因为B ，C 定序，所以有442212 A A =种可能，所以6人的名次排列有3312108⨯⨯=种不同情况． 故选：A9．已知()272901291(21)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则2468a a a a +++=（ ） A ．10935 B ．5546 C ．5468 D ．5465【答案】D【分析】令1x t -=，则()2729012922(12)t t t a a t a t a t +++=++++，令0t =，得02a =；令1t =，可得0129a a a a ++++；令1t =-，可得0129a a a a -++-，进而可得结果.【详解】令1x t -=，则()2729012922(12)t t t a a t a t a t +++=++++，令0t =，则02a =． 令1t =，则012910935a a a a ++++=，令1t =-，则01291a a a a -++-=-，所以024********54672a a a a a -++++==， 所以246805467546725465a a a a a +++=-=-=． 故选：D.10．已知函数32()ln 2e f x x x x ax =-+-，若对任意的(0,)x ∈+∞，()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．)2e ,⎡+∞⎣【答案】A【分析】问题转化为22lnx a x ex x-++，令2()2lnx h x x ex x =-++，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出a 的取值范围即可．【详解】2()()2lnxf xg x a x ex x⇔-++， 令2()2lnxh x x ex x=-++，则2211()222()lnx lnxh x x e x e x x --'=-++=--+， 当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， ()h x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()h x ∴的最大值为21()h e e e=+，则21a e e+，故选：A11．十九大报告提出实施乡村振兴战略，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．将这5名毕业生分配到该山区的A ，B ，C 三所小学，每所学校至少分配1人（ ）．A ．若甲不去A 小学，则共有120种分配方法B ．若甲、乙去同一所小学，则共有36种分配方法C ．若有一所小学分配了3人，则共有90种分配方法D ．共有120种分配方法 【答案】B【分析】A ．分析A 小学分别分配1,2,3人的分配方法数且甲不在A 小学，由此可计算出总的分配方法数；B ．分别考虑甲、乙所去的小学仅有2人，甲、乙所去的小学有3人，计算出对应的分配方法数再相加即可；C ．考虑将5人分成3，1，1三组，然后再将三组人分配给三所小学，计算出对应的分配方法数；D ．考虑5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况，计算出总的分配方法数即可.【详解】5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况，若A 小学安排1人且甲不在A 小学，则有()1322442456C C A C ⨯+=种分配方法，若A 小学安排2人且甲不在A 小学，则有21243236C C A =种分配方法， 若A 小学安排3人且甲不在A 小学，则有32428C A =种分配方法， 所以甲不去A 小学共有56368100++=种分配方法，所以A 错误；若甲、乙同去A ，当A 中仅有2人时，则将剩下3人分到B ，C 小学共有1223226C C A =种分配方法，当A 中有3人时，则将剩下3人平均分到A ，B ，C 三所小学共有336A =种分配方法，所以甲、乙去同一所小学共有()136636C +⋅=种分配方法，所以B 正确；若有一所小学分配了3人，先将5人分成3，1，1三组，再将三组人分配到三所小学，所以共有335360C A =种分配方法，所以C 错误； 由上根据部分平均分组可知一样共有311221352153132222150C C C C C C A A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法，所以D 错误； 故选：B.12．现有11棵树径（绕树底部围一圈得到的周长）均不相等的国槐需要种植在新办公楼的前面，种成一排，若要求从中间往两边看时，树径都依次变小，则树径排第五的那棵树和树径排第一（树径最大）的那棵树相邻的概率为（ ） A ．27B ．29C ．584D ．542【答案】D【分析】首先基本事件有510252C =，然后树径排第五的那棵树和树径排第一（树径最大）的那棵树相邻有46230C =，进而根据概率公式即可求得结果.【详解】将树径从高到低的11棵树依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，则1号必须排在正中间，从其余10棵中任选5棵排在1号的左边，剩下的5棵树排在1号的右边，有510252C =种排法．当排名第五的5号排在最高的1号的左边时，从6，7，8，9，10，11中任选4棵排在5号的左边，其余五棵排在1号的右边，有4615C =种排法，同理当排名第五的5号排在最高的1号的右边时，也有15种排法．所以树径排第五的那棵树和树径排第一的那棵树相邻的概率为30525242=． 故选：D.二、填空题13．已知z 为纯虚数，若()()12z i ++在复平面内对应的点在直线0x y -=上，则z =________．【答案】13i【分析】根据z 为纯虚数设()z ai a R =∈，由此计算出()()12z i ++并将其对应的点的坐标代入0x y -=，由此求解出a 的值，则z 可知.【详解】设()z ai a R =∈，则()()()()()1212221z i ai i a a i ++=++=-++． 因为()221a a i -++对应的点为()2,21a a -+，所以221a a -=+，解得13a =，故13z i =．故答案为：13i .14．在()622y x y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+的展开式中，34x y 的系数为________．【答案】58-【分析】求出62y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求出系数.【详解】因为62y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为61612rr r rr T C x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以34x y 的系数为4343661152228C C ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：58-.15．已知函数ln ,1,()1(7),14x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若21x x >且()()12f x f x =，则21x x -的最小值是________． 【答案】118ln 2-【分析】首先画出函数的图象，由()()12f x f x t ==，解出12,x x ，并将21x x -转化为关于t 的函数，利用导数求函数的最小值. 【详解】作出函数()f x 的大致图象如图所示，设()()12f x f x t ==，则02t ≤<．由()()11174f x x t =+=，可得147x t =-；由()22ln f x x t ==，可得2t x e =． 令21()47tg t x x e t =-=-+，其中02t ≤<，则()4t g t e '=-．由()0g t '=，得2ln 2t =．当02ln 2t ≤<时，()0g t '<，则()g t 在[0,2ln 2)上单调递减； 当2ln 22t <<时，()0g t '>，则()g t 在[2ln 2,2]上单调递增． 所以min ()(2ln 2)118ln 2g t g ==-．即21x x -的最小值为118ln 2-． 故答案为：118ln 2-【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点，利用导数求函数的最值的综合问题，属于中档题型，本题的关键是结合函数的图象，得到t 的取值范围，并得到147x t =-，2tx e =.三、双空题16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22,，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列{}n a ，则322112321a a a a ++++=________．【答案】92 336【分析】记第n 个图形的点数为n a ，由图形，归纳推理可得113(1)n n a a n --=+-，再根据累加得可得(31)2n n a n =-，进而求出8a ．由于(31)2n na n =-可得312n a n n -=，根据等差数列的前n 项和即可求出322112321a a a a ++++的结果. 【详解】记第n 个图形的点数为n a ，由题意知11a =，214131a a -==+⨯， 32132a a -=+⨯，43133a a -=+⨯，…，113(1)n n a a n --=+-，累加得147[13(1)](31)2n na a n n -=++++-=-，即(31)2n na n =-，所以892a =．又312n a n n -=， 所以3221111262(25862)213362321222a a a a +++++=++++=⨯⨯=．四、解答题17．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利．为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础，在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家农产品加工厂加工同一种农产品．已知食品安全监管部门随机抽检了两个加工厂生产的产品各100件，在抽取的200件产品中，根据检测结果将它们分为A ，B ，C 三个等级，A ，B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表（表一）所示．（表一）（表二）在相关政策的扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），若从抽取的100件乙产品中选取2件，求刚好1件合格品，1件次品的概率；（2）用频率代替概率，从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，求甲抽到的合格产品件数比乙多的概率．【答案】（1）填表见解析；1633；（2）2150．【分析】（1）结合表（一）完成列联表即可，由排列组合可得古典型概率；（2）依题意可得，从甲、乙两加工厂各抽取1件产品，抽到合格品的概率分别为34，35．从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，设抽到合格品的件数分别为X ，Y ，记事件A 为“从甲，乙两加工厂各抽取2件产品，甲抽到的合格产品件数比乙多”，则()()()()()()()102021P A P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==．进而可得结果. 【详解】（1）22⨯列联表如下因为100件乙产品中合格品60件，次品40件，所以所求概率为11604021001633C C C =．（2）因为用频率近似概率，所以从甲、乙两加工厂各抽取1件产品，抽到合格品的概率分别为34，35．从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，设抽到合格品的件数分别为X ，Y ，记事件A 为“从甲，乙两加工厂各抽取2件产品，甲抽到的合格产品件数比乙多”，则()()()()()()()102021P A P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==．因为12333(1)1448P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，239(2)416P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，234(0)1525P Y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，123312(1)15525P Y C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以349491221()8251625162550P A =⨯+⨯+⨯=．18．已知函数23215()6132f x a x ax x =-++在2x =处取得极大值．（1）求a ；（2）求经过点()()0,0f 且与曲线()y f x =相切的直线斜率． 【答案】（1）1a =；（2）6或2116． 【分析】（1）由题意可知0a ≠，求出函数的导函数，令()0f x '=，即可求出参数的值，还需判断函数的单调性进行检验；（2）由（1）知3215()6132f x x x x =-++，求出函数的导函数，设切点为()()00,x f x ，表示出切线方程，最后将点()0,1代入切线方程，求出0x ，即可得解；【详解】解：（1）由题意可知0a ≠，22()56(2)(3)f x a x ax ax ax '=-+=--． 令()0f x '=，得2x a =或3x a=． 当0a >时，23a a<，则22a =，得1a =，所以()(2)(3)f x x x '=--，所以当()(),23,x ∈-∞+∞时()0f x '>，()2,3x ∈时()0f x '<，即()f x 的单调递增区间是(,2)-∞和(3,)+∞，单调递减区间是()2,3， 当2x =时()f x 取得极大值，满足题意； 当0a <时，320a a<<，显然不合题意．故1a =． （2）由（1）知3215()6132f x x x x =-++，则(0)1f =，2()56f x x x '=-+．设切点为()()00,x f x ，则()200056f x x x '=-+，所以切线方程为()()32200000015615632y x x x x x x x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，将点()0,1代入，得320025032x x -=，所以00x =，或0154x =．因为(0)6f '=，1521416f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以经过点()()0,0f 且与曲线()y f x =相切的直线斜率为6或2116． 19．某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项．（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X 的分布列． 【答案】（1）415；（2）答案见解析． 【分析】（1）利用古典概型计算公式可得：甲选排球的概率，乙未选排球的概率，再利用相互独立概率计算公式即可求出结果；（2）首先求出X 的可能取值，然后求出丙选排球的概率，进而求出对应概率，即可列出分布列.【详解】解：（1）设A 表示事件“甲选排球”，B 表示事件“乙选排球”，则12232()3C P A C ==，24353()5C P B C ==．因为事件A ，B 相互独立，所以甲选排球且乙未选排球的概率234()()()13515P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭．（2）设C 表示事件“丙选排球”，则24353()5C P C C ==．X 的可能取值为0，1，2，3．1224(0)35575P X ==⨯⨯=；2221321234(1)35535535515P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；23222313311(2)35535535525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；2336(3)35525P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为20．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A ，B ，C 三大类，其中A 类有3个项目，每项需花费2小时，B 类有3个项目，每项需花费3小时，C 类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中选择3个项目，每个项目的选择机会均等．（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X 小时，求X 的分布列． 【答案】（1）928；（2）答案见解析． 【分析】（1）在三类项目中各选一个有111332C C C 种选法，总的选法数有38C 种，两者相除即可求得所求概率；（2）先分析X 的可取值，对于每一个X 的取值，利用该值对应的选法数除以总的选法数即可求得对应概率，由此可得X 的分布列. 【详解】解：（1）记事件M 为在三类中各选1个项目则111332389()28C C C P M C ==，所以小张在三类中各选1个项目的概率为928． （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8，9，则2123383(4)56C C P X C ===；21212332389(5)56C C C C P X C +===； 111323333819(6)56C C C C P X C +===； 212132333815(7)56C C C C P X C +===； 2133389(8)56C C P X C ===；33381(9)56C P X C ===．所以分布列如下表所示：21．已知数列{}n a ，{}n b 满足16a =，2154a =，12n n n a b a ++=，1n n n n n b a b +=+．（1）证明：{}n n a b 为常数数列，且13n n a a +>>．（2）设数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：499n nS <+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先利用递推关系，两式相乘证明{}n n a b 为常数数列，进而得到9n nb a =， 通过基本不等式证明3n a >，接着证明10n n a a +-<即可； （2）利用13n n a a +<<，放缩得到()2211994n n a a +-<-，进而得到121111349n n b -⎛⎫≤⨯+⎪⎝⎭， 最后求和证明不等式即可. 【详解】证明：（1）因为1122n n n nn n n n n na b a b a b a b a b +++=⨯=+， 所以数列{}n n a b 为常数数列，因为16a =，2154a =，且1122a b a +=，所以132b =，故119n n a b a b ==，9n nb a =． 易知0n a >，则11932n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当3n a =时取等号）．因为163a =≠，所以3n a >．因为21902nn n na a a a +--=<，所以13n n a a +<<． （2）由()281n n a b =，得221181n n a b =， 因为13n n a a +<<，所以()222121811182744n n n n a a a a +⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭， 则()2211994n n a a +-<-， 所以()1122111992744n n na a --⎛⎫⎛⎫-≤-=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1212794n na -⎛⎫≤⨯+ ⎪⎝⎭，所以122111181349n n n a b -⎛⎫=≤⨯+ ⎪⎝⎭． 当1n =时，211441999b =<+； 当2n ≥时，11111111144113449399914nn n n S n n -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭<++++=⨯+<+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，故499n n S <+． 【点睛】本题主要考查数列不等式的证明，在处理中要用到不等式的放缩，这类问题有一定的难度，适当的进行放缩是解决问题的关键，在备考中要多总结提高. 22．已知函数2()2e 1x f x ax =-+．（1）若()f x 在(0,)+∞上不单调，求a 的取值范围．（2）若()f x 在区间(0,)+∞上存在极大值M ，证明：1M a <+． 【答案】（1）(,)e +∞；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数的导函数()2x e f x x a x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，再令()xe g x x =，利用导数说明其单调性与最小值，即可求出参数a 的取值范围．（2）由（1）可知a e >，令()()h x f x ='，利用导数说明()f x '的单调性，即可得到存在0(0,1)x ∈，使得()00f x '=，从而得到当0x x =时，()f x 取得极大值，即02021x M e ax =-+，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：()()22x xe f x e ax x a x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．令()xe g x x =，则2(1)()x x e g x x -'=．当01x <<时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故min ()(1)g x g e ==．因为()f x 在(0,)+∞上不单调，即()0f x '=在(0,)+∞有变号零点，所以a e >，即a 的取值范围为(,)e +∞．（2）证明：由（1）可知当a e ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则不存在极大值．当a e >时，1ln a <．()()2x f x e ax '=-，令()()h x f x ='，则()()2xh x e a '=-．令()0h x '=，则ln x a =．易知()f x '在()0,ln a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． 因为(0)20f '=>，(1)2()0f e a '=-<，所以存在0(0,1)x ∈，使得()()00020xf x e ax '=-=．则当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,1x x ∈时()0f x '<． 故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以当0x x =时，()f x 取得极大值，即02021x M e ax =-+．因为001x <<，所以0102x ->，且00122x x ≠-． 因为000x e ax -=，所以00xe ax =，则0220002121x M e ax ax ax =-+=-+2000122411411222x x x x a a a ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=⋅⋅-+<+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即1M a <+．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2023-2024学年河南省南阳市六校高二下学期期末考试数学试题
2023-2024学年河南省南阳市六校高二下学期期末考试数学试题1.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．0.05B．0.1C．0.3D．0.42.如图，均为直角三角形，为直角顶点，，且，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，则（）A．B．C．D．3.已知函数，且，则实数（）A．1B．2C．D．4.已知是正项等比数列，若成等差数列，则（）A．3B．4C．5D．65.已知为虚数单位，则的展开式中的系数为（）A．-10B．10C．-15D．156.已知数列满足，且，设，则数列的前2024项和为（）A．674B．673C．-673D．-6747.已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（）A．B．C．2D．9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有3个孩子，用表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“该家庭中最多有1个女孩”，则（）A．B．C．D．与相互独立10.已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（）A．一定为等差数列B．可能为等比数列C．若，则一定为递增数列D．若，则存在，使得11.已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值不可能是（）A．B．C．D．12.将4个不同编号的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的分配方法共有________种.13.已知点在圆上运动，则的最小值是__________.14.已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为__________.15.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.(1)若，求；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.16.扬子鳄是中国特有的一种小型鳄类，是国家一级重点保护野生动物，活动区域主要在长江下游流域.研究人员为了解扬子鳄的生长发育情况，随机抽取了6只扬子鳄，测量它们的头长（单位与体长（单位：），得到如下数据：样本编号123456头长1515.315.316.616.817体长125128130138142153并计算得(1)求这6只扬子鳄的平均头长与平均体长；(2)求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到0.01）(3)已知与可以用模型进行拟合，若某只扬子鳄的头长为，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长.附：相关系数.17.已知数列满足，当时，.(1)求的通项公式；(2)设为数列的前项和，证明：.参考结论：当时，.18.已知函数，其中.(1)讨论在区间上的单调性；(2)若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围.19.已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点.(1)求的方程；(2)证明：直线过定点；(3)若直线分别交轴于点，求的最小值.。
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河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考前模拟
试题理（扫描版）
理数参考答案
一．选择题（每题5分，共计60分） 1-5BBAAD 6-10DBADB 11-12CB 二．填空题（每题5分，共计20分）
13.185 14. 1683 15. 1：8 16. ②、④ 三．解答题
17.证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立． ②假设当n=k （k≥2）时成立，即*)(2
1312
11N k k k ∈<+
++
+
那么当n=k+1时，左边=1
121
1
13
12
11++
<+++++
+
k k k k
∵4k 2
+4k ＜4k 2
+4k+1，可得k k +2
212+<k ， 即：12
1
221
1
2
11
1
2
1
122
+=++<
+++=
+++=++
k k k k k k
k k k k k
．这就是说n=k+1时不等式也成立．综上①②可知不等式对所有的n ∈N *
18.（1）136.（2）10
3
19解 k ＝65×[a 30＋a － 20－a 15－a ]2
20×45×15×50＝60× 65a －300 2
20×45×15×50＝13× 13a －60
2
60×90.
由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04. 又a ＞5且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8,9.
故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系．
21.设Y :
(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形:
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟; ③第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P (A )=P (Y=1)P (Y=3)+P (Y=3)P (Y=1)+P (Y=2)P (Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.
(2)X 所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P (X=0)=P (Y>2)=0.5;
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,
所以P (X=1)=P (Y=1)P (Y>1)+P (Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟, 所以P (X=2)=P (Y=1)P (Y=1)=0.1×0.1=0.01. 所以X 的分布列为:
EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
22解：（1）若2-=a ，则,2)(2x e x f x --=,22)(x e x f x
--='当),0(+∞∈x 时0)(<'
x f
故函数)(x f 在区间),0(+∞上是单调递减的 。
3分
（2）函数
)
(x f 有两个极值点
2
1,x x ，则
2
1,x x 是
2)(=-='x ae
x f x
的两个根
即方程x
e
x a 2=
有两个根，设x
e
x x h 2)(=
则x
e
x x h 22)(-=
'
要使x
e
x a 2=
有两个根，只需
e h a 2
)1(0=
<<故实数a 的取值范围是
)
2,
0(e 。
8分
(3)证明有（2）可知，函数)(x f 的两个极值点21,x x 满足2110x x <<<
由
2)(111
=-='x ae
x f x 得1
12x e
x a =
所以
1
2
12112)(1
x x x ae
x f x +-=-=
由于
1
2
112)(x x x f +-=在区间
)
1,0(上是增函数，由
101
x <<知
10(0)()(1)1
f f x f =<<= 。
12分。