优化建模lyy
数学建模-网 络 优 化
交通调度
公共交通线路规划
利用数学模型优化公共交通线路，提高线路覆盖率和服务 水平，减少乘客等待时间和出行成本。
01
出租车调度
通过数学模型实现出租车资源的合理调 度，提高车辆利用率和乘客满意度。
02
03
智能交通信号控制
利用数学模型和算法优化交通信号灯 的控制策略，缓解城市交通拥堵现象 。
电力分配
电网优化调度
线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于解决具有线性约束和线性目标函数的 最大化或最小化问题。
线性规划的解法包括单纯形法、对偶理论和分解算法等，这些方法可以应 用于各种实际问题，如资源分配、生产计划和物流优化等。
线性规划的应用广泛，在金融、经济、工程和物流等领域都有重要的应用 价值。
非线性规划
01
06
CATALOGUE
网络优化实际应用
物流配送
物流配送路径规划
利用数学建模和优化算法，为物流配送车辆规划最佳 行驶路径，降低运输成本，提高运输效率。
配送中心选址
通过数学模型分析，确定最优的配送中心选址方案， 以降低运营成本、提高配送效率。
库存管理
通过数学模型预测需求，合理安排库存，避免缺货或 积压现象，提高库存周转率。
车辆路径问题(VRP)
总结词
车辆路径问题旨在为一系列客户分配一组车辆，使得每个客户的需求都能被满足，同时总成本最低。
详细描述
VRP问题需要考虑车辆的装载量限制、客户需求量、车辆行驶成本等因素，可以采用遗传算法、粒子 群优化算法等智能优化算法进行求解。
最小生成树问题(MST)
总结词
最小生成树问题旨在在给定的连通图中找到一棵包含所有顶点的树，使得所有边的权值 之和最小。
优化建模与LINGO
0 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
产品 资源 设备/台时 设备 台时 原料A/吨 原料 吨 原料B/吨 原料 吨 单位赢利/万元 单位赢利 万元
甲 3 1 0 3
乙 2 0 2 5
资源量 18 4 12
ห้องสมุดไป่ตู้
相应的数学模型
max z = 3 x 1 + 5 x 2
3 x 1 + 2 x 2 ≤ x ≤ 1 2 x 2 x 1 ≥ 0 , x 2 18 4 ≤ 12 ≥ 0
表3
单位运价 销 地 产 地 甲 乙 销 量 21 51 1700 25 51 1100 7 37 200 2000 1000
A
B
C
产 量
确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量 运输量。 分析 确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量。 表示这些要找的运量。 设 x ij 表示这些要找的运量。 分别表示从甲地调往A、 、 三地的运量 三地的运量。 即x 11 、 x 12 、 x 13分别表示从甲地调往 、B、C三地的运量。 x 21 、 x 22 、 x 23分别表示从已地调往 、B、C三地的运量。 分别表示从已地调往A、 、 三地的运量 三地的运量。
定价问题的数学模型
max z = 3 x1 + 5 x2
s.t.
3 x 1 + 2 x 2 ≤ 18 x ≤4 1 2 x 2 ≤ 12 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
min W = 18 y1 + 4 y 2 + 12 y3 3 y1 + y 2 ≥ 3 s.t .2 y1 + 2 y3 ≥ 5 y , y , y ≥ 0 1 2 3
数学建模最优化模型
数学建模最优化模型随着科学与技术的不断发展，数学建模已经成为解决复杂实际问题的一种重要方法。
在众多的数学建模方法中，最优化模型是一种常用的方法。
最优化模型的目标是找到最佳解决方案，使得一些目标函数取得最大或最小值。
最优化模型的基本思想是将实际问题抽象为一个数学模型，该模型包含了决策变量、约束条件和目标函数。
决策变量是需要优化的变量，约束条件是对决策变量的限制条件，目标函数是优化的目标。
最优化模型的求解方法可以分为线性规划、非线性规划和整数规划等。
线性规划是最优化模型中最基本的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右边向量。
线性规划的目标是找到最优的决策变量向量x，使得目标函数的值最大或最小。
非线性规划是最优化模型中更为复杂的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min f(x)s.t.g_i(x)<=0,i=1,2,...,mh_i(x)=0,i=1,2,...,p其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束条件，h_i(x)是等式约束条件。
非线性规划的求解过程通常需要使用迭代的方法，如牛顿法、拟牛顿法等。
整数规划是最优化模型中另一种重要的方法，其数学模型在线性规划的基础上增加了决策变量的整数限制。
max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0x是整数整数规划的求解通常更为困难，需要使用特殊的算法，如分支定界法、割平面法等。
最优化模型在实际问题中有着广泛的应用，如资源调度、生产计划、路线选择、金融投资等。
通过建立数学模型并求解，可以得到最优的决策方案，提高效益和效率。
总结起来，最优化模型是数学建模的重要方法之一、通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，再通过求解方法找到最佳解决方案。
最优化模型包括线性规划、非线性规划和整数规划等方法，应用广泛且效果显著。
数学建模-优化模型
r
周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比. B
面积 B与 t2 成正比
dB/dt与 t 成正比
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t1,
t t b
2 1 x
dt
b
t
t t 1
2 1 x 0
t1
x t2 t
B(t2 )
t2 dB dt 0 dt
bt2 t12 2t12 2 2 2(x )
• 解释条件中正负号的实际意义
效用函数u(x1,x2)几种常用的形式
1. u ( )1 , , 0
x1 x2
p1x1 p1 ,
p2 x2
p2
u
x1 p1 u p2 x2
• 购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根 成正比, 比例系数是参数α与β之比的平方根.
• u(x1,x2)中参数 , 分别度量甲乙两种商品对消费
几何分析
消费线AB
u(x1, x2) = c 单调减、 下凸、互不相交.
AB必与一条等效用线
x2
· y/p2 A
相切于Q点 (消费点).
x2
Q (x1, x2) 唯一
0
u(x1,x2) = c
c增加
·Q
l 3
l
x1 1
·l2B
y/p1 x1
模型求解
max u(x1, x2 )
引入拉格朗日
s.t. p1x1 p2x2 y 乘子λ构造函数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt b
x
0
t1
t2 t
结果解释 • / 是火势不继续蔓延的最少队员数
数学建模中的优化模型
Q(t ) (8 gt)(80 rt ) 4t
4r 40g 2 t =10 rg
10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析
4r 40g 2 t rg
估计r=2， g=0.1
研究 r, g变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变
40 r 60 t , r 1.5 r
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
LINGO 中对 0-1 变量的限定： @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3);
x1 My1 , x1 80y1 , y1 {0,1} M为大的正数, x2 My2 , x2 80y2 , y2 {0,1} 本例可取1000
其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：
x1 80, x2 0, x3 80
x1 80, x2 80, x3 80
x1 , x2 , x3 0
x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划.
Global optimal solution found. Objective value: 632.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 64.00000 -2.000000 X2 168.0000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对 钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.
几个优化问题的数学建模
⼏个优化问题的数学建模⼏个优化问题的数学建模⼀、⼀个开放式基⾦投资问题6、模型的评价模型的主要优点是采⽤较为成熟的数学理论建⽴模型，利⽤数学软件计算，可信度⽐较⾼，便于推⼴。
主要缺点是建⽴的模型是确定的⽽不是更符合实际情况的随机型模型。
⼆、结合⼈员分配的⽣产规划问题1、问题某公司要对四种产品（P1，P2，P3，P4）在五条⽣产线（L1到L5）上的⽣产进⾏规划。
产品P1和P4的单位纯利润为7元，产品P2的单位纯利润为8元，产品P3的单位纯利润为9元。
在规划期内这五条⽣产线各⾃可以进⾏⽣产的时间长度各不相同。
L1到L5的最⼤可⽤⽣产时间分别为4500⼩时，5000⼩时，4500⼩时，1500⼩时和2500⼩时。
表1列出了在每条⽣产线上⽣产每种产品⼀个单位所需要的时间。
（1）、假设⽣产是流⽔线作业，产品P1到P4各应⽣产多少才能使总利润最⼤？（2）、如果在⽣产过程中允许在⽣产线之间进⾏⼈员转移（从⽽使⼯时也相应转移），如表2所⽰，则最⼤利润是多少？应转移多少个⼯时，如何转移？（3）、如果⽣产不是流⽔线作业，模型应如何修改？表1 单位⽣产时间表2 可以进⾏的⼈员转移2、假设（1）每条⽣产线可⽣产各种产品；（2）每个⽣产⼈员的⼯作效率相同，且熟练各条⽣产线的操作，可在各条⽣产线之间转移。
3、建模3.1、问题(1) 设每种产品必须经过5条⽣产线才能⽣产出来，产品P i 的产量为x i ,单位纯利润为r i ,在⽣产线L j 上的单位⽣产时间为d ij 。
⽣产线L j 的可⽤总⼯时数为c j ,则可得模型1：max 41i =∑r i x is.t.41i =∑d ij x i ≤c j ，j=1，2，3，4，5x i ≥0，i=1，2，3，43.2、问题(2) 设y jk 为从⽣产线L j 转移到⽣产线L k 的⼯时数，⽣产线L j 的最⼤可转移总⼯时数为b j ,j,k=1,2,3,4,5,j ≠k ，则可得模型2：max 4s.t.3.3、问题(3) 设每种产品只需在任意⼀条⽣产线上即可⽣产出来，产品P i在⽣产线L j 上的产量为x ij , i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，则只需在上述两个模型中，将⽬标函数修改为max 41i =∑51j =∑r i x ij ,将41i =∑d ij x i 修改为41i =∑d ij x ij ,其余不变。
优化模型的原理与应用
优化模型的原理与应用1. 优化模型的概述优化模型是一种数学模型，目的是通过最大化或最小化某个目标函数，找到最优解或次优解。
在不同的领域中，优化模型都有广泛的应用，如工程、经济、管理等。
本文将介绍优化模型的原理和常见的应用场景。
2. 优化模型的原理优化模型的原理是基于数学规划的思想，主要包括以下几个方面： - 定义目标函数：根据具体问题的需求，定义一个目标函数，可以是最大化或最小化某个变量或一组变量。
- 约束条件：将问题分析为一组约束条件，这些条件必须在优化模型中得到满足。
- 变量定义：确定参与优化的变量，这些变量可以是连续的、整数的或是二进制的。
- 模型求解：通过数学方法，求解出能够最大化或最小化目标函数的变量值。
3. 优化模型的应用场景优化模型可以应用于多个领域，下面是一些常见的场景： ### 3.1 生产优化 - 生产线优化：通过优化生产线上的各个环节，实现生产效率的最大化。
- 生产调度优化：通过合理安排生产任务的优先级和时间，达到生产成本的最小化。
### 3.2 物流优化 - 路线优化：优化物流配送路径，减少运输时间和成本。
- 仓储优化：通过合理的仓储布局和库存管理，提高物流效率。
### 3.3 资源分配优化 - 人力资源优化：通过合理分配人员到不同任务中，实现人力资源利用率的最大化。
- 资金分配优化：通过优化资金投资组合，实现资金风险的最小化。
### 3.4 销售优化 - 客户分析优化：通过数据分析和模型建立，实现客户精细化管理和营销策略优化。
- 定价优化：通过分析市场需求和竞争情况，优化产品定价策略。
### 3.5 运筹学优化 - 排队论优化：通过优化队列排队系统，实现顾客等候时间的最小化。
- 存货控制优化：通过合理的存货管理和补货策略，减少存货积压和缺货情况。
4. 优化模型的工具和框架为了更高效地建立和求解优化模型，现有许多优化模型的工具和框架，如下所示： - Excel Solver：Excel自带的插件，适用于简单的优化问题。
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19
例4 （运输问题） 设有位于不同城市的m个电视机 厂A1，A2，…，Am，其产量分别为a1，a2，…，am （台），其产品供应n个城市B1，B2，…，Bn。每个 城市的需要量分别为b1，b2，…，bn（台）。假定产 需平衡，即
ai
i 1
m
=
b
i 1
n
i
已知从Ai到Bj的运费单价为cij（元/台）（i=1,2,…, m； j=1,2,…, n）。问由每个厂到每个城市的运输量各为多少 时，即既能保证需要量，又能使总运费最少？
2
y
x
m a2 y a min i 1 xi a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a5
2
16
例3：两杆桁架的最优设计问题。由两根空心圆杆组成对 称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水 平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的密度为ρ，弹性模量 为E，屈曲强度为 。求在桁架不被破坏的情况下使桁 架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。
怎样建立最优化问题的数学模型
（1）决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数 表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 （2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包 括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件， 而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。
4
2005
A B A
长江水质的评价和预测 DVD 在线租赁 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效的预 测 中国人口增长预测 乘公交，看奥运 数码相机定位 高等教育学费标准探讨
5
2006
B A B A B
2007
2008
2009
A B A B A B
制动器试验台的控制方法分析 眼科病床的合理安排 储油罐的变位识别与罐容表标定问题 上海世博会影响力的定量评估 城市表层土壤重金属污染分析 交巡警服务平台的设置与调度
x2 ＋x5＋x6 ≥1 xi＝1或0 （i＝1，…，6）
25
例6：某市场营销调查指派问题 • 市场营销调查公司有3个新客户需要进行市场调查，目前 正好有3个人没有其他工作，由于他们的对不同市场的经 验和能力不同，估计他们完成不同任务所需时间如下表。 公司面临的问题是如何给每个客户指派一个项目主管 （代理商），使他们完成市场调查的时间最短。
卫星和飞船的跟踪测控 会议筹备问题 输油管的布置 对学生宿舍设计方案的评价 企业退休职工养老金制度的改革 天然肠衣搭配问题
2010
2011
8
优化的分类
线性规划： LP (linear programming)
连续优化 非线性规划：NLP (Nonlinear programming) 二次规划： QP 优化 整数线性规划 整数规划 离散优化 0----1 规划 整数非线性规划 或 混合整数规划(INLP) 纯整数规划(IP) (Quadratic programming)
20
解 设由Ai到Bj的运输量为xij（台）（i=1,2,…, m；j=1,2,…, n），则要求总运费 n m
cij xij
i 1 j 1
m i 1
达到最小，其中要满足的约束条件为：
xij=ai，
j 1
n
i=1,2,…, m；
x =bj，
ij
j=1,2,…, n
综上， 可把所 得到的 线性规 划问题 记为
h
B
p1
2p
p1
p2
h
d
h
2p
2L
受力分析图 圆杆截面图
2L
桁杆示意图
17
解：桁杆的截面积为 ：
S dB
p p L2 h 2 p1 cos h
W 2dB L2 h 2 桁杆的总重量为：
负载2p在每个杆上的分力为：
p1 L2 h 2 于是杆截面的应力为： 1 s dhB
此应力要求小于材料的屈曲极限，即
p L2 h 2 dhB
圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知： 压杆稳定的临界应力为 2 2 2
E d B
8 L h
2
由此得稳定约束：
2 E d 2 B 2 p L2 h 2 0 2 2 8L h dhB
2
18
另外还要考虑到设计变量d和h有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：
min 2dB L2 h 2 p L2 h 2 s.t. 0 dhB 2 E d 2 B 2 p L2 h 2 0 2 2 dhB 8 L h d max d d min h h h min max
27
指派问题（Assignment problem） • 有m项任务要m个人去完成（每人只完成一项工作）， 应如何分配才能使工作效率最高或消耗的资源最少？ 引入0－1变量xij
1 指派第i个人完成第j项任务 x ij 0 不指派第i个人完成第j项任务
min z
i 1 j 1
数学建模中的优化方法
卢滢宇 办公室：2#118
1
数学上关于极大和极小的问题之所以引起我
们的兴趣，是因为它能使我们日常生活中的问题
理想化。
－－－G. 波利亚《数学与猜想》
2
最优化方法
数学规划
3
近年全国大学生数学建模竞赛题
2001 2002 2003 2004 A B A B A B A B 血管的三维重建 公交车调度 车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 SARS 的传播 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理
m
m
cij xij
i 1,2, , m j 1,2, , m
24
解：引入0－1变量xi作决策变量，令
1, xi 0, 表示在地区 设消防站 i 表示在地区 不设消防站 i i 1,2, ,6
本问题的约束方程是要保证每个地区都有一个消防站在15分 钟行程内。如地区1，由表4－9可知，在地区1及地区2内设 消防站都能达到此要求，即x1＋x2≥1 因此本问题的数学模型为： min z＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6 x1＋x2 x1＋x2 x3＋x4 ≥1 ＋x6 ≥1 ≥1 x3＋x4＋x5 ≥1 x4＋x5＋x6 ≥1
2010
2011
优化问题占赛题的一半左右
6
005
C D C D C D C D
雨量预报方法的评价 DVD 在线租赁 易拉罐形状和尺寸的最优设计 煤矿瓦斯和煤尘的检测与控制 手机“套餐”优惠几何 体能测试时间安排 地面搜索 NBA 赛程的分析与评价问题
7
2006
2007
2008
2009
C D C D C D
12
min Z 0.0164 x1 0.0463 x2 0.1250 x3 s.t. x1 x2 x3 100 0.380 x1 0.001x2 0.002 x3 0.012 100 0.380 x1 0.001x2 0.002 x3 0.008 100 0.09 x 0.50 x 0.22 100 2 3 0.02 x2 0.08 x3 0.05 100 x 0 x2 0 x3 0 1
14
解:很显然对参数a1 a2 a3 a4 和 a5 任意给定的一组数值,就由上 式确定了 y关于x的一个函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条 曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的 平方和作为这种“偏差”的度量.即
m a2 y a S i 1 xi a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a5 显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 15 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
预计完成时间
客户 项目主管 1 2 3 1 10 9 6 2 15 18 14 3 9 5 3
26
设xij=1表示指派主管i完成第j项市场调查，否则xij=0 则问题的数学模型为： min f= 10x11+15x12+9x13+9x21+18x22+5x23+6x31+14x32+3x33 x11+x12+x13 = 1 x21+x22+x23 = 1 x31+x32+x33 = 1 x11+x21+x31 = 1 x12+x22+x32 = 1 x13+x23+x33 = 1 xij≥0，i=1，2，3；j=1，2，3
这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统 的效率，即系统追求的目标。 10
例1.（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养
的最优混合饲料。下面举一个简化了的例子予以说明。
设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须
含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至
多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆 粉。这些配料的主要营养成分为：
yij ( i=1,2,3, j=1…4)由 i仓库向 j商店运货量
y11 + y21 = d1 A1 y12 + y22 + y32 = d2 y23+ y33 = d3 B1 y14 + y24 + y34 = d4 B4 x1 + x2 + x3= 2 y11 + y12 + y14 a1x1 y21 + y22 + y23 + y24a2x2 y32 + y33 + y34 a3x3 xi 为0－1， yij 0