初中数学隐圆模型题型归纳

中考数学几何模型：隐圆模型【点睛1】触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补则A 、B 、C 、D 四点共圆 备注：点A 与点C 在线段AB 异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等 则A 、B 、C 、P 四点共圆 备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB 绕点O 旋转一周，点M 是线段AB 上的一动点，点C 是定点 （1）求CM 最小值与最大值 （2）求线段AB 扫过的面积 （3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM 1最小，CM 3最大②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A `MN ，连接A `C ，则A `C 长度的最小值是__________．A'N MA BCD【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M ．A'N MA BCDDC BA MN A'H A'N MA BCD变式练习>>>1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．ABCEFP【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．答案为1.2.ABCEFPB例题2. 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．l【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．答案为4.ll变式练习>>>2．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．Q ABC DEFP答案为8.【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．D'PFE D CBAQ例题3. 如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．HGAB CDEF【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH1αααHGABCDE F变式练习>>>3．如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =8，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．PABC答案为4【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ，∴∠P AB +∠PBA =90°，∴∠APB =90°， ∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．例题4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．B【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =-==．BB变式练习>>>4．如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．GF EDCB A【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的． 重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GMAB CDEF G例题5. 如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．EFCBAP答案为3【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°） 当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．60°EF CBAP 120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°变式练习>>>5．在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下4ABC 60°条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值为833，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值． O 120°60°C BAABC 60°120°O O 120°CBAO 120°CBA例题6. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AC 为对角线，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为E ，交CB 延长线于点F ，若AC ＝CF ，∠CAD ＝∠CFD ，DF ﹣AD ＝2，AB ＝6，则ED 的长为．【解答】解：∵∠CAD ＝∠CFD ，∴点A ，F ，C ，D 四点共圆， ∴∠F AD +∠DCF ＝180°，∠F AC ＝∠FDC ， ∵∠DCF ＝90°，∴∠F AD ＝90°， ∵AC ＝FC ，∴∠F AC ＝∠AFC ，∵DF ⊥AB ，∴∠ABF +∠BFE ＝∠CDF +∠BFE ＝90°， ∴∠ABF ＝∠CDF ，∴∠AFB ＝∠ABF ，∴AF ＝AB ＝6， ∵DF ﹣AD ＝2，∴DF ＝AD +2，∵DF 2＝AF 2+AD 2，∴（2+AD ）2＝62+AD 2，解得：AD ＝8，∴DF ＝10， ∵∠F AD ＝90°，AE ⊥DF ，∴△ADE ∽△DAF ，∴＝，∴DE ＝＝＝，故答案为：．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =10，AC =8．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．OEDCBA答案为：2134【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．MOEDCBAABCEOM2. 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3，5，求三角形OBE 的面积．O ADE3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．ABCDE FP答案为：2【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．F EDCBA【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．答案为3BBB5. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =3，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________． A B C P 答案为36. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ．D 是弧BC 上的一个动点（含端点B ，不含端点C ），连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是 ﹣2≤BE ＜3 ．【解答】解：如图，由题意知，∠AEC ＝90°，∴E 在以AC 为直径的⊙M 的上（不含点C 、可含点N ），∴BE 最短时，即为连接BM 与⊙M 的交点（图中点E ′点），∵AB ＝5，AC ＝4，∴BC ＝3，CM ＝2，则BM ＝＝＝，∴BE 长度的最小值BE ′＝BM ﹣ME ′＝﹣2， BE 最长时，即E 与C 重合，∵BC ＝3，且点E 与点C 不重合，∴BE ＜3，综上，﹣2≤BE ＜3，7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E ，连BE ，则BE 的最小值为 8 ．【解答】解：解：如图，连接CE ，∴∠CED ＝∠CEA ＝90°，∴点E 在以AC 为直径的⊙Q 上，∵AC ＝10，∴QC ＝QE ＝5，当点Q 、E 、B 共线时BE 最小，∵BC ＝12，∴QB ＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值为8，故答案为8．8. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为2﹣2．【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是2﹣2．【解答】解：如图，连接EO、PO、OC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠OAP＝90°，在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2，∴OC＝＝2，在Rt△AOP中，OA＝2，P A＝4，∴OP＝＝2，∵OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP，∴PE的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝．故答案为：．。