线性系统二次型最优控制律
水力机组过渡过程控制与仿真课程作业--河海大学
水力机组过渡过程控制与仿真作业一、基于Simulink的水轮机调节系统仿真1、水轮机调节系统的数学模型1.1、引水系统模型1.1.1 刚性水击模型一般在小扰动情况下，对简单直管路且管道长度小于600~800 m 时，管壁及水体的弹性以及流动的摩擦阻力均可以忽略，此时可以认为是刚性水击，其传递函数为：h(s) = −T w sq(s) (1)式中：h 为管道中水头的变化量；q 为管道中瞬时水流量的变化量轮机额T w为管道水流惯性时间常数；T w=LQ r/gFH rL 为管道长度；F 为管路截面面积；Q r为水轮机额定流量H r 为水定水头；g为重力加速度。
Simulink刚性水击模块如下：图1 刚性水击模块1.1.2 弹性水击模型当引水管路较长时，管道及水体的弹性均不能忽略，此时弹性水击理论能更精确地描述管道动态过程，在不考虑水力摩阻的情况下，由水力学原理中的动力方程和连续方程可以导出弹性水击方程：22()1()18rwrT sh shq s T s=-+33221()241()18r rwrT s T sh shq s T s+=-+3322441()2411()18384r rwr rT s T sh shq s T s T s+=-++(2)式中：T r为水锤压力波反射时间，即水锤相长；T r=2L/c，c为压力水波速，对于钢管c=1220 m/s，对于混凝土管道c=1420 m/s；h w为管道特征系数，h w=T w/T r。
上述3式均为弹性压力引水管道传递函数的表达式，可根据工程需要采用。
项数取得越多，计算精度就越高，但计算的复杂性也增加了，甚至可能造成数值不稳定。
1.2、线性水轮机模型当水轮机各参数在小范围内变动时，水轮机特性可以用线性的水轮机力矩方程和流量方程来表示，其中具有单一调节机构的水轮机线性模型可表示为：t y x hqy qx qhm e y e x e hq e y e x e h=++=++(3)式中：1, 1.5, 1.0,0.5,0y h qy qh qxe e e e e=====为水轮机力矩对导叶开度传递系数xe水轮机力矩对转速传递系数；he水轮机力矩对水头传递系数；qye水轮机流量对导叶开度传递系数；qxe水轮机流量对转速传递系数；qhe水轮机流量对水头传递系数。
二次型最优控制问题中的权矩阵与最优控制律
为 u* = - Kx = - B- 1 Px, 其中 P 是如下 R iccat i 方程
的唯一对称正定解:
PA + AT P - PBB T P + Q = 0.
记系统的能控性指数集为{ v1
vm } , 根据
该能控性指数集, 将 P 矩阵按列记为
P = [ p11
p1v1 |
则有如下结论:
| pm1
1引 言
二次型最优问题的权矩阵选择始终是人们研究 的热点问题. 虽然研究的角度和方法不同, 但这些研 究都提出一个用来约束权矩阵的指标函数, 将问题 相应转化为求二次型最优控制律, 使得该约束权矩 阵的指标函数 达到极值[ 1 5] . 二次型最 优的逆问 题 是: 给定系统的一组期望闭环极点, 求解二次型最优 的权矩阵及相应的最优反馈控制律, 使得系统闭环 极点配置在期望的闭环极点上[ 6, 7] .
若权矩阵不为零的两个对角线元素不是相邻 的, 设非零的两对角线元素为 qll 和 qkk , 则取
第 8期
王进华: 二次型最优控制问题中的权矩阵与最优控制律
945
P = P-
0ll 0
. 0
0kk
因 P > 0, 则存在足够小的 , 使得 P > 0. 此时有 Q= Q+
0ll 0 02 0
02
. 20 02 0
控制与决策
Contr ol and Deci sion
2007 年 8 月
Aug . 2007
文章编号: 1001 0920( 2007) 08 0943 03
二次型最优控制问题中的权矩阵与最优控制律
王进华
( 福州大学 电气工程与自 动化学院, 福州 350008)
现代控制理论最优控制课件
04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状 态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开 始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我 们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在 给定条件下使系统的性能指标达到最 优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制 器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消 耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行 和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪 和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在 非线性关系，那么该系统就被称 为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随 时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与 输入之间没有时间上的依赖关系 。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主 要对象是单输入单输出系统，主要方法是频 率分析法和根轨迹法。
最优控制问题介绍
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
基于线性二次型及内部稳定的最优线性控制
２ — ２
４ｌ 一 １ Ａ２ Ｇ ＋ １＝０
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学 术 论 坛
ＳＩＣ ＆ＴＣＮＬ ＹＮＯＭＴ： ＣＮＥ ＥＨ ０ ＦＲＡＩ Ｅ Ｏ ０ ＩＱ Ｏ ： Ｎ
基于线性二次型及内部稳定的最优线性控制
安伟国 （ 南京航 空航天大学 ２ ０ １ ） １ ０ ６
摘 要：线性＿次型内部稳定最优线性控制是＿种内部稳定与最优二次型控制相结合的控制算法，该方法考虑了可能引起系统不稳 － 定的 外部信号 ，主要是 系统参考输入及干扰信号 ，并将其建立为 系统状态 ，排除不可镇 定部分 对系统的影响 ，产生了一个确保系统
式。
最优控制问题的LQR方法比较
最优控制问题的LQR方法比较最优控制是指在给定一定约束条件下，选取最佳控制策略使得系统能达到最优性能的方法。
在最优控制问题中，最常使用的方法之一是线性二次调节（LQR）方法。
本文将比较LQR方法在最优控制问题中的优势和劣势。
一、LQR方法的基本原理和步骤LQR方法是一种基于状态反馈的最优控制方法，它的实现需要以下几个基本步骤：1. 系统建模：将待控制系统以状态空间模型的形式表示，得到系统的状态方程和输出方程。
2. 性能指标定义：确定系统的性能指标，如最小化控制输入开销、系统的稳定性等。
3. 状态反馈控制器设计：通过构造一个反馈控制律，将系统状态与控制输入联系起来。
4. 权重矩阵选择：为了平衡系统性能的不同要求，需要选择合适的权重矩阵Q和R。
5. 解析求解：利用Riccati代数方程，求解状态反馈控制器的增益矩阵，得到最优解。
二、LQR方法的优势1. 简单易实现：LQR方法利用线性二次型性能指标，可以通过求解Riccati代数方程直接得到控制器增益矩阵，无需过多复杂的计算。
2. 数学基础扎实：LQR方法建立在均衡理论和线性系统理论的基础上，具有较为严格的数学推导和理论支持。
3. 稳定性分析：LQR方法可以通过权重矩阵的选择来平衡系统的稳定性和性能指标，在系统可控、可观的条件下，保证系统的稳定性。
4. 多目标优化：LQR方法允许通过调整权重矩阵的取值来平衡不同的性能指标，实现多目标优化。
三、LQR方法的劣势1. 线性化要求：LQR方法要求系统能够通过状态变量的线性组合来描述，因此对于非线性系统，需要进行线性化处理。
2. 状态空间维数限制：LQR方法在求解控制器增益矩阵时需要涉及多维矩阵的运算，对于高维状态空间系统，计算复杂度较高。
3. 对初始状态敏感：LQR方法在计算控制器增益矩阵时，需要提供初始状态的信息，对于初始状态信息的误差较为敏感。
四、LQR方法与其他最优控制方法的比较1. 与最小时间问题（Minimum Time Problem）相比：LQR方法主要关注系统稳定性和控制输入开销的最小化，而最小时间问题则追求系统在最短时间内到达给定目标。
基于线性二次型的单神经元PID最优控制器设计及仿真
现 场 ， 有 着 广 阔 的发 展前 景 。 近年 来 ， 经 网络 由于 具 有 自学 将 神
２ 基于二 次 型性 能指 标 学 习算法 的单 神经 元 自适应 Ｐ Ｄ控制算法 Ｉ
ＭＡ Ｌ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｆ ａ ｉ ｉ ｔ ｎ ｆ ｃｉｅ ｅ ｓ ｏ ｈｓ ｍｅ ｈ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｅ ｌ ｏ ｔ ｌ ｆ ｃ ａ ｃ ｉｖ ｄ Ｔ ＡＢ ｐ ｏ ｅ ｈ ｅ ｓｂ ｌ ｙ ａ ｄ ｅｆ ｔ ｎ ｓ ｆｔ ｉ ｉ ｅ ｖ ｔ ｏ ｎ ｈ ｄ ａ ｎ ｒ ｆ ｔｗ ｓ ａ ｈ ｅ ｅ ． ｃ ｏ ｅｅ
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第２ ５卷第 ５期
２０ ０ ８年 ５月
计 算机 应 用与软 件
Ｃｏ ｕ ｅ ｐｌｃ ｔ ｎ ｎ ｏ ｔ ｒ ｍｐ ｔ ｒＡｐ ｉａ ｉ ｓａ ｄ Ｓ ｆ ｏ ｗａ ｅ
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ ５ １２ ． Ｍａ ００ ｖ２ ８
自适 应 控 制 器 的 控 制 规 律 。
由于传统的 ＰＤ调节器算法简单 、 Ｉ 鲁棒性好及 可靠性高 ， 被 广泛应用于过程控制和运 动控制 中， 尤其适 用于 可建 立精确 数 学模型的确 定性 系统 ， 然而实际工业生产过程往往具有非线性 、 时变不确定性 ， 以建立精确的数学模型 ， 用常规的 ＰＤ控制 难 应 Ｉ 器不能达到理想 的控制效果 。计算 机技术 和智能控 制理论 的发 展为复杂动态不确定 系统 的控 制提供 了新 的途 径 。神经 网 络技术 、 模糊控制技术 、 遗传算法优化技术等智能控制技术发展 很迅速 Ｊ 。将智能技术与数字 ＰＤ控制结 合起来 ， 用于工控 Ｉ 应
最优控制
最优控制学院专业班级姓名学号1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
钱学森1954年所着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。
最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
最优控制理论-主要方法解决最优控制问题的主要方法解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
离散系统线性二次型最优控制的算法仿真
则其对应的最优控制序列和最优性能指标分别表示为 Ｕ ｋ （ ）＝一Ｋ（ ） ｋ ｋ （ ）＝一 — （ 一［ ｋ Ａ ） Ｐ（ ）一 Ｑ］ ｋ （ ）
． ＝去 ’ ） ０ ０ ． ， 。０ Ｐ（） ） （ （
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＊
收 稿 日期 ：０６ ３—１ ２０ —０ １
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文章编 号 ：０７—２８（０６０ —０３ —０ １０ ９５２０ ）４ ０７ ３
离 散 系统 线 性 二 次 型 最优 控 制 的算 法 仿 真
谢 长 焱 何 怡 刚 ，
（． １ 中南大学信息科学与工程学 院 ， 湖南 长沙 摘 ４０ ８ ； ． １０３ ２ 湖南大学电气与信息工程学 院 自动化系 ， 湖南 长 沙 ４０ ８ ） １０２
对 于控制 系统 ， 了得 到满 意 的控 制 效果 ， 为 需根 据 建立 的系统 数学 模 型 ， 择一 个容 许 的控 制规 律 ， 选 在
一
定的条件下 ， 使得控制 系统在完成所要求 的控制任务时 ， 使给定 的某一性能指标达 到最优值 ， 极小值或
极大值 ， 以使某一种性能指标为最小 ， 实现最优控制 ． 常用 的性能指标有积分型性能指标（ 如最小时间控制 和最小能量控制） 和末值型性能指标（ 如机床： 作台移动准确停止控制和复合型性能指标等 ）线性二次型 ［ ．
理论研究 ．
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３ ８
吉首大学学报（ 自然科学版 ）
第 ２ 卷 ７
其 中 Ｐ（ ）＝ Ｑ ＋Ａ ［ １ ｋ＋１ Ｐ－（ ）＋Ｂ １ －Ａ Ｒ－Ｂ ］ １
２ 最 优 控 制 序 列 的确 定
令 Ⅳ一 ∞， 系统最优 控制 的解 为稳 态解 ， 则 系统 性能 指标 变为
自适应控制-鲁棒控制
由实时的y(k)、u(k)序列 →（估计算法）估 ˆ (k) →（性能指 计未知参数 ˆ (k)和未知状态 x 标）求取最优控制律u(k) →施作用于系统。 反复进行上述过程，使性能指标不断保持最 优。
2012-4-17
自校正控制
特点：
--利用过程的输入和输出信号,对过程的数学 模型进行在线辨识 --修正控制策略,改变调节器的控制作用 --反复辨识、修正，直到控制性能指标达到或 接近最优
2012-4-17
模型辨识—一次完成最小二乘估计
设系统由下列n阶差分方程描述
y(k)+a1y(k-1)+…+ any(k-n)= b0u(k)+…+ bnu(k-n)+v(k) 或写成: A(z-1)y(k)=B (z-1)u(k)+v(k) 其中 A(z-1)=1+ a1 z-1 +…+ an z-n B(z-1)=b0 +b1 z-1 +…+ bn z-n 问题：阶次n已知， {v(k)}是不可测随机干扰，在离 散时间序列{y(k)}、{u(k)} 得到后,要估计模型参数 ˆ =[a1，…， an，b0 ，b1，…，bn]T
2012-4-17
概述—自适应控制发展背景
随机最优控制考虑了不确定性(1)、(2)对
系统的影响，对不确定性(3)却无能为力
自适应控制在随机最优控制基础上考虑系
统不确定性(3)发展而来
最优控制与自适应控制的相同点
基于模型和性能指标 综合出最优控制律
2012-4-17
概述—最优控制与自适应控制的区别
2012-4-17
模型辨识—一次完成最小二乘估计
特点
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线性系统二次型最优控制律
线性系统二次型最优控制定义
使用二次型性能指标的线性系统最优控制。
它可得到状态线性反馈的最优控制规律，便于实现闭环最优控制，是应用广泛的最优控制方式。
性能指标
线性系统状态方程及输出方程为
x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)
y(t)=C(t)x(t) (2)
式中x(t)为n维状态向量;u(t)为p维控制向量;y(t)为q维输出向量。
设z(t)为理想输出向量，与y(t)同维数，并定义
e(t)=z(t)-y(t) (3)
误差向量。
线性二次型最优控制问题的性能指标
这里，权函数F、Q(t)为正半定矩阵，R(t)为正定矩阵。
假设tf固定。
要求寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
被积函数的第一项表明误差e(t)的大小，是非负的。
其第二项表明控制功率的大小，对应于u≠0它恒为正。
因此，对u(t)往往不需再加约束，而常设u(t)为自由的。
性能指标的第一项则表示终值误差。
状态调节器问题
系统状态方程如式 (1)所示，u(t)不受约束，tf固定，性能指标为
寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
用极小值原理或动态规划法，可得下列矩阵黎卡提微分方程(一阶非线性微分方程)
P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6) 其边界条件为
P(tf)=F (7)
由式(6)解出P(t)后，可得最优控制规律为
u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x*(t) (8)
由式(8)可以看出，最优控制规律是一个状态线性反馈规律，控制向量u*(t)由状态向量x*(t)生成，构成状态反馈，并且呈线性关系。
这样，能方便地实现闭环最优控制，这一点在工程上具有十分重要的意义。
P(t)是一对称矩阵，一般都要由计算机求出方程(6)的数值解。
P(t)是时间函数，即使线性系统是定常的，为了实现最优控制，反馈增益应该是时变的，而不是常值反馈增益。
这一点与经典控制方法的结论有本质的差别。
可以求得性能指标的最小值
tf=∞时的状态调节器问题定常系统方程为
x(t)=Ax(t)+Bu(t) (10)
这里，A、B为常值矩阵，u(t)不受约束，性能指标为
Q、R为常值矩阵，Q为正半定的，R为正定的。
求最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
对于这样的系统，有(t)=0情况下的矩阵黎卡提方程
上式是矩阵黎卡提代数方程，它是非线性方程。
求解该方程，可得最优控制
性能指标的最小值也由式(9)求得。
输出调节器问题系统动态方程为式(1)、(2)，u(t)不受约束，tf固定，性能指标为
式中F和Q(t)为正半定矩阵;R(t)为正定矩阵。
求最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
可将这类问题转化成等效的状态调节器问题，得：当且仅当系统完全可观测时，存在唯一的最优控制
其中，P(t)满足下列矩阵黎卡提方程
最优控制规律
输出调节器的最优控制规律，并不是输出量y(t)的线性反馈，而仍是状态x(t)的线性反馈。
仅由输出反馈时，没有充分利用全部信息，不能构成最优控制。
[2]
完全可控、可观测的定常系统，tf=∞时的输出调节器问题，其最优控制存在并且是唯一的
P为下列矩阵黎卡提代数方程的解
跟踪问题
系统动态方程为式(1)、(2)，x(t0)=x0，系统完全可观测，理想输出为z(t)，误差向量为式(3)，性能指标为式(4)，u(t)不受约束，tf固定，求最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
用极小值原理来求解，并设
λ*(t)=P(t)x*(t)-g(t) (20)
可写出形如式(16)的黎卡提方程以及下式
对于线性定常系统，当理想输出z(t)为常值、终端时刻tf极大但不为无穷大时，可以导出一个近似的最优控制规律如下，它具有很大的实用意义。
设系统状态方程如式(10)所示，x(t0)=x0，输出方程y(t)=Cx(t)，系统完全可控并完全可观测，理想输出z(t)=z0，tf足够大，则其最优控制存在并唯一，其中P和g依次满足下列两式。