可逆矩阵的范数
范数
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i 1 j 1
n
n
|| 可以证明,对方阵 A R nn和 x R n 有: ， Ax ||2 || A ||F || x ||2
|| A || 1
② ( I A)1 A( I A)1 ( I A)( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
|| ( I A)1 || 1 || A || || ( I A)1 ||
§1.5 线性方程组的性态（误差分析）
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB ||p || A ||p || B ||p || Ax ||p || A ||p max max|| Ax ||p y | ||x || || y || |x 2 2 x 0 || x|| p 1 || x ||p || Ax || || A || || x ||
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立，
那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的.
定理1.4.2 对任意一种向量范数‖· ‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
lim || xk x || 0
* k
矩阵范数 ( matrix norms )
2 2 || A || 1,|| B || 1,|| AB AB 2 2 || AB |||| A |||| B || 从而
数值计算方法-范数
0
1 k 2k 1 1 例 求向量序列x ,(1 ) , 的极限向量 k k 11 k 1 解：首先求出每个分量向量的极限，即
(k )
T
1 k 2k 1 1 lim x lim ,(1 ) , k k k 1 k k 11 T k 1 2k 1 1 lim ,lim 1 ,lim k k 1 k k k 11 k
k k k
反之，设（ A） 1，且为矩阵A的任一特征值，x为其 对应的特征向量，其中 = （A）,
则有 从而
k
Ax x x
k k 2 2
2
A
k 2
Ak x x
2
2
1，
即lim Ak 0不成立，假设不成立，原命题正确。
误差分析
例 设线性方程组: 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解： 易求该方程组的精确解为x (1,1)T 。
从上述定理可以推知,向量的P-范数（p=1,2,）有如下 等价关系：
1 x1 x n
x2 x1
注：定义在同一个R n空间中的所有范数都是等价的
向量序列的极限：
(k ) (k ) T 设x ( k ) ( x1( k ) , x2 , , xn ) R n , k 0,1, ，为R n中的一个
|| Ax ||2 T T ② || A ||2 max = （ A A ） ；（ 为 A A特征值 max n xR || x || 2 || x|| 0
向量和矩阵范数
|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||
证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )
计算方法-5.1矩阵相似变换和范数分析
A与B相似
可逆阵P, 使得P 1 AP B
B E P 1 AP P 1E P P1 A E P
P1 A E P A E
1 推论 若 n阶方阵A与对角阵 2 相似, 则1, 2 ,, n即是A的n个特征值 n
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1. 等价关系
（ 1 ）自返性 A与A本身相似.
（2）对称性 若A与B相似，则B与A相似 （3）传递性 若A与B相似，B与C相似，
则A与C相似
性质(3)在实际计算中非常有用
2. 若A与B相似, 则A 与B 相似m为正整数
m m
1 1 3. P1k1A k A P k P A P k P A2 P 1 2 2 1 1 2
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵A对角化
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
1 假设存在可逆阵 P , 使 P AP 为对角阵, 证明
把 P 用其列向量表示为 P p1, p2 ,, pn
P(a0 Bn a1Bn1 an1B an E) P1
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P ( B) P 1
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特别地, 若可逆矩阵P使P1 AP 为对角矩阵,
则
Ak Pk P 1,
( A) P () P 1
, k n
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3.矩阵的除法没有意义
对方阵A，存在它的逆矩阵A1，使得 AA1 I 或 A1 A I
4.矩阵的转置
A的转置记为AT，只要用a ji替换aij就可得到AT， 若AT＝A，则A为正交的方阵
矩阵范数和行列式的大小关系
矩阵范数和行列式的大小关系在讨论矩阵范数和行列式之间的关系时，我们可以想象一下矩阵就像是一位舞者。
范数就好比是舞者的风采，它代表着舞蹈的力度、优雅和整体的表现，而行列式呢，像是舞者的内在节奏，决定了他能不能在舞台上大放异彩。
大家都知道，舞蹈需要技巧，也需要气氛。
这就引出了矩阵的两个重要概念：范数和行列式，虽然它们看似不同，但在某种程度上又密不可分。
我们来聊聊矩阵范数。
简单来说，矩阵范数就像是在说：“嘿，我这位舞者的身手可不一般！”它可以衡量出矩阵的“大小”。
比如，常见的L2范数，可以理解为这位舞者在舞台上展现出的最大的力量。
你想象一下，一位舞者在表演时的每一个动作，是否流畅、是否有力，这些都能通过范数来感知。
有人可能会说，范数不就是一个数字吗？可是，正是这个数字，能帮我们一目了然地判断出这个矩阵在某个特定方面的表现。
再说行列式。
行列式其实是个非常有趣的东西，它不仅仅是个数字，它可以告诉我们这个矩阵是否可逆。
试想一下，如果一位舞者总是摔倒，那他还能不能继续在舞台上跳舞？行列式就是在告诉你：“嘿，这个矩阵的舞步稳定不稳定。
”行列式为零就好比舞者摔了一跤，整个表演就黄了。
而如果行列式不为零，那舞者就稳稳当当地在舞台上翩翩起舞，实力不俗，真是一绝。
范数和行列式之间的关系又是什么呢？好比是一对默契十足的舞伴，虽然各自的角色和功能不同，却又在某种程度上相互影响。
一般来说，矩阵的范数越大，行列式往往也会跟着变大。
为什么呢？想象一下，一个舞者如果能优雅地完成高难度的动作，那么他在舞台上的表现必然更为出色，行列式自然也会受益匪浅。
反之，若一个矩阵的范数很小，行列式也可能会随之变得不怎么样。
再进一步，大家有没有听说过“矩阵特征值”？这也是我们可以深入挖掘的一个话题。
特征值就像是舞者的性格，影响着他的舞姿和风格。
当我们探讨范数和行列式时，特征值也是不容忽视的因素。
特征值的大小直接关系到行列式的大小，如果舞者的性格出色，那他在舞台上的表现也会更加亮眼，行列式的数值自然也随之而上。
矩阵范数赵彤
矩 阵 范 数赵 彤鞍山师范学院数学系 00级 114005实数的绝对值和复数的模给出了实数和复数的“大小”。
平面向量x ，当其在直角坐标系中的分量为12x x 、时，也用性地描述一个矩阵，而且需要对之进行定量地刻画。
为此，我们引入矩阵的某些函数，他们在某种意义下给出了矩阵“大小”的量度，其作用相当于复数的模，我们统称这些函数为矩阵范数。
第一章 矩阵范数一、向量范数的定义与性质定义1.1 设V 是数域F （一般为实数域R 或复数域C ）上的线性空间，用x 表示按照某个法则确定的与向量x 对应的实数，且满足：（1）非负性：当0x ≠时，x ＞0；当且仅当0x =时，x =0；（2）其次性：kx k x =，k 为任意数； （3）三角不等式：对于V 中任何向量x 、y ，都有x y x y +≤+；则称实数x 是向量x 的范数.性质1.1 （1）当0x ≠时，1xx=；（2）x x =-； （3）x y x y -≤-； （4）x y x y -≤+.二、矩阵范数的定义矩阵空间m n C ⨯是一个mn 维的线性空间，将m n ⨯矩阵A 看作线性空间m n C ⨯中的向量，可以按照向量范数的方式定义A 的范数. 但是，矩阵之间还有乘法运算，故应在定义时增加一个条件.定义1.2 对于任何一个矩阵m n A C ⨯∈，用A 表示按照某个法则确定的与矩阵A 对应的实数，且满足：（1） 非负性：当A O ≠时， A >０； 当且仅当A O =时，A ＝０；（2）齐次性： kA k A =，k 为任意复数；（3）三角不等式：对于任何两个同类型矩阵A B 、,都有A B A B +≤+；（4）矩阵乘法相容性：若A 与B 可乘，有AB A B ≤. 则称对应于A 的这个实数A 是矩阵A 的矩阵范数.由规定矩阵范数的具体方法，可得到矩阵范数的又一定义，本文仅以定义1.2为主，来研究矩阵范数及其一些应用.例1.1 设()ij m n A a ⨯=，分别定义实数： （1）,max ij i jA a =；（2）{},max ,max ij i jA m n a =⋅.验证它们都是m n C ⨯中的矩阵范数.证明：（1）当A O =时，0A =；当A O ≠时，存在0i 与0j 使得000i j a ≠，从而有000i j A ≥>.对于k C ∈,有),,max max ij ij i ji jkA ka ka k A ===.对于()ij m n B b ⨯=,(),,max max ij ij ij iji ji jA B a b a b +=+≤+有),,max max ij ij i ji ja b A B ≤+=+.对于()ij n l B b ⨯=,,,11max max nn ik kj ik kj i j i jk i AB a b a b ==⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑∑有),,,,max max max max ij ij ijij i ji ji ji jn a b a b A B ≤⋅⋅==因此,由(1)定义的A 是m n C ⨯中的矩阵范数.（2）当A O =时，0A =；当A O ≠时，存在0i 与0j 使得000i j a ≠，从而有000i j A a ≥>；对于k C ∈,有{}{}(),,max ,max max ,max ij ij i ji jkA m n ka k m n a k A =⋅=⋅=；对于()ij m n B b ⨯=,{}{}(),,max ,max max ,max ij ij ij iji ji jA B m n a b m n a b +≤⋅+≤⋅+有{}(),,max ,max max ij ij i ji jm n a b A B ≤+=+；对于()ij n l B b ⨯=,{}{},,11max ,max max ,max nn ik kj ik kj i j i jk i AB m l a b m l a b ==⎛⎫=⋅≤⋅ ⎪⎝⎭∑∑有{}{}(){}(),,,,max ,max max max ,max max ,max ij ij ijiji ji ji ji jm l n a b m n a n l b AB≤⋅⋅⋅=⋅⋅=因此,由(2)定义的A 是m n C ⨯中的矩阵范数.例1.2 设()ij n n A a ⨯=，且1,n >判断实数,max ij i jA a =是否构成n n C ⨯中的矩阵范数.解：取0011110000100,000100A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…0…，那么001,1A B ==，但是0000000000n A B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭… 从而00A B n =，因为1n >，所以0000A B A B >，不满足矩阵乘法的相容性.因此，,max ij i jA a =不能构成n n C ⨯中的矩阵范数.三、几种常用的矩阵范数定义1.4 对于m n C ⨯上的矩阵范数m ⋅和m n C C 与上的同类向量范数v ⋅，如果v m v Ax A x ≤，,m n n A C x C ⨯∀∈∀∈，则称范数m ⋅与向量范数v ⋅是相容的.定理1.1设()()12,,Tm n n ij n A a C x C ξξξ⨯=∈=∈…，则从属向量x的三种范数12,,x x x ∞的矩阵范数依次是： （1）11max mij ji A a ==∑； （2）2A =1λ为H A A 的最大特征值； （3）1max nij ij A a ∞==∑. 通常称1A ，2A ，A ∞依次为列和范数、谱范数及行和范数.我们常用的矩阵范数还有：（1）111m nij m i j A a ===∑∑；（2）,max ij m i jA n a ∞=⋅；（3）()()()()2111222211m n H Hij m Fi j A A a tr AA tr A A ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑.证明：（1）对于函数1m A 而言，它显然具有非负性和齐次性.先仅就三角不等式与相容性验证于下：()111,1,1,1,1nnn nijij ijij ijijm m m i j i j i j i j A Bab ab a bAB====+=+≤+=+=+∑∑∑∑；()1112211,1,1nni ji j in nj i j in nj m i j i j ABa ba b a b ab a b ===+++≤++∑∑()()111111,1,1nnnni in j nj ijijm m i j i j i j a a b b a bAB====≤++⋅++=⋅=∑∑∑∑因此，1m A 是矩阵范数.（2）同理可证m A ∞也是A 的矩阵范.（3）显然12211m n ij Fi j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑具有非负性和齐次性. 设A 的第j 列为j a （j =1，2，，n ）， m n B C ⨯∈的第j 列为j b （j =1，2，，n ），则有()()222221111222222n nn n F A Ba b a b a b a b +=++++≤++++()()()22221111222222222nnnna a ab a b b b =++++++++对上式第二项应用Cauchy 不等式，即(),x y x y ≤可得()22222FF FFFF FA BA ABBA B+≤++=+即三角不等式成立.再设()n lij B b C⨯=∈，则1n m l ik kj k AB a b C ⨯=⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∑，于是有222111111m l nmln ik kjik kj Fi j k i j k ABa b a b ======⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑. 对括号内的项应用Cauchy 不等式得2221111mln nik kj Fi j k k ABa b ====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑22221111m n l nik kj F F i k j k a b A B ====⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 即F A 是A 的矩阵范数，这一范数又记作2m A .四、矩阵范数的性质性质1.2 设m n A C ⨯∈,且m m P C ⨯∈与n n Q C ⨯∈都是酉矩阵，则F F F PA A AQ ==, 即给A 左乘或右乘以酉矩阵后，其F值不变. (在m n A R ⨯∈时,P 和Q 都是正交矩阵).证明: 若记A 的第j 列j a (j =1,2,,n), 则有()()2221212,,,,,,n n FFFPAP a a a Pa Pa Pa ==2222211nnjjF j j Pa a A =====∑∑即F F PA A =于是()HH HHF F FFAQ AQ F Q A A A ==== .性质1.3 和A 酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相同的，即若H B Q AQ =，则F F B A =，其中Q 是酉矩阵.证明： 由性质1可得.性质1.4 若A α与A β是任意两种矩阵范数，则总存在正数12,c c 对于任意矩阵A 恒有12c A A c A βαβ≤≤.证明：若范数A α与A β都与一固定范数，如范数2A 满足上不等式的关系，则这两种范数之间也存在上述关系.这是因为若存在正常数''12,c c 和''''12,c c 使''1222c A A c A α≤≤ ， ''''122c A A c A ββ≤≤ 成立， 则显然有''''''1122c c A A c c A βαβ≤≤.令'''111c c c =， '''222c c c = ，便得不等式， 因此只要对2β=证明不等式成立就行了.性质1.5 若为n n F ⨯上的矩阵范数，则1n I ≥. 证明：对于n n F ⨯上的任何一种从属范数，有11max n n x I I x ===，但对于一般的矩阵范数，由于n x I x I x =≤，对于n x C ∀∈成立，所以1I ≥.性质1.6 设A 为m n Q ⨯上的任意矩阵范数，对0,0εδ∀>∃>，只要A B δ∞-<，就有A B ε-<.证明：由于A A B B A B B =-+≤-+，可得A B A B -≤-，同理可证：B A A B -≤-, 此即A B A B -≤-；下设()1,2,,;1,2,,ij A i m j n ==为m n Q ⨯的一组基，且令max ij M A =，对于,m n A B Q ⨯∀∈，均可表示为上述基的右线性组合.设1111,mnmnij ij ij ij i j i j A A B A αβ======∑∑∑∑，由()111111m nm n m nijijij ij ij ij ij ij i j i j i j A B A A M mnM αβαβαβδε======-=-≤-≤-=<∑∑∑∑∑∑ 取mnMεδ=，则当A B δ∞-<时，A B ε-<再由刚证明过的式子，则有A B A B ε-≤-<.性质1.7 m n A C ⨯∈,列向量n C α∈，则：（1）矩阵范数1m A 与向量的P-范数相容（1P ≤<∞）.证明：设()ij m n A a ⨯=，()12,,,Tn αξξξ=,则有()0,,0,,0,,0ij j E ξ=，ij P E αα≤，ij P E αα≤1111111m nm nm nijijij ij ij PPm P Pi j i j i j PA a E a E a A ααααα=======≤≤=∑∑∑∑∑∑.（2）矩阵范数∞与向量范数∞相容.证明：设()()12,,,,Tij n m n A a αξξξ⨯==，则有()0,,0,,0,,0Tij j E αξ=， ij E αα∞∞≤，111max max max max nn nik k ik k ik kj i i i j i i i i A a a a αξξξξ∞===⎛⎫⎪=≤≤⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑ =,max ij i ja a A α∞∞∞=,故矩阵范数A ∞与向量范数α∞相容.例1.3 若n n S R ⨯∈可逆,11S αα-=是n R 中的向量范数.A 是n n R ⨯中从属于向量范数α的矩阵范数，试导出A 与矩阵的1-范数之间的关系式.解：由从属范数的定义可得： ()()111111111maxmaxmaxSAS S A A A S AS S ααββαααβα----≠≠≠====.例1.4若n n S C ⨯∈可逆，给定n n C ⨯中的矩阵范数M，对于n n A C ⨯∈，定义实数1M A S AS -=，试证明A 是n n C ⨯中的矩阵范数.证明：当A O =时，0A =；当A O ≠时，1S AS O -≠，从而0A >；对于k C ∈，有()()111MMMkA S kA Sk S AS k S ASk A ---====对于n n B C ⨯∈，有()11111MMMMA B S A B SS AS S BSS ASS BSA B-----+=+=+≤+=+()()()11111MMMMAB S AB SS AS S BS S AS S BS A B -----==≤=故A 是n n C ⨯中的矩阵范数.第二章 矩阵范数的一些应用一、 阵的谱半径与矩阵范数的关系定义 2.1 设n n A C ⨯∈的几个特征值为12,,.n λλλ，称()m a x i iA ρλ=为A 的谱半径.性质2.1若n n A C ⨯∈，则对n n C ⨯上任何一种矩阵范数，都有()A A ρ≤.性质2.2 若n n A C ⨯∈，对任意的正数ε，存在某中矩阵范数m，使得()m A A ρε≤+.性质2.3若n n A C ⨯∈，且H H A A AA =，则()2A A ρ=. 证明：由H H A A AA =知，存在酉矩阵P ,使得()12,,,H n P AP diag λλλ=，其中()1,2,,i i n λ=是A 的特征值.记()12,,,n diag λλλΛ=，则有()()()22212,,,HHH H H nA A P P P P P P Pdiag λλλ=ΛΛ=ΛΛ=HP，由此可得：H A A 的全体特征值为22212,,,n λλλ，从而有()()()22221max H i i nA A A A ρλρ≤≤===，故有()2A A ρ=.例 2.1 试用矩阵1321jA j -⎛⎫=⎪+⎝⎭(j =验证()A Aρ≤对三种常用范数的正确性.解：因为()()2det 15I A λλ-=--，所以1211λλ==， 从而()1A ρ=，又13A A ∞==；而6555511Hj A A j +⎛⎫= ⎪-⎝⎭， ()2d e t 1716H I A Aλλλ-=-+ 由此得()()1216,1H H A A A A λλ== ，于是有24A ==， 故得()1A A ρ<，()2A A ρ<，()A A ρ∞<.例 2.2 若()()1ij n n A a n ⨯=>为按行（列）严格对角占优矩阵，()11122,,,,nn D diag a a a B I D A -==-，试证明()1B ρ<.证明：当A 按行严格对角占优时，1ij ii n na D A a -⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭也按行严格对角占优，且1D A -的主对角线上的元素为1， 从而有()11B B I D A ρ-∞∞≤=-<；当A 按列严格对角占优时，1ijjjn na AD a -⨯⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭也按列严格对角占优，且1AD -的主对角线上的元素为1，从而有()()111111B DBD DBD I D A ρρ---=≤=-<.二、 阵范数在矩阵序列上的收敛判定定义2.2 设矩阵序列{}k A ，其中()()k m n k ij A a C ⨯=∈，若m n ⨯个数列(){}k ij a ()1,2,,;1,2,,i m j n ==都收敛，便称矩阵序{}k A 列收敛.若()lim k ij ij k a a →∞=，则()l i m k i j k A A a →∞==，称A 为矩阵序列{}k A 的极限.定理2.1 设()k m n A C ⨯∈，则： （1）()k A O →的充要条件是()0k A →； （2）()k A A →的充要条件是()0k A A -→. 这里是m n C ⨯上的任何一种矩阵范数.定理2.2 若对矩阵A 的某种范数1A <，则lim 0k k A →∞=.由上一节性质2.1可知：定理 2.3 已知矩阵序列2,,,,k A A A ，则lim 0k k A →∞=的充要条件是()1A ρ<.例2.2 下列矩阵是否为收敛矩阵？为什么？（1）0.20.10.20.50.50.40.10.30.2A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）14631136A ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭解：（1）可求得10.91A =<，从而A 是收敛矩阵.（2）可求得A 的特征值156λ=，212λ=-，于是()516A ρ=<， 故A 是收敛矩阵.例2.3 设000c c A c c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭讨论实数c 取何值时A 为收敛矩阵. 解：可求得A 的特征值12c λ=，23c λλ==-，于是()2A c ρ=，故当()1A ρ<，即12c <时，A 为收敛矩阵.三、 范数在矩阵级数上的收敛判定定义2.3 设()()k m nk ij A a C⨯=∈，若m n ⨯个常数项级数()1k ij k a ∞=∑()1,2,,;1,2,,i m j n == 都收敛，便称矩阵级数121kn k AA A A ∞==++++∑收敛.若m n ⨯个常数项级数()1k ij k a ∞=∑ ()1,2,,;1,2,,i m j n ==绝对收敛，便称矩阵级数121k n k A A A A ∞==++++∑绝对收敛.定理 2.4 设()()k m nk ij A a C⨯=∈，则矩阵级数1k k A ∞=∑绝对收敛的充要条件是正项级数1k k A ∞=∑收敛，其中A 为任何一种矩阵范数.定义2.4 设()n n ij A a C ⨯=∈， 称形如20120k k k k k c A c E c A c A c A ∞==+++++∑的矩阵级数为矩阵幂收敛.定理2.5 设幂级数()0k k k f z c z ∞==∑的收敛半径为r ，如果方阵满足()A r ρ<，则矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑是绝对收敛的；如果()A r ρ>，则矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑是发散的.性质2.4 设矩阵级数0kk A ∞=∑收敛（或绝对收敛），则()0k k PA Q∞=∑也收敛（或绝对收敛），并且()()00k k k k PA Q P A Q ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，其中()k m n A C ⨯∈，s m P C ⨯∈，n t Q C ⨯∈.证明：设()0k k S A ∞==∑，则()()()00NN k k k k SPA Q P A Q ∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑， 于是()()()()000lim lim Nk N k k N N k k k PA Q SP A Q PSQ P A Q ∞∞→∞→∞===⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 如果()k k A ∞=∑绝对收敛，则()0k k A ∞=∑收敛.由于()()()k k k PA Q P A Q A τ≤≤，其中τ是与k 无关的正数，由比较判别法知()k k PA Q ∞=∑收敛，故()0k k PA Q ∞=∑绝对收敛.性质2.5若矩阵级数()k k A ∞=∑与()0k k B ∞=∑绝对收敛，且其和分别为A 与B ，则这两个矩阵级数的积()()()()()()()()()()()()()()0000100110k k k A B A B A B A B A B A B -++++++++也绝对收敛，且有和AB ，其中()k A ，m n A C ⨯∈； ()k B ，n l B C ⨯∈。
第五章 向量范数和矩阵范数
n
，由
|| x ||1 º | x1 | + | x2 | + L + | xn |
定义的 || ||1 是 F n 上的向量范数，称为1-范数或 l1 范数或和范数，也被风趣地称为Manhattan范数。
遗憾的是，当
0 p1
2
时，由
1/ p
骣 p || x || p º 琪 | x | 琪 å i 琪 琪 桫
2 2
2
在广义实数范围内，P能否取到正无穷大呢？具体而
言，如何计算这种范数呢？
例 9 对任意
x ( x1 , x2 , , xn ) F || x ||¥ º lim || x || p
T
n
，由
也就是
p?
?
|| x ||¥ º max | xi |
i
定义的|| || 是 F n上的向量范数，称为 -范数或 l 范数或极大范数。
由于
A
为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
U T AU = Λ = diag ( λ1 , λ 2 , L , λ n ) 这里 A 的特征值 λ i ( i = 1, 2, L , n) 都为正数。
从而有 此时
A = UΛU T = U Λ ? Λ U T º BT B
|| x || A xT Ax xT BT Bx ( Bx )T Bx || Bx ||2
x ( x1 , x2 , , xn ) F
T
n 1/ p
n
，由
骣 p || x || p º 琪 | x | 琪 å i 琪 琪 桫
i= 1
, p³ 1
定义的 || || p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 l p 范数。
矩阵范数
1
r k(r 1),
a (k) 22
k2 k2
k k
那么
1 limA(k) A 3
0
k
1 1
定理： 矩阵序列{ A ( k ) } 收敛于 A 的充分必
要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k ) A 为任意一种矩阵范数。
证明：取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性：设
limA(k)
都收敛，则称矩阵序列{ A ( k ) } 收敛。
进一步，如果
那么
lkimaij(k) aij
limA(k)
k
A[aij]
我们称矩阵 A 为矩阵序列 { A ( k ) } 的极限。
例 ：如果设 A(k) aij(k)C22 ，其中
a (k) 11
k 1, 3k
a (k) 12
rk(0r 1)
a (k) 21
无关的正数 d1 , d2 使得
d 1
b
a d 2
, V
b
定理：有限维线性空间 V 上的任意两个向
量范数都是等价的。
利用向量范数可以去构造新的范数。
例 ：设 g b 是 C m 上的向量范数，且
A C m n, rank(A )n，则由
A , C n
a
b
所定义的 g a 是 C n 上的向量范数。
aij
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式容易 证得。现在我们考虑乘法的相容性。设
ACnn,BCnn，那么
n
n
AB
n max i, j
aik bkj
k 1
n max i, j
第五章向量范数和矩阵范数
时一般附加“范数相容性”条件（这里的范数一般要
求是同类的）： || A B ||↦ ℂ || A||i || B ||↕
（3） ||x y|| ℂ ||x|| ||y||。(" x、y R n)
数学系 李继根（jgli@）
二、 向量范数的概念
定义3 如果 V 是数域 F 上的线性空间，对 V中的任
意向量 x Î V ，都有一个非负实数 || x ||与之对应，并
且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：
数学系 李继根（jgli@）
一、 从向量的长度或模谈起
例 1 复数 x = (a, b) = a i + b j 的长度或模指的是量
|| x || � a2 b2 显然复向量 x 的模 || x || 具有下列三条性质： (1) || x || 0 ，当且仅当 x ≪� 时，等号成立。 (2) || ℓ x || ≪ | ℓ | || x || ; ( ℓ R)
a
b
ò || f (t) ||2 º
| f (t) |2dt
a
|| f (t) ||¥
= max | f (t) |
a# t b
数学系 李继根（jgli@）
例 12 若矩阵 P Cn n 为Hermite正定矩阵，则由
|| x ||P º xH Px , " x Cn
定义的||i||P 是 C n上的向量范数，称为加权范数或椭
C1 || x || β # || x || α C2 || x || β
注意这个结论对无限维未必成立。另外，根据等价 性，处理向量问题（例如向量序列的敛散性）时， 我们可以基于一种范数来建立理论，而使用另一种 范数来进行计算。
第二章 向量与矩阵的范数
n
1
p
+ ( ∑ bi )
p i =1
n
1
p
p 证明 以 q = 代入下式 p −1 n n p ∑ ai + bi = ∑ ai + bi ai + bi
i =1 n
p −1
则
∑ a +b
i =1 i n i =1
p
i
= ∑ ai + bi ai + bi
i =1 p q
i =1 n
A
p
= max
X ≠0
AX X
p p
常用的矩阵 范数 常用的矩阵P--范数为 矩阵 范数为
A 1 ，A 2 和 A ∞ 。
定理 设 （1） ）
A∈C
j
m ×n
，则
m
A 1 = max( ∑ aij ) ,
i =1
j = 1, 2, L , n
1 H
列和范数。 我们称此范数为矩阵 A的列和范数。 （2） A ）
AB ≤
m m1 n
=
∑∑ ∑a
i =1 p j =1 k =1 p k =1
m
n
p
ik
b kj ≤
∑∑∑
i =1
m
n
p
j =1 k =1
a ik b kj
∑ ∑ [( ∑
i =1 j =1 m i =1 k =1 m1
a ik )( ∑ b kj )]
k =1 p n
= (∑ = A
∑
p
a ik )( ∑
n
i
bi ≤ (∑ ai )
p i =1
n
1
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可逆矩阵的范数
一、引言
矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的范数也是矩阵理论中的重要内容。
在矩阵范数中，可逆矩阵的范数是一个非常重要的概念。
本文将详细介绍可逆矩阵的范数。
二、可逆矩阵
1. 定义
在线性代数中，一个n×n方阵A称为可逆矩阵，如果存在一个n×n 方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
如果不存在这样的B，则称A为奇异或不可逆矩阵。
2. 性质
（1）若A、B均为n×n方阵，则AB可逆当且仅当A和B均可逆。
（2）若A、B均为n×n方阵且都是可逆的，则(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹。
（3）若A是一个n×n方阵，则下列条件等价：
① A是非奇异的；
② A可以表示成有限个初等行变换后所得到的简化行最简形式；
③ A可以表示成有限个初等列变换后所得到的简化列最简形式。
三、矩阵范数
1. 定义
矩阵范数是将一个矩阵映射到一个实数的函数，通常记作∥A∥，表示矩阵A的大小。
在实际应用中，矩阵范数可以用来衡量误差或者度量两个矩阵之间的距离。
2. 常见的矩阵范数
（1）Frobenius范数：Frobenius范数是最常见的一种矩阵范数，它定义为：∥A∥F=√(ΣiΣj|aij|²)，其中aij表示A中第i行第j列的元素。
（2）1-范数：1-范数也称为列和范数，它定义为：
∥A∥₁=max(Σi|aij|)，其中j取值从1到n。
（3）2-范数：2-范数也称为谱范数或者算子模长，它定义为：
∥A∥₂=σ₁(A)，其中σ₁(A)表示A的最大奇异值。
（4）无穷大-范数：无穷大-范数也称为行和范数，它定义为：
∥A∥∞=max(Σj|aij|)，其中i取值从1到n。
四、可逆矩阵的范数
1. 定义
可逆矩阵的范数是指可逆矩阵A的所有范数中最小的那个，即
∥A∥⁻¹=min{∥A⁻¹B∥|B为n×n矩阵}。
2. 性质
（1）若A是可逆矩阵，则其逆矩阵A⁻¹也是可逆矩阵。
（2）若A是可逆矩阵，则其所有范数中最小的那个为Frobenius范
数，即∥A∥⁻¹=√(ΣiΣj|aij|²)。
（3）若A是对称正定矩阵，则其所有范数中最小的那个为2-范数，即∥A∥⁻¹=σ₁(A)。
五、总结
本文详细介绍了可逆矩阵的定义和性质，以及常见的几种矩阵范数和可逆矩阵的范数。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的范数来衡量误差或者度量两个矩阵之间的距离。
同时，在计算机科学领域中，对于大规模稀疏数据，我们通常使用不同的范数来进行矩阵压缩和降维处理，从而提高计算效率和节省存储空间。