运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习
运筹学重点
第一章线性规划与单纯形法一、本章考情分析：常考题型：选择填空判断计算分值：必考知识点，30分以上,非常重要！二、本章基本内容：１）掌握线性规划的数学模型的标准型；２）掌握线性规划的图解法及几何意义；３）了解单纯形法原理；４）熟练掌握单纯形法的求解步骤；５）能运用大Ｍ法与两阶段法求解线性规划问题；６）熟练掌握线性规划几种解的性质及判定定理．三、本章重难点：重点：１）单纯形法求解线性规划问题；２）解的性质；３）线性规划问题建模．难点：１）单纯形法原理的理解；２）线性规划问题建模．四、本章要点精讲：·要点１化标准型·要点２图解法·要点３单纯形法的原理·要点４单纯形法的计算步骤·要点５单纯形法的进一步讨论1）要点１化标准型线性规划的数学模型：Z=CX （C：价值系数） Ax=b （a：工艺或技术系数 b：资源限制）复习思路提示：化标准型按“目标函数—资源限量—约束条件—决策变量”的顺序进行。
2）要点２图解法线性规划解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解；3）要点３单纯形法原理解的概念与关系:基：设A是约束方程组的m*n阶系数矩阵（设n>m），其秩为m，B是A 中的一个m*m阶的满秩子矩阵（B≠0的非奇异子矩阵），称 B是线性规划问题的一个基．设除基变量以外的变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有的非基变量=0，可以求出唯一解X。
基可行解：变量非负约束条件的基解．可行基：基可行解的基．几个定理：１线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是Ｘ的正分量所对应的系数列向量是线性独立的．２线性规划问题的基可行解Ｘ对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点．３若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解．最优解唯一时，最优解也是基最优解；当最优解不唯一时，最优解不一定是基最优解．基最优解基可行解集解最优解可行解线性规划解的判别：①最优解：全部σｊ≤ 0，则X(0)为最优解．②唯一最优解：全部σｊ＜0，则X(0)为唯一最优解．③无穷多最优解：全部σｊ≤0，存在一个非基变量的σ＝0，则存在无穷多最优解．④无界解：若有一个非基变量的σ＞0，而其对应非基变量的所有系数ａ′≤0，则具有无界解。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结运筹学是研究在有限资源条件下，如何最优化决策问题的学科。
它是应用数学的一部分，主要包括线性规划、整数规划、图论等方向。
运筹学在工业、交通、军事、金融等各个领域有广泛的应用。
一、线性规划线性规划是运筹学中应用最广泛的部分，也是最基础的部分。
线性规划是一种数学方法，用于确定线性函数的最大值或最小值。
它被用来优化各种决策问题，例如成本最小化、收益最大化等。
如果一个问题可以通过不等式和等式来表示，同时还满足线性条件，那么这个问题就可以用线性规划来解决。
二、整数规划整数规划是指在优化问题中，变量需要满足整数限制的问题。
它是一个复杂的优化问题，通常需要使用分支定界法等高级算法来解决。
整数规划在生产安排、设备选型等问题中有广泛应用。
例如，在工厂的生产调度中，每个任务的产量必须是整数，因此需要使用整数规划来制定生产计划。
三、图论图论是运筹学的一个重要分支，它是一种研究图形结构和它们的互相关系的数学理论。
在运筹学中，图论被用来解决一些最短路径、最小花费等问题。
图论在计算机科学中也有广泛的应用。
例如，它被用来分析互联网的连接模式，制定数据传输的路径等。
四、决策分析决策分析是指选择最优行动方案的过程，它使用决策分析方法来权衡各种可行方案的利弊。
这些方法包括概率分析、统计分析、风险分析等。
决策分析在金融、政府和企业管理等领域中有广泛的应用。
例如，在股票投资中，决策分析被用来估计利润和风险，从而选择最优的投资组合。
五、排队论排队论是研究排队系统行为的学科，它被用来分析服务过程中的等待时间、系统容量和服务能力等因素。
排队论可以用来优化人员调度、设备运营和客户满意度。
排队论在交通运输领域中有广泛应用。
例如，在快速公路上，排队论可以帮助确定最佳车道数量，从而减少塞车和等待时间。
六、模拟模拟是一种数学方法，用于模拟真实世界的行为和系统。
它可以用来预测系统行为，以优化决策。
模拟通常使用计算机程序来模拟系统，这些程序称为仿真器。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
《运筹学》复习参考资料知识点及习题
A
B
C
利润 （万元）
甲
3
5
9
70
乙
9
5
3
30
有效总工时
540
450
720
问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大?
（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）
解：设Xi、X2为生产甲、乙产品的数量
9x2
<540
⑵
5x2
<450
⑶
3x2
<720
⑷
X2-
0
第一部分
一、两个变量的线性规划问题的图解法：
㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可
行（解）域。
定义：达到目标的可行解为最优解。
㈡图解法：
图解法采用直角坐标求解：Xi――横轴；X2――竖轴。1、将约束条件（取等 号）用直线绘出；
2、确定可行解域；
3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；
⑸、⑹⑴3xi源自5xi9xiXi,
可行解域为oabcdO,最优解为
b点。
由方程组
5x1+5x2= 450
9x<^ 3x2= 720
Xi
=(75,15)T
.max z =Z*= 70帀5+30 X15=5700
例2:用图解法求解
max z=6xi+4x2
s.t.
2x1x2乞10
捲+x2兰8
|X2兰7
x1,x2- 0
解：
可行解域为oabcdO,最优解为b点
由方程组
2%+x2= 10
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结运筹学是一门研究如何有效决策和优化资源分配的学科，它涵盖了数学、统计学和计算机科学等多个学科的知识。
在现代社会，运筹学在各个领域都有广泛的应用，比如物流管理、生产调度、供应链优化等。
本文将介绍一些运筹学的基本概念和应用。
1. 线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的数学模型之一。
它的目标是在一组线性约束条件下，最大化或最小化线性目标函数。
线性规划可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。
常见的线性规划算法有单纯形法和内点法。
2. 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中决策变量被限制为整数。
整数规划在许多实际问题中都有应用，比如货车路径优化、工人调度等。
求解整数规划问题的方法包括分支定界法和割平面法。
3. 图论图论是运筹学中的一个重要分支，它研究图的性质和图算法。
图是由节点和边组成的数学结构，可以用来表示网络、路径、流量等问题。
常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流算法。
4. 排队论排队论研究的是随机到达和随机服务的系统中的排队行为。
它在交通规划、电话网络、客户服务等领域有广泛的应用。
常见的排队论模型有M/M/1队列、M/M/c队列和M/G/1队列。
排队论可以用来优化服务水平、减少等待时间等。
5. 动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它将问题分解为一系列子问题，并通过递归的方式求解。
动态规划常用于求解最优化问题，比如背包问题、旅行商问题等。
它的核心思想是将问题转化为子问题的最优解，并利用子问题的最优解求解原问题。
6. 模拟优化模拟优化是一种通过模拟实验寻找最优解的方法。
它基于概率统计和随机模拟的原理，通过多次模拟实验来搜索解空间。
模拟优化常用于在实际问题的局部搜索中找到较好的解。
常见的模拟优化算法有遗传算法、蚁群算法和粒子群算法。
7. 供应链管理供应链管理是一种综合运筹学和物流管理的概念，它研究如何优化整个供应链中的流程和资源分配。
供应链管理的目标是降低成本、增加效率并提供更好的顾客服务。
运筹学复习提纲
运筹学复习提纲第一章线性规划1、线性规划的三个要素目标函数、决策变量、约束条件一般形式，标准形式（转化）2、求解线性规划的图解法3、线性规划解的可能性唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解(原因)4、单纯形法（必考点）基，基变量，基本解，基本可行解，可行解，最优解，最优基单纯形法解题思路、步骤，最优解的判定定理，单纯形法的管理启示大M法的可能结果图解法。
大M法。
线性规划数学模型的建立？（建模）第二章线性规划讨论1、线性规划灵敏度分析价值系数、资源向量第三章 对偶规划 1、对偶模型 2、对偶性质对称性定理，弱对偶定理，强对偶定理，互补松驰定理 3、影子价值对偶问题的最优解，影子价值的经济含义 （课后习题69页，5）1、 求该问题产值最大的最优解和最优值2、 求出该问题的对偶问题和最优值3、 给出两种资源的影子价格，说明其经济含义：第一只能够资源限量由2 变为4 ，最优解是否改变？4、 代加工产品丁，每单位产品需要消耗第一种资源两单位，消耗第二种资源3单位，应该如何定价？ 解：1、先转化成标准型：利用单纯形法求解：123123123123max 42832..68,,0Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩1234512341235max 4200832..680;1,2,,5jZ x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥=⎩该问题有唯一最优解： 2、利用对偶问题的性质求解对偶问题的最优解和最优值：第一种资源影子价格为2，表明第一种资源增加1个单位，产值(或利润)增加2个单位，即第一种资源为紧缺资源(x 4 = 0)； 第二种资源影子价格为0，表明第二种资源增加1个单位，产值(或利润)增加0个单位，第二种资源有剩余(x 5 = 6) 。
3、对偶问题数学模型：其对偶模型为：*(0,0,2,0,6)TX =*4Z =*(2,0,12,5,0)Y =*4Z =123123123123max 42832..68,,0Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩121212min 2886431W y y y y y y =++≥⎧⎪+≥⎪，根据题意：(4)设产品丁的产量为x6第四章整数规划1、整数规划的含义2、整数规划的类型及求解方法3、整数规划问题建模 0-1规划建模4、分枝定界法第五章目标规划1、目标规划问题建模2、目标规划图解法（满意解）问：在材料不能超用的条件下，企业如何安排生产计划？要求尽可能满足下列目标：(1)力求使利润指标不低于80元；(2)考虑到市场需求, 两种产品的产量需保持1:1的比例；(3)设备A既要求充分利用，又尽可能不加班；(4)设备B必要时可以加班，但加班时间尽可能少。
运筹学复习
2014-2015复习一、名词解释（5道，15分）1.优化2.线性规划生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
3.可行解:满足约束条件解为可行解。
4.可行域所有可行解的集合为可行域。
5.基:设A为约束条件②的m× n阶系数矩阵(m<n)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣ B∣≠0），称B是规划问题的一个基。
6.基本可行解:满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。
7.影子价格在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi （第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量yi*。
8.灵敏度分析:当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
可以改变的参数有：bi ——约束右端项的变化，通常称资源的改变；cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变化；pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变化；其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工序等。
9.运输问题10.整数规划要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划。
11.0-1规划决策变量只能取值0或1的整数规划。
12.松弛问题13.目标规划目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。
14.偏差变量15.链图中某些点和边的交替序列，若其中各边互不相同，且对任意vi,t-1和vit均相邻称为链。
16.路链中所有顶点不相同，这样的链称为路17.最小生成树如果G2是G1的部分图，又是树图，则称G2是G1的部分树（或支撑树）。
树图的各条边称为树枝，一般图G1含有多个部分树，其中树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树（或最小支撑树）。
18.PERT网络图注重于对各项工作安排的评价和审查。
19.关键路线法各弧权重总和最大的路线，或称主要矛盾路线，它决定网络图上所有作业需要的最短时间。
运筹学复习重点
二、表解形式的单纯形法 千里之行，始于足下。
(1)建立初始单纯形表：包括决策变量、基变量及其价值系数，以
及约束方程组的增广矩阵。
(2)找出初始可行基：在增广矩阵中寻找单位子矩阵形式的可行
基，进而得到相应的基变量。
(3)计算
zj
=
m
∑ ciaij
,其中ci
是基变量的价值系数,进而计算检验数
σ j = z j − ci=j1。
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千里之行，始于足下。
对称形式下原问题和对偶问题在形式上的对比
原问题：
对偶问题：
用矩阵形式表示，对称形式下原问题与其对偶问题
的对比如下：
max z = CX
min ω = Y ′b
AX ≤ b
A′Y ≥ C′
≥ 0 第 10 页源 /共 37 页 10
千里之行，始于足下。
四、工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题： 有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的 费用为cij (i, j = 1, 2,", n),要求确定人和事之间的 一一对应的指派方案，使完成这n件事的总 费用最少。
对于工作指派问题，一般用匈牙利法进行求解。
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千里之行，始于足下。
令始点 vs的标号为[0, ∞] 。
标号规则：
1)若从已标号顶点 vi 顶点vj 标号为 [vi , β
出发的弧是正向弧，当
{ (v j )] ，其中β (vj ) = min β (vi
fij ),
< cij
cij时，
} − fij ;
2)若从已标号顶点 vi出发的弧是反向弧，当 f ji > 0 时，
整数规划正确程序
整数规划（运筹学教程第五章）一、名词简介整数规划：规划中的变量部分或全部限值为整数时称为整数规划。
全部限制为整数叫做纯（完全）整数规划，部分限值为整数叫做混整数规划。
现在通常意义上的整数规划是整数线性规划，也就是说在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
线性规划是一种数学方法，研究在线性条件下线性目标函数的最优解问题。
假设整数规划问题A，其相应的线性规划问题为B，B有最优解，当自变量限制为整数后，得到问题A，A的解会出现下述情况：①B最优解全是整数，则A最优解与B最优解一致。
②A无可行解。
③A有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
二、适用范围整数规划是规划论中尽30年才发展起来的一个重要分支。
主要是由于在经济管理中的大量问题抽象为模型时，许多量具有不可分割性，因此当这些量被作为变量引入规划中时，常需要满足取整条件。
如计划生产中生产多少台机器，人力资源管理中招聘多少员工，运输问题中从一个港口到另一个港口的集装箱调运数量，此外在运作管理总的决策问题：如工厂选址、人员的工作指派、设备购置和配置。
在规划模型中往往必须引入逻辑变量（即便量仅取0或1两个值）来反映冲突因素和抉择。
三、解题步骤a、根据影响所要达到目的的因素找到决策变量b、由决策变量和目的之间的关系确定目标函数c、由决策变量所受的条件确定决策变量索要满足的约束条件。
至此整数规划模型已经建立，接下来的任务是模型求解。
d、对A进行求解。
求解方法分类：（i）分枝定界法——可求纯或混合整数线性规划首先不考虑取整的约束，求出B的可行域，去掉不存在整数解的可行域部分，再去掉不存在最优解的可行域部分，不断缩小可行域，最终找到整数的最优解。
（ii）隐枚举法——求解“0-1”整数规划首先模型转化为求极小的问题。
其次变量代换，极小问题模型的目标函数中所有变量系数为负的0-1变量可利用变量代换X k=1−X k，，将目标函数中所有变量系数化为正数。
《运筹学》期末复习与答案
运筹学概念部分一、填空题1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。
2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。
4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。
11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。
12．运筹学中所使用的模型是数学模型。
用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。
13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。
14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。
15.数学模型中，“s·t”表示约束（subject to 的缩写）。
16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。
17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。
18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。
二、单选题19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ）A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。
A．观察B．应用C．实验D．调查21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。
A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ）A数量B变量C约束条件 D 目标函数23.模型中要求变量取值（ D ）A可正 B可负 C非正 D非负24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ）A 连续性 B整体性 C 阶段性D再生性25.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。
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山东大学 期末考试 知识点复习
第五章 整数规划
1．整数规划的特点
(1)整数规划:决策变量要求取整数的线性规划。
（2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。
(3)整数规划的可行域为离散点集。
2．整数规划的建模步骤
整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分
或全体必须限制为整数。
3．求解整数规划的常用方法
1）分支定界法
没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问
题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最
优目标函数z＊的上界，记作 ，而A的任意可行解的目标函数值将是z＊的一
个下界 ,分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法,逐步减小 和增
大 ，最终求得z＊。
将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题
B。
(1）解与整数规划问题A相应的线性规划问题B,可能得到以下几种情况之
一:
①B没有可行解，A也没有可行解,停止计算。
②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停
止计算。
③B有最优解,但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为 。
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(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值,并记作 。
以z*表示问题A的最优目标数值，则 ≤z*≤ 。
下面进行迭代.
分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xi，其值为bi。
构造两个约束条件
xj≤［bj］ ①
和
xj≥[bj］+1 ②
其中［bj］为不超过bj的最大整数。
将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑
整数约束条件求解这两个后继问题。
定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。
第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形
法求其最优解，记为 ) ；
第二步:若求得的最优解 ，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划
的最优解,否则转下步;
第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。
第四步:对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。若某个子问题的解
是整数解,则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数
解相比较以决定取舍;否则，对该子问题继续进行分支。
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第五步：重复第三、四步直至获得原问题最优整数解为止.
2）割平面法
割平面法既可以求解纯整数规划，也可以用于求解混合整数规划.其基本思
路与分支定界法类似,它也是在求解整数规划（Ⅰ)的相应的线性规划(L）的基础
上，不断增加新的约束,通过求解一系列线性规划问题,最终得到原问题（I）的
整数最优解。但在此方法中，新约束的求法与分支定界法中不同，此外新增加的
约束叫做割平面或切割方程，它使得由原可行域中切割掉一部分,此部分只包含
非整数解，但不切割掉任何整数可行解。
割平面法求解整数规划的求解步骤：
（1）先不考虑整数条件，求解(Ⅰ)相对应的线性规划问题(L）,与分支定界
法步骤（1）一样,同样可得到三种结果之一。
（2）求一个切割方程：切割方程可由单纯形表的最终表中的任一个含有非
整数基变量的等式约束演变而来，因此,切割方程不唯一.
1°令xi为相应的线性规划（L)的最优解中为分数值的一个基变量，由单纯
形的最终表得到：
其中i∈Q（Q表示构成基变量号码的集合)，k∈K（K表示构成非基变量号
码的集合）。
2°将bi和aik都分解成整数部分N和非负真分数f之和,即
而N为不超过b的最大整数，即N=［b]。并将①代入②，得
3°提出变量为整数的条件（当然还有非负条件）,由③式左边看必须是整数，
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但右边因为0〈fi〈1，所以不能为正，故得切割方程
(3)在(L)的基础上，增加第一个切割方程，即构成线性规划问题(L1）,用单
纯形法或对偶单纯形法求最优解，若(L1)得到的仍为非整数解,则返回步（2），
继续求第二个切割方程。
4．指派问题
(1）指派问题的特点.
把m项工作分派给n个人去做，既发挥各人特长又使效率最高。这是一类特
殊0—1规划问题.
(2)求解方法——匈牙利法.
该方法由库思提出，他引用了匈牙利一位数学家的定理。
①指派问题的标准型.
目标为min;系数矩阵为方阵(即人数与工作数相等，或者说每项工作只能由
一人来做,每个人只能做一项工作)且其所有元素均为非负。满足这两个条件的指
派问题叫做标准型的指派问题。
②标准型指派问题的求解。
5．0-1规划问题
（1)一般形式。
0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量xi仅取0或1,它和一
般整数规划的约束条件形式是一致的。
(2）求解方法——隐枚举法。
0—1规划常用隐枚举法和过滤法,都是利用变量只能取0或l两个值的特性。
隐枚举法是一种特殊的分支定界法，它适用任何0—1规划问题的求解。但用隐
山东大学 期末考试 知识点复习
枚举法要经过一些模型的变换。过滤法实际上就是隐枚举法的一个特殊情况,在
计算的过程中确定一个过滤条件，不断地检验，由于0—1的特性，其工作量在
维数不大的情况下也是可以很快完成的,但当维数很大时不可取.
要用隐枚举法，首先应将0—1规划化成以下规范形式：
①如果目标函数是求最小值，则对目标函数两边乘以-1，改求最大值。
②如果目标函数中某变量xj的系数cj〉0，则令xj=1—yj替换xj,其中yj为0
—1变量，于是变量yj在目标函数中的系数变成小于0。
③如果约束条件是“≥”形式，则可两边乘以-1，改为“≤”的形式。
④如果约束条件中含有等式，则可将每个等式化成两个“≤”形式的不等式,
例如
0—1规划的隐枚举法的基本思想是：首先令全部变量取0(因为目标函数的
系数全非正，此时，相应的目标函数值s=0就是上界）.如果此解可行，则为最
优解，计算终止；否则，选择某个变量为0或1,将问题分析成两个子问题，继
续分别对它们进行检验，即令没有被选择的变量全部为0,检查是否可行。如此
下去,或者再分支，或者使所有的子问题停止分支,并以最大下界值对应的可行解
为最优解。
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