三次函数的性质及应用
三次函数的图像和性质
三次函数的图像和性质 知识回顾：定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数；定义域：R ；值域：R ；图像：对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3；三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++方法一：试根，待定系数因式分解；方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在ii r s 中取得；典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f（1）求函数的单调区间和极值；（2）判断函数的零点个数；典例2：三次函数的零点问题1. 已知函数()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ；2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围．变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=2331有三个零点，求实数a 的取值范围．典例3：三次函数的切线问题1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ（1）若曲线()x g与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若()()x g x f =有三个根，求实数λ的值；2. 已知函数()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程；（2）若过点()t P,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切；经验分享：一般的三次函数的切线条数有如下规律：三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域：（1）过区域①，③内的点可作3条与曲线()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线；（3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线；•O ② ③④ O •①② ④。
谈三次函数的分析性质在高考中的应用
．
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考题 在年年创新 考题既遵循 大纲 但 又 不 拘 泥于 大纲 其主
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导 思 想 是 在 知 识 交 汇 处 考 查 能力
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仔 细 分 析 近 几 年 高 考数 学
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试 题 就 会 发 现 涉 及 到 三 次 函 数 的试 题 几 乎 各 地 每 年 都 有 并
且 从 不 同 角度 全 面 考 查 学 生 分析 问 题 解 决 问 题 的 能 力 究 其
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二
三 次 函数 的 分 析性 质 在 高 考 题 中频 繁 出 现
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D 的 解 集 是 (O，5 ) 且 ，x (
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研 究 函数单 词 性 极 值 零 点 ( 方 程 的根 ) 等性 质 的 能力 并 以
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图 (5) (6)绘 出 了 导 函 数 与 原 函 数 的 关 系 直 观 示 意 圉
(1 ) 求 以叫的 解 析式
三次函数的性质及应用
三次函数的性质及应用
张国棣
【期刊名称】《考试：高考理科版》
【年(卷),期】2005(000)004
【摘要】三次多项式函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数．在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。
如：2004年高考中，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。
下面我们就来探讨一下它的性质。
【总页数】2页(P18-19)
【作者】张国棣
【作者单位】江苏
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.利用数形结合方法解决数学问题——例谈“三次函数的图像以及由图像得到三次函数的性质”的解题方法
2.三次函数的性质及应用
3.例谈三次函数性质的应用
4.
三次函数有关极值的一个性质及应用5.三次函数的图像、性质及应用
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第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
三次函数性质探述
三次函数的 极 值 情 况 如 何 呢 ？ 由 推 论 ３ 及 函 数 ｆ ′（ ｘ）
的符号不难得到：
定理 ４ 当 ｂ２－ ３ａｃ＜ ０ 时， ｆ （ ｘ） 无极值； 当 ｂ２－ ３ａｃ＞ ０
时， （ｆ ｘ） 在 ｘ＝ ｘ１ 和 ｘ＝ ｘ２ 处有两个极值． 推论 ４ （ １） 当 ａ＞ ０ 且 ｂ２－ ３ａｃ＞ ０ 时 ， （ｆ ｘ） 在 ｘ＝ ｘ１ 处 有
至此可知， 当 ｂ２－ ３ａｃ＞ ０ 时， 三次函数 （ｆ ｘ） 图象上有两
个 极 值 点 Ｐ（１ ｘ１， （ｆ ｘ１） ） 、Ｐ（２ ｘ２， （ｆ ｘ２） ） ， 那 么 ， 这 两 个 点 Ｐ１， Ｐ２ 与函数图像对称中心点有何关系呢？我们可以发现：
定理 ５ 当 ｂ２－ ３ａｃ＞ ０ 时 ， 三 次 函 数 图 象 上 的 两 个 极
备课参考
三次函数性质探述
□ 管宏斌
（ 通州高级中学， 江苏通州 ２２６３００）
中学 数 学 已 对 二 次 函 数 性 质 作 出 了 系 统 、严 格 而“近 乎完美”的研究， 但是 关 于 三 次 函 数 性 质 的 讨 论 则 几 乎 没 有涉及． 三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体． 通过它可以考察学生的探究能力和创新能力．但是， 对于 它的图像性质， 比如它是否具有对称性等， 广大师生往往 不甚了解．翻阅各种资料、杂志， 我们发现不少的研究者仅 从怎样求导、求极值、求 单 调 区 间 等 角 度 进 行 一 些 浅 表 的
６
１５
求的分配方法种数共有 Ａ６ － Ａ２ Ａ５ ＝（ ６－ ２） ×５！ ＝ ４８０；
解法 ４： 运用位置排除法．先不考虑限制条件， 每人分
６
担一种工作， 共有 Ａ６ 种方法， 而从除甲外的 ５ 人中每次任
新湘教版高中数学选择性必修第二册1.3.3三次函数的性质：单调区间和极值
题型探究·课堂解透
提醒1 求三次函数的最值 例1 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b，若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切 线方程为y＝－x＋1. (1)求a，b的值； (2)求函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值．
解析： (1)由已知可得f(0)＝b＝1. 又f′(x)＝3x2－2x＋a，所以f′(0)＝a＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋1，f′(x)＝3x2－2x－1， 令f′(x)>0，解得x<－13或x>1， 所以f(x)在[－2，－13)和[1，2]上单调递增，在[13，1)上单调递减． 又因为f(－2)＝－9，f(1)＝0，所以函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值为－9.
1．3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点 要点一 最值的概念❶ 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_连__续_不__断__的曲 线，那么它必有最大值和最小值．
批注❶ (1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不 断，但不能保证有最大值或最小值． (2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保 证y＝f(x)有最大值和最小值．
＋
0
－
0＋
f(x) 3
↗
16 3
↘
－16
3
↗
－3
∴f(x)min＝f(2)＝－136，f(x)max＝f(－2)＝136.
提醒2 由函数的最值确定参数的值
例2 设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1，1]上的最大值为1，最 小值为－ 6，求函数的解析式．
三次函数的图像、性质及应用
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA146数学学习与研究2019.13性质及应用三次函数的图像、性质及应用◎刘振传（广东省汕头市潮阳第一中学，广东汕头515100）【摘要】三次函数的雏形是教材必修1中的幂函数f （x ）=x 3，是基本初等函数之一，在此雏形函数的基础上拓展为一般的三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）．本文研究总结三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）的图像类别，由图像探究性质，并在此基础上得到启发，总结一些跟三次函数有关的问题的解决方法、规律，从而培养学生的观察联想能力、推理概括能力、创新思维能力．【关键词】三次函数；极值点；极值；单调性；对称性一、定义我们把形如f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）的函数称为三次函数．二、三次函数单调性及图像三次函数y =ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）的导函数是f'（x ）=3ax 2+2bx +c （a ≠0），令f'（x ）=0，若Δ=4（b 2－3ac ）＞0，则方程f'（x ）=0有两个不相等的实数根x 1，x 2（x 1＜x 2）．在a ＞0的条件下，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f'（x ）＞0，此时f （x ）在（－ɕ，x 1），（x 2，+ɕ）上单调递增，当x 1＜x ＜x 2时，f'（x ）＜0，此时f （x ）在（x 1，x 2）上单调递减，图像如图1所示．同理，当Δ=4（b 2－3ac ）＞0且a ＜0时，f （x ）在（－ɕ，x 1），（x 2，+ɕ）上单调递减，f （x ）在（x 1，x 2）上单调递增，图像如图2所示．当Δ=4（b 2－3ac ）≤0且a ＞0时，f （x ）在Ｒ上单调递增，图像如图3所示．当Δ=4（b 2－3ac ）≤0且a ＜0时，f （x ）在Ｒ上单调递减，图像如图4所示．因此，三次函数的图像有四种类型，如图所示．图1图2图3图4利用三次函数的单调性与图像，可以解决2014年高考全国卷（新课标Ⅰ理科）11题：已知函数f （x ）=ax 3－3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（）．图5A．（2，+ɕ）B．（－ɕ，－2）C．（1，+ɕ）D．（－ɕ，－1）明显，a =0时不合题意，由f'（x ）=3x （ax －2），f （0）=1及三次函数的图1，2知，只能是a ＜0且f 2()a＞0，从而得选B ．如图5所示．三、三次函数图像的对称中心图1中，f'（x ）=3ax 2+2bx +c （a ≠0）两个不同的零点x 1，x 2（x 1＜x 2），由图1我们猜测，对称中心的横坐标是x 0=x 1+x 22=－b3a ，则纵坐标为y 0=2b 3－9abc 27a 2+d．如果三次函数f （x ）的对称中心是（x 0，y 0），则必须满足f （x ）=－f （2x 0－x ）+2y 0．先从左边入手，－f （2x 0－x ）+2y 0=－a （2x 0－x ）3－b （2x 0－x ）2－c （2x 0－x ）－d +2y 0=ax 3－（6ax 0+b ）x 2+（12ax 20+4bx 0+c ）x －8ax 30－4bx 20－2cx 0－d +2y 0，把x 0=－b 3a 代入得左边=ax 3+bx 2－8a ·－b 327a ()3－4b ·b 29a ()2－2c ·－b 3()a －d +4b 3－18abc27a2+2d =ax 3+bx 2+cx +d =f （x ）．同理，可以证明图2的对称中心也是（x 0，y 0），即－b 3a ，2b 3－9abc 27a 2+()d ．对图3、图4，导函数f'（x ）=3ax 2+2bx +c （a ≠0）没有相异实数零点，但f'（x ）=0有重根或虚数根，同样满足韦达定理，图像的对称中心也是－b 3a ，2b 3－9abc27a 2+()d ．我们可以用信息技术进行验证：以图1为例，给定一个三次函数，取a =7，b =5，c =－4，d =－3，令x 0=－b3a ，y 0=2b 3－9abc27a 2+d ，设P （x 0，y 0），在图像上任取一点P 1（x 1，y 1），作点P 2（2x 0－x 1，2y 0－y 1），我们发现，线段P 1P 2的中点是P ，改变点P 1的位置，点P 始终是线段P 1P 2的中点，截图，如图6、图7所示．图6图7由函数关系知，f （x ）的图像是图1类型，且图像经过原点，极大值为0．因此，f （x ）的图像的对称中心的纵坐标是－2，又由导函数f'（x ）=3x 2+2px +q 的对称中心的横坐标是－p3，对称中心的坐标满足原函数关系；另外，原函数只有两个零点，其中一个是0，由f （x ）=x 3+px 2+qx =x （x 2+px +q ）知方程x 2+px +q =0有重根，从而有－p ()33+p －p ()32+q －p ()3=－2，p 2－4q =0{，解得p =6，q =9，答案选A ．。
三次函数的一个性质
[]2012.589探索【成才纵横】对于二次函数的图像和性质，我们已做了深刻挖掘且对其结论也已铭记于心，而对于三次函数的图像和性质，我们却知之甚少。
由于三次函数是高中数学中研究导函数的载体，因而是我们高中数学教师必须研究的。
定理：任何一个三次函数的图像都是中心对称图形。
证明：设三次函数为f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a≠0)，∵f(-b 3a+x)+f(-b 3a -x)=[a(-b 3a +x)3+b(-b 3a +x)2+c(-b 3a +x)+d]+[a(-b3a -x)3+b(-b 3a -x)2+c(-b 3a -x)=a(-b 3a )[(-b 3a +x)2-(-b 3a +x)(-b 3a -x)+(-b 3a -x)2]+b (2b 29a 2+2x 2)+c (-2b 3a )+2d=2d-2bc 3a +4b 327a 2。
即对任意x 都有f(-b 3a +x)+f(-b 3a -x)=2d-2b 3a +4b 327a2，因而三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a≠0)关于点（-b 3a ，d-bc 3a +4b 327a 2）对称，因此任何一个三次函数的图像都是中心对称图形。
由上面的证明不难看出：对称中心的横坐标为函数f(x)二阶导的零点，即：函数f(x)的导数f'(x)=3ax 2+2bc+c 的导数6ax+2b 的零点，故x=-b 3a ；对称中心的纵标为函数值f(-b 3a )。
如三次函数f (x)=2x 3-3x 2+2x-1的对称中心的横坐标的求法：f'(x)=6x 2-6x+2，f'(x)=6x 2-6x+2的导数为f''(x)=12x-6，由f''(x)=0x =12对称中心的纵坐标为f (12)=2×18-3×14+2×12-1=-12，故对称中心为（12，-12）。
三次函数的图像与性质
三次函数的图像与性质形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。
我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。
１三次函数的图像与性质设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。
当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。
结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）：当a>0时，f（x）的四种图象３推论设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。
方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1<x2，则函数f（x）在x=x1处取得极大值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极小值f（x2）。
类似可知a<0的情形（其余条件同前）：函数在x=x1处取得极小值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极大值f（x2）。
４例题例1.（湖南卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h==4.5-3x（m）（0<x<），故长方体的体积为V（x）=2x2（4.5-3x）＝９x2－６x３（m３）（0<x<），从而V’（x）=18x-18x2（4.5-3x）=18x（１－x）。
三次函数及其简单性质
26.（12 浙江理 17）设 a R ，若 x 0 时，均有[(a 1)x 1](x2 ax 1) 0 ，则 a ___________.（ 3 ） 2
27（. 17
江苏理
11）已知函数
f
(x)
x3
2x
ex
1 ex
，其中 e 是自然对数的底数.若
f
(a 1)
2x, x a
②若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是_______________.（ (,1) ）
23.（15 安徽理 15）设 x3 ax b 0 ，其中 a ， b 均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根
的是_________________.（写出所有正确条件的编号）（①③④⑤）
A. [2,10]
B. [1,8]
C. [2,2]
D. [0,9]
16.已知函数 f (x) (x a)3 3x a(a 0) 在[1, b] 上的值域为[2 2a,0] ，则 b 的取值范围是（ ）
A. [0,3]
B. [0,2]
C. [2，3]
D. (1,3]
17.（11 天津文 20）函数 f (x) ax3 3 x2 1(a 0) ，当 x [ 1 , 1 ] 时 f (x) 0 ，则 a 的范围是（ ）
不可能的是···········································································（ ）
A. S 1且 T 0
B. S 1且 T 1
C. S 2且 T 2
D. S 2且 T 3
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三次函数的性质及应用
1. 三次函数的定义
三次函数是指函数的最高次幂为3的代数函数，它的一般形式
为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数。
2. 三次函数的性质
- 零点：三次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
由于三次函数
是三次方程，理论上有三个实根或复根。
零点可以通过求解方程
f(x) = 0得到。
- 极值点：三次函数的极值点是函数达到最大值或最小值的点。
三次函数的极值点可能在实数轴上存在，也可能不存在。
可以通过
求解f'(x) = 0找到极值点。
- 函数图像：三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，称
为三次曲线。
根据三次函数的系数的取值范围不同，可以得到不同
形状的曲线，如上升曲线、下降曲线、拐点等。
3. 三次函数的应用
三次函数的性质在数学和实际问题中都有广泛应用，以下是一
些常见的应用领域：
- 物理学：三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，如抛体运动、自由落体、弹性碰撞等。
- 经济学：三次函数可以用来描述经济模型中的供需曲线、成
本曲线等。
- 工程学：三次函数可以用来描述工程中的曲线形状，如桥梁
设计、道路设计等。
- 生物学：三次函数可以用来描述生物学中的生长曲线、代谢
曲线等。
三次函数的性质和应用对于理解和解决实际问题具有重要意义。
深入研究三次函数的数学特性和实际应用可以帮助我们更好地理解
和应用这一数学工具。