高一数学(必修一)《第四章 对数》练习题及答案解析-人教版
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(29)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 将 532 写成根式，正确的是 ( ) A ．√523B ．√√53C ．√325D ．√532. 如图，点 A ，C 是函数 f (x )=2x 图象上两点，将 f (x ) 的图象向右平移两个单位长度后得到函数 g (x ) 的图象，点 B 为 g (x ) 图象上的点．若 AB ∥x 轴且 △ABC 为等边三角形，则点 A 的横坐标为 ( )A ． 12B ． log 2√3C ． 1D ． log 233. 如图是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y (m 2) 与时间 t （月）的关系：y =a t 的图象，有以下叙述，其中正确的是 ( )① 这个指数函数的底数为 2；② 第 5 个月时，浮萍面积就会超过 30 m 2； ③ 浮萍每月增加的面积都相等；④ 若浮萍蔓延到 2 m 2，3 m 2，6 m 2 所经过的时间分别为 t 1，t 2，t 3，则 t 1+t 2=t 3．A ． ①②B ． ①②③④C ． ②③④D ． ①②④4. 设 x >0，且 1<b x <a x ，则 ( )A ． 0<b <a <1B ． 0<a <b <1C ． 1<b <aD ． 1<a <b5. 以下四个数中最大的是 ( ) A ． (ln2)2B ． ln (ln2)C ． ln √2D ． ln26. 已知 x,y ∈R ，且 x >y >0，则下列说法正确的是 ( ) A ． 1x −1y >0 B ． sinx −siny >0 C ． (12)x−(12)y<0D ． lnx +lny >07. 若函数 f (x )=(k −1)a x −a −x （a >0，且 a ≠1）在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g (x )=log a (x +k ) 的大致图象是 ( ) A ． B ．C ．D ．8. 已知 a =(12)−0.8，b =log 1223，c =40.3，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ． a <b <cB ． a <c <bC ． c <b <aD ． b <c <a9. 已知集合 A ={−2,0,2,4}，B ={x∣ log 2x ≤2}，则 A ∩B = ( ) A ． {2,4} B ． {−2,2} C ． {0,2,4}D ． {−2,0,2,4}10. 已知 x 0 是函数 f (x )=lnx −(12)x−2的零点，则 x 0 所在的区间是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={xsinx,0<x <π√x,x ≥π 与 y =kx (x ∈R ) 的图象有三个不同交点，则实数 k 的取值范围为 ．12. 下列所给出的函数中，是幂函数的是 （填序号）．① y =−x 3；② y =x −3；③ y =2x 3；④ y =x 3−113. 函数 y =lgx −1 的零点是 ．14. 计算：(1−log 63)2+log 62⋅log 618log 64= .15. 化简：√(a −b )2+√(a −b )55= ．16. 若 log a b ⋅log b c ⋅log c 3=2，则 a 的值为 ．三、解答题（共6题）17. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：(1) 23=8． (2) e √3=m ． (3) 27−13=13． (4) log 39=2． (5) lgn =2.3． (6) log 3181=−4．18. 求值：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)−23+(1.5)−2−12i 2（其中 i 为虚数单位）（2）log 2512⋅log 45−log 133−log 24+5log 52+lg1054+2ln √e （其中 e 为自然对数的底数）19. 下列函数中，哪些是指数函数？(1) y =10x ； (2) y =10x+1； (3) y =−4x ；(4) y=x x．(5) y=xα（α是常数）；(6) y=(2a−1)x．20.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=a（其中a，b为常数）模x2+b型．求a，b的值．21.证明方程lnx+2x−6=0在[2,e]内有根．路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行22.一辆汽车从A驶往B地，前13驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【知识点】幂的概念与运算2. 【答案】B【解析】设A(x0,2x0)，由等边三角形ABC的边长为2，且AB∥x轴，得C(x0+1,2x0+√3)，又点C在f(x)=2x的图象上，所以2x0+1=2x0+√3，即2x0=√3，所以x0=log2√3．故选B.【知识点】指数函数及其性质3. 【答案】D【解析】由题意可知：浮萍蔓延的面积(m2)与时间（月）的关系：y=a x（a>0且a≠1），且由函数图象可知函数过点(1,2)，所以a1=2，所以a=2，所以这个指数函数的底数是2正确；所以函数的解析式为：y=2x，所以当x=5时，y=25=32>30，故第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2成立；对于③：浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等，故错；对④由于：2=2t1，3=2t2，6=2t3，所以t1=1，t2=log23，t3=log26，又因为1+log23=log22+log23=log22×3=log26，所以若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2=t3成立．正确为：①②④．【知识点】函数模型的综合应用4. 【答案】C【解析】因为x>0时，1<b x，所以b>1．因为x>0时，b x<a x，所以x>0时，(ab )x>1．所以ab>1，所以a>b，所以1<b<a．【知识点】指数函数及其性质5. 【答案】D【解析】因为0<ln2<1，所以ln(ln2)<0，(ln2)2<ln2．又因为 ln √2=12ln2<ln2， 所以最大的数是 ln2． 【知识点】对数函数及其性质6. 【答案】C【解析】因为 x >y >0，选项A ，取 x =1，y =12，则 1x −1y =1−2=−1<0，A 错，选项B ，取 x =π，y =π2，则 sinx −siny =sinπ−sin π2=−1<0，B 错，选项C 中，f (x )=(12)x 在 R 上是减函数，所以 (12)x <(12)y ，所以 (12)x −(12)y<0 成立，C 正确，选项D ，取 x =2，y =12，则 lnx +lny =ln (xy )=ln1=0，D 错， 故选C ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质7. 【答案】A【解析】因为 f (x )=(k −1)a x −a −x （a >0，且 a ≠1）在 R 上是奇函数， 所以 f (0)=(k −1)a 0−a 0=k −2=0， 所以 k =2．又因为 f (x ) 是减函数， 所以 0<a <1，所以 g (x )=log a (x +k ) 的图象是选项A 中的图象． 【知识点】函数的奇偶性、对数函数及其性质、函数的单调性8. 【答案】D【解析】因为 a =20.8，b =log 1223，c =20.6 ,且 20.8>20.6>20=1，log 1223<log 1212=1，所以 b <c <a ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质9. 【答案】A【解析】 A ={−2,0,2,4}，B ={x∣ 0<x ≤4}， 所以 A ∩B ={2,4}．【知识点】交、并、补集运算、对数函数及其性质10. 【答案】C【解析】因为 f (x )=lnx −(12)x−2在 (0,+∞) 上是增函数，且 f (1)=−2<0，f (2)=ln2−1<0，f (3)=ln3−12>0， 所以 x 0∈(2,3)．【知识点】零点的存在性定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (0,√ππ]【解析】记 g (x )=f (x )−kx ={xsinx −kx,0<x <π√x −kx,x ≥π，则题意为：方程 g (x )=0 有三个不等实数根．当 0<x <π 时，由 xsinx −kx =0 得 k =sinx ，k ∈0,1 时有两个不等实数根， 当 x ≥π 时，由 √x −kx =0 得 k =√x，k ∈(0,√ππ] 时有一个实数根．综上：k ∈(0,√ππ] 时方程 g (x )=0 有三个不等实数根．故填 (0,√ππ]． 【知识点】函数的零点分布12. 【答案】②【知识点】幂的概念与运算13. 【答案】 10【解析】根据题意，函数 y =lgx −1．若 f (x )=lgx −1=0，解可得 x =10，则函数 y =lgx −1 的零点是 10．【知识点】函数零点的概念与意义14. 【答案】 1【解析】原式=1−2log 63+(log 63)2+log 663⋅log 6(6×3)log 64=1−2log 63+(log 63)2+1−(log 63)2log 64=2(1−log 63)2log 62=log 66−log 63log 62=log 62log62=1.【知识点】幂的概念与运算15. 【答案】 {0,a <b2a −2b,a ≥b【知识点】幂的概念与运算16. 【答案】 √3【知识点】对数的概念与运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) log 28=3． (2) lnm =√3． (3) log 2713=−13． (4) 32=9． (5) 102.3=n ． (6) 3−4=181．【知识点】对数的概念与运算18. 【答案】（1）原式=(24)12−1−(278)−23+(32)−2+12=12+12= 1.（2）原式=−12log 52×12log 25+log 33−2log 22+2+54+1= 3.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算19. 【答案】(1) y =10x 符合定义，是指数函数．(2) y =10x+1 指数是 x +1 而非 x ，不是指数函数．(3) y =−4x 中系数为 −1 而非 1，不是指数函数；(4) y =x x 中底数和指数均是自变量 x ，不符合指数函数的定义，不是指数函数．(5) y =x α 中底数是自变量，不是指数函数．(6) y =(2a −1)x 中由于底数可能不大于 0 或可能为 1，故不一定是指数函数．【知识点】指数函数及其性质20. 【答案】由题意知，点 M ，N 的坐标分别为 (5,40)，(20,2.5)，将其分别代入 y =ax 2+b ，得{a25+b =40,a400+b=2.5,解得 {a =1000,b =0.【知识点】函数模型的综合应用21. 【答案】令 f (x )=lnx +2x −6，由于函数在 [2,e ] 内是一条连续曲线，且有 f (2)=ln2+4−6=ln2−2<0，f (e )=lne +2e −6=2e −5>0，所以 f (x )=lnx +2x −6 在 [2,e ] 内有零点， 即方程 lnx +2x −6=0 在 [2,e ] 内有根． 【知识点】对数函数及其性质、零点的存在性定理22. 【答案】答案不唯一．问题一：汽车行驶的路段中，普通公路和高速公路的长各为多少千米？ 解：设汽车行驶的路段中，普通公路长为 x km ，高速公路长为 y km ．根据题意，得 {2x =y,x 60+y 100=2.2,解得 {x =60,y =120.故汽车行驶的路段中，普通公路长为 60 km ，高速公路长为 120 km ． 问题二：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 解：设汽车在普通公路上行驶了 x h ，在高速公路上行驶了 y h ． 根据题意，得 {x +y =2.2,60x ×2=100y,解得 {x =1,y =1.2,故汽车在普通公路上行驶了 1 h ，在高速公路上行驶了 1.2 h ． 【知识点】函数模型的综合应用。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7B．10C．12D．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x=3，2y=4，所以2x+y=2x⋅2y=3×4=12，故选：C2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、已知函数f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=n−m x不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：利用指数函数的性质求出m，n，得出g(x)的解析式，从而得出结论．∵f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点(2,2)，∴m=n=2，∴g(x)=2−2x ，∴g(x)为减函数，且过点(0,1)， ∴g(x)的函数图象不经过第三象限． 故选：C ．4、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确. 故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.5、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v =v 0 lnM m=1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．7、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．8、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．多选题9、已知函数f(x)=lg(x2+ax−a−1)，下列结论中正确的是（）A．当a=0时，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B．f(x)一定有最小值C．当a=0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}答案：AC分析：A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)，令x 2−1>0，解得x <−1或x >1，则f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A 正确；对于B 、C ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则y =x 2+ax −a −1在[2,+∞)上单调递增，且当x =2时，y >0，则{−a2≤24+2a −a −1>0 ，解得a >−3，故D 错误． 故选：AC ．10、已知n <m ，函数f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤n22−|x−1|−3,n <x ≤m 的值域是[−1,1]，则下列结论正确的是（ ） A ．当n =0时，m ∈(12,2]B ．当n ∈[0,12)时，m ∈(n,2] C ．当n ∈[0,12)时，m ∈[1,2]D ．当n =12时，m ∈(12,2]答案：CD分析：先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出y =log 12(1−x )，x ≥−1和y =22−|x−1|−3，x ≥−1的图象，n =0时，由图可得m 的范围，可判断A ；当n ∈[0,12)时先求出y =log 12(1−x )，−1≤x ≤n 的值域，进而可判断x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即可得m 的范围，可判断B ，C ；当n =12时，先计算f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上的值域，即可得y =22−|x−1|−3，n <x ≤m 的范围，进而可得m 的范围，可判断D ．当x >1时，x −1>0，此时y =22−|x−1|−3=22−x+1−3=23−x −3单调递减，当−1<x <1时，x −1<0，此时y =22−|x−1|−3=22+x−1−3=21+x −3单调递增，所以y =22−|x−1|−3在(−1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x =1时，y =22−|x−1|−3取得最大值，为22−3=1．作出y =log 12(1−x )与y =22−|x−1|−3在[−1,+∞)上的图象如图所示：对于A ，当n =0时，f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤022−|x−1|−3,0<x ≤m，因为f (x )的值域为[−1,1]，结合图象知m ∈[1,2]，故A 不正确；对于B ，当n ∈[0,12)，x ∈[−1,n ]时，1−x ∈[1−n,2]，此时f (x )=log 12(1−x )∈[−1,log 12(1−n )]，此时−1≤f (x )≤log 12(1−n )<1，因为f (x )的值域为[−1,1]，则x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即22−|x−1|−3=1，解得x =1，由图知m ∈[1,2]，故B 不正确，C 正确；对于D ，当n =12时，f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上单调递增，此时f (x )的最小值为f (−1)=log 122=−1，f (x )的最大值为f (12)=log 12(1−12)=1，要使f (x )的值域为[−1,1]，由图知m ∈(12,2]，故D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的值域，解题的关键是根据题意作出f(x)的图象，结合图象逐个分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题 11、已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．1x +12y=1zB ．3x >4y >6zC ．xy >2z 2D ．x +y >(√32+√2)z答案：ACD分析：将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，设3x =4y =6z =t (t >1)， 则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 6t ．对于A ，1x +12y =log t 3+12log t 4=log t 6=1z ，故A 正确； 对于B ，3x =3log 3t ，4y =4log 4t ，6z =6log 6t ， ∵3x 4y =3log 3t 4log 4t=34log 34<1，∴3x <4y ， ∵4y 6z=4log 4t 6log 6t=23log 46<1，∴4y <6z ，∴3x <4y <6z ，故B 错误；对于C ，由1z=1x+12y>2√12xy（x ≠2y ），两边平方，可得xy >2z 2，故C 正确；对于D ，由xy >2z 2，可得x +y >2√xy >2√2z 2=2√2z >(√32+√2)z （x ≠y ），故D 正确． 故选：ACD 填空题12、里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级. 答案：6分析：将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0计算即可得解.将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0得M =lg1000−lg0.001=lg106=6. 所以答案是：6.13、已知函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0 ，若f (a 2−2a )≤f (a −1)，则实数a 的取值范围是_________．答案：[3−√52,+∞)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0在(−∞,0]单调递增，在(0,+∞)为常数函数，且f(0)=2若f(a2−2a)≤f(a−1)则a2−2a≤a−1≤0或a2−2a≤0≤a−1或{a 2−2a≥0a−1≥0则{a 2−3a+1≤0a≤1或{a2−2a≤00≤a−1或{a2−2a≥0a−1≥0解得：3−√52≤a≤1或1≤a≤2或a≥2，综上所述：a∈[3−√52,+∞)所以答案是：[3−√52,+∞)14、设x>0，y>0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2、y2的算术平均值的最小值为__________.答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x+y=2，再利用基本不等式可求得结果.由已知条件可得e x⋅e y=e x+y=e2，所以，x+y=2，因为x>0，y>0，由基本不等式可得x2+y2≥2xy，即2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=4，所以，x2+y22≥1，当且仅当x=y=1时，等号成立.因此，x2、y2的算术平均值的最小值为1.所以答案是：1.解答题15、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么log a M n=nlog a M(n∈R);(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值;(3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305)答案：(1)见解析(2)1712(3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.(3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可.(1)方法一:设x=log a M所以M=a x所以M n=(a x)n=a nx所以log a M n=nx=nlog a M,得证.方法二:设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3) =lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23⋅176log32=1712.(3)方法一:设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(19)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于二分法的叙述，正确的是 ( ) A ．用二分法可以求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循D ．只有在求函数的零点时才用二分法2. 下列函数中，在区间 (0,+∞) 上为增函数的是 ( ) A ． y =log 2x B ． y =−√xC ． y =(12)xD ． y =1x3. 下列计算正确的是 A ．(a 3)2=a 9 B ．log 26−log 23=1 C ．a−12⋅a 12=0D ．log 3(−4)2=2log 3(−4)4. log 223+log 26 等于 ( )A ． 1B ． 2C ． 5D ． 65. 若函数 f (x )=x 2−4x +m 存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则 m 的取值范围是 ( ) A ． {4} B ． (−∞,4) C ． [4,+∞) D ． (4,+∞)6. 化简 [(−√3)2]−12的结果是 ( ) A ． √3 B ． −√3 C ．√33D ． −√337. 全集 U =R ，集合 A ={x∣ y =√(13)x−1}，则 ∁U A 等于 ( )A ． [0,+∞)B ． (−∞,0)C ． (0,+∞)D ． (−∞,0]8. 函数 f (x )=x 2+x +3 的零点的个数是 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 39. 函数 y =1+1x 的零点是 ( )A ． (−1,0)B ． −1C ． 1D ． 010. 已知 f (x )=log 3x ，f (a )>f (2)，那么 a 的取值范围是 ( ) A ．{a∣ a >2} B ．{a∣ 1<a <2} C ．{a∣ a >12}D ．{a∣ 12<a <1}二、填空题（共6题） 11. 计算：log 2√22= ．12. 函数 y =lgx −1 的零点是 ．13. 函数 y =2x 的值域为 ．14. 在用二分法求方程 x 3−2x −1=0 的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间 (1,2) 内，则下一步可以断定该根所在区间为 ．15. 如果函数 f (x +1) 定义域为 [0,3]，那么函数 f (2x ) 的定义域为 ．16. 函数 y =log a (2x −1)+2(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上，则 f (−1)= ．三、解答题（共6题）17. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1) 53=125； (2) 4−2=116；(3) log 15125=−3；(4) log 3127=−3．18. 指数函数的定义．一般地，函数 y =a x （a >0，且 a ≠1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R ． 问题：为何指数函数的概念中规定 a >0 且 a ≠1？19. 函数的零点是不是点？(a>0,且a≠1)．20.已知f(x)=log a1+x1−x(1) 求f(x)的定义域；(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3) 求使f(x)>0的x的取值范围．21.借助信息技术，用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x−1.4在区间(0,1)内零点的近似值（精确度为0.1）．22.有一批同一型号的数码词典原销售价为每台1200元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场促销方法：买一台单价1180元，买两台单价1160元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于800元；乙商场一律按原价的80%销售．某学校需购买一批文曲星，去哪家商场购买花费较少？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】只有函数的图象在零点附近连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数零点的近似值，所以A 错；二分法是有规律可循的，可以用计算来进行，所以C 错；求方程的近似值也可以用二分法，所以D 错．故选B ． 【知识点】二分法求近似零点2. 【答案】A【解析】选项A ，y =log 2x ，底数 2>1，在 (0,+∞) 上单调递增，故A 正确；选项B ，y =√x 在 (0,+∞) 上单调递增，则 y =−√x 在 (0,+∞) 上单调递减，故B 错误； 选项C ，y =(12)x，底数 12<1，在 (0,+∞) 上单调递减，故C 错误； 选项D ，y =1x ，在 (0,+∞) 上单调递减，故D 错误． 故选A ．【知识点】指数函数及其性质、幂函数及其性质、对数函数及其性质3. 【答案】B【解析】解析：A 中 (a 3)2=a 6，故 A 错；B 中 log 26−log 23=log 263=log 22=1，故 B 正确；C 中，a −12⋅a 12=a−12+12=a 0=1，故 C 错；D 中，log 3(−4)2=log 316=log 342=2log 34．【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算4. 【答案】B【解析】 log 223+log 26=log 2(23×6)=log 24=2． 【知识点】对数的概念与运算5. 【答案】A【解析】依题意知，函数 f (x )=x 2−4x +m 只有一个零点，即方程 x 2−4x +m =0 有两个相等的实数根，所以 Δ=0，即 (−4)2−4m =0，解得 m =4，则 m ∈{4}． 【知识点】函数的零点分布6. 【答案】C【解析】 [(−√3)2]−12=3−12=√3=√33． 故选C ．【知识点】幂的概念与运算7. 【答案】C【知识点】指数函数及其性质、交、并、补集运算8. 【答案】A【解析】令 x 2+x +3=0，Δ=1−12=−11<0, 所以方程无实数根，故函数 f (x )=x 2+x +3 无零点． 【知识点】函数的零点分布9. 【答案】B【知识点】函数零点的概念与意义10. 【答案】A【知识点】对数函数及其性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −12【知识点】对数的概念与运算12. 【答案】 10【解析】根据题意，函数 y =lgx −1．若 f (x )=lgx −1=0，解可得 x =10，则函数 y =lgx −1 的零点是 10．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 (0,+∞)【知识点】指数函数及其性质14. 【答案】 (32,2)【知识点】零点的存在性定理15. 【答案】 [0,2]【解析】对于函数 y =f (x +1)，该函数的定义域为 [0,3]，即 0≤x ≤3，得 1≤x +1≤4． 对于函数 f (2x )，则有 1≤2x ≤4，解得 0≤x ≤2． 因此，函数 f (2x ) 的定义域为 [0,2]．【知识点】函数的定义域的概念与求法、指数函数及其性质16. 【答案】 12【解析】根据题意，令 2x −1=1，得 x =1， 此时 y =2，所以定点 P 的坐标是 (1,2) 因为点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上， 所以 f (x )=2x ， 所以 f (−1)=12．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 53=125， 所以 log 5125=3．(2) 因为 4−2=116， 所以 log 4116=−2．(3) 因为 log 15125=−3，所以 (15)−3=125．(4) 因为 log 3127=−3，所以 3−3=127．【知识点】对数的概念与运算18. 【答案】①若 a =0，则当 x >0 时，a x =0；当 x ≤0 时，a x 无意义；②若 a <0，则对于 x 的某些数值，可使 a x 无意义．如 (−2)x ，这时对于 x =14，x =12，⋯，在实数范围内函数值不存在； ③若 a =1，则对于任何 x ∈R ，a x =1，是一个常量，没有研究的必要性．【知识点】指数函数及其性质19. 【答案】函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】(1) 由1+x1−x>0得(x+1)(x−1)<0，所以−1<x<1，所以f(x)的定义域为(−1,1)．(2) 函数f(x)为奇函数．证明如下：对定义域内任意x，f(−x)=log a1+(−x)1−(−x)=log a1−x1+x=log a(1+x1−x )−1=−log a1+x1−x=−f(x),即f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(3) 当a>1时，若使f(x)>0，则1+x1−x >1，即2x1−x>0，所以x∈(0,1)；当0<a<1时，若使f(x)>0，则0<1+x1−x<1，所以x∈(−1,0)．【知识点】对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法、函数的奇偶性21. 【答案】0.625．【知识点】二分法求近似零点22. 【答案】设该学校需购买x台文曲星，在甲、乙两家商场购买的费用分别为y甲，y乙，由题意：y甲={x⋅(1200−x⋅20),x≤20800x,x>20，x∈N，y乙=x⋅1200⋅80%=960x，x∈N；y 甲=y乙⇒1200−20x=960⇒x=12得，当x=12时，去甲、乙两商场的花费一样多；当x<12(x∈N)时，去乙商场花费较少；当x>12(x∈N)时，去甲商场花费较少．【知识点】函数模型的综合应用。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设全集为R，函数f(x)=0√2−x的定义域为M，则∁RM=( )A．{x∣ x≥2}B．{x∣ x<2且x≠−1}C．{x∣ x≥2或x=−1}D．{x∣ x>2或x=−1}2.设α∈{−1,1,12,3}，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( ) A．1，3B．−1，1C．−1，3D．−1，1，33.若函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( )A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<04.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，则mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8125.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数，且f(x)⋅f(f(x)+1x)=1，则f(1)等于( )A．1+√52B．1−√52C．1+√52或1−√52D．√56.定义在R上的函数f(x)满足：f(x−2)的对称轴为x=2，f(x+1)=4f(x)(f(x)≠0)，且f(x)在区间(1,2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )A．f(sinα)>f(cosβ)B．f(sinα)<f(cosβ)C．f(sinα)=f(cosβ)D．以上情况均有可能7.已知函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，下列说法一定正确的是( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数8.已知函数y=f(x)的定义域为[−6,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( ) A．(−∞,−2)∪(−2,3]B．[−11,3]C．[−72,−2]D．[−72,−2)∪(−2,0]9.已知R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式f(x)≤0的解集为( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]∪[0,2]C．(−∞,−2]∪[2,+∞)D．[−2,0]∪[2,+∞)10.已知函数f(x)=−x2+4x+a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为( )A．−1B．0C．1D．2二、填空题（共6题）11.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a−1,a+1]，都有y∈[b−1,b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上，若函数y=−12x2是点B的“界函数”，则m的取值范围是．12.已知f(x)=x3+3x，x∈R，且f(a−2)+f(a2)<0，则实数a的取值范围是．13.设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，g(x)=x2⋅f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是．14.若函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得．15.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f(a+1)≤f(4)，则实数a的取值范围是．16.若函数y=a∣x−b∣+2在区间(0,+∞)上是增函数，则实数a，b满足的条件为．三、解答题（共6题）17.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域．18.中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98∘C的水在19∘C室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：∘C）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值．（精确到0.01）(2) “碧螺春”用75∘C左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200ml水煮沸后在19∘C室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A．5B．7C．1019.解答下列问题：(1) 函数的积的定义：一般地，已知两个函数y=f(x)（x∈D1），y=g(x)（x∈D2），设D=D1∩D2，并且D不是空集，那么当x∈D时，y=f(x)与y=g(x)都有意义．于是把函数叫做函数y=f(x)与y=g(x)的积．(2) 如何研究和函数与积函数．20.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．21.对于函数y=f(x)与常数a，b，若f(2x)=af(x)+b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”，设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(1)=3．(1) 若(a,b)是f(x)的一个“P数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a，b的值；(2) 若(1,1)是f(x)的一个“P数对”，且f(x)在[1,2]上单调递增，求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值；(3) 若(−2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x∈[1,2)时，f(x)=k−∣2x−3∣，求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值．22.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意得{x+1≠0,2−x>0,解得x<2且x≠−1，所以M={x∣ x<2且x≠−1}，故∁RM={x∣ x≥2或x=−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法2. 【答案】A【解析】当α=−1,1,3时幂函数为奇函数，当α=−1时定义域不是R，所以α=1,3．【知识点】幂函数及其性质3. 【答案】A【解析】因为y在[0,+∞)上为单调函数，所以x=−b2≤0，即b≥0．【知识点】函数的单调性4. 【答案】B【解析】m≠2时，抛物线的对称轴为x=−n−8m−2．据题意，当m>2时，−n−8m−2≥2即2m+n≤12．因为√2m⋅n≤2m+n2≤6，所以mn≤18．由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．当m<2时，抛物线开口向下，据题意得，−n−8m−2≤12即m+2n≤18．因为√2n⋅m≤2n+m2≤9，所以mn≤812．由2n=m且m+2n=18得m=9>2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2,n>8)．所以mn=(18−2n)n<(18−2×8)×8=16，所以最大值为18．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值5. 【答案】B【解析】令x=1，得f(1)f(f(1)+1)=1，令t=f(1)，则tf(t+1)=1，所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1， 所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数， 所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0， 解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1， 令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1， 所以 f (s +12)=1s ， 令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1sf (1s+22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)． 所以 1s +22s+1=2，所以 4s 2−2s −1=0， 解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)， 所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性6. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性7. 【答案】C【解析】方法一：对任意的x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，取x1=x2=0得f(0)=−1，取x1=x，x2=−x得，f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+1=−f(−x)=−[f(−x)+1]，所以f(x)+1为奇函数．方法二：由已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，设x1=x2=0，则f(0)=2f(0)+1，解得：f(0)=−1，又设x1=x，x2=−x，则x1+x2=x−x=0，所以f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+f(−x)+1+1=0，所以[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，由奇函数定义可知，f(x)+1为奇函数．【知识点】抽象函数、函数的奇偶性8. 【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为[−6,1]，所以−6≤x≤1，，因为g(x)=f(2x+1)x+2所以−6≤2x+1≤1且x≠−2，≤x≤0且x≠−2，所以−72,−2)∪(−2,0]．所以x∈[−72【知识点】函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为函数在(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，所以当x∈(−∞,−2]时，f(x)≤0；当x∈(−2,0)时，f(x)>0．又函数是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，f(0)=0，且f(2)=0，所以当x∈(0,2]时，f(x)≤0；当x∈(2,+∞)时，f(x)>0．所以f(x)≤0的解集是(−∞,−2]∪[0,2]．故选B．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数f(x)=−x2+4x+a的图象开口向下，对称轴为直线x=2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)=−2，即a=−2，于是最大值为f(1)=−1+4−2=1．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共6题）11. 【答案】[−12,1 2 ]【解析】B(m,n)在y=−12x2上，所以n=−12m2，所以∀x∈[m−1,m+1]，都有y∈[−12m2−1,12m2+1]，即都有y max≤12m2+1，y min≥12m2−1，所以下面讨论13x∈[m−1,m+1]时，y的最值，① m≤−1时，m+1≤0，所以单调减，所以y max=−12(m+1)2，y min=−12(m−1)2，所以{−12(m+1)2≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,无解．② −1<m≤0时，0<m+1≤1，−2<m−1≤−1，所以y max=0，y min=−12(m−1)2(取不到)，所以{0≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,所以−12≤m≤0．③ 0<m≤1时，1<m+1≤2，−1<m−1≤0，所以y max=0，y min=−12(m+1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 (−2,1)【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 [0,1)【解析】由题意知 g (x )={x 2,x >10,x =1−x 2,x <1，函数图象如图所示，其递减区间是 [0,1)．【知识点】函数的单调性14. 【答案】端点【知识点】函数的最大（小）值15. 【答案】 [−5,3]【解析】函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数， 可得 f (x )=f (∣x ∣)，则f(a+1)≤f(4)，即为f(∣a+1∣)≤f(4)，可得∣a+1∣≤4，即−4≤a+1≤4，解得−5≤a≤3，则实数a的取值范围是[−5,3]．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】a>0，b≤0【知识点】函数的单调性三、解答题（共6题）17. 【答案】AB=2x，CD⏜=πx,于是AD=1−2x−πx2,因此y=2x⋅1−2x−πx2+πx22,即y=−π+42x2+x,由{2x>0,1−2x−πx2>0,得0<x<1π+2,函数的定义域为(0,1π+2)【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用18. 【答案】(1) 由θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt得e−kt=θ−θ0θ1−θ0，即−kt=lnθ−θ0θ1−θ0，t=1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为θ0=19∘C，选取从θ=98∘C下降到θ=90∘C所用时间约为2分钟这组数据有2=1k ln7971，即k=ln79−ln712≈0.05；选取从θ=98∘C降到θ=85∘C期时间的为3.4分钟这组数据有3.4=1k ln7966，即k=ln79−ln663.4≈0.05；选取从们θ=98∘C得到θ=80∘C所期时的为5分钟这组数据有5=1k ln7961，即k=ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05．(2) B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ．理由如下：由（1）得 t =20ln 79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) y =f (x )⋅g (x )（x ∈D ）(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域，然后化简整理和（积）函数的解析式，结合解析式研究函数的性质．【知识点】函数的相关概念20. 【答案】根据幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1．当 m =2 时，f (x )=x 3 在 (0,+∞) 上是增函数；当 m =−1 时，f (x )=x −3 在 (0,+∞) 上是减函数，不符合要求．故 f (x )=x 3．【知识点】幂函数及其性质21. 【答案】(1) 由题意知 {af (1)+b =f (2),af (2)+b =f (4).即 {3a +b =6,6a +b =9.解得 {a =1,b =3.(2) 因为 (1,1) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=f (x )+1，所以 f (2)=f (1)+1=4，f (4)=f (2)+1=5，f (8)=f (4)+1=6．因为 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增，所以当 x ∈[1,2] 时，f (x )max =f (2)=4，f (x )min =f (1)=3，所以当 x ∈[1,2] 时，3≤f (x )≤4；当 x ∈[2,4] 时，x 2∈[1,2]，3≤f (x 2)≤4，所以 4≤f (x )=f (x 2)+1≤5；当 x ∈[4,8] 时，x 2∈[2,4]，4≤f (x 2)≤5， 所以 5≤f (x )=f (x 2)+1≤6．综上，当 x ∈[1,8] 时，3≤f (x )≤6．故 f (x ) 在 [1,8] 上的最大值为 6，最小值为 3．(3) 当 x ∈[1,2) 时，f (x )=k−∣2x −3∣，令 x =1，可得 f (1)=k −1=3，解得 k =4， 所以 x ∈[1,2) 时，f (x )=4−∣2x −3∣，故 f (x ) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4]．又 (−2,0) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=−2f (x ) 恒成立，当 x ∈[2k−1,2k )(k ∈N +) 时，x 2k−1∈[1,2)，f (x )=−2f (x 2)=4f (x 4)=⋯=(−2)k−1⋅f (x 2k−1)，故 k 为奇数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [3×2k−1,2k+1]；当 k 为偶数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [−2k+1,−3×2k−1]．所以当 n =1 时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 4，最小值为 3；当 n 为不小于 3 的奇数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n+1，最小值为 −2n ；当 n 为不小于 2 的偶数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 −2n+1．【知识点】函数的最大（小）值、抽象函数22. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0,得 0<x <150 . 设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30，因为 0<x <150，所以 150−x >0，所以 P =−[(150−x )+100150−x ]+120， 又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20， 当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立，所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数经典知识题库(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数经典知识题库单选题1、已知f(x)={2x−x2,x≥5f(x+3),x<5，则f(4)+f(-4)=（）A．63B．83C．86D．91答案：C分析：由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，所以f(4)+f(-4)=86.故选：C2、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69答案：C分析：将t=t∗代入函数I(t)=K1+e−0.23(t−53)结合I(t∗)=0.95K求得t∗即可得解.∵I(t)=K1+e−0.23(t−53)，所以I(t∗)=K1+e−0.23(t∗−53)=0.95K，则e0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t∗−53)=ln19≈3，解得t∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（）A．25天B．30天C．35天D．40天答案：B分析：根据给定条件求出m 及a 10的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意，{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a20 ，解得m =120,a 10=2，当ℎ=40%时，40%=120⋅a t， 即40%=120⋅a 10⋅a t−10，解得a t−10=4=(a 10)2=a 20，于是得t −10=20，解得t =30， 所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度. 故选：B4、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t 分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1) A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8 答案：B分析：根据题意求出k 的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt 即可求得t 的值.由题可知：50=20+(100−20)e −12k ⇒(e −k )12=38⇒e −k =(38)112， 冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e −kt ⇒(e −k )t =34⇒t ⋅ln e −k =ln 34⇒t =ln34ln (38)112=12(ln 3−2ln 2)ln 3−3ln 2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.5、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a−(14)b=(12)a−(12)b，即[(12)a−(12)b][(12)a+(12)b]=(12)a−(12)b≠0， 所以(12)a+(12)b=1，故选：B ．6、用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4 答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B7、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2) 答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．8、我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）(x ∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500]，当处理量x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ） A ．120B ．200C ．240D ．400 答案：D分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分x ∈[120,144)和x ∈[144,500]分析讨论求出其最小值即可由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S ={13x 2−80x +5040,x[120,144)12x −200+80000x,x ∈[144,500]，当x ∈[120,144)时，S =13x 2−80x +5040=13(x −120)2+240，当x =120时，S 取得最小值240， 当x ∈[144,500] 时，S =12x +80000x−200≥2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x，即x =400时取等号，此时S 取得最小值200，综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D多选题9、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项. 依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD10、已知函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)，g(x)=2x+62x+2则下列说法正确的是（）A．f(x)是奇函数B．g(x)的图象关于点(1，2)对称C．若函数F(x)=f(x)+g(x)在x∈[1−m,1+m]上的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=4D．令F(x)=f(x)+g(x)，若F(a)+F(−2a+1)>4，则实数a的取值范围是(−1,+∞)答案：BCD分析：利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.由题意函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)=lg(√(x−1)2+1−(x−1))，因为√(x−1)2+1−(x−1)>0恒成立，即函数f(x)的定义域为R，又因为f (0)=lg(√2+1)≠0，所以f (x )不是奇函数，所以A 错误； 将g (x )=2x +62x +2的图象向下平移两个单位得到y =2x +62x +2−2=2−2x2+2x ， 再向左平移一个单位得到ℎ(x )=2−2x+12+2x+1=1−2x 1+2x，此时ℎ(−x )=1−2−x1+2−x =2x −12x +1=−ℎ(x )，所以ℎ(x )图象关于点(0,0)对称， 所以g (x )的图象关于(1,2)对称，所以B 正确；将函数f (x )的图象向左平移一个单位得m (x )=lg(√x 2+1−x)， 因为m (−x )+m (x )=lg(√x 2+1+x)+lg(√x 2+1−x)=lg1=0， 即m(−x)=−m(x)，所以函数m (x )为奇函数， 所以函数f (x )关于(1,0)点对称，所以F (x )若在1+a 处 取得最大值，则F (x )在1−a 处取得最小值，则F(1+a)+F(1−a)=f(1+a)+f(1−a)+g(1+a)+g(1−a)=0+4=4，所以C 正确； 由F(a)+F(−2a +1)>4，可得f(a)+f(1−2a)+g(a)+g(1−2a)>4， 由f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))， 设m (x )=lg(√x 2+1−x)，t =√x 2+1−x ， 可得t ′=√x 2+1−1<0，所以t =√x 2+1−x 为减函数，可得函数m (x )=lg(√x 2+1−x)为减函数，所以函数f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))为单调递减函数， 又由g (x )=2x +62x +2=1+42x +2为减函数，所以F (x )为减函数， 因为F (x )关于点(1,2)对称，所以F (a )+F (−2a +1)>4=F(a)+F(2−a)，即F(−2a +1)>F(2−a)， 即−2a +1<2−a ，解得a >−1，所以D 正确. 故选：BCD.小提示：求解函数有关的不等式的方法及策略： 1 、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为f(x 1)>f(x 2)的形式；②根据函数f (x )的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“x 1>x 2”或“x 1<x 2”的常规不等式，从而得解. 2 、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.11、为了得到函数y =ln (ex)的图象，可将函数y =ln x 的图象（ ） A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍 B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度 答案：BC分析：根据函数图像变换求得结果.解：由题意函数y =lnx 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1e ，可得到函数y =ln (ex)的图象，则A 错误，B 正确； 因为y =ln (ex)=ln x +1，则将函数y =ln x 的图象向上平移一个单位可得到函数y =ln (ex)的图象， 则C 正确，D 错误. 故选：BC. 填空题12、已知函数f(x)={x +1,x ≤0,log 2x,x >0则函数y =f [f (x )]的所有零点之和为___________.答案：12分析：利用分段函数，分类讨论，即可求出函数y =f [f (x )]的所有零点，从而得解．解：x ⩽0时，x +1=0，x =−1，由f(x)=−1，可得x +1=−1或log 2x =−1，∴x =−2或x =12； x >0时，log 2x =0，x =1，由f(x)=1，可得x +1=1或log 2x =1，∴x =0或x =2； ∴函数y =f [f (x )]的所有零点为−2，12，0，2，所以所有零点的和为−2+12+0+2=12所以答案是：12．13、对于实数a 和b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a 2−ab,b 2−ab, a ≤ba >b ，设f(x)=(2x −1)∗(x −1)，且关于x 的方程为f(x)=m(m ∈R )恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是___________. 答案：(0,14)分析：根据代数式2x −1和x −1之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数f (x )的解析式，画出函数的图象，利用数形结合求出m 的取值范围. 由2x −1≤x −1可得x ≤0，由 2x −1>x −1可得x >0， 所以根据题意得f (x )={(2x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ≤0(x −1)2−(2x −1)(x −1)，x >0，即 f (x )={2x 2−x ，x ≤0x −x 2，x >0，作出函数f (x )的图象如图，当x >0时，f (x )=x −x 2开口向下，对称轴为x =12， 所以当x >0时，函数的最大值为f (12)=12−(12)2=14， 函数的图象和直线y =m (m ∈R )有三个不同的交点． 可得m 的取值范围是(0,14)，所以答案是：(0,14)14、当x ∈[k −12,k +12), k ∈Z 时，f(x)=k .若函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点，则正实数m 的取值范围是___________. 答案：[1,43)∪[85,2)分析：将问题转化为函数f(x)与ℎ(x)=1x +m 图象的交点问题，结合图象得出正实数m 的取值范围. 当x =0时，g(0)=−1≠0当x ≠0时，xf(x)−mx −1=0可化为f(x)=1x +m 作出函数f(x)与ℎ(x)=1x +m 的图象由图可知当x <0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点 必须满足−1≤ℎ(−12)<0，解得1≤m <2当x >0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点必须满足1≤ℎ(32)<2或者2≤ℎ(52)<3，解得13≤m <43或85≤m <135综上，m ∈[1,43)∪[85,2) 所以答案是：[1,43)∪[85,2)小提示：关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题. 解答题15、已知f(x)=(log12x)2−2log12x+4，x∈[2 , 4]．（1）设t=log12x，x∈[2 , 4]，求t的最大值与最小值；（2）求f(x)的值域．答案：（1）最大值-1，最小值-2；（2）[7，12]解析：（1）t=log12x，x∈[2，4]，可得t在x∈[2，4]上是减函数，即可得出．（2）f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t)，可得g(t)在t∈[−2，−1]单调递减，即可得出值域．（1）t=log12x，x∈[2，4]，∴t在x∈[2，4]上是减函数，∴x=2时t有最大值log122=−1；x=4时t有最小值log124=−2．（2）f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t)，∴g(t)在t∈[−2，−1]单调递减，∴t=−2（即x=4)，取得最大值，g(−2)=12．t=−1（即x=2)，取得最小值，g(−1)=7．所以函数f(x)的值域[7，12]．小提示：利用换元法求函数值域是常用的方法也是重要方法.。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(50)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若 a =e 0.2，b =log 3e ，c =log 0.9e ，其中 e 为自然对数的底，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． c <a <b B ． b <c <a C ． c <b <a D ． a <b <c2. 函数 f (x )=ln (x +1)−2x 的一个零点所在的区间是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3. 若函数 y =(13)∣x−1∣+m 有零点，则实数 m 的取值范围是 ( )A ． (−∞,−1]B ． [−1,+∞)C ． [−1,0)D ． (0,+∞)4. 已知 a =(12)13，b =log 23，c =log 47，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ． a <b <cB ． b <a <cC ． c <a <bD ． a <c <b5. 若 2a +log 2a =4b +2log 4b ，则 ( ) A ． a >2b B ． a <2bC ． a >b 2D ． a <b 26. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (13,1)B ． (−13,−14) C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)7. 我国古代著名的思想家庄子在《庄子 ⋅ 天下篇》中写道：一尺之棰，日取其半，万世不竭．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位长度“1”，那么 x 天后剩下的部分的长度 y 与 x 的函数关系式为 ( ) A ． y =12x (x ∈N +)B ． y =x 12(x ∈N +)C ． y =2x (x ∈N +)D ． y =12x (x ∈N +)8. 设 f (x )，g (x ) 是定义在 R 上的两个周期函数，f (x ) 的周期为 4，g (x ) 的周期为 2，且 f (x )是奇函数．当 x ∈(0,2] 时，f (x )=√1−(x −1)2，g (x )={k (x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中 k >0．若在区间 (0,9] 上，函数 ℎ(x )=f (x )−g (x ) 有 8 个不同的零点，则 k 的取值范围是 ( ) A ． (13,√24) B ． [13,√24) C ． (0,13]D ． (0,13)9. 函数 f (x )=ln (x 2+1) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．10. 函数 f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ． (−2,−1) B ． (−1,0) C ． (0,1)D ． (1,2)二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={x 2+2x +14x 2+8x ,−2<x <0x 2+2x −1,x ≤−2或x ≥0，若函数 g (x )=a ∣f (x )∣+1 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．12. 已知函数 f (x )={x 2+4x,−3≤x ≤0,2x −3,x >0,若方程 f (x )+∣x −2∣−kx =0 有且只有三个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．13. 已知函数 f (x )={lnx+1x ,x >0−x 2−2x,x <0，若函数 g (x )=f (x )−mx 有三个零点，则实数 m 的取值范围是 ．14. 已知函数 f (x )={ax +1,x ≤0∣lnx ∣,x >0．给出下列三个结论：①当 a =−2 时，函数 f (x ) 的单调递减区间为 (−∞,1)； ②若函数 f (x ) 无最小值，则 a 的取值范围为 (0,+∞)；③若 a <1 且 a ≠0，则 ∃b ∈R ，使得函数 y =f (x )−b 恰有 3 个零点 x 1，x 2，x 3，且 x 1x 2x 3=−1．其中，所有正确结论的序号是 ．15. 函数 f (x )=a x−1−2(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx −ny −1=0 上，其中 m >0，n >0，则 1m +2n 的最小值为 ．16. 若函数 f (x )={2x ,x ≤0−x 2+m,x >0 的值域为 (−∞,1]，则实数 m 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 如图，A ，B 两地相距 100 公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在 A ，B 之间选址 P点建造储备仓库，共享民生物资，当点 P 在线段 AB 的中点 C 时，建造费用为 2000 万元，若点 P 在线段 AC 上（不含点 A ），则建造费用与 P ，A 之间的距离成反比，若点 P 在线段 CB 上（不含点 B ），则建造费用与 P ，B 之间的距离成反比，现假设 P ，A 之间的距离为 x 千米 (0<x <100)，A 地所需该物资每年的运输费用为 2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为 0.5(100−x ) 万元，f (x ) 表示建造仓库费用，g (x ) 表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）．(1) 求函数 f (x ) 的解析式；(2) 若规划仓库使用的年限为 n (n ∈N ∗)，H (x )=f (x )+ng (x )，求 H (x ) 的最小值，并解释其实际意义．18. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，值域为 f (D )，即 f (D )={y∣ y =f (x ),x ∈D }．若 f (D )⊆D ，则称 f (x ) 在 D 上封闭．(1) 试分别判断函数 f (x )=2017x +log 2017x ，g (x )=x 2x+1 在 (0,1) 上是否封闭，并说明理由； (2) 函数 f (x )=√x +1+k 的定义域为 D =[a,b ]，且存在反函数 y =f −1(x )．若函数 f (x )在 D 上封闭，且函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上也封闭，求实数 k 的取值范围；(3) 已知函数 f (x ) 的定义域是 D ，对任意 x,y ∈D ，若 x ≠y ，有 f (x )≠f (y ) 恒成立，则称f (x ) 在 D 上是单射．已知函数 f (x ) 在 D 上封闭且单射，并且满足 f n (D )⫋D ，其中 f n+1(x )=f(f n (x ))，（n ∈N ∗），f 1(x )=f (x )．证明：存在 D 的真子集 D n ⫋D n−1⫋⋯⫋D 3⫋D 2⫋D 1⫋D ，使得 f (x ) 在所有 D i (i =1,2,3,⋯,n ) 上封闭．19. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3Q10（其中 a ，b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，飞行速度为 1 m ⋅s−1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于2m⋅s−1，求其耗氧量至少要多少个单位．20.如图，已知A，B两个城镇相距20千米，设M是AB的中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，P，M的距离为10千米．为方便居民出行，在线段PM上任取一点O（点O不与P，M重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O处，再铺设快速路分别到A，B两处．因地质条件等各种因素，其中快速路PO造价为 1.5百万元/千米，快速路OA造价为1百万元/千米，快速路OB造价为2百万元/千米．设∠OAM=θ(rad)，总造价为y（单位：百万元）．(1) 求y关于θ的函数关系式，并指出函数的定义域；(2) 求总造价的最小值，并求出此时θ的值．21.设函数f(x)=Q0(1+r)x，且f(10)=20.23，f(11)=23.26．(1) 求函数f(x)的增长率r；(2) 求f(12)的值．22.已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx（k∈R）为偶函数．(1) 求k的值．)>0（a>0）．(2) 解关于x的不等式f(x)−log9(a+1a答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】 a =e 0.2>e 0=1，0<b =log 3e <log 33=1，c =log 0.9e <log 0.91=0，故 c <b <a ． 【知识点】对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】因为 f (1)=ln2−2<0，f (2)=ln3−1>0，且 f (x ) 在 (0,+∞) 上是增函数， 所以 f (x ) 在 (1,2) 上必存在零点，故选B ． 【知识点】零点的存在性定理3. 【答案】C【解析】因为函数 y =(13)∣x−1∣+m 有零点，所以方程 (13)∣x−1∣+m =0 有解，即方程 (13)∣x−1∣=−m 有解，因为 ∣x −1∣≥0， 所以 0<(13)∣x−1∣≤1，即 0<−m ≤1， 因此 −1≤m <0． 【知识点】函数的零点分布4. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】 2a +log 2a =22b +log 2b <22b +log 2(2b )， 令 f (x )=2x +log 2x ，则 f (a )<f (2b )， 又易知 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增， 所以 a <2b ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、函数的单调性6. 【答案】C【知识点】函数的零点分布7. 【答案】D【解析】由题意可得，剩下的部分长度为 12，14，18,⋯，所以 x 天后剩下部分的长度 y 与 x 的函数关系式为 y =12x(x ∈N +)．【知识点】建立函数表达式模型8. 【答案】B【解析】作出两函数的图象，如图所示：由图可知，函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=−12 在 (0,9] 上的图象有 2 个不同的交点，故函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=k (x +2) 在 x ∈(0,1] 上的图象有 2 个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心 (1,0) 到直线 kx −y +2k =0 的距离为 d =√k 2+1<1，解得 0<k <√24，因为两点 (−2,0)，(1,1) 连线斜率为 13，所以，13≤k <√24．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】A【解析】 f (x )=ln (x 2+1)，x ∈R ，当 x =0 时，f (0)=ln1=0，即 f (x ) 过点 (0,0)，排除B ，D ．因为 f (−x )=ln [(−x )2+1]=ln (x 2+1)=f (x )， 所以 f (x ) 是偶函数，其图象关于 y 轴对称． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象10. 【答案】B【解析】因为 f (x ) 为增函数，f (0)=1>0，f (−1)=2−1−3<0， 所以 f (x ) 的零点位于区间 (−1,0) 内． 【知识点】零点的存在性定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 [−1,−45)【知识点】函数的零点分布12. 【答案】[−23,3−2√2)【解析】f(x)+∣x−2∣−kx=0有且只有三个不相等的实数根，等价于y=f(x)+∣x−2∣与y=kx的图象有且只有三个交点，画出y=f(x)+∣x−2∣={x2+3x+2,−3≤x≤0x−1,0<x≤23x−5,x>2与y=kx的图象如图所示，当直线y=kx与抛物线y=x2+3x+2相切时，k=3−2√2；当直线y=kx过点(−3,2)时，k=−23，所以根据图象可知−23≤k<3−2√2时，两函数图象有且只有三个交点，所以若方程f(x)+∣x−2∣−kx=0有且只有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是[−23,3−2√2)．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】(0,e2)【知识点】函数的零点分布14. 【答案】②③【知识点】函数的最大（小）值、函数的单调性、分段函数、函数的零点分布15. 【答案】3+2√2【知识点】均值不等式的应用、指数函数及其性质16. 【答案】0<m≤1【知识点】指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 当0<x≤50，f(x)=100000x；当 50<x <100，f (x )=100000100−x．(2) 50n +400√5n ．【知识点】利用导数处理生活中的优化问题、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可以），所以 f (x ) 在 (0,1) 上不封闭．令 t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D ．函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )，得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 上单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 上有两个不等的实数根．设 g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1({x ≥−1,x ≥k,)，故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得 k ∈(−54,−1]．或：⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 有两个不等的实数根．令 t =√x +1(t ≥0)，k +1=t 2−t 在 t ∈[0,+∞) 有两个不等根，画图，由数形结合可知，k +1∈(−14,0]，解得 k ∈(−54,−1]．(3) 如果 f (D )=D ，则 f n (D )=D ，与题干 f n (D )⫋D 矛盾．因此 f (D )⫋D ．取 D 1=f (D )，则 D 1⫋D ．接下来证明 f (D 1)⫋D 1．因为 f (x ) 是单射，因此取一个 p ∈D 且 p ∉D 1，由于 f (x ) 在 D 上单射，p 是唯一使得 f (x )=f (p ) 的根，即 f (p )∉f (D 1) 且 f (p )∈f (D )，所以 f (D 1)⫋f (D 1)∪f (p )≤f (D )=D 1，f (D 1)⫋D 1 得证．接着令 D n+1=f (D n )，并重复上述论证证明 D n+1⫋D n ．【知识点】函数的零点分布、对数函数及其性质19. 【答案】由题意，知 {a +blog 33010=0,a +blog 39010=1,解得 {a =−1,b =1, 所以 v =−1+log 3Q10．要使飞行速度不能低于 2 m ⋅s −1，则有 v ≥2，即 −1+log 3Q10≥2，即 log 3Q10≥3， 解得 Q10≥27，即 Q ≥270，所以耗氧量至少要270个单位．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】(1) 因为∠OAM=θ，PM⊥AB，M为AB的中点，所以OA=OB=10cosθ，OM=10tanθ，OP=10−10tanθ，所以y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10−10tanθ)×1.5=30cosθ−15tanθ+15=15(2cosθ−tanθ)+15(0<θ<π4).(2) 设f(θ)=2cosθ−tanθ=2−sinθcosθ(0<θ<π4),则fʹ(θ)=−cos2θ+sinθ(2−sinθ)cos2θ=2sinθ−1cos2θ.令fʹ(θ)=0，得sinθ=12，又0<θ<π4，所以θ=π6．当0<θ<π6时，sinθ<12，fʹ(θ)<0，f(θ)单调递减；当π6<θ<π4时，sinθ>12，fʹ(θ)>0，f(θ)单调递增．所以f(θ)的最小值为f(π6)=√3，此时总造价最小．所以当θ=π6时，总造价最小，最小值为(15√3+15)百万元．【知识点】利用导数处理生活中的优化问题、建立函数表达式模型21. 【答案】(1) 因为f(11)f(10)=23.2620.23≈1.15，所以1+r=1.15，r=0.15．(2) 因为f(12)f(11)=f(12)23.26=1.15，所以f(12)≈26.75．【知识点】指数函数及其性质22. 【答案】(1) 因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，即log9(9−x+1)−kx=log9(9x+1)+kx，所以log99x+19x−log9(9x+1)=2kx，所以(2k+1)x=0，所以k=−12．(2)f(x)−log9(a+1a)>0⇒log9(9x+1)−x2>log9(a+1a)⇒log99x+19x2>log9(a+1a)⇒9x+13x>a+1a⇒(3x)2−(a+1a)3x+1>0⇒(3x−a)(3x−1a)>0.① a>1时⇒3x>a或3x<1a ⇒{x∣∣x>log3a或x<log31a}；② 0<a<1时⇒3x>1a 或3x<a⇒{x∣∣x>log31a或x<log3a}；③ a=1时⇒3x≠1⇒{x∣ x≠0}．【知识点】对数函数及其性质、函数的奇偶性。
人教版高一数学必修一第四单元《指数函数与对数函数》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第四单元《指数函数与对数函数》单元练习题（含答案）一、单选题1．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得(1)3f =f (2)＝－5，3()92f =，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈3(1,)2B ．x 0＝32-C ．x 0∈3(,2)2D ．x 0＝1 3．函数11()ln f x x x =+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,4)4．函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)5．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2b =，132c =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 7．若设0.30.3a =，250.3b =，c =,,a b c 从大到小排列为A ．,,c a bB ．,,c b aC ．,,a b cD ．,,b a c 8．函数3()92x f x x =-++的零点位于区间（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)9．函数22()(310)f x log x x =+-的定义域是（ ）A ．[2,5]-B ．(3,1)-C ．(,5][2,)-∞-+∞D ．(,5)(2,)-∞-+∞10．已知定义在R 上的函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩，若函数()()k x f x ax =-恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,11,0e ⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(){}1,1,10e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(){}11,00,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知函数()1212log ,182,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为( )A ．14 B ．12 C ．2 D ．112．在同一平面直角坐标系中，指数函数(0x y a a =>且1)a ≠和一次函数(1)y a x =+的图像关系可能是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题13．定义在R 上的偶函数()f x 对于任意的x ∈R 有()()11f x f x +=-，且当[]2,3x ∈时，()269f x x x =-+-，若函数()log a y f x x =-在()0,∞+上只有四个零点，则实数a =______14．已知函数(1)? 1()2?1x f x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，则(2)f -=__________． 15．定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -．已知函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,3，则区间[],a b 的长度的取值范围为________．16．若2122x x a +<对任意的[0,1]x ∈成立，则正实数a 的取值范围为________.三、解答题17．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶200千米，按交通法规限制10≤x ≤60(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油2(3)1200x +升，司机的工资是每小时8元.（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.18．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）()f x 3x x+=； （2）()f x =224x x ++；（3）()f x 23x =-；（4）()f x 31log x =-．19．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ＞0），且f （1）2a =-． （1）求证：函数f （x ）有两个不同的零点；（2）设x 1，x 2是函数f （x ）的两个不同的零点，求|x 1﹣x 2|的取值范围；（3）求证：函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点．20．求下列各式的值：（1）1236；（2）32164⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1216-.21．化简下列各式(0,0)a b >>； （143422()a b a b；（223b -÷.22．用二分法求函数322353y x x x =--+在区间(2,1)--内的零点.（精确到0.1）23．（1）请根据对数函数()(1)a f x log x a =>来指出函数()(1)x g x log a a =>的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：()(0,1,,0)a a a log x y log x log y a a x y ⋅=+>≠>；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为3613M =，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为8010N =.甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是7310,乙认为是9310.现有两种定义：①若实数x y 、满足x m y m ->-，则称y 比x 接近m ；②若实数x y m 、、，且10,10,10s t u x y m ===，满足s u t u ->-，则称y 比x 接近m ；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近M N，并说明理由.24．计算：(1)1251113366221(3)()()2a b a b a b -⋅÷ (2)210232132(2)(7.8)(3)()483----+25．定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，已知当[]4,0x ∈-时，()143x x a f x =+()a R ∈. （1）求()f x 在[]0,4上的解析式.（2）若[]2,1x ∈--时，不等式()1123x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．D2．C3．A4．B5．D6．B7．A8．B9．D10．C11．B12．C13．1414．14 15．763,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．)+∞17．（1）5200y x x =+，1060x ≤≤；（2）；60x =千米/小时总费用最低为4403元； 18．（1）存在，3x =-；（2）不存在；（3）存在，23x log =；（4）存在，3x =．19．（1）证明见解析（2）)+∞．（3）证明见解析 20．（1）6（2）1258（3）1221．（1）b（222．-1.3 23．(1)见解析;(2) 见解析；（3）见解析.24．（1）6b -； （2）12. 25．（1）()34x x f x =-；（2）172m ≥。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(55)
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x2.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3−1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A．(0,0.5)，f(0.125)B．(0.5,1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.25)3.下列以x为变量的函数中，是指数函数的是( )A．y=(−3)x B．y=e x(e=2.71828⋯)C．y=−4x D．y=a x+2（x>0且a≠1）4.用“二分法”可求近似解，对于精确度ɛ说法正确的是A．ɛ越大，零点的精确度越高B．ɛ越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是ɛD．重复计算次数与ɛ无关5.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A．10名B．18名C．24名D．32名经过计算可得( )6.式子a√−1aA．√−a B．√a C．−√a D．−√−a7.若2a=5b=10，则a+b等于( )abA．3B．2C．1D．48.如图是某变量所对应的散点图，采用哪一种拟合函数较好( )A．一次函数模型B．指数函数模型C．对数函数模型D．幂函数模型9.有理数−3的相反数是( )A．3B．−3C．−13D．1310.化简√(log23)2−4log23+4+log213得( )A．2B．2−2log23C．−2D．2log23−2二、填空题（共6题）11.函数y=(k+2)a x+2−b（a>0，且a≠1）是指数函数，则k=，b=．12.令lg2=a，则用a表示lg85+3lg12的结果为．13.如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，则所需的钱数y=元．14.log216−log24=．15.（1）下列函数：① y=2⋅3x；② y=3x+1；③ y=3x；④ y=x3．其中，指数函数的个数是；（2）函数y=(a−2)2a x是指数函数，则a=．16.√x+1+(y−2015)2=0，则x y=．三、解答题（共6题） 17. 化简求值：(1) √614+√338+√0.0625+(√π)0−2−1； (2) lg14−2lg 73+lg7−lg18．18. 设 y =f (x ) 表示某学校男生身高为 x cm 时平均体重为 y kg ，(1) 如果函数 y =f (x ) 的反函数是 y =g (x )，那么 y =g (x ) 表示什么？ (2) 如果 f (170)=55，那么求 g (55)，并说明其实际意义．19. 用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中 a >0，b >0）：(1)2√a √a 2；(2) √a 3b 25；(3) (√√a 963)2(√√b 963)2； (4) 4a 14(−3a 14b −13)6a−12b−23．20. 求下列各式的值．(1) log √5125；(2) log a 1a 2+log a 1a （a >0 且 a ≠1）； (3) lne 10；(4) log (2+√3)(2−√3)．21. 图（1）（2）（3）分别为函数 y =f (x ) 在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数 y =f (x ) 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？22.计算下列各式：(1) (2a 23b12)(−3a43b−12)(a>0,b>0)．(2) log29⋅log38．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】几种函教模型中，指数函数增长速度最快．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质2. 【答案】D【解析】因为f(0)<0，f(0.5)>0，所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．故选D．【知识点】二分法求近似零点3. 【答案】B【解析】由指数函数的定义，只有B选项：y=e x(e=2.71828⋯)符合条件．【知识点】指数函数及其性质4. 【答案】B【解析】依“二分法”的具体步骤可知，ɛ越大，零点的精确度越低．【知识点】二分法求近似零点5. 【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，设需要志愿者x名，50x900≥0.95，x≥17.1，故需要志愿者18名．【知识点】函数模型的综合应用6. 【答案】D【解析】因为√−1a 成立，所以a<0，所以a√−1a=−√−a2a=−√−a．故选D．【知识点】幂的概念与运算7. 【答案】C【解析】由条件可得a=log210，b=log510，故a+bab =1a+1b=1log210+1log510=log102+log105=1．【知识点】对数的概念与运算8. 【答案】B【解析】从散点图可以看出，随着x的增大，y的值呈指数函数型“爆炸式”增大．【知识点】指数函数及其性质9. 【答案】A【解析】 −3 的相反数是 3． 【知识点】幂的概念与运算10. 【答案】B【知识点】对数的概念与运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −1 ； 2【解析】由题意可知 {k +2=1,2−b =0, 解得 {k =−1,b =2.【知识点】指数函数及其性质12. 【答案】 a −1【解析】 lg 85+3lg 12=lg8−lg5−3lg2=3lg2−(1−lg2)−3lg2=lg2−1=a −1．【知识点】对数的概念与运算13. 【答案】 x【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 2【解析】 原式=log 2164=log 24=2．【知识点】对数的概念与运算15. 【答案】 1 ； 3【解析】（1）①中，3x 的系数是 2，故①不是指数函数；②中，y =3x+1 的指数是 x +1，不是自变量 x ，故②不是指数函数；③中，y =3x ，3x 的系数是 1，幂的指数是自变量 x ，且只有 3x 一项，故③是指数函数； ④中，y =x 3 中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． 所以只有③是指数函数．（2）由指数函数定义知 {(a −2)2=1,a >0 且 a ≠1, 解得 a =3．【知识点】指数函数及其性质16. 【答案】−1【知识点】幂的概念与运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 原式=52+3√64+0.25+1−12=13+3√64． (2) 原式=lg14×7(73)2×18=lg1=0．【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算18. 【答案】(1) y =g (x ) 表示学校男生体重为 x kg 时身高为 y cm ．(2) g (55)=170，表示学校男生体重为 55 kg 时身高为 170 cm ．【知识点】反函数19. 【答案】(1) a 76． (2) a 35b −25． (3) ab ． (4) −2ab 13．【知识点】幂的概念与运算20. 【答案】(1) 6． (2) −3． (3) 10． (4) −1．【知识点】对数的概念与运算21. 【答案】不能．同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到它与 x 轴有 1 个交点，从图（2）观察到它与 x 轴有 2 个交点，从图（3）观察到它与 x 轴有 3 个交点，所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．【知识点】零点的存在性定理22. 【答案】(1) (2a 23b12)(−3a43b−12)=−6a2b0=−6a2．(2)log29⋅log38 =lg9lg2×lg8lg3=lg32lg2×lg23lg3=2lg3lg2×3lg2lg3= 6.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(70)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 关于 x 的方程 (x 2−1)2−∣x 2−1∣+k =0，给出下列四个命题： ①存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根； ②存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根； ③存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根； ④存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根． 其中假命题的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32. 一个一元二次方程两根之和为 6，两根之差为 8，那么这个方程为 ( ) A ． x 2−6x −7=0 B ． x 2−6x +7=0 C ． x 2+6x −7=0D ． x 2+6x +7=03. 若函数 f (x )=x 3+x 2−2x −2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1)=−2f (1.5)=0.652f (1.25)=−0.984f (1.375)=−0.260f (1.4375)=0.162f (1.40625)=−0.054那么方程 x 3+x 2−2x −2=0 的一个近似根（精确到 0.1）为 ( ) A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.54. 函数 f (x )=lnx −2x的零点所在的大致区间的 ( )A ． (1,2)B ． (2,3)C ． (e,3)D ． (e,+∞)5. 函数 f (x )=2x ∣log 0.5x ∣−1 的零点个数为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 46. 函数 y =(13)∣x∣的严格单调增区间是 ( ) A ． (−∞,+∞) B ． (−∞,0] C ． [0,+∞)D ．不存在7. 某产品的总成本 y （万元）与产量 x （台）之间的函数关系式是 y =3000+20x −0.1x 2(0<x <240,x ∈N ∗)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是 ( ) A ． 100 台 B ． 120 台 C ． 150 台 D ． 180 台8. 函数 f (x )=lg (2x −3) 的定义域为 ( ) A ． [32,+∞)B ． (−∞,32]C ． (−∞,32)D ． (32,+∞)9. 已知定义在 R 上的函数 f (x )=2∣x−m∣−1（m 为实数）为偶函数．记 a =f (log 0.53)，b =f (log 25)，c =f (2m )，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a <b <c B ． c <a <b C ． a <c <b D ． c <b <a10. 设 f (x )，g (x ) 是定义在 R 上的两个周期函数，f (x ) 的周期为 4，g (x ) 的周期为 2，且 f (x )是奇函数．当 x ∈(0,2] 时，f (x )=√1−(x −1)2，g (x )={k (x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中 k >0．若在区间 (0,9] 上，函数 ℎ(x )=f (x )−g (x ) 有 8 个不同的零点，则 k 的取值范围是 ( ) A ． (13,√24) B ． [13,√24) C ． (0,13]D ． (0,13)二、填空题（共6题）11. 若关于 x 的不等式 8−4x −3a 2>0 在 [−2,−1] 上有解．则实数 a 的取值范围是 ．12. 函数 y =(k +2)a x +2−b （a >0，且 a ≠1）是指数函数，则 k = ，b = ．13. 某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ．14. 已知函数 f (x )=log 22−x2+x ，给出下列说法：①图象关于原点对称； ②图象关于 y 轴对称； ③图象过原点．其中正确的是 ．（填序号）15. 已知函数 f (x )={∣5x −1∣,x <18x+1,x ≥1，若方程 f(f (x ))=a 恰有 5 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 ．16. 函数 f (x )=log 12(x 2−2x +5) 的值域是 ．三、解答题（共6题）17.已知函数g(x)=10x−110x+1，x∈R，函数y=f(x)是函数y=g(x)的反函数．(1) 求函数y=f(x)的解析式，并写出定义域D；(2) 设ℎ(x)=1x−f(x)，若函数y=ℎ(x)在区间(0,1)内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=ℎ(x)在区间(−1,0)内必有唯一的零点（假设为t），且−1<t<−12．18.设a>0，a≠1，f(x)=log a(x+√x2+1)．(1) 判断函数f(x)的奇偶性；(2) 若方程f(x)=log a(2x+ak)有实数解，求实数k的取值范围．19.指数函数的图象和性质：理解记忆指数函数的性质时应注意什么？20.设k是实数，已知关于x的方程5x2+kx−6=0的一个根是2．求方程的另一个根及k的值．21.设常数a∈R，函数f(x)=a⋅3x+13x．(1) 若函数f(x)是奇函数，求实数a的值；(2) 若函数y=f(x)+2a在x∈[0,1]时有零点，求实数a的取值范围．22.培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加y mol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y={8−16x+2,0≤x≤612−x,6<x≤12．根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．(1) 若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？(2) 若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】根据题意可令 ∣x 2−1∣=t (t ≥0)，则原方程化为 t 2−t +k =0， 设方程 t 2−t +k =0 的两根为 t 1，t 2（不妨设 t 1≤t 2）， 则 Δ=1−4k ≥0，得 k ≤14．则 {t 1+t 2=1,t 1⋅t 2=k,结合 t =∣x 2−1∣ 的图象可知：①当 k <0 时，t 1<0<1<t 2，所以原方程有 2 个不同的实根． ②当 k =0 时，t 1=0，t 2=1，所以原方程有 5 个不同的实根． ③当 k =14 时，t 1=t 2=12，所以原方程有 4 个不同的实根． ④当 0<k <14 时，0<t 1<t 2<1，所以原方程有 8 个不同的实根．【知识点】函数的零点分布2. 【答案】A【解析】设所求一元二次方程的两根分别为 x 1，x 2． 因为一元二次方程两根之和为 6，两根之差为 8， 所以 x 1+x 2=6，x 1−x 2=8．所以 x 1x 2=14[(x 1+x 2)2−(x 1−x 2)2]=−7．则满足条件的方程为 x 2−6x −7=0． 【知识点】函数的零点分布3. 【答案】C【解析】由图中参考数据可得 f (1.43750)>0，f (1.40625)<0，又因为题中要求精确到 0.1，所以近似根为 1.4 .【知识点】二分法求近似零点、零点的存在性定理4. 【答案】B【知识点】零点的存在性定理5. 【答案】B【解析】令 f (x )=2x ∣log 0.5x ∣−1=0，可得 ∣log 0.5x ∣=(12)x，设 g (x )=∣log 0.5x ∣，ℎ(x )=(12)x，在同一坐标系下分别画出函数 g (x )，ℎ(x ) 的图象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点， 因此函数 f (x ) 有 2 个零点．【知识点】函数的零点分布6. 【答案】B【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质7. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用8. 【答案】D【知识点】对数的概念与运算、函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为 f (x ) 是偶函数， 所以 m =0，所以 f (x )=2∣x∣−1，且 f (x ) 在 [0,+∞) 上为增函数， 由题意得 a =f (log 0.53)=f (−log 23)=f (log 23)，c =f (0)， 因为 0<log 23<log 25，所以 f (0)<f (log 23)<f (log 25)， 即 c <a <b ．【知识点】指数函数及其性质、函数的奇偶性、对数函数及其性质、函数的单调性10. 【答案】B【解析】作出两函数的图象，如图所示：由图可知，函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=−12 在 (0,9] 上的图象有 2 个不同的交点，故函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=k (x +2) 在 x ∈(0,1] 上的图象有 2 个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心 (1,0) 到直线 kx −y +2k =0 的距离为 d =√k 2+1<1，解得 0<k <√24，因为两点 (−2,0)，(1,1) 连线斜率为 13，所以，13≤k <√24．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−4√33,4√33)【解析】不等式 8−4x −3a 2>0 在 [−2,−1] 上有解． 令 f (x )=−4x +8−3a 2>0 在 [−2,−1] 上有解． 则 f (−2)>0 即可，解得：−4√33<a <4√33． 【知识点】零点的存在性定理12. 【答案】 −1 ； 2【解析】由题意可知 {k +2=1,2−b =0, 解得 {k =−1,b =2.【知识点】指数函数及其性质13. 【答案】 √(p +1)(q +1)−1【解析】设年平均增长率为 x ，则 (1+x )2=(1+p )(1+q )， 所以 x =√(1+p )(1+q )−1． 【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】①③【解析】易知函数的定义域为 (−2,2)，定义域关于原点对称，又 f (−x )=log 22+x2−x =−log 22−x2+x =−f (x )，所以函数 f (x ) 为奇函数，故其图象关于原点对称，所以①正确；因为 f (x ) 为奇函数，所以f(x)的图象不关于y轴对称，所以②错误；因为f(0)=0，所以③正确．故正确的为①③．【知识点】对数函数及其性质15. 【答案】(85,4)【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】（−∞,−2]【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为函数g(x)=10x−110x+1=1−210x+1，所以g(x)∈(−1,1)，令y=g(x)=1−210x+1，则210x+1=1−y，即10x=1+y1−y，即x=lg1+y1−y，所以f(x)=lg1+x1−x，x∈(−1,1)．(2) 由（1）可知，ℎ(x)=1x −f(x)=1x−lg1+x1−x，x∈(−1,0)∪(0,1)，因为ℎ(−x)+ℎ(x)=−1x −lg1−x1+x+1x−lg1+x1−x=0，所以，函数ℎ(x)是奇函数．当x∈(0,1)时，1x 单调递减，1+x1−x=−1+21−x单调递减，于是lg1+x1−x单调递减．因此，函数ℎ(x)单调递减．依据奇函数的性质，可知，函数ℎ(x)在(−1,0)上单调递减．又因为ℎ(−12)=−2+lg3<0，ℎ(−99100)=−10099+lg199>0，所以，函数ℎ(x)在区间(−1,0)上有且仅有唯一零点t，且−1<t<−12．【知识点】函数的零点分布、指数函数及其性质、函数的单调性、对数函数及其性质、函数的奇偶性18. 【答案】(1) 因为 x +√x 2+1>x+∣x ∣≥0， 所以 f (x ) 定义域为 R ．设 u =x +√x 2+1，则 u ∈(0,+∞)，f (x ) 值域为 R ． f (−x )=log a (−x +√x 2+1)=log a (x +√x 2+1)−1=−f (x )，所以 f (x ) 是奇函数．(2) 由对数性质知 log a (x +√x 2+1)=log a (2x +ak )， {2x +ak >0,x +√x 2+1=2x +ak,⇒{x >−ak2, ⋯⋯①2akx =1−a 2k 2. ⋯⋯②所以当 k =0 时，②无解，从而原方程无解． 所以 k ≠0．又 a >0，由②得 x =1−a 2k 22ak ． 代人①得，1−a 2k 22ak>−ak2，所以 1−a 2k 2+a 2k 22ak>0．所以12ak>0，所以 k >0．【知识点】对数函数及其性质19. 【答案】（1）指数函数的图象与性质按照底数 a 的大小，分 a >1 和 0<a <1 两种情况讨论．（2）当 a >1 时，x 的值越小，函数的图象越接近 x 轴； 当 0<a <1 时，x 的值越大，函数的图象越接近 x 轴．（3）指数函数的图象都经过点 (0,1)，且图象都在第一、二象限，位于 x 轴上方． 【知识点】指数函数及其性质20. 【答案】设方程的另一个根为 x 0，由韦达定理 {2+x 0=−k5,2⋅x 0=−65,可得 x 0=−35，k =−7．【知识点】函数的零点分布21. 【答案】(1) 解法 1：函数 f (x ) 的定义域为 R ， 因为函数 f (x ) 是奇函数， 所以 f (−x )=−f (x )，设x=0，则得：f(0)=−f(0)，即2f(0)=0，即f(0)=0，代入f(x)=a⋅3x+13x，得a⋅1+1=0，解得：a=−1，此时f(x)=−3x+13x，又因为f(−x)=−3−x+13−x =3x−13x=−f(x)，即f(−x)=−f(x)，所以f(x)=−3x+13x是奇函数，所以所求实数a的值为−1．解法2：函数f(x)的定义域为R，因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，即a⋅3−x+13−x =−(a⋅3x+13x)，即a3x +3x=−(a⋅3x+13x)，即(a+1)⋅3x=−a+13x，即(a+1)⋅(9x+1)=0对任意x∈R都成立，所以a+1=0，解得：a=−1，所以所求实数a的值为−1．(2) 设f(x)+2a=0，即关于x的方程a⋅3x+13x+2a=0在区间[0,1]上有实数解，设t=3x，因为x∈[0,1]，所以t∈[1,3]，于是原问题等价于关于t的方程at2+2at+1=0(∗)在区间[1,3]上有实数解，当a=0时，方程(∗)不成立，所以a≠0，于是方程(∗)可化为−1a=t2+2t(t∈[1,3])，即函数y=−1a与函数y=t2+2t(t∈[1,3])的图象有公共点，因为函数y=t2+2t(t∈[1,3])为增函数，则得该函数的值域为[3,15]，所以3≤−1a ≤15，解得：−13≤a≤−115，即所求的实数a的取值范围是[−13,−115]．【知识点】指数函数及其性质、函数的零点分布、函数的奇偶性11 22. 【答案】(1) 由题意 x （单位：天）时刻后水中含有物质 N 的量为 y ={8−16x+2,0≤x ≤612−x,6<x ≤12． 解 y ≥4，得 2≤x ≤8．所以若在水中首次投放 1 个单位的物质 N ，物质 N 能持续有效发挥作用 6 天．(2) 设第 x (8≤x ≤12) 天水中所含物质 N 的量为 y mol/L ，则 y =(12−x )+[8−16(x−8)+2]=20−x −x x−6，y =14−[(x −6)+16x−6]≤14−2√(x −6)×16x−6=6，当且仅当 x −6=16x−6，即 x =10∈[8,12] 时，等号成立．即当 x =10 时，y max =6．所以第 8 天至第 12 天，水中所含物质 N 的量始终不超过 6 mol/L ．【知识点】函数模型的综合应用、均值不等式的实际应用问题。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(19)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 函数 y =1+1x 的零点是 ( ) A ． (−1,0) B ． −1 C ． 1 D ． 02. 下列顺序能客观反映教科书中指数幂的推广过程的是 ( ) A ．整数指数幂 → 有理数指数幂 → 无理数指数幂 B ．有理数指数幂 → 整数指数幂 → 无理数指数幂 C ．整数指数幂 → 无理数指数幂 → 有理数指数幂 D ．无理数指数幂 → 有理数指数幂 → 整数指数幂3. 设 f (x )=3x +3x −8，用二分法求方程 3x +3x −8=0 在 x ∈(1,2) 内近似解的过程中得 f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在 ( ) A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定4. 函数 f (x )=2x +m 的零点落在 (−1,0) 内，则 m 的取值范围为 ( ) A ． (−2,0) B ． (0,2) C ． [−2,0] D ． [0,2]5. 函数 f (x )=lnx +x −3 的零点所在区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,4)6. 四人赛跑，假设他们跑过的路程 f i (x )（其中 i ∈{1,2,3,4}）和时间 x (x >1) 的函数关系分别是 f 1(x )=x 2，f 2(x )=4x ，f 3(x )=log 2x ，f 4(x )=2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ( ) A ． f 1(x )=x 2 B ． f 2(x )=4x C ． f 3(x )=log 2xD ． f 4(x )=2x7. 如果 lgx =lga +3lgb −5lgc （a >0，b >0，c >0），那么 ( ) A ． x =ab 3c 5B ． x =3ab 5cC ． x =a +3b −5cD ． x =a +b 3−c 38. y =(34)x的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．9. 有理数 −3 的相反数是 ( ) A ． 3 B ． −3 C ． −13D ． 1310. 下列各函数中是指数函数的是 ( ) A ． y =(−3)x B ． y =−3x C ． y =3x−1D ． y =(12)x二、填空题（共6题）11. 若 f (x )=lgx ，g (x )=f (∣x ∣)，则当 g (lgx )>g (1) 时，x 的取值范围是 ．12. 函数 y =a x+1（a >0 且 a ≠1）的图象恒过的定点坐标为 ．13. 将下列对数式改为指数式：（1）log 4√8=34 ；（2）log 12x =−5 ；（3）log a b =c （a >0 且 a ≠1，b >0） ．14. 已知圆面积为 S ，周长为 C ，则 S 关于 C 的函数表达式为 ．15. 在用二分法求方程 x 3−2x −1=0 的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间 (1,2) 内，则下一步可以断定该根所在区间为 ．16. 已知 λ∈R ，函数 f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，若函数 f (x ) 恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17.2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元．每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)={10x2+100x,0<x<40501x+10000x−4500,x≥40．由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1) 求出2019年的利润L(x)（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式．（利润=销售额−成本）(2) 2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．18.求22+log23+32−log39的值．19.零点存在定理一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)⋅f(b)< 0，那么在区间(a,b)内至少存在一个实数c，使得f(c)=0，即y=f(x)在(a,b)上至少有一个零点．如何理解零点存在性？20.有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是100cm2，设杯子的高为ℎ(cm)．(1) 试用解析法将杯子的高ℎ(cm)表示成底面内半径x(cm)的函数；(2) 试用解析法将杯子的容积V(cm3)表示成底面内半径x(cm)的函数．21.在某市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起参观了禁毒教育基地．如图所示的是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生人数．小明，你们班这次参观禁毒教育基地的男生、女生各多少人？妈妈，我们班共有55人参观了禁毒教育基地，大家集合后，我看到除我之外的男生人数是女生人数的1.5倍还多4人．22.设函数f(x)=log a(x+2)−1其图象恒过定点M．(1) 写出定点M的坐标．(2) 若f(x)在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数，求a的值．(3) 若y=f(x)的图象不经过第二象限，求a的取值范围．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【知识点】函数零点的概念与意义2. 【答案】A【知识点】幂的概念与运算3. 【答案】B【解析】由f(1.25)<0，f(1.5)>0可得方程f(x)=0的根落在(1.25,1.5)上．【知识点】二分法求近似零点4. 【答案】B【解析】由题意知f(−1)⋅f(0)=(m−2)m<0，所以0<m<2．【知识点】零点的存在性定理5. 【答案】C【解析】f(x)=lnx+x−3在R上单调递增，且f(2)=ln2−10，f(3)=ln3>0，所以函数f(x)的零点所在区间是(2,3)，故选C．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】D【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为f4(x)=2x．【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】A【解析】lga+3lgb−5lgc=lga+lgb3−lgc5=lg ab3c5，所以lgx=lg ab 3c5，所以x=ab 3c5．【知识点】对数的概念与运算8. 【答案】C【解析】0<34<1且过点(0,1)．【知识点】指数函数及其性质9. 【答案】A【解析】−3的相反数是3．【知识点】幂的概念与运算10. 【答案】D【解析】根据指数函数的定义，y=a x（a>0且a≠1），可知只有D选项正确．【知识点】指数函数及其性质二、填空题（共6题）11. 【答案】(0,110)∪(10,+∞)【解析】当g(lgx)>g(1)时，f(∣lgx∣)>f(1)，由f(x)为增函数得∣lgx∣>1，从而lgx<−1或lgx>1，解得0<x<110或x>10．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性12. 【答案】(−1,1)【解析】函数y=a x+1（a>0且a≠1）满足当x=−1时，y=1．所以函数y=a x+1（a> 0且a≠1）的图象恒过定点(−1,1)．【知识点】指数函数及其性质13. 【答案】434=√8；(12)−5=x；a c=b【知识点】对数的概念与运算14. 【答案】S=C24π(C>0)【知识点】建立函数表达式模型15. 【答案】(32,2)【知识点】零点的存在性定理16. 【答案】(1,3]∪(4,+∞)【解析】由x−4=0得x=4，由x2−4x+3=0得x=1或x=3．作出y=x−4和y=x2−4x+3的大致图象如下：因为函数f(x)恰有2个零点，所以由图象可得1<λ≤3或λ>4．故λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞)．【知识点】函数的零点分布三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 当 0<x <40 时，L (x )=5×100x −10x 2−100x −2500=−10x 2+400x −2500； 当 x ≥40 时，L (x )=5×100x −501x −10000x+4500−2500=2000−(x +10000x)，所以 L (x )={−10x 2+400x −2500,0<x <402000−(x +10000x),x ≥40． (2) 当 0<x <40 时，L (x )=−10(x −20)2+1500， 当 x =20 时，L (x )max =1500， 当 x ≥40 时，L (x )=2000−(x +10000x )≤2000−2√x ⋅10000x=2000−200=1800,当且仅当 x =10000x，即 x =100 时，“=”成立，因为 1800>1500，所以 2019 年产量为 100 百辆时利润最大，最大利润为 1800 万元． 【知识点】建立函数表达式模型、均值不等式的实际应用问题18. 【答案】 22+log 23+32−log 39=22×2log 23+323log 39=4×3+99=12+1=13． 【知识点】对数的概念与运算19. 【答案】（1）当函数 y =f (x ) 同时满足：①函数的图象在 [a,b ] 上是连续曲线；② f (a )⋅f (b )<0．则可判定函数 y =f (x ) 在区间 (a,b ) 内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有 1 个、 2 个、 3 个、 4 个、 ⋯⋯ 零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数 y =f (x ) 的图象在 [a,b ] 上是连续的曲线，但是不满足 f (a )⋅f (b )<0 时，函数 y =f (x ) 在区间 (a,b ) 内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理20. 【答案】(1) 设杯子的高为 ℎ．根据题意，内表面积是 100 cm 2，得 100=πx 2+2πxh ， 解得 ℎ=100−πx 22πx．根据实际意义，因为 ℎ>0，所以自变量 x 必须满足 x >0 且 πx 2<100，即 0<x <10√ππ．(2) 由（1），得 V =πx 2h =πx 2⋅100−πx 22πx=50x −πx 32，0<x <10√ππ．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用21. 【答案】设小明班上参观禁毒教育基地的男生有 x 人，女生有 y 人，根据题意得 {x +y =55,x −1=1.5y +4,解得 {x =35,y =20.故小明班上参观禁毒教育基地的男生有 35 人，女生有 20 人． 【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】(1) 令 x +2=1，得 x =−1，故定点 M 的坐标为 (−1,−1)．(2) f (x )=log a (x +2)−1 在 [0,1] 上为单调函数， 因为 f (x ) 在 [0,1] 上的最大值和最小值互为相反数，所以 f (0)+f (1)=0，即 log a 2−1+log a 3−1=0，即 log a 6=2， 所以 a 2=6，又 a >0 且 a ≠1，故 a =√6．(3) 若 y =f (x ) 的图象不经过第二象限，则 a >1，且 f (0)≤0， 所以 log a 2−1≤0，解得 a ≥2，故 a 的取值范围是 [2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值。
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高一数学(必修一)《第四章 对数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．求下列各式的值： (1)2log 32-； (2)2lg310； (3)3ln 7e ； (4)23log 9； (5)2lg100； (6)2lg 0.001． 2．求下列各式的值：（1）2log 32-；（2）2lg310；（3）3ln 7e ；（4）23log 9；（5）2lg100；（6）2lg 0.001. 3．化简下列各式(1)1223321()4(0.1)()a b ---．4．已知()2lg lg lg lg lg 0lg lg lg lg x y x y x y x y x y-⎡⎤++⎣⎦++=⋅，求()2log xy 的值． 5．对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就．(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果0a >，且1a ≠，0M >那么()log log n a a M n M n =∈R ；(2)因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数），试判断220219的位数；（注：lg 219 2.34≈）(3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为3613=M ．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为8010=N ，甲、乙两个同学都估算了MN的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310．现有一种定义：若实数x 、y 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，试判断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由．（注：lg 20.3010≈和lg30.4771≈）6．计算：(1)21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+(2)lg232log 9lg lg 4105+--7．计算求值(1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b-的值．8．计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-；(2)()2lg53lg 22lg5lg 2lg5+++⨯；(3)()()22666661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭．9．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中0v （单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ． 参考数据：ln 230 5.4≈和0.51.648 1.649e <<．(1)当总质比为230时，则利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500 m/s ，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T ，求不小于T 的最小整数？ 10．(1)()()2293777log 49log 7log 3log 3log 3+--；(2)2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++11．已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-. (1)证明：函数()f x 是偶函数；(2)求函数()f x 的零点.12．已知集合{}54log 2,log 25,2A =，集合231log 5,log 9B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．记集合A 中最小元素为a ，集合B 中最大元素为b ． (1)求A B 及a ，b 的值； (2)证明：函数()1f x x x =+在[)2,+∞上单调递增；并用上述结论比较a b +与52的大小． 13．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y =0.025x ，y =1.003x ，y =12ln x +1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e ≈2.71828…，e 8≈2981)14．已知2x ＝3y ＝a ，若112x y+=，求a 的值．15．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128； (2)12log 325=-；(3)lg1000＝3； (4)ln 2x =二、单选题16．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．222(1)1x x y x x -+=>-D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭17．已知集合{}|2x A x x N *=≤∈，{}2|log (1)0B x x =-=，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2C ．∅D ．{}0,1,2参考答案与解析1．(1)13；(2)9；(3)343； (4)4； (5)4； (6)6-.【分析】根据指对数的关系及对数的运算性质求值. (1)由2log 3a =-，则1232aa -==，即123a=，故2log 33212a -==. (2)由22lg 3lg 3lg 9a ===，则109a =，故2lg309110a ==. (3)由33ln 7ln 7a ==，则3e 7343a ==，故3ln733e 4a e ==. (4)223333log 9log 9log 34log 2234====.(5)2222lg100lg100lg104lg104====.(6)23lg 0.001lg 0.001lg106lg10622-==-=-=. 2．（1）13（2）9（3）343（4）4（5）4（6）6-【解析】（1）根据log a b a b =,即可求得2log 32-; （2）根据log a b a b =,即可求得2lg310; （3）根据log a b a b =,即可求得3ln 7e ;（4）根据log log Ma ab M b =和log 1a a =,即可求得23log 9;（5）根据log log Ma ab M b =和log 1a a =,即可求得2lg100;（6）根据log log M a a b M b =和,log 1a a =,即可求得2lg 0.001.【详解】（1） log a b a b =∴ 22log 3log 31112(2)33---===;（2） log a b a b = ∴2lg3lg32210(10)39===;（3） log a b a b = ∴3ln 7ln 33e (e 7)7343===;（4） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴2433log 9log 34==;（5） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴24lg100lg104==;（6） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴26lg 0.001lg106-==-.【点睛】本题考查了对数的化简求值,解题关键是掌握log log Ma ab M b =和log 1a a =,考查了计算能力,属于基础题. 3．(1)425(2)-4【分析】（1）利用分数指数幂和根式的性质和运算法则求解即可得到结果； （2）利用对数的性质和运算法则求解即可得到结果． （1） ()1原式3312233221824222525100a ba b---⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭； （2） 原式()()lg 812525100241111222lg ⨯÷÷====-⨯---． 4．()2log 0xy =【分析】对原式化简，得()()22lg lg lg 0x y x y ++-=⎡⎤⎣⎦，由对数的运算性质求解xy 的值，再代入即可. 【详解】由()2lg lg lg lg lg 0lg lg lg lg x y x y x y x y x y-⎡⎤++⎣⎦++=，去分母可得 ()()22lg lg lg 0x y x y ++-=⎡⎤⎣⎦，所以()lg lg lg 01lg 01x y xy xy x y x y +===⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩所以()2log 0xy =. 5．(1)答案见解析 (2)515(3)甲同学的近似值更接近MN，理由见解析【分析】（1）利用对数的恒等式结合指数的运算性质可证得结论成立； （2）利用对数运算性质计算出220lg 219的近似值，即可得出220219的位数；（3）由题意可得出36180310=M N ，比较7310M N -与9310M N -的大小关系，即可得出结论. （1）解：若0a >，且1a ≠，0M >和n ∈R ，则()log log a a nn M M n a a M ==化为对数式得log log na a M n M =．（2）解：令220219t =，所以lg 220lg 219t = 因为lg 219 2.34≈，所以lg 220lg 219514.8t =≈ 所以()514.85145151010,10t ≈∈，所以220219的位数为515．（3）解：根据题意，得36180310=M N 所以36136180803lg lg lg3lg10361lg38092.233110M N ==-=⋅-≈ 所以()92.233192931010,10MN≈∈ 因为()361173lg 23lg 2361lg3172.5341173lg10⨯=+⋅≈<=所以36117317315323101010⨯<<+，所以36193738023101010⨯<+ 所以361361739380803310101010-<-，所以甲同学的近似值更接近M N ．6．(1)4736- (2)1-【分析】(1)根据指数幂运算性质计算即可; (2)根据对数的运算性质计算即可. （1）解：21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+=212329273()1()()482=23233321[()]()223=22132()()223=194249=4736-； （2）解：lg232log 9lg lg 4105+--=2lg 2lg52lg 22=lg 2(1lg 2)2lg 21.7．(1)44 (2)92(3)1【分析】（1）由指数的运算法则计算 （2）由对数的运算法则计算 （3）将指数式转化为对数式后计算 (1)()33622023218323172271449-⨯⎛⎫---=⨯--=--= ⎪⎝⎭；(2)221lglg 2log 24log log 32+++ ()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=-++⨯+- 2239log 33log 322=++-=； (3)6log 3a = 2log 3b =则31log 6a = 31log 2b=； 所以33311log 6log 2log 31a b-=-==．8．(1)0 (2)3 (3)1【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可； （2）提公因式，逐步化简即可求解； （3）逐步将原式化成只含6log 2和6log 3形式. （1）方法一：（直接运算）原式227147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⎛⨯⎛⎫=-+-==⎫⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⨯． 方法二：（拆项后运算）原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=．（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2=⨯++++()lg5lg102lg10lg22lg5lg23=⨯++=++=．（3）原式()()226666log 2log 33log 2log =++⨯ ()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯ ()626log 2log 31=+=．9．(1)10800 m/s (2)45【分析】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可. (1)当总质比为230时，则2000ln 2302000 5.410800v =≈⨯= 即A 型火箭的最大速度为10800m /s . (2)A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A 型火箭的喷流相对速度为2000 1.53000/m s ⨯=，总质比为3Mm由题意得：3000ln2000ln 5003M M m m-≥ 0.50.5ln 0.5272727M M M e e m m m⇒≥⇒≥⇒≥因为0.51.648 1.649e <<，所以0.544.4962744.523e << 即44.49644.523T <<，所以不小于T 的最小整数为45． 10．(1)2；(2)4.【分析】(1)将()237log 7log 3+展开再根据对数的运算求解； (2)根据对数的运算求解即可.【详解】解:(1)原式()()()2223373777log 7log 7log 32log 7log 3log 3log 3=++⨯-- ()()2233log 72log 72=+-=．(2)原式2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg5lg 2log 33log 222=++-⨯++ ()4lg 52324114=+⨯-+=+-=．11．(1)证明见解析；(2)-【分析】（1）先证明函数()f x 的定义域关于原点对称，再证明()()f x f x -=即可；（2）利用对数运算对函数()f x 的解析式进行化简，求解方程()0f x =即可得到函数()f x 的零点. （1）证明：由3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<∴函数的定义域为{}33x x -<<，且定义域关于原点对称 又∵()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=，∴()f x 是偶函数. （2）解：()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-，令()()2ln 90f x x =-=∴291x -=，解得x =±∴函数()f x的零点为-和12．(1){}2log 5⋂=A B ，5log 2a =和2log 5b =； (2)证明见解析52+>a b【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出； （2）根据单调性的定义即可证明函数()1f x x x=+在[)2,+∞上单调递增，再根据单调性以及对数的性质1log log a b b a=即可比较出大小． （1）因为42log 25log 5=，所以{}52log 2,log 5,2A =，{}2log 5,2B =-即{}2log 5⋂=A B ．因为5522log 2log 252log 4log 5<==<，所以5log 2a = 2log 5b =．（2）设12,x x 为[)2,+∞上任意两个实数，且122x x ≤<，则120x x -< 121x x >()()()1212121212121212111110x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增．所以()()522f x f >=，所以()5222215log 2log 5log 5log 5log 52f +=+=>． 13．奖励模型1ln 12y x =+能完全符合公司的要求，答案见解析.【分析】由题意得模型需满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x ·25%，依次判断三个模型是否满足上述条件即可.【详解】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，则①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%. （1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，则y>5，不满足公司的要求；（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，则不满足公司的要求；（3）对于1ln12y x=+，易知满足①.当x∈[10，1000]时，则y≤12ln1000+1.下面证明12ln1000+1<5.因为12ln1000+1-5=12ln1000-4=12(ln1000-8)=12(ln1000-ln2981)<0，满足②.再证明12ln x+1≤x·25%，即2ln x+4-x≤0.设F(x)=2ln x+4-x，则F′(x)= 2x-1=2xx-<0，x∈[10，1000]所以F(x)在[10，1000]上为减函数F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.综上，奖励模型1ln12y x=+能完全符合公司的要求.【点睛】本题主要考查函数的模型应用，属于简单题.14．a.【分析】利用对指互化得到x＝log2a，y＝log3a，再利用对数的运算化简求值. 【详解】因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a所以1x＋1y＝2311log loga a+＝log a2＋log a3＝log a6＝2所以a2＝6，解得a＝又因为a>0，所以a15．(1)log217 128=-(2)511 232-⎛⎫=⎪⎝⎭(3)103＝1 000(4)2e x=【分析】根据对数和指数互化公式得到相应结果即可.(1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7. (2) 由12log 325=-，可得512-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝32. (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.(4)由ln 2x =，可得e 2＝x .16．C【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，1x =-时，则y 为负数，A 错误.以D 错误.故选：C17．B【分析】分别求出集合,A B ，根据集合的交集运算得出答案.【详解】由题意知：{}{}|20,1,2x A x x N *=≤∈= {}{}2|log (1)02B x x =-== {}2A B ⋂=.故选：B.。