拉普拉斯方程及其解法
2020年高中物理竞赛—电磁学B03泊松方程 拉普拉斯方程 (共13张PPT)
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
(evr
问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程
拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程分数阶微积分是一种新兴领域，在近年来得到了越来越多的关注。
它是传统微积分的扩展，将传统的整数阶导数引入了非整数的情况。
在工程、物理、生物学等很多研究领域中，分数阶微积分有着广泛的应用。
因此解决分数阶微分方程成为了重要的课题之一。
本文将从拉普拉斯变换的角度出发，介绍使用该方法解决分数阶微分方程的基本思路和方法。
一、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的一类微分方程。
分数阶导数可以描述在非连续介质中的扩散、渐近行为以及超弹性函数等现象。
分数阶微分方程的形式一般为：$$ \begin{aligned} D^{\alpha}y(t)&=f(t)\\y(0)&=y_0,\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}=y_1,\\beta\in[0,\alpha) \end{aligned} $$其中，$D^{\alpha}y(t)$为分数阶导数，$f(t)$为已知函数。
$y(0),\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}$是初始条件，$y_0,y_1$为已知初值。
一般情况下，分数阶微分方程无法通过传统的解析方法求解，因此需要采用不同的数值方法和函数变换方法。
下文将介绍使用拉普拉斯变换来解决分数阶微分方程的方法。
二、拉普拉斯变换方法简介拉普拉斯变换方法是一种常用的函数变换方法，它将一个函数在实线上的时间域（t域）转化为复平面上的复变量域（s域）上的函数。
它的核心是拉普拉斯积分：$$ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\s=x+jy\in R $$其中，$f(t)$为实函数，$e^{-st}$为复指数函数，$x,y$为实数。
当$y<0$时，$F(s)$是收敛的；当$y>0$时，$F(s)$是发散的。
通过拉普拉斯变换，可以将微分和积分转化为代数运算，进而可以更方便地解决微分方程等问题。
下面将介绍具体的解决分数阶微分方程的过程。
拉普拉斯变换
f (t ) e4t e2t te2t .
14
解法3（利用卷积定理）
s s 1 4 1 F s = 1+ ） 2 2 =（ ( s 4)( s-2) s 4 ( s-2) s 4 ( s-2)2
4 4t L 1+ = (t ) 4e , s 4
1 2
F j e jt d.
则
1 f t 2
F j e
j t
d . t 0
2
令 j s
1 由 f (t ) 2
F j e j t d. t 0
y t 0 0， y t 0 1 的解.
解：由高等数学中微分方程的知识可知该方程为一
个典型的二阶线性非齐次微分方程，有其固定的
解法，现用拉氏变换求其解
设L y t Y s 对方程两边取拉氏变换
由初始条件：
17
1 s Y s 1 2sY s 3Y s s 1 s2 解得：Y s
-1
故f t ( (t ) 4e4t ) te2t (t ) te2t 4e4t te2t
1 2t L te 2 ( s -2)
1
4e te 4e4 (t )e2(t ) d
4t 2t
2t
t
t 1 2t 1 4e te d e d 4e e 0 0 4 2 4 t 1 2t 1 2t 2t f t te 4e e 4 2 4 15
有限差分法求解拉普拉斯方程
收稿日期:2009-09-01第一作者简介:贾新民(1956-),男,四川邻水人,新疆昌吉学院计算机工程系,副教授,研究方向:计算机程序设计及其语言教学和理论物理研究。
有限差分法求解拉普拉斯方程贾新民1 严文2(1.昌吉学院计算机工程系新疆昌吉831100;2.昌吉学院物理系 新疆昌吉831100)摘 要:以极板上具有半圆截面沟槽的电容器内的电势分布为例,介绍了综合应用计算机软件利用有限差分法求解复杂边界的拉普拉斯方程数值解的方法。
并利用数值解的结果讨论了沟槽表面的电场分布和电荷分布。
关键词:拉普拉斯方程;有限差分法;五点差分格式中图分类号:O411.2 文献标识码:A 文章编号:1671-6469(2009)05-0105-051 引言无源空间的引力场、静电场、稳定的温度分布等问题都满足拉普拉斯(Laplace )方程 2u (x ,y ,z )=0(1)但由于方程(1)是偏微分方程,只有在问题具有高度对称的情况下,才能求出解析解,而这种情形是极少的。
有些情形看上去很简单,但却求不出解析解。
对于这些情况,只能寻求数值解。
2 计算机数值解法方案文献[1][2][3]给出了拉普拉斯方程数值解的方法———有限差分法。
有限差分法的思想是用差分Δu (x +Δx,y )Δx ,Δu (x ,y +Δy )Δy 代替导数5u 5x ,5u 5y,用网格将求解区域覆盖,对于平面拉普拉斯方程,第i 行第j 列小格的电势由Laplace 方程的五点差分格式给出。
u ij =14(u ij -1+u ij +1+u i -1j +u i +1j )(2)考虑图1所示的具有半圆形截面的槽的电容器内部的电势和电场分布。
为了能够对坑(槽)内部的电场进行比较细致的观察,应该将半径R 取的大些,为了满足无限远的条件,应该使求解区域尽量大些。
我们选Excel 为计算工具,因为Excel 具有不用编写程序和直观的优点。
Excel 的一个单元格代表求解区域的一个网格,单元格的值表示该网格处的电势。
拉普拉斯变换
d f (t ) s n F (s) s n1 f (0 ) f ( n1) (0 ) L[ ] n dt
n
返 回
上 页
下 页
若初始条件为零
3.积分定理 若
f (t ) F ( s)
则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
返 回
pn t
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待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 2、 、 n 、 3
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s pn 2
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
上 页 下 页
返 回
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s Fra bibliotek bn 3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s)] s 1 d [ s 4 ] s 1 4 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
返 回
上 页
下 页
小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
0
t
6.衰减定理 若 f (t ) F ( s) 则
返 回 上 页 下 页
F1 ( s) F2 ( s)
7.初值定理
若
拉普拉斯方程-球坐标系
常用齐次定解问题的分类
直角坐标 柱坐标 球坐标
稳定方程 演化方程
√ √
√ √
√ √
参看附录VI
拉普拉斯算符的形式
二维 三维
直角坐标
极（柱） 坐标 球坐标
2 xx yy
1 2 1 1 2 2
2 zz 2 zz
II 0 ( ) A B
由周期性边界条件得： A B(
2 ) A B
Be
( 2 )
B0
此时A可任意取值，周期性边界可满足！
III 0 ( ) Ae
由周期性边界条件得： (
2 ) Ae
把自变数从 换为
x ，则方程（13.2.4）可以化为下列
形式的连带勒让德方程，其中
y( x) ( x)
（13.2.5）
d2y dy m2 (1 x 2 ) 2 2 x ( )y 0 2 dx dx 1 x
无关，则
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
得：
( ) ( ) ( ) 2( ) (sin ) ( )( ) 0 2 2 sin sin
两边同除以Θ(θ)Φ(φ)，乘sin2θ 后移项得： sin ( ) 1 2( ) (sin ) sin 2 2 ( ) ( ) 得到关于 的常微分方程
Be
( 2 )
( ) Ae
Be
Ae
[e 2
1] Be
[e 2
1] 0
2.5泊松方程和拉普拉斯方程
１、求借电位φ呈完全对称分布； ２、无穷大边界面（如点电荷电场）
除上述情况外均须用其它方法求解。
解：泊松方程 2
为
0
0 x <d
<x 0
2 0 x 0d
0
x d U0 (x)
s(0) s(d)
E(x)
0x
x
d
d
0
U0
则 2
2
x2
d 2
dx2
0x 0d
d dx
0x2 20d
C1
第二章 静电场
d dx
0x2 20d
C1
0x3 60d
C1x
C2
x0 0
x d U0
C2 0
因球外无电荷，则空间电位满足拉普拉斯方程
2 0 球坐标系中
1 r2
d dr
(r2
d dr
)
0
即
r2
d
dr
C1
d
dr
C1 r2
第二章 静电场
r2
d
dr
C1
d
dr
C1 r2
C1 r
C2
而
r a时,
U0
C1 a
C2
r 时, 0 C2
故 aU0
r
C1 aU0
第二章 静电场
例：用解泊松方程的方法重求上例的电场强度。
第二章 静电场
❖ 求解泊松方程（或拉普拉斯方程）：
E 给定电荷分布，求解其方程得
（ E ）
若已知 E、
第二章 静电场
例：导体球的电位为U，球半径为 a ， 求球外的电位。（假定无穷远电位为0） 解：显然，导体球的电荷分布在球面上， 且呈球对称，故空间的电位也呈球对称， 仅是r 的函数。取球坐标系。
复变函数-第7章 拉普拉斯变换
例13 求: f(t)tetcost的 Lap变 lac 换 e
解1: ℒ costs2s2, 由象函数的位移性质,
得
ℒ
et
cost
s (s)22,
再由象函数的微分性质,
ℒ f(t)ℒ tet cost
s
(s
)2 tco ts s2 s2 (ss2 2 2 2 )2
顺便可得
sint
1
0
t
dt 0
1s2dsarctans02
7.2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理
(1) [0, ) 上的卷积定义
若函数 f 1 ( t ) , f 2 ( t ) ,满足 t 0 时都为零,
则 f 1 ( t ) f 2 ( t ) f1()f2(t )d
0
f1()f2(t
例17 已知 f1ttm ,f2ttn,(m ,n为正整数)
求 在 [0, ) 上的卷积 f1(t) f2(t).
解 因为 ℒ f 1 ( t ) f 2 ( t ) F 1 ( s ) F 2 ( s )
ℒ tmℒ
tn
m! sm1
n! sn1
m ! n! smn2
所以
f1(t)f2(t)ℒ
1sm m!nn!2
(m
m!n! n
1)!
ℒ
1(m n 1)! smn2
m!n! tmn1 (mn1)!
7.3 拉普拉斯逆变换
根据拉普拉斯变换的定义
ft2 1j
jFsestds
j
t0
右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复 变函数的积分,但计算比较麻烦.
求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、 部分分式法、查表法等.
2-3 拉普拉斯方程 分离变量法
Z ( z ) E sin kz F cos kz
（2）若
( x, y ) k , k
2
2
0
d2X X 0 X ( x) Aekx Be kx 2 dx Y ( y ) C sin ky D cos ky 2 d Y Y 0 2 dy 注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边 k 界条件， 1 , k 2 , k 将与某些正整数有关，它们可取1， 2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。
3 1 p R 0 E0 R0 cos 3 2 40 R 2 0 R
例3 半径为R0的导体球置于均匀 外电场E0中，求电势和导体上的电 荷面密度。
解： 用导体表面边界条件，照上例方法可
解出导体球外电势
E0 R E0 Rcos cos 2 R
E0 r cos E0 z
（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。
（2）内部边值关系：介质分界面上
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
例1 一个内径和外径分别为R2和R3 的导体球壳，带电荷Q，同心地包围 一个半径为R1的导体球（R1 <R2） ，使这个导体球接地。求空间各点的 电势和这个导体球的感应电荷。
导体面上电荷面密度为
3 0
0 R
3 0 E0cos
R R0
例4 导体尖劈带电势V，分 析它的尖角附近的电场。
解：
用柱坐标系, 取z轴沿尖边, 柱坐标下的 拉氏方程为
1 1 0, 0 2 r 2 2 r r r r
p—拉普拉斯方程正解和多解的存在性
拉普拉斯方程（Laplace's equation）是一种常见的偏微分方程，其形式为：∆u=0其中，∆u是拉普拉斯运算符，表示二阶偏导数的和：∆u=uxx+uyy拉普拉斯方程通常用来描述无源的物理系统，如电场、热传导等。
对于拉普拉斯方程，通常存在多种解法。
其中，最常见的解法是使用数值方法，如有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）等。
这些方法可以得到近似解，但不能保证得到正确的解。
另外，还有一类解法是使用解析方法，即通过数学方法求出正确的解。
对于拉普拉斯方程，可以使用偏微分方程的通解公式求解。
但是，这种方法得到的解通常是概括性质的，不能得到具体的数值解。
对于拉普拉斯方程，由于它的物理意义和数学复杂度，通常存在多解。
多解的存在可能是由于拉普拉斯方程描述的系统存在不唯一性，也可能是由于数学方法本身的局限性造成的。
拉普拉斯方程是一个关于某个特定函数f(x)的积分方程，它可以用于描述物理现象、金融市场、生物进化等等。
拉普拉斯方程的正解是一个积分方程的解，它满足拉普拉斯方程的边界条件，并且可以在拉普拉斯方程内部求解出来。
多解的存在性取决于拉普拉斯方程的边界条件，如果边界条件不确定，或者存在不同的边界条件，那么拉普拉斯方程就有可能拥有多个解。
因此，对于拉普拉斯方程的多解的存在性而言，关键在于边界条件的确定性。
总之，对于拉普拉斯方程，存在多种解法，其中数值方法可以得到近似解，但不能保证正确性；解析方法可以得到正确的解，但通常是概括性质的。
对于拉普拉斯方程，多解的存在可能是由于系统本身的不唯一性，也可能是由于数学方法的局限性造成的。
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拉普拉斯方程及其解法
拉普拉斯方程是一个经典的偏微分方程，它的形式为：
∇²u=0
其中，u表示待求的函数，∇²表示Laplace算子，表示二阶偏
导数的和。
拉普拉斯方程在各个领域中都有着重要的应用，如电场、热传导、流体力学等。
在数学上，对于二维或三维函数的拉普拉斯方程，其解法有许多种，其中最常用的为分离变量法与格林函数法。
一、分离变量法
分离变量法在解决二维及三维拉普拉斯方程中具有广泛的适用性，它的基本思想是将多维问题化为一系列单变量问题的组合。
假设拉普拉斯方程的解可以表示为三维函数的乘积形式：
u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
则将这个表达式代入拉普拉斯方程中，可以得到以下三个方程：
X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+Z''(z)/Z(z)=0
由于每个方程都与坐标变量无关，因此可以将它们分别表示为
常微分方程的形式：
X''(x)/X(x)=λ1，Y''(y)/Y(y)=λ2，Z''(z)/Z(z)=λ3
上述三个方程中的参数λ1、λ2、λ3为方程的本征值，它们的
取值将直接影响到解的形式。
当λ1、λ2、λ3为常数时，可以将三个方程的通解写成以下形式：
X(x)=Acos(α1x)+Bsin(α1x)，Y(y)=Ccos(α2y)+Dsin(α2y)，
Z(z)=Ecos(α3z)+Fsin(α3z)
其中，A、B、C、D、E、F为任意常数，α1、α2、α3为根据
本征值计算出来的常数。
将上述三个方程的通解带入原式，经过简单分析、代数变换，
可以得到二维或三维拉普拉斯方程的解。
二、格林函数法
另一种常用的解法为格林函数法。
在一定条件下，基于格林函
数的方法能够得到更加简单和结构精细的解，因此在应用中有着
广泛的应用。
假设存在格林函数G(x,y)，它有以下特性：
①G(x,y)满足拉普拉斯方程，即∇²G(x,y)=δ(x-x0,y-y0)。
②G(x,y)在x=x0,y=y0处为无穷大，且在边界上趋于零。
③G(x,y)在物理空间上受到一定的限制，使得解的唯一性得以
保证。
④G(x,y)对于通过边界的所有函数f(x,y)，都有以下恒等式成立：
∫∫G(x,y)f(x,y)dxdy=f(x0,y0)
使用格林函数法解二维拉普拉斯方程的步骤如下：
1.钦定物理区域和边界条件，确定格林函数的形式。
2.利用格林函数的特性，得到待求解函数u(x,y)的表达式。
3.通过边界条件，确定待求解函数的任意常数，从而得到最终的解。
在实际应用中，格林函数法与分离变量法常常同时使用，以得到更加精确的解。
格林函数法的优势在于，它不需要额外的边界条件或初始化条件，因此在特殊情况下有着很大的便利性。
综上所述，拉普拉斯方程的解法在科学技术领域有着广泛的应用，分离变量法和格林函数法均能有效求解二维及三维拉普拉斯方程，对于不同问题应选取适当的方法求解。