江苏高等数学历年(本科三级)竞赛真题(史上最完整)

2010年江苏省普通高等学校非理科专业

第十届高等数学（本科三级）竞赛题

一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()30sin sin sin lim

x x x x

→- = 1

6 2）()

2arctan e tan ,

x

y x x y '=+=则

()2

4

2e tan sec 1x x x x x

+++ 3） 设由y x x y =确定()

,y y x =

d d y

x =则

()()()()

2

2ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4）()

2cos ,n y x y

==则 12cos 22n n x π

-??+

??

?

5） 21e d x

x x x -=? e x C x

-

+ 6）设 2,

,x z f x y y ??=- ???

f 可微，()()123,22,3,23,f f ''

==则

()()

d z

,2,1x y ==7d 8d x y -

7) 设函数 (),F u v 可微，由 (

)2

2

,0F x z y z

++=确定(),,z z x y =则

z z x y

??+=?? 12z -

8）设

22

:2,0,

d D

D x y x y x y +≤≥=则

169

二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax

x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的

最小值。

22ln e 2ln ,ax

x

x x ax a x

≤?≤?≥

解 （3分） 要求a 的最小值，只要求 ()2ln x

f x x

= 的最大值。 （2分） 令()()

2

21ln 0x f x x -'=

= 得e,x = （2分）

由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时

()2

e e

f =

所以为其最大值， （2分） 故a 的最小值为 2

e

. （1分）

三、（10分）设()f x 在[]

01， 上连续，且()()110

d d f x x x f x x =??

，

求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0

d 0.f x x ξ

=?

证法1：令()()()0d ,x

F x x t f t t =-? （3分）

则()()()()()()11

1

0=0,

11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=???

应用罗尔定理，()01,ξ?∈，使得()0,F ξ'= （4分）

()()()()()0

d d ,x x

F x f t t x f x x f x f t t '=+-=??而

于是 ()()()0

d d 0.F f t t f x x ξ

ξ

ξ'=

==?

? （3分）

证法2 ()()()()()0

d ,00,,x

F x f x x F F x f x '===?

令则 （3分）

()()()()()111

000

11d d d 0F f x x x F x x x F x F x x

'∴===-???

()()()1

1

1d ,d 0,F F x x F x x =-?

=?? （3分）

应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1

d 10,F x x F F ξξ=-=?

于是 ()()0

d 0.F f x x ξ

ξ=

=? （4分）

四、（12分）求广义积分

421

d .1x x +∞

-?

22

221111

d d 2121x x x x +∞+∞=++-??解原式 （4分）

1

11arctan ln

222

41x x x +∞+∞+=+- （4分） 11

arctan 2ln 3.424

π

=

-- （4分） 五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

()()()()000

0000

1

,ln ,,1

ln ,,0,0e,x x y x y x x x x y x x '-=-∴+=-

-== 解设切点为切线方程为用代入可解得

.e

x

y =-于是切线的方程为 （3分）

()e 22

111e ln d 3

V x x ππ=

-? （3分） e 211

e ln 2ln d 13e x x x x ππ??=

--????

? （3分）

()()e 111e e e 2ln 2ld e e 221.133

3e x x x πππππ????

=--+=--=-?? ??????（3分）

六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形,8BC AD AB BC CD ++=，∥，求,AB BC

AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

(

) ,08,8,, ,22

BC x AD y x y x y x

AB BE AD AE BE ==<<<--=

⊥===解令则设则

2222233V BE AE BE x BE AE x πππ??

=?+=+ ???

()()()22828282.22312x y x x y x y y x y ππ??--+??????=-=-+-+?? ? ? ??????????

?（4分）

()()()()()()()()2820, 2.3

828228280,12V y x x x V y x y x y x y x y y y ππ

?=--=?=??=-+--+++-+-=???

??

()24,,x y P =?=令设2,4 （4分） ()()2222828,20,333

V V A y B x P P P P x x y πππ??==--=-==-=???

222216

2,0,0,23

V C y B AC A P P y πππ?==-=-?=-=-<

2,4x y V ∴==时,取最大值。

即3,2,4AB BC AD === 为所求的值。 （4分） 注：对V 的表达式应用平均不等式求最大值也对。 七、（12分）求二重积分

()2

2cos

sin d d ,D

x y x y +??

其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥

1

1

2

20

00

d d d d x x y y y x =+??解原式 （4分）

2

20

cos d sin d x x y y

=

+?

? （2分）

()()()2

2

222

20

sin cos cos sin d cos sin sin d x y t t t t t t t π

π

===?+??

?令

2

22

1cos 2cos d 4d .24

t t t

t π

π

π

+===??（分） （2分）

2008年江苏省普通高等学校非理科专业

第九届高等数学（本科三级）竞赛题

一、填空题（每小题5分，共40分）

1、若

2arctan 2

lim

x ax x x bx x

π

→∞+=-

-，则=a ________________；=b ________________.

2、

()

=+∑=∞

→n

k n k k 131

lim

________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.

4、常数=a ______,=b ______时，()bx

x

x ax x f ++

+=12

在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.

5、=??

20

32cos sin π

xdx x ________________.

6、

()

?∞

=+1

2

22

1dx x x ________________.

7、设y x x z -=，则()=??1,2n n y

z

________________.

8、 设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则

??=D

ydxdy arctan ________________.

二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。

三、（8分）设()x f 在区间[]b a ,上连续，()?=b

a

dx x f 0.

证明：存在()b a ,∈ξ,使得

()()ξξξ

f dx x f a

=?。

四、（8分）将xoy 平面上的曲线()()b a a y b x <<=+-0,222

绕直线b x 3=

旋转一周所得立体的体积。

五、（8分）设()()()()()

??

???=≠+++=0,0,00,0,,2

4

22

2y x y x y x y x y x y x f 讨论()y x f ,在()0,0处的连

续性，可偏导性，可微性。

六、（10分）已知曲面1442

22=-+z y x 与平面0=--y x z 的交线在xoy 面上的投影曲

线为一椭圆，求该椭圆的面积.

七、（8分）在平面∏：202=-+z y x 内作直线Γ，使Γ过另一直线L ：??

?=-+=+-3

431

22z y x z y x 与平面∏的交点，且Γ垂直于L .求直线Γ的参数方程.

八、（10分）设D 为,222x y x ≤+x y ≤≤0，求??

-+D

dxdy y x 122。

2006年江苏省普通高等学校非理科专业

第八届高等数学（本科三级）竞赛题

一.填空（每题5分，共40分）

1.22232323212lim 12n n n n n n →∞??+++= ?+++??

2.()

2

30

01lim 1x

t x e dt x

-→-=?

3.)

lim

0x ax b →+∞

+=，则,a b =

4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=

5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则()

,0e dz

=

6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，

()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()2

1

1

,x e e

x

dx f x y dy -=?? .

8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则

D

=

二.（8分）设()()

2sin 0

ln 10

ax b x c

x f x x x ?++≤?=?

+>??，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.

三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.

四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞

五（8分）求()

1

2

arctan 1x

dx x +?

六（9分）本科三级做：设()()()()()()

2222

tan ,0,0,0,0,0x y

x y x y x y

f x y x y -?+≠?+=??=?，

证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()

0,0,df x y

民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.

七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =+在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.

八（9分）设D 为,,02

y x x y π

==

=所围成的平面图形，求()cos D

x y dxdy +??.

2004年江苏省普通高等学校非理科专业

第七届高等数学（本科三级、民办本科）竞赛题

一、 填空题（每小题5分，共40分）

4．

=???

?

??++++++∞

→2222

4116141lim

n n n n n ________________. 2.

2

1arctan lim

x x x x ??? ?

?

∞

→________________.

3. 若0→x 时，x x x x 2cos cos sin -与k

cx 为等价无穷小，则=c ________________.

4. ()()x x x f -=1ln 4，则4>n 时，()()=0n f ________________.

5. 设函数y

x z arctan =，则()=-1,1dz ________________.

6.

()

=-+?dx x x x x

x x 2

sin cos cos sin ________________ .

7.

()()[]=+-?-a a

xdx x f x f sin ________________.

8.

设

D ：

+∞<<∞-x ，+∞

<<∞-y ，

()??

?≤≤=其他0

1

0x x x f 则()()??=+D

dxdy y x f y f ________________.

二、（10分）设()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导；()()()

22

2

1,a b dx x f a a f b

a -=

=?，求证：在()b a ,内至少存在一点u ，使得()()1'

+-=u u f u f 。

三、（10分）设.4,2,,4:22≤+≥+≥≤-y x y x x y x y D 在D 的边界x y =上任意取点

P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于x y =交D 的边界422=-x y 于Q 。

求：1）将Q P ,的距离PQ 用t 表示；2）将D 绕x y =旋转一周所得立体的体积。

四、（10分）设()x f 在()+∞∞-,上有定义，()x f 在0=x 处连续，且对一切实数21,x x 有

()()()2121x f x f x x f +=+，求证：()x f 在()+∞∞-,上处处连续。

五、（10分）设k 为常数，方程011

=+-x

kx 在()+∞,0上恰有一根，求k 的取值范围。

六、（10分）设()y x f ,可微，(),12,1=f ()(),32,1,22,1==y x f f

()()()[]x x f x x f f x 2,2,2,=φ；求()1'φ

七、（10分）求()??-π

π

θρ

ρθθ20

2

22

1d e d

2002年江苏省普通高等学校非理科专业

第六届高等数学（本科三级、民办本科）竞赛题

一、填空题（每小题5分，共40分）

0e 1.lim

(0k _____,____.x k

x c c c x →-=≠==设），则

+++2.f(x)lim f ()0,f(x)B. lim f ()0,f(x)C. lim f ()=1,f(x)x x x x x x '→∞

'→∞

'→∞

∞=∞≠∞∞设在[1,+)上可导，下列结论中成立的是______.A. 若则在[1,+)上有界

若则在[1,+)上无界

若则在[1,+)上无界

3.e ()1y=y(x),y (0)_______.y x y x x -"+-=+=设由确定则

4.(arcsin arccos )____________.x x dx -=?

4

5.________________.+∞

=?

2z 6.()(,sin ),g ______________.

x

y z f g e y f x x y

?=+=??的二阶导数连续，的二阶偏导数连续，则2130

7.dx (,)____________.x

x

f x y dy -=??交换积分次序

28.x 5y +=2函数f(x,y)=2x-y+1满足方程的条件极大值为____,条件极小值为____.

二、（8分）

设()f x +∞在[0，

）上连续且单调减少，0a b <<，证明：0

()().a

a f x dx

b f x dx ≤?

?b

a

k f -+-+k ≥∞∞∞∞设f(x)=kx+sinx.

(1)若1，求证：(x)在（，）上恰有一个零点;

(2)若0

四、（8分）

20

1sin e .1cos x

x

dx x

π

++?求

设,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)y x y f x y x y ?

≠?=??=?

，试讨论(,)f x y 在点(0,0)处的连续性、可偏导性与可微性。

六、（8分）

22z z (,),y y .d f x y x f dx

==???)≠0,设（),的二阶偏导数连续，可导，（求全导数

224

01

(u)u=0(0)=0,D:x 2,0,lim

t D

f f y tx y f ydxdy t →++≤≥??设在可导，求。

八、（9分）

D

|sin()|,:0,0,.2

x y dxdy D x y x y π

-≥≥+≤

??求

2000年江苏省普通高等学校非理科专业

第五届高等数学（本科三级、民办本科）竞赛题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 已知

31

[()]()______________.d f x f x dx x

'==，则 2. 1

ln 0

lim(tan )______________.x

x x +

→=

3.

_______________.=

4. 设),(y x z z =由方程()0,,=---x z z y y x F 所确定，F 为可微函数，则

=??+??y

z x z ； 5.

[()()]sin ________________.a

a

f x f x xdx +-+-=?

二、选择题（每小题3分，共15分）

1.函数21

()(1)

x e f x x x -=-的可去间断点为( )

A 、0,1x =

B 、1x =

C 、0x =

D 、无可去间断点

2. 改变积分次序21

10

1

(,)y

y dy f x y dx --=??

( )

A 、1

1(,)dx f x y dy -?

B 、0

11100

(,)(,)x

dx f x y dy dx f x y dy --+???

C 、

1

0(,)dx f x y dy ?

D 、1

11

(,)x dx f x y dy --?

3.设()f x 可导, ()()(1sin )F x f x x =+，欲使()F x 在0x =处可导，则必有( ) A 、(0)0f '= B 、 (0)0f = C 、 (0)(0)0f f '+= D 、 (0)(0)0f f '-=

4.若

0000(,)(,)

,

x y x y f f x

y

????都存在，则(,)f x y 在()00,x y 是( )

A 、连续且可微

B 、连续但不一定可微

C 、可微但不一定连续

D 、不一定可微也不一定连续 5. 22

(,)(2)x

f x y e x y y =++在点1,12??- ???

处取( ) A 、极大值2e -

B 、极小值2

e -