2020高考理科数学一模考试试题

xx 届高考数学一模考试试题(理科)

参考公式：

如果事件A B ，互斥，那幺

球的表面积公式24πS R = ()()()P A B P A P B +=+

其中R 表示球的半径

如果事件A B ，相互独立，那幺 球的体积公式3

4π3

V R =

()()()P A B P A P B =g g

其中R 表示球的半径

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那幺n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

()(1)k k

n k n n P k C P P -=-

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.

2

)

3(31i i +-= ( )

A.

i 4341+ B.i 4341-- C.i 2321+ D.i 2

321-- 2. 若),0(πθ∈，且25

24

2sin -=θ，则θθsin cos -=（ ） A ．

5

7

B ．5

7-

C ．5

1

D ．－5

1

3. 已知α、β是不同的两个平面，直线α?a ，直线β?b ，命题p ：a 与b

没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( ) A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件

4. 若n

x x ???? ?

?+13的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x 的整数次幂

的项共有

（ ） A ．2项 B ．3项

C ．5项

D ．6项

5. 函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线

10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n

+的最小值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

6. 等比数列{a n }的首项a 1=－1，前n 项和为S n ,若3231

510=S S ，则lim ∞

→n S n 等于 ( )

3

2

B. 32A.-

C 2

D －2

7. 从1，2，3，…，20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍数的概率为 ( )

A ．119

B ．338

C ．3295

D ．57190

8. 正三棱锥S —ABC 中，M 是SC 的中点，AM SB ?=0，若侧棱34=SA ，则此正

三棱锥S —ABC 外接球的表面积是 A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

9. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>，若它的一条准线与抛物线

24y x =的准线重合。设双曲线与抛物线的一个交点为P ,抛物线的焦点为F ，则||PF =

A .21

B .18

C .

D .4

10.已知函数在区间x x f ωsin 2)(=]3

,4[π

π-

上的最小值为－2，则ω的取值范围

是（ ）

A

．

?

?

?

???+∞??? ??-∞-,2329,Y B ．

[)+∞??? ?

?

-∞-,229,Y

C ．[)+∞??? ??-∞-,223,Y

D ．(]??

????+∞-∞-,232,Y 11. 已知f(x)= x x 33-,过点A(1,m)(m ≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则m 的取值范围是( )

A. (-1,1)

B. (-2,3) (C) (-1,-2) (D) (-3,-2) 12. 对于函

数

)]([)(,)],([)()],([)(1

1)(1232x f f x f x f f x f x f f x f x x x f n n ===+-=+ΛΛ，设

)2*,(≥∈n N n 且，令集合},)(|{22008R x x x f x M ∈==，则集合M 为（ ）

A ．空集

B ．实数集

C ．单元素集

D ．二元素集

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

13. 设函数34

log (1)

(4)()2

(4)

x x x f x x --+>?=?≤?的反函数为1()f x -，且11

()8

f -=a,

则(7)f a +=__________

14. 设x ，y 满足???

??≥+≥+-≤0,063y x y x x 则该不等式组表示的平面区域 ,则z=2x+y 的最大

值是_____________.

15. 两个三口之家，拟乘两艘小游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有__________.

16. 如图，矩形ABCD 中，DC=3，AD=1，在DC 上截取DE=1，

将△ADE 沿AE 翻折到D 1点，点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D 1-—AE —B 的平面角的余弦值是 .

三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.（本小题满分12分）已知)2

cos ,2sin 3(x

x a =,)2cos ,2(cos x x b -=,函数

b a x f ?=)(.

(1)求)(x f 的单调递增区间； (2)若)2

,0(π

∈x ，)(x f =61

-,求x cos 的值.

18.（本小题满分12分）某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2，0.5，0.5. (1)若有4位工人参加这次测试，求恰有2人通过测试的概率； (2) 求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数ξ的分布列及E ξ.

19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，C 1C=CB=CA=2，AC ⊥CB. D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点. （1）求B A 1与平面A 1C 1CA 所成角的大小；

(2)求二面角B —A 1D —A 的大小；

（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）已知函数f (x ) =ln x ,g (x ) =21

2

x a +，（a 为常数），

若直线l 与y =f (x ), y =g (x )的图象都相切，且l 与y = f (x )的图象相切的切点的横坐标为1.

（1）求直线l 的方程及a 的值；

(2) 当 –2 ≤m <4

1

时,求h(x)= f(x)—f '(x)[2g(x)- m +1]在[21,2]上的最大

值.

21.（本小题满分12分）已知F 1、F 2是椭圆122

22=+b

y a x 的两个焦点，O 为坐标

原点，点P 2

2

,

1(-）在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足02=+M F PM ；⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l : y =kx +m 与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B .

（1）求椭圆的标准方程； （2）当λ=?OB OA ，且满足

4

3

32≤≤λ时，求△AOB 面积S 的取值范围.

22.(本小题满分14分) 已知数列}{n a 满足).2,(22,1*11≥∈-+==-n N n n a a a n n （1） 求数列}{n a 的通项公式； （2） 设b n =

)

2()4)(2(111

21-----n n a a a K K (n∈N *

,n ≥2), b 11=, ①求证：b 1+b 2+……+b n < 3 ;

②设点M n (n,b n )((n∈N *,n>2)在这些点中是否存在两个不同的点同时

在函数

y =2

)

1(-x k

(k>0)的图象上,如果存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

参考答案

一、选择题 (1)B (2) B (3) B (4) B (5) C(6)B (7)C (8)C(9) D(10) C(11) D(12) A

二、填空题 (13)-2

(14) 15 (15) 48 (16) 32-

三、解答题 17.解：（１）

2

1

)6sin(21cos 21sin 232cos 2cos 2sin 3)(2--=--=-=?=πx x x x x x b a x f ……

4分 由3

223

22

26

2

2π

ππ

ππ

ππ

π

π+

≤≤-

+

≤-

≤-

k x k k x k 得 )(Z k ∈ 所以)(x f 的单调递增区间为]3

22,3

2[π

ππ

π+

-

k k )(Z k ∈ ………6分 （２）由)(x f =61-得：31)6sin(=-πx 3

66,20π

πππ<-<-∴<

∴,3

2

2)6

cos(=

-

π

x ………8分

∴-?-

=+

-

=6

cos

)6

cos(]6

)6

cos[(cos π

π

π

π

x x x 6

sin

)6

sin(π

π

?-

x

=

6

1

62213123322-=?-?…………12分 18.解：（1）每位工人通过测试的概率为5

42112115111=??? ??-??? ??-??? ??-- (2)

分

每位工人不能通过测试的概率为5

1

. …………4分

4位工人中恰有2人通过测试的概率为P = C 24

(22)51()54?=625

96

。…………6分

(2)ξ的取值为1、2、3.

()511=

=ξP , ()52

215112=???? ??-==ξP , ()5

2

2115113=??? ??-??? ??-==ξP .…………8分

故工人甲在这次上岗测试参加考试次数g 的分布列

…………10分

∴511

523522511=?+?+?=ξE .

…………12分

19. 解：（1）∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱 ∴CC 1⊥底面ABC ∴CC 1⊥BC ∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A 1C 1CA ………………2分

∴C BA 1∠为B A 1与平面A 1C 1CA 所成角2

2

arctan arctan 11==∠C A BC C BA ∴B A 1与平面A 1C 1CA 所成角为2

2

arctan

……………4分 （2）分别延长AC ，A 1D 交于G. 过C 作CM⊥A 1G 于M ，连结BM

∵BC⊥平

面ACC 1A 1

∴CM 为BM 在平面

A 1C 1CA 的内射影

∴BM⊥A 1G ∴∠CMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角……6分 平面A 1C 1CA 中，C 1C=CA=2，D 为C 1C 的中点 ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG 中，

ξ 1 2 3

P

51 52 52

5

5

2=

∴CM 5CMB tan =∠∴, 即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan …………………8分

（3）在线段AC 上存在一点F ，使得EF⊥平面A 1BD ………10分 其位置为AC 中点，证明如下：

∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱 ， ∴B 1C 1//BC

∵由（1）BC⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA

∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ，F 为AC 中点 ∴C 1F⊥A 1D ∴EF⊥A 1D ……11分

同理可证EF⊥BD , ∴EF⊥平面A 1BD …………12分 ∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面 ,点F 唯一 解法二：（1）同解法一……………………4分 （2）∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱住 C 1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点, 建立如图所示的坐标系得

C （0，0，0） B （2，0，0） A （0，2，0） C 1（0，0，2） B 1（2，0，2） A 1（0，2，2）

D （0，0，1）

E （1，0，2）………………6分

)2,2,2()1,0,2(1-=-=∴BA BD 设平面A 1BD 的法向量为n (1,,)=l m

r

???=μ-=λ?

??=μ+λ+-=μ+-?????=?=?∴2102220

20BA n 0n 1得即 n (1,1,2)\=-r ……………8分

平面ACC 1A 1的法向量为m r =（1，0，0）

1cos n,m 6<>==r r …9分

即二面角B —A 1D —A 的大小为6

6

arccos

……………10分 （3）在线段AC 上存在一点F ，设F （0，y ，0）使得EF⊥平面A 1BD

欲使EF⊥平面A 1BD 由（2）知，当且仅当n r

//…………11分

)2,y ,1(-=Θ 1=∴y … ……13分

∴存在唯一一点F （0，1，0）满足条件. 即点F 为AC 中点……12分

20. 解：（1）()x

x f 1

='，()11='∴f ，()11='∴f ，11=∴k 。

又切点为()0,1l ∴的方程为1-=x y 。……………2分

又l Θ与()x g 相切，由??

?

??+=-=a x y x y 2

211

得01212=++-a x x

()2

10121

41-=∴=-?

-=?a a …………………4分 (2) h(x)= f(x)—f '

(x)[2g(x)- m +1]= lnx +x

x m 2

- , …………………5分

2

222'41)21()(x m x x m x x x h -

+--=+--= 当–2 ≤m <

4

1

时，由0)('=x h

得121122x x ==， 显然12121111

1,2,[,2],[,2]2222x x x x -≤<<≤∴?∈，又2

21'))(()(x

x x x x x h ---= 当

21

2

x x ≤≤时，,0)('≥x h ，h(x)单调递增；（注意画草图，利用数形结合）

当22x x <≤时，,0)('≤x h ，h(x)单调递减 , ∴h(x)m ax =h(x 2)= -2

411ln

41m

m -++-. 当1

24

m -≤<

时， h(x)m ax = -2411ln 41m m -++-.………6分

21.解：（1）0

2=+M F PM Θ∴点M 是线段PF 2的中点 ∴OM 是△PF 1F 2

的中位线 ,

又OM ⊥F 1F 2 ∴PF 1⊥F 1F 2

1,1,21

211

122222222===?????

??+==+=∴c b a c

b a b a

c 解得

∴椭圆的标准方程为22

2

y x +=1………………5分 （2）∵圆O 与直线l 相切

11

1

||222+==+k m k m 即

由0224)21(:1

2

22222

=-+++??

???+==+m kmx x k y m kx y y x 消去

∵直线l 与椭圆交于两个不同点，002>?>?∴k , 设),(),,(2211y x B y x A ，

则

12

1

4321132211211)()

)((212

2,2142222

2

21212

22

2121221212

2212

21≤≤∴≤++≤∴=++=?+?=?+-=

+++?=++=?+-=?+-=+k k k k k y y x x k k m x x km x x k m kx m kx y y k m x x k km x x λ

1||2

1

??==?AB S S ABO

3

2

)2(,46)43(,]2,43[]2,4

3

[,142,24

3

,1

)(4)(221224)214(1214)(12

1

2424242

222

2

212212=

=∈+=≤≤+=+++=

+-?-+-?+?=?-+?+?=

S S u S u u u S u k k u k k k k k m k km k x x x x k 单调递增在关于则

设Θ

3

2

46≤≤∴

S …………………………12分 22.

(1) 解法一∵).2n ,N n (2n a 2a *1n n ≥∈-+=- ∴)1n a (2n a 1n n -+=+-………4分

∴数列{n a n +}是以首项a 1+1，公比为2的等比数列，即

n n n n a 2221=?=+-

)1(,2≥-=∴n n a n n ……………6分

解法二、)2(221≥-+=-n n a a n n Θ……………………① 121-+=+n a a n n …………………………② ②－①得12211+-=--+n n n n a a a a )1(2111+-=+-∴-+n n n n a a a a

}1{1+-∴-n n a a 为公比为2，首项为2的等比数列. …………4分 )2(,1211≥-=-∴--n a a n n n 递推迭加得

)1(,2≥-=∴n n a n n …………………………6分

(也可用数学归法证明：)1(,2≥-=∴n n a n

n ) (1) b n =

)2()4)(2(111

21-----n n a a a K K =)!

1n (1

- = )1n (3211-????ΛΛ≤2n 2

1

22211-=??ΛΛ(n ≥2)………8分

∴b 1+b 2+……+b n =1+

!

11Λ++!

21)2n (3)21(3211)21(1121212111)!1n (12n 1

n 2n 2≥<-=--+=+++++≤-+---K K , n=1

时,b 1=1<3 成立, 所以b 1+b 2+……+b n < 3 .………10分

(2) 假设有两个点A(p,b p ),B(q,b q )(p ≠q,p,q ∈Nx,且P>2,q>2),都在y =

2

)

1(-x k

上, 即b p =

2)1p (k

-, 2q )1p (k b -=, ∴,k )!1p ()1p (2=--,k )!1q ()1q (2=--

=--∴)!1p ()1p (2,)!1q ()1q (2

-- ……① ………12分

以

下

考

查

数

列

{}

n C ，

2

n n C n !

=

的增减情况，

222N n 1n (n 1)n 3n 1

C C n!(n 1)!(n 1)!

---+-=-=--- ，

当n>2时, n 2 －3n+1>0 ,所以对于数列{C n

}有C 2>C 3>C 4>……>C n >……,所以不

可能存在p,q 使①成立,因而不存在这样的两个点.……14分