九年级中考数学反比例函数解答题压轴题提高专题练习及答案解析

九年级中考数学反比例函数解答题压轴题提高专题练习及答案解析

一、反比例函数

1．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣

2），与y轴交于点C．

（1）m=________，k1=________；

（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；

（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．

【答案】（1）4；

（2）﹣8＜x＜0或x＞4

（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．

∴CO=2，AD=OD=4．

∴S梯形ODAC= ?OD= ×4=12，

∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，

∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，

即OD?DE=4，

∴DE=2．

∴点E的坐标为（4，2）．

又点E在直线OP上，

∴直线OP的解析式是y= x，

∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．

【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，

即反比例函数解析式为y2= ，

将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），

将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，

得：，

解得：，

∴一次函数解析式为y1= x+2，

故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），

∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，

故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；

【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．

2．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点

C．

（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．

（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．

（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．

【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，

∴y= ，

∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，

∴y2= =1，

∴B（3，1），

∵直线y=ax+b经过A、B两点，

∴解得，

∴直线为y=﹣x+4，

令y=0，则x=4，

∴P（4，O）

（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，

∴= ，= = ，

∵b=y1+1，AB=BP，

∴= ，

= = ，

∴B（，y1）

∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，

∴x1?y1= ? y1，

解得x1=2，

代入= ，解得y1=2，

∴A（2，2），B（4，1）

（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0

【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y

轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，

根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得

出x1?y1= ? y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．

3．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．

（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；

（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．

【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，

∴y= ．

OA= =5，

∵OA=OB，

∴OB=5，

∴点B的坐标为（0，﹣5），

把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：

解得：

∴y=2x﹣5．

（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，

∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），

∵MB=MC，

∴

解得：x=2.5，

∴点M的坐标为（2.5，0）．

【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .

4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，

）．

（1）求反比例函数的表达式和m的值；

（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．

【答案】（1）解：∵反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，），∴k=3× =2，

∴反比例函数的表达式为y= ．

又∵点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上，

∴2m=2，解得：m=1

（2）解：设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x，∵点D（1，2），

∴CD=1．

在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，

∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，

解得：x= ，

∴点G（0，）．

过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．

由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．

∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90°，

∴△GCD∽△DHF，

∴=2，

∴DF=2GD= ，

∴点F的坐标为（，0）．

设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，

∴有，解得：．

∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+

【解析】【分析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长

度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．

5．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.

（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；

（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？

【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4），

∵F为AB的中点，∴F（6，2），

又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12，

∴该函数的解析式为y= （x＞0）

（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），

∴，

=

=

=

= ，

∴当k=12时，S有最大值．S最大=3

【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．

6．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD

（1）求k的值和点E的坐标；

（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD，

∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，

∴AD= ，

又∵OA=3，

∴D（，3），

∵点D在双曲线y= 上，

∴k= ×3=4；

∵四边形OABC为矩形，

∴AB=OC=4，

∴点E的横坐标为4．

把x=4代入y= 中，得y=1，

∴E（4，1）；

（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．

∵∠APE=90°，

∴∠APO+∠EPC=90°，

又∵∠APO+∠OAP=90°，

∴∠EPC=∠OAP，

又∵∠AOP=∠PCE=90°，

∴△AOP∽△PCE，

∴，

∴，

解得：m=1或m=3，

∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．

【解析】【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．

7．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q 为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．

（1）点（2，1）的变换点坐标为________；

（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值；

（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M．判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．

【答案】（1）（1，﹣2）

（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），

代入y= 可得﹣a= ，解得a= ；

当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），

代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合题意；

综上可知a的值为；

（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b 得：，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣ x+3．

当x=y时，x=﹣ x+3，解得x=2．

点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），

点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），

当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，

当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，

即y= x﹣3，其中，x＜2．

所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．

如图所示：

由和得：x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②

讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：

①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；

②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；

③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；

④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；

⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；

⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．

【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，

∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2），

故答案为：（1，﹣2）；

【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．

8．如图，在菱形ABCD中，， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE.

（1）求DE的长；

（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ,

①求证：△△；

②求DF的长.

【答案】（1）解：连结BD