抛物线的几个常见结论及其用

抛物线的几个常见结论及其用

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抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一:若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦(过焦点的弦），

且11(,)A x y ，22(,)B x y ,则：2124

p x x =,212y y p =-。 例:已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点Ｆ, 求证：11AF BF +为定值。

结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线A Ｂ的倾斜角为α,则

22sin P

AB α=(α≠0)。（２)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴

的弦）最短。

例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦A Ｂ长为12,则直线ＡB

倾斜角为 。AB 倾斜角为3π或23

π。 结论三:两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

(２)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，

以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例:已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦,求证:（1)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过Ａ、Ｂ做准线的垂线，

垂足为M 、N,求证:以ＭＮ为直径的圆

与直线ＡＢ相切。

B

A M N Q P y x O F

结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>,过（2p ，0）的直线与之交于Ａ、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。

结论五:对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨

=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点,显然222OP pt k t pt ==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率.

例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点,OB 和OA 垂直，且线段AB 长为513,求P 的值.

解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，

，，, 则112A OA t k ==,12B OA OB

t k k ==-=-. A B ，的坐标分别为

(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，.2

28(4)2p AB p p p ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴5135132p ==.2p =∴． 练习:

1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点, 若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q +＝ 故114a p q +=】 ２.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ．

【证明:抛物线焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.设直线AB 的方程为2

p x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，， 则212y y p =-. BC x ∵∥轴,且点C 在准线12CO p k y =； 又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O .】

3.已知抛物线的焦点是(11)F ，,准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.

【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点,由抛物线的定义 得222

(1)(1)2x y x y ++-+-=．

整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程. 抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．

设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点,坐标是(00)，】

１.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程.

解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=.

设对称轴和准线的交点是M ,可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，.设焦点为F ,则FM 的中点是A ,故得焦点坐标为4255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，. 再设()P x y ，是抛物线上的任一点,根据抛物线的定义得222242555x y x y --⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简整理得22444120x y xy x y ++--=,即为所求抛物线的方程.

例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点,且OA OB ⊥,

求线段AB 中点的轨迹方程．