计算方法复习题

计算方法复习题

一、单项选择题

1. 已知等距节点的插值型求积公式

()()3

5

2

k

k

k f x dx A f x =≈∑⎰，那么3

k

k A

==∑（ ）

A ．1 B. 2 C. 3 D. 4

2．解非线性方程0)(=x f 的牛顿迭代法具有（ ）。

A. 线性收敛

B. 局部线性收敛

C. 平方收敛

D. 局部平方收敛 3

所确定的插值多项式的次数是（ ）。

A. 二次

B. 三次

C. 四次

D. 五次 4. 以下误差公式不正确的是（ ）

A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆

B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆

C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆

D ．1

122

()x x x x ∆≈∆-∆ 5．已知)2,1(-=T

X ，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=1 32 7A ，则=A 1( )。

A. 16

B. 26

C. 36

D. 46

6．对任意初始向量X )0(及右端向量g ，一般迭代过程g B X X +=+)()1(m m 收敛于方程组的精确解x *的充要条件是（ ）。

A. 11

B. 1<∞B

C. 1)(

D. 1

7. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，将方程表示为同解方程()x x ϕ=的，则()0f x = 的根是（ ）

A ．y x =与()y x ϕ=的交点

B ．y x =与与x 轴的交点的横坐标的交点的横坐标

C ．y x =与()y x ϕ=的交点的横坐标

D ．()y x ϕ=与x 轴的交点的横坐标 8.辛卜生公式的余项为（ ）

A ．()()3

2880

b a f η-''- B ．()()3

12

b a f η-''-

C ．()()()5

42880

b a f η--

D ．()()()4

52880

b a f η--

9.用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

进行的三角分解，则22

r ＝（ ） A ．1 B ．

1

2

C ．–1

D ．–2

二、填空题

1、乘幂法可求出实方阵A 的 特征值及其相应的特征向量.

2、欧拉法的绝对稳定实区间为 。

3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x 具有的有效数字是＿＿＿

4、消元法的步骤包括 .

5、对于n+1个节点的插值求积公式

至少具有＿＿＿次代数精度.

6、插值型求积公式

的求积系数之和

＿＿＿

7、 ,为使A 可分解为A=LL T

, 其中L 为对角线元素为正的下三角形，a 的取

值范围＿＿＿＿ 8、 若

则矩阵A 的谱半径

(A)= ＿＿＿

9、解常微分方程初值问题

的梯形格式

是＿＿＿阶方法

10.欧拉法的局部截断误差阶为＿＿＿。

三、判断正误

1．若7

3

()1,f x x x =++则017

2,2,,2f ⎡⎤⋅⋅⋅⎣⎦=0。

2．牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）数值求积公式∑⎰=-≈n

i i n i b

a x C f a

b dx x f 0

)()()()(，当n 为奇数时，

至少具有n 次代数精确度。

3．形如⎰∑=≈b

a n

i i i x f dx x f 1

)()(ω的高斯（Gauss ）求积公式具有最高代数精度12+n 次。

4．若A 是n 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使A ＝LU 成立。 5．对任意初始向量X )0(及右端向量g ，一般迭代过程g B X X +=+)()1(m m 收敛于方程组的精确解x *

的充要条件是1)(

6.区间［a ,b ］上的三次样条插值函数S （x ）在［a ,b ］上具有直到三阶的连续导数。 7．对于迭代过程)(1x x k k ϕ=+，如果迭代函数)(x ϕ在所求根x *的邻近有连续的二阶导数，且

1

)(0<'≠*x ϕ，则迭代过程为线性收敛。

8．区间［a ,b ］上的三次样条插值函数S （x ）在［a ,b ］上具有直到二阶的连续导数。 9．若A 是n 阶方阵，对足标i ＝1，2，…，n 均有∑≠=≥n

i j j ij ii a a 1，则解线性代数方程组b AX =的

高斯-赛德尔（G-S ）迭代法一定收敛。

10．为使两点的数值求积公式：)()()(11

10x x f f dx x f ⎰-+≈具有最高的代数精确度，则其求积节点应为3

3

,3321=

-

=x x 。

三、 计算题

1、 用列主元消去法解线性方程组

2、 已知函数2

1

1y x

=

+的一组数据：

求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值. 3、 已知y=f （x ）的数据如下 x

2 3 f （x ） 1 3

2

求二次插值多项式

及f （2.5） 4、用牛顿法导出计算

的公式，并计算

，要求迭代误差不超过

。

5、4n =时，用复化梯形与复化辛卜生公式分别计算积分

1

20

4

x

dx x +⎰

. 6、用改进平方根法求解方程组1233351035916591730x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

i x 0 1

2

i y 1 0.5 0.2