高考数学热点难点试题考纲解读专题专题 函数初等函数的图象与性质

【2015年高考考纲解读】1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一，题型主要以选择填空题为主,单纯的集合问题以解答题的形式出现的机率不大，多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系，解题时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合。

另外，集合新定义信息题是近几年命题的热点，注意此种类型。

2.2015年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖。

3.试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考查。

(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T ＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象和性质，分0<a <1和a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况． 5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.【高频考点】考点1、函数的性质及其应用【例1】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解． 【答案】(1)C (2)(－∞，2]【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．【变式探究】 (1)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. (2)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 【答案】(1)－12(2)－14【方法技巧】根据函数的奇偶性、单调性和周期性，把所求函数值转化为给定范围内的函数值，再利用所给范围内的函数解析式求出函数值．【变式探究】 (1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＝________.【答案】(1)(－1，＋∞)(2)337考点2、函数的图象及其应用【例2】(1)若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x －k )的图象是( )(2)(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)【命题意图】(1)本题主要考查函数的奇偶性，单调性的概念以及指数、对数函数的图象．(2)本题主要考查方程的根与函数的零点，意在考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解能力．【答案】(1)C (2)B【方法技巧】1．关于判断函数图象的解题思路 (1)确定定义域；(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；(3)观察特殊值．2．关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程f (x )＝g (x )解的个数可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )交点的个数；(2)不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))解集为函数y ＝f (x )位于y ＝g (x )图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围．【变式探究】设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f x －f －xx <0的解集为________．【答案】(－2,0)∪(0,2) 【解析】【变式探究】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x，x ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x的解的个数为________．【答案】3 【解析】方程f (x )＝x 解的个数即y ＝f (x )与y ＝x 图象的交点个数．由图知两图象有A ，B ，C 三个交点，故方程有3个解．【能力突破】函数性质的综合应用例1、(1)(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想．求解此题的关键是用“－x ”代替“x ”，得出f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.(2)本题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．【答案】(1)C (2)B【解析】(1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎡⎦⎤－66，66，故选B. 【方法技巧】函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．主要的解析：奇偶性主要转化方向是f (－x )与f (x )的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f (x )＝f (x ＋a )把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题．【变式探究】设函数f (x )＝lg ∑n －1i ＝1i x ＋n x a n ，其中a ∈R ，对于任意的正整数n (n ≥2)，如果不等式f (x )＞(x －1)lg n 在区间[1，＋∞)上有解，则实数a 的取值范围为______．【答案】⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立，所以a ＞⎝⎛⎭⎫3－n 2max，而3－n 2在[2，＋∞)上递减，所以当n ＝2时取得最大值12，故a ＞12.【特别提醒】关于不等式恒成立、有解问题，通常利用分离参数的方法将所求字母的取值范围转化为函数最值，再利用相关函数的单调性等性质求函数最值，要熟练掌握并且能够灵活应用这一解法．【变式探究】已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x a －12＋⎝⎛⎭⎫bx －12的定义域是[a ，b ]，其中0＜a ＜b . (1)求f (x )的最小值； (2)讨论f (x )的单调性． 【答案】(1).f (x )min ＝2⎝⎛⎭⎫b a －12. (2). f (x )在区间[a ，ab ]上单调递减，区间[ab ，b ]上单调递增.从而t ∈⎣⎡⎦⎤2b a ，1＋b a ，于是y ＝t 2－2t ＋2－2b a ＝(t －1)2＋1－2ba 在⎣⎡⎦⎤2b a ，1＋b a 上单调递增， 所以当t ＝2ba ，即x ＝ab 时，f (x )min ＝2⎝⎛⎭⎫ b a －12.且y ＝t 2－2t ＋2－2b a 是⎣⎡⎦⎤2 b a ，1＋b a 上单调递增函数，所以f (x )在区间[a ，ab ]上单调递减，区间[ab ，b ]上单调递增.【高考预测】1．已知f (x )＝ln(1＋x )的定义域为集合M ，g (x )＝2x ＋1的值域为集合N ，则M ∩N ＝________. 【答案】(1，＋∞)2．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为________． 【答案】(0,1]【解析】要使函数f (x )＝ln x ＋1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x ≥0，解得0＜x ≤1，即函数定义域是(0,1]．3．若log a12a －1＜1，则a 的取值范围是________． 【答案】(4，＋∞)【解析】由对数函数的真数大于0得12a －1＞0，解得a ＞1，所以log a 12a －1＜1等价于0＜12a －1＜a ，解得a ＞4.4．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围为________． 【答案】[1，＋∞)【解析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，所以u ＝ax －1在(1,2)单调递增，且恒大于0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －1≥0⇒a ≥1.5．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则a ，b ，c 由小到大的顺序为________． 【答案】c ＜b ＜a6．已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0＜a ＜1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则实数a ＋b 的值为________． 【答案】 2【解析】由函数f (x )＝log a 1－x b ＋x (0＜a ＜1)为奇函数，得b ＝1.令1－x 1＋x ＝t ，x ∈(－1，a ]，所以t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－a 1＋a ，＋∞.又0＜a ＜1，所以y ＝log a t ，t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－a 1＋a ，＋∞时单调递减，学优高考网则值域⎝⎛⎦⎥⎤－∞，log a1－a 1＋a ＝(－∞，1]，所以log a 1－a 1＋a ＝1，即1－a1＋a＝a ，解得a ＝2－1(舍负)，所以a ＋b ＝ 2.7．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫－2，238．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________． 【答案】①②④【解析】令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，说明函数f (x )在[0,2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2,0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2,4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确．9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 【答案】(1) y ＝－log a (1－x )(x <1)．(2) m 的取值范围是(－∞，0]【解析】 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝－log a (1－x )(x <1)．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．【答案】(1) F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1x ＞，－x 2－2x －x ＜(2) k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a ＋2－4a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，a －2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋1 x ＞，－x 2－2x －x ＜11．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) f (x )是奇函数, 增函数(2) 存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立． 【解析】 (1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．。