运筹学

运筹学第2章单纯形法 2.1 单纯形法的基本思想该方法简捷、规范，是举世公认的解决LP问，题行之有效单纯形法（Simplex Method）是美国著名运筹学家丹捷格（Dantzig）1947年首先提出的通用方法。

单纯形法不仅是解决LP问题的最基本的算法之一，而且成为解决整数规划和非线性规划某些算法的基础。

2、单纯形法的3种形式——方程组形式（代数形式）、表格形式、矩阵形式3、单纯形法的基本思路——基于LP问题的标准形，先设法找到某个基本可行解（称为初始基本可行解）；开始实施从这个基本可行解向另一个基本可行解的转换，要求这种转换不仅容易实现，而且能改善（至少保持）目标函数值；继续寻找更优的基本可行解，进一步改进目标函数值。

当某一个基本可行解不能再改善时，该解就是最优解。

（或者是出现无可行解、无最优解、无穷多最优解的情况）2.1.1 方程组形式的单纯形法例1 一个企业需要同一种原材料生产甲、乙两种产品，它们的单位产品所需要的原材料的数量及所耗费的加工时间各不相同，获得的利润也不相同（如下表）。

请问，该企业应如何安排生产计划，才能使获得的利润达到最大？解：该问题的LP模型为：将该问题的LP模型化为标准形⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=,1202410032..4621212121xxxxxxt sxxzm ax函数约束的增广矩阵为：很显然 R （A ） = R （A ，b ）= 2 < 5，即该方程组有无穷多组解。

系数矩阵为：决策变量向量为：选取 为基，则 为基变量， 为非基变量令非基变量 ，则可以得到一基本 可行解为： 下面的计算都是以它为初始点逐次实施转换，故将其称为初始基本可行解。

此时，Z=0，其经济含义为：该企业没 有安排甲、乙两种产品的生产，当然也就没有利润可言。

条典☐ 初始基本可行解所对应的可行基是一个m 阶的单位阵； ☐ 目标函数表达式中所有的基变量的系数全部为0。

☐ 这是单纯形法所必需的！！！ ☐ 分析目标函数表达式☐ 非基变量的系数都是正数，若将它们转换为基变量，目标函数值则就会可能增加。

☐ 经济含义：每分别多生产一个单位产品甲、乙，目标函数值分别增加6、4，即利润分别增加600元、 400元。

☐ 增加的单位产品对目标函数的贡献值，这就是检验数的概念。

☐ 只要目标函数表达式中还存在正检验数，就需要把它所对应的非基变量变为基变量！单纯形法一次只能把一个非基变量变为基变量⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++=0,,,1202410032 ..46 432142132121x x x x x x x x x x t s xx z m ax ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12010241000132b A,()432110240132αααα=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ()T xx x x X 4321,,,=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==100143ααB 43,x x 21,x x 021==x x ()T X 120 ,100 ,0 ,00=43210046 xx x x z max +++=43210046 xx x x z max +++=☐ 选择先将哪个非基变量变为基变量？☐ 增加单位产品甲比增加单位产品乙对目标函数值的贡献大。

（检验数大）☐ 一般选择正系数最大所对应的那个非基变量作为换入变量，将它换入到基变量中 去，与此同时还要确定基变量中有一个要换出来变为非基变量！☐ 增加单位产品甲比乙对目标函数的贡献值大（600>400），故先把非 基变量 变成基变量，称为让 进基，同时称 为进基变量。

最大检验数规则若记检验数为 ，其中包括 基变量的检验数（它们全部为0），最大检验数规 则的数学表达式为：对于本例，则有 故选择让 进基。

☐ 当确定一个非基变量进基后，相应的就要从基变量中换出某一个基变量，使 其变为非基变量，称为让该变量离基，同时称其为离基变量。

如何选择离基变量呢?仍为非基变量即当且仅当 时，原基变量中才有一个变量等于0，即 ，故选择 离基。

因此可以确定：这样既确定了离基变量，同时又保证另外的基变量 ，也即保证了下面转换得到的解仍然是一个基本可行解。

记得：满足条典！！！☐ 为了求得以 为基变量的一个新的基本可行解，又为使其满足条典，以便检验它是否最优，必须对方程组进行一番初等变换，其主要目的是让进基变量 的系数列向量变为单位向量。

☐ 在这里，我们把上式中的最小比值120/4的分母4称为主元。

主元所在方程为主方程。

换基运算：1x 1x 1x ()n jj ,,2,1 =σ{}kj j max σσσ 0=>{}()164,6σ== max 1x2x 02=x ⎩⎨⎧≥-=≥-=04120021001413x x x x 3041204120,21001==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤ min x 301=x 04=x 4x 3041204120,21001==⎭⎬⎫⎩⎨⎧= min x 03≥x 31,x x 1x得到：令新的非基变量 ,得到新的基本可行解:☐ 经济含义——只安排生产甲产品30个单位，此时可获得利润180百元。

☐ 这个方案比前方案优，但是否已经是最优？ ☐ 分析：☐ 非基变量 的系数仍为正数，由最大检验数规则，则确定 为进基变量。

再按最小比值规则，确定 为离基变量。

☐ 主方程中所含的基变量就是离基变量。

最小比值规则☐ 当确定进基变量后，以进基变量的系数列向量中的正数为分母，以相应的方程右端常数为分子求最小比值，所得到的最小比值的分母就是主元。

主元所在的方程中的基变量就是离基变量。

即：☐ 令新的非基变量 ,得到新的基本可行解:☐ 经济含义——分别生产甲、乙产品20个，此时可获得利润200百元。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+3041 2140212 421432x x x x x x 422422123180 ******** 46x x x x x x x z -+=+⎪⎭⎫⎝⎛--=+=042==x x ()180 0,40,0,301==Z X T 4223180x x z -+=2x 2x 3x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+208341 204121 431432x x x x x x 434434245212002341212018023180xx xx x xx z --=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+=lklik ik i a b a b min =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>0α043==x x ()200 0,0,20,202==Z X T☐ 分析☐ 目标函数中的非基变量的系数无正数，即所有检验数小于或等于0☐ 则有——是最优解 是最优值 2.1.2 单纯形法的几何意义☐ 性质：LP 问题的一个基本可行解与可行域的一个极点互相对应。

☐ 对应O （0，0）点☐ 对应C （30，0）点☐ 对应B （20，20）点 例2 用单纯形法的方程组形式求解下列LP 问题将其化为标准形得：则该函数约束等式方程组有无穷多组解。

☐ 取为基矩阵☐ ☐ 基变量为：☐ 非基变量为： ☐ 令非基变量： ☐ 容易得到初始基本可行解为： 434521200x x z --=()T X 0,0,20,20*=200*=z ()T X 120,100,0,00=()T X 0,40,0,301=()T X 0,0,20,202=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,364312 2 8 ..53 21212121x x x x x x t s x x z m ax ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=0,,,,364312 2 8 ..00053 54321521423154321x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z m ax ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=36100431201020800101,b A ()()53,<==b A R A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001B 543,,xx x 21,x x 021==x x ()36,12,8,0,00==0T z X为进基变量2是主元，其所在方程为主方程，且 为离基变量。

☐ 此时基变量为：☐ 非基变量为：☐ 得到另一基本可行解为： 迭代结果此时得到的基本可行解也就是最优解。

即： 几何意义2.2 单纯形法的计算过程2.2.1 单纯形表☐ 方程组形式的单纯形法求解LP 问题使用起来很不方便，为便于单纯形法的计算、判断和检验，人们设计了若干种形式不同的迭代表格，但其基本思想都是一致的。

下面的一种表格就是为了用更简洁、紧凑的方式描述方程组形式单纯形法的计算步骤，兼有增广矩阵的简明性和便于检验的优点而专门设计的，使用较为广泛，一般称为单纯形表。

初始单纯形表的一般形式{}()255,3σ==max ⎪⎩⎪⎨⎧≥-=≥-=≥=043602120825243x x x x x 212436,2122=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤min x 4x 4x 523,,x x x 41,xx ()30 12,0,8,6,01==1Tz X ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+122 36 21 85414231x x x x x x x 414121253302125353x x x x x x z -+=-⋅+=+=01,02154≤-=≤-=σσ ()420,0,4,6,4**==z X T ∑∑==+++++++-----------mi ini n m i m i i m m mn m m m m m n m n m n m mB B i n m m j a c c a c c a a b x c a a b x c a a b x c x x x x b XC c c c c c 111,11,221,2222111,1111111100100001检验行θθθθ• CB 列中填入基变量的价值系数，这里是c1,c2,…,cm ；它们是与基变量相对应的； • b 列中填入初始约束方程组右端的常数；• XB 列中填入基变量，这里是x1，x2,…，xm ； • cj 行中填入所有变量的价值系数c1,c2,…,cn ；• θi 列的数字在确定进基变量后，按θ规则计算后填入； • 最后一行称为检验数行，对应所有变量xj 的检验数是:2.2.2 单纯形法的计算步骤：1）把LP 问题化为标准形式；（2）在系数矩阵中找出或构造出一个m 阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表； （3）计算各非基变量 的检验数，检查检验数，若所有检验数则表示已得到最优解，可停止 计算。

否则转入下一步。

(4) 在所有 中，只要有一个 所对应 的系数列向量 ， 即一切 ，则该LP 问题无 界解（即无最优解），停止计算。

否则，转入下一步。

(5) 根据最大检验数规则确定 为进基变量，再按最小比值规则确定主元，同时也确定了主元所在行的基变量为离基变量。