2024届广西省南宁市达标名校数学高三第一学期期末经典模拟试题含解析
2024年广西桂林、贺州、崇左三市数学高三上期末综合测试模拟试题含解析
2024年广西桂林、贺州、崇左三市数学高三上期末综合测试模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知(1)nx展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)nnnxaaxaxax，
若12242naaa，则012(1)nnaaaa的值为( ) A．1 B．－1 C．8l D．－81 2．中，如果，则的形状是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．设集合2Axxa，0,2,4B，若集合AB中有且仅有2个元素，则实数a的取值范围为 A．0,2 B．2,4 C．4, D．,0 4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A．53 B．2 C．52 D．3 5．已知集合15{|},|2MxxNxx，则MN（ ） A．{|12}xx B．|25xx C．{|15}xx D．|02xx 6．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）
广西南宁市(新版)2024高考数学部编版真题(押题卷)完整试卷
广西南宁市（新版）2024高考数学部编版真题(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若满足约束条件，则的最大值为（）A．10B．8C．6D．2第(2)题若，则（）A．100B．110C．120D．130第(3)题已知集合，，那么等于（）A．B．C．D．第(4)题已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（）A．B．C．D．第(5)题已知复数，则（）A．B．C．D．3第(6)题若复数z满足，则的虚部为（）A．－2B．－1C．1D．2第(7)题已知，函数，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（）A．B．存在点，使得直线与所成的角是C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．第(2)题已知函数（）的初相为，且函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（）A ．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D ．若函数在区间上的值域为，则第(3)题如图，在四边形中，和是全等三角形，，，，.下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥.折法①：将沿着AC折起，形成三棱锥，如图1；折法②；将沿着BD折起，形成三棱锥，如图2.下列说法正确的是（）A．按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为B．按照折法①，存在满足C．按照折法②，三棱锥体积的最大值为D．按照折法②，存在满足平面，且此时与平面所成线面角正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数()（其中是自然对数的底数）的图像上存在点与的图像上的点关于轴对称，则实数的取值范围是____第(2)题盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.第(3)题设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且与平面垂直，，.(1)证明：平面；(2)棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.第(2)题射击比赛是群众喜闻乐见的运动形式之一，甲、乙两名射击运动员在某次比赛中各射击6次得到的环数如下表所示：甲9106968乙510107106(1)分别求出甲、乙运动员6次射击打出的环数的平均数；(2)分别求出甲、乙运动员这6次射击数据的方差，并根据计算结果说明本次比赛哪位运动员的发挥更稳定．第(3)题某工厂生产一种单价为10元的产品，每天可卖出150件．如果单价每增加1元，则每日少卖出5件．不考虑其它因素时，该产品的单价应提高多少元，工厂的日收入最高？最高日收入是多少元？第(4)题已知函数(1)求函数的极值；(2)设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．第(5)题直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4(1)求证：；(2)若四棱柱体积为36，求二面角的大小.。
广西南宁市2024届高三3月第一次适应性测试数学试题含答案解析
南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试数学注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，若()12122,i 2z z z z +=-=，（i 为虚数单位），则1z =（）A.1i+ B.1i-- C.1i-+ D.1i-2.已知集合{}{}1,,1,1A xax a R B ==∈=-∣，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（）A.{}1- B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-3.已知数列{}n a 的首项1a a =（其中1a ≠且0a ≠），当2n ≥时，111n n a a -=-，则2024a =（）A.aB.11a- C.11a-D.无法确定4.()6312xx ⎛-- ⎝展开式中的常数项为（）A.60B.4C.4- D.64-5.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,AO AB AC OA AC =+= ，则向量CA 在向量CB上的投影向量为（）A.14CBB.34CB C.14CB-D.12CA6.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线与双曲线E 的一条渐近线交于点P ，与其左支交于点Q ，且点P 与点Q 不在同一象限，直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点在双曲线E 上，若2PQ PF =-，则文曲线E 的离心率为（）A.B.2C.73D.37.在边长为4的菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒．将菱形沿对角线AC 折叠成大小为30︒的二面角B ACD '--．若点E 为B C '的中点，F 为三棱锥B ACD '-表面上的动点，且总满足AC EF ⊥，则点F轨迹的长度为（）A.4622+- B.4622++ C.4+ D.4+8.已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（）A.()01f = B.()f x 是偶函数C.()f x 是增函数D.()f x 是周期函数二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12B.若样本数据121021,21,,21x x x +++ 的方差为8，则数据1210,,,x x x 的方差为2C.已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D.在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≤时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ>时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，当15t =时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()sin (0,0,π)H t A t b A ωϕωϕ=++>><，下列说法中正确的是（）A.H 关于t 的函数()H t 是偶函数B.若在()1212,t t t t ≠时刻，游客甲距离地面的高度相等，则12t t +的最小值为30C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D.若甲、乙两游客分别坐在,P Q 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ 的弧长50π3l =米11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与C 交于P 、Q 两点，2l 与C 交于M 、N 两点，PQ 的中点为,G MN 的中点为H ，则（）A.当2PF QF =时，36MN =B.PQ MN +的最小值为18C.直线GH 过定点()4,0 D.FGH 的面积的最小值为4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.13.已知()π170π,cos ,sin 239αββαβ<<<<=-+=，则tan α=______．14.已知函数()()21e xf x x ax =-+的最小值为1-，则实数a 的取值范围为______.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；（2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X 表示这3个球的得分之和，求X 的分布列及数学期望.16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是棱长为2的菱形，对角线AC 与BD 交于点1111,60,,O BAD A AB A AD AA A AC ∠=︒∠=∠=∠为锐角，且四棱锥11A BCC B -的体积为2.（1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）求直线1AD 与平面11BDD B 所成角的正弦值.17.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==．（1）若直线l 与函数()f x 和()g x 均相切，试讨论直线l 的条数；（2）设11,0,1a b f g a b ⎛⎫⎛⎫>+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求证：a b ab +>．18.已知点()2,0F 和圆22:(2)36,C x y M ++=为圆C 上的一动点，线段MF 的垂直平分线与线段MC 相交于点S ，记点S 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）已知点()0,1N ，若曲线E 与x 轴的左、右交点分别为A B 、，过点()1,0T 的直线l 与曲线E 交于P Q 、两点，直线AP BQ 、相交于点D ，问：是否存在一点D ，使得DM DN +取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．19.若无穷数列{}n a 满足()110,n n a a a f n +=-=，则称数列{}n a 为β数列，若β数列{}n a 同时满足12n n a -≤，则称数列{}n a 为γ数列．（1）若数列{}n a 为β数列，()1,f n n *=∈N ，证明：当2025n ≤时，数列{}n a 为递增数列的充要条件是20252024a =；（2）若数列{}n b 为γ数列，()f n n =，记2n n c b =，且对任意的n *∈N ，都有1n n c c +<，求数列{}n c 的通项公式．南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试数学注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，若()12122,i 2z z z z +=-=，（i 为虚数单位），则1z =（）A.1i +B.1i-- C.1i-+ D.1i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】由()12i 2z z -=可得1222i iz z ==--，结合122,z z +=故1z =1i -，故选：D2.已知集合{}{}1,,1,1A xax a R B ==∈=-∣，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（）A.{}1- B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】根据子集的概念求得参数a 的值可得．【详解】0a =时，A =∅满足题意，0a ≠时，1ax =得1x a =，所以11a=或11a =-，1a =或1a =-，所求集合为{1,0,1}-．故选：D ．3.已知数列{}n a 的首项1a a =（其中1a ≠且0a ≠），当2n ≥时，111n n a a -=-，则2024a =（）A.aB.11a- C.11a-D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】逐项计算得出数列的周期进而可得.【详解】1a a =，211a a=-，311111a a a a -==--，4111a aa a==--，故数列{}n a 的周期为3.故202436742211a a a a⨯+===-.故选：B4.()6312xx ⎛-- ⎝展开式中的常数项为（）A.60 B.4C.4- D.64-【答案】C 【解析】【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】二项式6(2x -的展开式的通项公式为()3626216,0,1,2,3,,1C 45,26r r r r r T x r --+=-⋅⋅=，令3602r -=，求得4r =，令3632r-=-，求得6r =，由于()663631222x x x x x ⎛⎛⎛--- ⎝⎝⎝=-，故其展开式中的常数项为()()644266661606441C 2C 2--=-⋅-=-⋅故选：C5.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,AO AB AC OA AC =+= ，则向量CA 在向量CB上的投影向量为（）A.14CBB.4CB C.14CB-D.12CA【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到OB OC =-，得到点O 为线段BC 的中点，得出ABC 为直角三角形，且AOC为等边三角形，进而求得向量CA 在向量CB上的投影向量.【详解】由2AO AB AC =+，可得)(()0AB AO AC AO OB OC --=+=+ ，所以OB OC =-，即点O 为线段BC 的中点，又因为ABC 的外接圆圆心为O ，所以ABC 为直角三角形，所以12OA BC= 因为OA AC =，可得OA AC OC == ，所以AOC 为等边三角形，故点A 作AD BC ⊥，可得1cos 2CD AC ACB AC =∠=，所以14CD CB =，因为向量CA 在向量CB 同向，所以向量CA 在向量CB 上的投影向量为14CB.故选；A.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线与双曲线E 的一条渐近线交于点P ，与其左支交于点Q ，且点P 与点Q 不在同一象限，直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点在双曲线E 上，若2PQ PF =-，则文曲线E 的离心率为（）A.B.2C.73D.3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可判断四边形Q F QF ''为平行四边形，即可利用相似求解.【详解】设F '为双曲线的左焦点，由于直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点Q '在双曲线E 上，所以Q '与Q 关于坐标原点对称,又O 是F F '的中点，故四边形Q F QF ''为平行四边形，故//,,F Q QF F Q QF ''''=故F Q A PFA '' ，3F Q F A c a QFPF FA c a PF'''+===-=，故2,2c a e =∴=，故选：B7.在边长为4的菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒．将菱形沿对角线AC 折叠成大小为30︒的二面角B ACD '--．若点E 为B C '的中点，F 为三棱锥B ACD '-表面上的动点，且总满足AC EF ⊥，则点F轨迹的长度为（）A.42+- B.42++ C.4+ D.4+【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求B D '=，进而利用线面垂直可判断点F 轨迹为EPQ △，求解周长即可．【详解】连接AC 、BD ，交于点O ，连接OB '，ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，所以AC BD ⊥，OB AC '⊥，OD AC ⊥，所以B OD '∠为二面角B AC D '--的平面角，于是30B OD '∠=︒，又因为122OB OD AB '===，所以B D '=，取OC 中点P ，取CD 中点Q ，连接EP 、EQ 、PQ ，所以//PQ OD 、//EP OB '，所以AC EP ⊥、AC PQ ⊥，EP ，EQ 相交，所以AC ⊥平面EPQ ，所以在三棱锥B ACD '-表面上，满足AC EF ⊥的点F 轨迹为EPQ △，因为12EP OB '=，12PQ OD =，12EQ B D '=，所以EPQ △的周长为)14622222+⨯-++=，所以点F 轨迹的长度为42+-．故选：A ．8.已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.()f x 是增函数D.()f x 是周期函数【答案】C 【解析】【分析】对A ，令0x y -=求解即可；对B ，令0x =化简可得()()0f y f y -+=即可；对C ，设210x x >>，结合题意判断()()22210fx f x ->判断即可；对D ，根据()f x 是增函数判断即可.【详解】对A ，令0x y -=，则()()()222000f f f =-，得()00f =，故A 错误；对B ，令0x =，得()()()()220f y f y f f y -=-，由()00f =整理可得()()()0f y f y f y ⎡⎤-+=⎣⎦，将y 变换为y -，则()()()0f y f y f y ⎡⎤-+-=⎣⎦，故()()20f y f y ⎡⎤+-=⎣⎦，故()()0f y f y -+=，故()f x 是奇函数，故B 错误；对C ，设210x x >>，则()()210,0f x f x >>，且()()()()()()()()22212121fx f x f x f x f x f x -=+-()()21210f x x f x x =+->，故()()22210f x f x ->，则()()21f x f x >.又()00f =，()f x 是奇函数，故()f x 是增函数，故C 正确；对D ，由()f x 是增函数可得()f x 不是周期函数，故D 错误.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12B.若样本数据121021,21,,21x x x +++ 的方差为8，则数据1210,,,x x x 的方差为2C.已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D.在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≤时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ>时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立【答案】BC 【解析】【分析】对A ，根据百分位数的定义求解即可；对B ，根据方差的公式推导数据1210,,,x x x ⋯的方差与121021,21,,21x x x ++⋯⋯+的方差关系求解即可；对C ，根据正态分布的对称性推导即可；对D ，由独立性检验的性质判断即可.【详解】对A ，由于10,11,11,12,13,14,16,18,20,22共10个数据，且100.44⨯=，故第40百分位数为第4，5个数据的平均数为121312.52+=，故A 错误；对B ，设数据1210,,,x x x ⋯的平均数为121010x x x x +++= ，方差为()()()22221210110s x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，则数据121021,21,,21x x x ++⋯⋯+的平均数为()()()()12101210'212121210211010x x x x x x x x ++++++++++===+ ，方差为()()()2222''11210121212110s x x xxx x⎡⎤=+-++-+++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()22222212101210142222221010x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-+-++-⎣⎦⎣⎦ 248s ==，所以22s =，故B 正确；对C ，()()261P X P X ≥-+≥=则()()()6122P X P X P X ≥=-≥-=≤-，即()()62P X P X ≥=≤-，由正态分布()2,N μσ的性质可得6222μ-==，故C 正确；对D ，在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≥时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ<时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立.故D 错误.故选：BC10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，当15t =时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()sin (0,0,π)H t A t b A ωϕωϕ=++>><，下列说法中正确的是（）A.H 关于t 的函数()H t 是偶函数B.若在()1212,t t t t ≠时刻，游客甲距离地面的高度相等，则12t t +的最小值为30C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D.若甲、乙两游客分别坐在,P Q 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ 的弧长50π3l =米【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B ，根据()()12H t H t =代入解析式可得12ππ2π1515t k t =+，或12ππ2π1515t k t =-，进而可判断；对C ，求解ππ50sin 6085152t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭即可；对D ，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为π18，进而可得劣弧PQ 的弧长.【详解】对A ，由题意，5,,,2ππ50110506030301A b T ω==-====，所以()π50sin 6015H t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，当0=t 时，可得sin 1ϕ=-，所以π2ϕ=-，故()()ππ50sin 60,0152H t t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，所以()H t 是非奇非偶函数，故A 错误；对B ，由题意()()12H t H t =，即12ππππ50sin 6050sin 60152152t t ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12ππcoscos 1515t t =，所以12ππ2π1515t k t =+，或12ππ2π1515t k t =-，()1212,,0,0k t t t t ∈≠≥≥N ，即1230t t k =+或1230t t k +=，()12min 30t t +=，故B 正确；对C ，由题意ππ50sin 6085152t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即ππ1sin 1522t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即π1cos 152t ≤-，所以2ππ4π2π2π3153k t k +≤≤+，()N k ∈，解得()30103020,N k t k k +≤≤+∈.所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C 正确；对D ，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为2ππ=3618，因为,P Q 两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧PQ 对应的圆心角是ππ×6183=，故π50π5033l =⨯=（m ）.故D 正确.故选：BCD11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与C 交于P 、Q 两点，2l 与C 交于M 、N 两点，PQ 的中点为,G MN 的中点为H ，则（）A.当2PF QF =时，36MN =B.PQ MN +的最小值为18C.直线GH 过定点()4,0D.FGH 的面积的最小值为4【答案】AD 【解析】【分析】设直线1l 和2l 的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本不等式判断AB ，利用两点求出直线方程，求解直线恒过定点判断C ，将面积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最值判断D .【详解】对于A ，由题意得()1,0F ，设直线1l 方程为1x my =+，则2l 方程为11x y m=-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线1l 方程与抛物线方程214x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=.则12Δ0,4y y m >+=，124y y =-，同理344y y m+=-，344y y =-，又2PF QF =，所以122y y =-，所以218m =，所以()3434214222436MN x x y y m m =++=-+++=+=，故A 正确；对于B ，由A 知，()34342142224MN x x y y m m =++=-+++=+，()2121222244PQ x x m x x m =++=+++=+，所以22224444448816PQ MN m m m m +=+++=++≥=，当且仅当2244=m m，即1m =±时，等号成立.故B 错误；对于C ，由A 知，()222221,2,1,G m m H m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，所以直线GH ：()2222222122m m y m x m m m+-=---，令0y =得3x =，所以直线GH 恒过定点()3,0，故C 错误；对于D ，由C 知直线GH 恒过定点()3,0，所以1222242FGH G H G H S FA y y y y m m m m=⋅-=-=+=+≥ ，当且仅当1m =±时，等号成立.故D 正确；故选：AD【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.【答案】2:3.【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .∴222226S R R R R πππ=⋅+⋅=圆柱，24S R π=球，∴22:4:62:3S S R R ππ==球圆柱.故答案为:2:3.【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.13.已知()π170π,cos ,sin 239αββαβ<<<<=-+=，则tan α=______．【答案】24【解析】【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得sin α，进而可得tan α.【详解】由题意，22sin 3β==，且π3π22αβ<+<，故()cos 9αβ+==-.故()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=+-=+-+714222193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故cos 3α==，123tan 4223α==.故答案为：2414.已知函数()()21e x f x x ax =-+的最小值为1-，则实数a 的取值范围为______.【答案】[)0,∞+【解析】【分析】求出导函数，根据a 的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.【详解】因为()()21e xf x x ax =-+，所以()()e 2e 2xxf x x ax x a ='=++，若0a ≥，则(),0x ∞∈-时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递减，()0,x ∞∈+时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当0x =时，()f x 有最小值()01f =-，满足题意；若a<0，则当x 无限趋近于负无穷大时，()f x 无限趋向于负无穷大，()f x 没有最小值，不符合题意；综上，0a ≥，所以实数a 的取值范围为[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；（2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X 表示这3个球的得分之和，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）917（2）分布列见解析，数学期望是225【解析】【分析】（1）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可；（2）由题设X 的可能值为3，4，5，6，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望.【小问1详解】记“摸出球的结果是一红一白”为事件A ，“选择1号盒子”为事件1B ，“选择2号盒子”为事件2B ，则()()1212P B P B ==，()1132125C C 3C 5P A B ==，()11462210C C 8C 15P A B ==，由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为()()()()()()()()()111112121|921117||22P B A P B A P B A P B A P A P B A P B A P B A P B A ===++.【小问2详解】由题意，X 的可能值为3，4，5，6.()26210C 2215235C 54515P X ==⨯=⨯=，()112466221010C C C 232243153145C 5C 54554575P X ==⨯+⨯=⨯+⨯=，()112464221010C C C 23263242855C 5C 54554575P X ==⨯+⨯=+=，()24210C 336265C 54525P X ==⨯=⨯=.所以X 的分布列为X3456P21531752875225所以()3093841899022=3+4+5+6==2252252252252255E X ⨯⨯⨯⨯.16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是棱长为2的菱形，对角线AC 与BD 交于点1111,60,,O BAD A AB A AD AA A AC ∠=︒∠=∠=∠为锐角，且四棱锥11A BCC B -的体积为2.（1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）求直线1AD 与平面11BDD B 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）68【解析】【分析】（1）先利用体积分割及等体积法求得四棱柱1111ABCD A B C D -3，过点1A 作平面ABCD 的垂线，垂足为O '，利用三角形全等证明点O '与O 重合，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.【小问1详解】设四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，因为四边形11BCC B 是平行四边形，所以111BB C B C C S S = ，所以111A BB C A B C C V V --=，所以111111122A BCC B A BB C A B C C A BB C B ABC V V V V V -----=+==，所以1223ABC S h ⨯⨯⨯= ，且122sin12032ABC S =⨯⨯⨯= ，所以3h =1111ABCD A B C D -3因为ABD △为正三角形，所以332AO AB ==因为11,A AB A AD AB AD ∠∠==，所以11A AB A AD ≅ ，于是11A B A D =，过点1A 作平面ABCD 的垂线，垂足为O '，所以11A O B A O D ≅'' ，所以O B O D ''=，从而AO B AO D ≅'' ，故BAO DAO ∠∠''=，所以点O '在对角线AC 上.因为116,3AA A O ='=，所以12AO AC ='=，故点O '为对角线AC 与BD 的交点，即点O '与O 重合，所以1A O ⊥平面ABCD.【小问2详解】因为底面ABCD 是棱长为2的菱形，所以AC BD ⊥，因为1A O ⊥平面ABCD ，OA ⊂平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，所以1A O OA ⊥，1A O OB ⊥，即1,,OA OB OA 两两垂直，以O 为坐标原点，以1,,OA OB OA 方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()(1,0,1,0,0,1,0,0,0,AB D A -，由11A D AD =得(1D -，由11A B AB =得(1B，所以(11,AD =-- ，设平面11BDD B 的一个法向量为(),,n x y z =，()(1110,2,0,2,B D BD =-=- ，所以1112020n B D y n BD y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，所以()1,0,1n = ，设直线1AD 与平面11BDD B 所成的角为θ，所以111sin cos ,8AD n AD n AD nθ⋅====，所以直线1AD 与平面11BDD B 所成角的正弦值为68.17.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==．（1）若直线l 与函数()f x 和()g x 均相切，试讨论直线l 的条数；（2）设11,0,1a b f g a b ⎛⎫⎛⎫>+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求证：a b ab +>．【答案】（1）2条（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分别求解()f x 和()g x 的切线方程，进而可得()112121e 1e ln 1x x xx x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，构造函数()()1e 1,x h x x x =++-求导确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理判断根的个数即可求解，（2）通过换元以及指对互化，构造函数()()ln 1e ,tq t t =-+求导判断函数的单调性，即可求证.【小问1详解】设直线l 与函数()f x 和()g x 分别相切于()()1122,e,,ln x A x B x x ，由()()1e ,xf xg x x''==可得121e x x =，直线l 方程为()111e exx y x x -=-以及()2221ln y x x x x -=-，故()112121e 1e ln 1x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，进而()1111e 10x x x ++=-，令()()()1e 1,e 1xxh x x x h x x '=+++-=-，记()()()e 1,1e xxt x x t x x '=-++=-，当()()()1,0,x t x t x h x ''>-<=单调递减，()()()1,0,x t x t x h x ''<->=单调递增，又()()0,0,11e 0x t x t <>-<=，故存在唯一的()()000,1,0x t x ∈=，故当()()()()0,,0,x x t x h x h x '∈-∞>=单调递增，当()()()()0,,0,x x t x h x h x '∈∞<+=单调递减，()()()0max 020h x h x h =>=>，又()()2223e 0,213e0h h -=-<-=-+<，因此()h x 存在两个零点，故直线l 的条数为2条.【小问2详解】令11,,m n a b==则0,0m n >>，由()()1111e ln 1m f g f m g n n a b ⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于e 1,m >故ln 0n <，令ln 0t n =<，则e ,e 1t m n t ==-，故()ln 1m t =-，故()ln 1e ,0tm n t t +=-+<记()()()()11e 1ln 1e ,e 11ttt t q t t q t t t +--'=-++--==，记()()()11e ,e 0ttp t t p t t '=+-=<，所以()p t 在(),0∞-单调递减，故()(0)0p t p >=，故()()11e 01tt q t t +-'<-=，()q t 在(),0∞-单调递减，故()()01q t q >=，所以1,m n +>即111a b>+，a b ab +>【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18.已知点()2,0F 和圆22:(2)36,C x y M ++=为圆C 上的一动点，线段MF 的垂直平分线与线段MC 相交于点S ，记点S 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）已知点()0,1N ，若曲线E 与x 轴的左、右交点分别为A B 、，过点()1,0T 的直线l 与曲线E 交于P Q 、两点，直线AP BQ 、相交于点D ，问：是否存在一点D ，使得DM DN +取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22195x y +=（2）存在点D 使得DM DN +取得最小值,且最小值为4016-，【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而可得()12124my y y y =+，求解,AP BQ 的直线方程，联立可得点D 在定直线9x =上，进而根据对称性即可求解.【小问1详解】由题意可得64SC SF SC SM MC CF +=+==>=,所以S 点的轨迹是以,C F 为焦点的椭圆，故26,243,2,5a c a c b ==⇒===，故轨迹方程为22195x y +=【小问2详解】存在点D 使得DM DN +4016-，由题意可知直线l 的斜率不为0，故设直线l 方程为1x my =+，221195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()225910400m y my ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ,所以1212221040,5959m y y y y m m +++=-=-，故()12124my y y y =+，由（1）()()3,0,3,0A B -,故()11:33y AP y x x =++，()22:33y BQ y x x =--,设()00,D x y ，将()00,D x y 代入,AP BQ 方程可得()()()()()()21211220122012121211213444342332242y x y my y y y x my y y x y x y my my y y y y y ++++++=====----+-，解得09x =，故点D 在定直线9x =上，()0,1N 关于9x =的对称点()18,1N '，且()2,0C -,故66DM DN DM DN MN CN '''+=+≥≥-==-，故DM DN+6-，【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.若无穷数列{}n a 满足()110,n n a a a f n +=-=，则称数列{}n a 为β数列，若β数列{}n a 同时满足12n n a -≤，则称数列{}n a 为γ数列．（1）若数列{}n a 为β数列，()1,f n n *=∈N ，证明：当2025n ≤时，数列{}n a 为递增数列的充要条件是20252024a =；（2）若数列{}n b 为γ数列，()f n n =，记2n n c b =，且对任意的n *∈N ，都有1n n c c +<，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）2n c n =-【解析】【分析】（1）先证必要性，根据递增函数可得数列{}n a 是等差数列可得20252024a =，再证充分性，根据11n n a a +-≤累加可得20252024a ≤当且仅当11n n a a +-=时取等号即可证明；（2）依题意{}n b 的偶数项构成单调递增数列，从而可得当20n b ≥时，有2n ≥，再证明相邻两项不可能同时为非负数，从而可得112,n n c c n --=≥，进而根据等差数列的通项公式求解即可.【小问1详解】先证必要性：依题意得，11n n a a +-=，又数列{}n a 是递增数列，故11n n a a +-=，故数列{}n a 是10a =，公差1d =的等差数列，故()202502025112024a =+-⨯=.再证充分性：由11n n a a +-=，得11n n a a +-≤，故()()()202520252024202420232112024a a a a a a a a =-+-+-+≤ ，当且仅当11n n a a +-=时取等号.又20252024a =，故11n n a a +-=，故数列{}n a 是递增数列.【小问2详解】因为2n n c b =，由1n n c c +<，知数列{}n c 是单调递增数列，故数列{}n b 的偶数项构成单调递增数列，依题意，可得240,1b b =-=，故当20n b ≥时，有2n ≥.下面证明数列{}n b 中相邻两项不可能同时为非负数.假设数列{}n b 中存在1,i i b b +同时为非负数，因为1||i i b b i +-=，若1i i b b i +-=，则有()1112i i i b b i i ++-=+≥>，与条件矛盾；若1i i b b i +-=-，则有112i i i b b i i +-=+≥>，与条件矛盾；即假设不存在，即对任意正整数1,,n n n b b +中至少有一个小于0；由20n b ≥，对2n ≥成立，故2n ≥时，210n b -≤，210n b +≤，即221221,n n n n b b b b -+>>，故()221212221,22n n n n b b n b b n ----=--=--，故()()22121221n n n n b b b b ----+-=，即2221,2n n b b n --=≥，即112,n n c c n --=≥.又12240,1c b c b ==-==，所以数列{}n c 是11c =-，公差为1的等差数列，所以()112n c n n =-+-=-.【点睛】思路点睛：（1）证明充要条件可分别证明充分性与必要性；（2）隔项数列可考虑每项前后的两项数列正负，并根据累加可得2221n n b b --=.。
广西部分重点中学2024届高三高考模拟训练(五)数学试题
广西部分重点中学2024届高三高考模拟训练（五）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量ab，满足21aba＝，＝,与b的夹角为2 3，且)2(()abab+－，则实数的值为（ ） A．7 B．3 C．2 D．3 2．设全集UR，集合02Axx，1Bxx，则集合AB（ ） A．2, B．2, C．,2 D．,1 3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数据分析最差
4．已知椭圆22221(0)xyabab的焦点分别为1F，2F，其中焦点2F与抛物线22ypx的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F，则椭圆的离心率为（ ） A．22 B．21 C．322 D．31 5．在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，且||1,||2ABAC，120BAC，则||EB（ ） A．194 B．114 C．32 D．74 6．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12 7．如图，ABC中260AB，点D在BC上，30BAD，将ABD△沿AD旋转得到三棱锥BADC，分别记BA，BD与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（ ）
广西省南宁市重点中学2024届高三入学调研数学试题(3)试卷
广西省南宁市重点中学2024届高三入学调研数学试题（3）试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．5784．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6135．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞6．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）7．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．32C 23D 38．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 10．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，12．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届高三高考模拟综合测试数学试题(一)(含答案)
2024届高三高考模拟综合测试数学试题(一)(含答案)一、选择题（每题5分，共40分）1. 设集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x≤-2或x≥3}，则A∩B=（）A. {x|-2≤x≤1}B. {x|1≤x≤3}C. {x|-2≤x≤4}D. {x|3≤x≤4}【答案】B2. 若函数f(x)=x²-2x+1在区间[0,3]上的最小值是0，则方程x²-2x+1=0的实数根是（）A. 1B. 2C. 3D. 1和3【答案】A3. 设函数f(x)=x²+ax+b，若f(x)在区间（-∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A. a>0B. a<0C. a≥0D. a≤0【答案】C4. 已知函数f(x)=2x²-3x+c，若f(x)在区间（-∞，+∞）上单调递减，则c的取值范围是（）A. c>0B. c<0C. c≥0D. c≤0【答案】B5. 若函数f(x)=x²+bx+c（b<0）的图像开口向上，且顶点在y轴上，则下列结论正确的是（）A. b²-4c<0B. b²-4c=0C. b²-4c>0D. b²-4c≥0【答案】B6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，S6=27，则公差d=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B7. 若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a²+b²+c²=14，a+b+c=6，则三角形ABC的面积S=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A8. 已知函数f(x)=x²+ax+b（a<0）的图像与x轴交于点A、B，且|AB|=2，则a²+b的取值范围是（）A. (-∞，4)B. (-∞，8)C. (-∞，12)D. (-∞，16)【答案】C二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x)=x²+2x+1，求不等式f(x)>0的解集。
广西省南宁市重点中学2025届高三一诊考试数学试卷含解析
广西省南宁市重点中学2025届高三一诊考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．232．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ） A ．3B ．10C ．23D ．53．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．4．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A 3B 10C 15D 6 5．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ）A ．232B ．12C ．252D ．137．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 8．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．19．复数z 满足()113z i i -=-，则复数z 等于（） A ．1i -B ．1i +C ．2D ．-210．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,711．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭12．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届广西南宁市高三下学期最后一卷高考数学模拟试题(四模)含解析
（四模）
注意事项：
1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知 cos31 a ，则 sin 239 tan149 的值为（ ）
A． b a c
B． b<c<a
C． a b c
D． c b a
8．若
，
0,
π 2
，
sin
2
1 2
，
sin
2
1 2
，则
cos
的值等于（
）
3
A． 2
1 B． 2
1
C． 2
3 D． 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．给出下列命题，其中错误的命题为（ ）
5000 200 200 简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是等可能的，概率等于 5003 5000 5003 ，故 D 错 误；
故选：ABD 10．AB 【分析】根据函数对称中心的定义求出 a ， b 的值，可判断 A 的真假；用导数分析函数的单 调性，求出极值，可判断 B 的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断 C 的 真假；求函数在区间端点处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断 D 的真假.
(1)试证： xnsn 4(n 1) ；
(2)取 xn 2n ，并记 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点．试证
广西南宁市2024届高三3月第一次适应性测试数学试题(解析版)
南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试数学注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，若()12122,i 2z z z z +=−=，（i 为虚数单位），则1z =（ ） A. 1i + B. 1i −−C. 1i −+D. 1i −【答案】D 【解析】【分析】根据复数除法运算即可求解.【详解】由()12i 2z z −=可得1222i iz z ==−−，结合122,z z +=故1z =1i −， 故选：D2. 已知集合{}{}1,,1,1A x ax a R B ==∈=−∣，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（ ）A. {}1−B. {}1,1−C. {}0,1D. {}1,0,1−【答案】D 【解析】【分析】根据子集的概念求得参数a 的值可得． 【详解】0a =时，A =∅满足题意，0a ≠时，1ax =得1x a =，所以11a=或11a =−，1a =或1a =−，所求集合为{1,0,1}−． 故选：D ．的3. 已知数列{}n a 的首项1a a =（其中1a ≠且0a ≠），当2n ≥时，111n n a a −=−，则2024a =（ ）A. aB.11a− C. 11a−D. 无法确定【答案】B 【解析】【分析】逐项计算得出数列的周期进而可得.【详解】1a a =，211a a=−，311111a a a a−==−−，4111a a a a ==−−，故数列{}n a 的周期为3. 故202436742211a a a a×+===−. 故选：B4. ()6312xx −− 展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 4C. 4−D. 64−【答案】C 【解析】【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】二项式6(2x −的展开式的通项公式为()3626216,0,1,2,3,,1C 45,26r r r r r T x r −−+=−⋅⋅=， 令3602r −=，求得4r =，令3632r−=−，求得6r =， 由于()663631222x x x x x −−− =−， 故其展开式中的常数项为()()644266661606441C 2C 2−−=−⋅−=−⋅ 故选：C5. 已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,AO AB AC OA AC =+= ，则向量CA 在向量CB上的投影向量为（ ）A. 14CBB. C. 14CB −D. 12CA【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到OB OC =−，得到点O 为线段BC 的中点，得出ABC 为直角三角形，且AOC 为等边三角形，进而求得向量CA 在向量CB上的投影向量.详解】由2AO AB AC =+，可得)(()0AB AO AC AO OB OC −−=+=+ ，所以OB OC =−，即点O 为线段BC 的中点，又因为ABC 的外接圆圆心为O ，所以ABC 为直角三角形，所以12OA BC =因为OA AC =，可得OAAC OC == ，所以AOC 为等边三角形， 故点A 作AD BC ⊥，可得1cos 2CDAC ACB AC =∠=，所以14CD CB =， 因为向量CA 在向量CB 同向，所以向量CA 在向量CB 上投影向量为14CB.故选；A.6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线与双曲线E 的一条渐近线交于点P ，与其左支交于点Q ，且点P 与点Q 不在同一象限，直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点在双曲线E 上，若2PQ PF =−，则文曲线E 的离心率为（ ）A.B. 2C.73D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可判断四边形Q F QF ′′为平行四边形，即可利用相似求解. 【详解】设F ′为双曲线的左焦点，由于直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点Q ′在双曲线E 上，【的所以Q ′与Q 关于坐标原点对称,又O 是F F ′的中点，故四边形Q F QF ′′为平行四边形， 故//,,F Q QF F Q QF ′′′′=故F Q A PFA ′′ ， 3F Q F A c a QF PF FA c a PF′′′+===−=，故2,2c a e =∴=， 故选：B7. 在边长为4的菱形ABCD 中，120ABC ∠=°．将菱形沿对角线AC 折叠成大小为30°的二面角B ACD ′−−．若点E 为B C ′的中点，F 为三棱锥B ACD ′−表面上的动点，且总满足AC EF ⊥，则点F轨迹的长度为（ ）A.B.C. 4D. 4+【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求B D ′=，进而利用线面垂直可判断点F 轨迹为EPQ △，求解周长即可．【详解】连接AC 、BD ，交于点O ，连接OB ′，ABCD 为菱形，120ABC ∠=°， 所以AC BD ⊥，OB AC ′⊥，OD AC ⊥， 所以B OD ′∠为二面角B AC D ′−−的平面角， 于是30B OD ′∠=°， 又因为122OBOD AB ′===，所以B D ′=−取OC 中点P ，取CD 中点Q ，连接EP 、EQ 、PQ ，所以//PQ OD 、//EP OB ′， 所以AC EP ⊥、AC PQ ⊥，EP ，EQ 相交， 所以AC ⊥平面EPQ ，所以在三棱锥B ACD ′−表面上，满足AC EF ⊥的点F 轨迹为EPQ △， 因为12EP OB ′=，12PQ OD =，12EQ B D ′=，所以EPQ △的周长为)1222×+所以点F ．故选：A ．8. 已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,x y f x y f x f y +−=−，且当0x >时，()0f x >，则（ ）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. ()f x 是增函数D. ()f x 是周期函数【答案】C 【解析】【分析】对A ，令0x y −=求解即可；对B ，令0x =化简可得()()0f y f y −+=即可；对C ，设210x x >>，结合题意判断()()22210fx f x −>判断即可；对D ，根据()f x 是增函数判断即可.【详解】对A ，令0x y −=，则()()()222000f f f =−，得()00f =，故A 错误；对B ，令0x =，得()()()()220f y f y f f y −=−，由()00f =整理可得()()()0f y f y f y −+= ， 将y 变换为y −，则()()()0f y f y f y −+−=， 故()()20f y f y +−=，故()()0f y f y −+=，故()f x 是奇函数，故B 错误；对C ，设210x x >>，则()()210,0f x f x >>， 且()()()()()()()()22212121fx f x f x f x f x f x −=+−()()21210f x x f x x =+−>，故()()22210f x f x −>，则()()21f x f x >.又()00f =，()f x 是奇函数，故()f x 是增函数，故C 正确； 对D ，由()f x 是增函数可得()f x 不是周期函数，故D 错误. 故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法中，正确的是（ ）A. 一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12B. 若样本数据121021,21,,21x x x +++ 的方差为8，则数据1210,,,x x x 的方差为2C. 已知随机变量X 服从正态分布()2,N µσ，若()()261P X P X ≥−+≥=，则2µ=D. 在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≤时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ>时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立 【答案】BC 【解析】【分析】对A ，根据百分位数的定义求解即可；对B ，根据方差的公式推导数据1210,,,x x x …的方差与121021,21,,21x x x ++……+的方差关系求解即可；对C ，根据正态分布的对称性推导即可；对D ，由独立性检验的性质判断即可.【详解】对A ，由于10,11,11,12,13,14,16,18,20,22共10个数据，且100.44×=，故第40百分位数为第4，5个数据的平均数为121312.52+=，故A 错误； 对B ，设数据1210,,,x x x …的平均数为121010x x x x +++= ，方差为()()()22221210110s x x x x x x =−+−++−， 则数据121021,21,,21x x x ++……+的平均数为()()()()12101210'212121210211010x x x x x x x x ++++++++++===+ ，方差为()()()2222'''11210121212110s x x x x x x=+−++−+++−()()()()()()22222212101210142222221010x x x x x x x x x x x x −+−++−=−+−++−248s =，所以22s =，故B 正确；对C ，()()261P X P X ≥−+≥=则()()()6122P X P X P X ≥=−≥−=≤−，即()()62P X P X ≥=≤−，由正态分布()2,N µσ的性质可得6222µ−==，故C 正确； 对D ，在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≥时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ<时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立.故D 错误. 故选：BC10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，当15t =时，如图，以摩天轮的轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()sin (0,0,π)H t A t b A ωϕωϕ=++>><，下列说法中正确的是（ ）A. H 关于t 的函数()H t 是偶函数B. 若在()1212,t t t t ≠时刻，游客甲距离地面的高度相等，则12t t +的最小值为30C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D. 若甲、乙两游客分别坐在,P Q 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ 的弧长50π3l =米 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B ，根据()()12H t H t =代入解析式可得12ππ2π1515t k t =+，或12ππ2π1515t k t =−，进而可判断；对C ，求解ππ50sin 6085152t −+≥即可；对D ，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为π18，进而可得劣弧PQ 的弧长.【详解】对A ，由题意，5,,,2ππ50110506030301A b T ω==−====， 所以()π50sin 6015H t t ϕ=++，当0=t 时，可得sin 1ϕ=−，所以π2ϕ=−，故()()ππ50sin 60,0152H t t t =−+≥ ，所以()H t 是非奇非偶函数，故A 错误；对B ，由题意()()12H t H t =，即12ππππ50sin 6050sin 60152152t t −+=−+ ，即12ππcoscos 1515t t =，所以12ππ2π1515t k t =+，或12ππ2π1515t k t =−， ()1212,,0,0k t t t t ∈≠≥≥N ，即1230t t k =+或1230t t k +=，()12min 30t t +=，故B 正确； 对C ，由题意ππ50sin 6085152t −+≥，即ππ1sin 1522t −≥ ，即π1cos 152t ≤−，所以2ππ4π2π2π3153k t k +≤≤+，()N k ∈，解得()30103020,N k t k k +≤≤+∈. 所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C 正确； 对D ，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为2ππ=3618， 因为,P Q 两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧PQ 对应的圆心角是ππ×6183=， 故π50π5033l =×=（m ）.故D 正确. 故选：BCD11. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与C 交于P 、Q 两点，2l与C 交于M 、N 两点，PQ 的中点为,G MN 的中点为H ，则（ ） A. 当2PF QF =时，36MN = B. PQ MN +的最小值为18 C. 直线GH 过定点()4,0 D. FGH 的面积的最小值为4【答案】AD 【解析】【分析】设直线1l 和2l 的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本不等式判断AB ，利用两点求出直线方程，求解直线恒过定点判断C ，将面积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最值判断D .【详解】对于A ，由题意得()1,0F ，设直线1l 方程为1x my =+，则2l 方程为11x y m=−+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线1l 方程与抛物线方程214x my y x =+=得2440y my −−=.则12Δ0,4y y m >+=，124y y =−，同理344y y m+=−，344y y =−，又2PF QF =，所以122y y =−，所以218m =，所以()3434214222436MN x x y y m m =++=−+++=+=，故A 正确；对于B ，由A 知，()34342142224MN x x y y m m=++=−+++=+，()2121222244PQ x x m x x m =++=+++=+，所以22224444448816PQ MN m m m m +=+++=++≥=， 当且仅当2244=m m ，即1m =±时，等号成立.故B 错误； 对于C ，由A 知，()222221,2,1,G m m H m m ++− ，所以直线GH ：()2222222122m m y m x m m m+−=−−−， 令0y =得3x =，所以直线GH 恒过定点()3,0，故C 错误； 对于D ，由C 知直线GH 恒过定点()3,0，所以1222242FGH G H G H S FA y y y y m m m m=⋅−=−=+=+≥ ， 当且仅当1m =±时，等号成立.故D 正确； 故选：AD【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________. 【答案】2:3. 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为R R ，高为2R .∴222226S R R R R πππ=⋅+⋅=圆柱，24S R π=球， ∴22:4:62:3S S R R ππ==球圆柱. 故答案为:2:3.【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题. 13. 已知()π170π,cos ,sin 239αββαβ<<<<=−+=，则tan α=______．【解析】【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得sin α，进而可得tan α.【详解】由题意，sin βπ3π22αβ<+<，故()cos αβ+. 故()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=+−=+−+711933 =×−−= .故cos αtan α=. 14. 已知函数()()21e xf x x ax =−+的最小值为1−，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[)0,∞+ 【解析】【分析】求出导函数，根据a 的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.【详解】因为()()21e xf x x ax =−+，所以()()e 2e 2xxf x x ax x a =′=++， 若0a ≥，则(),0x ∞∈−时，(0f x ′<，故()f x 在(),0∞−上单调递减，()0,x ∞∈+时，()0f x ′>，故()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当0x =时，()f x 有最小值()01f =−，满足题意；若a<0，则当x 无限趋近于负无穷大时，()f x 无限趋向于负无穷大，()f x 没有最小值，不符合题意； 综上，0a ≥，所以实数a 的取值范围为[)0,∞+. 故答案为：[)0,∞+四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；（2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X 表示这3个球的得分之和，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）917（2）分布列见解析，数学期望是225【解析】【分析】（1）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可；（2）由题设X 的可能值为3，4，5，6，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望. 【小问1详解】记“摸出球的结果是一红一白”为事件A ，“选择1号盒子”为事件1B ，“选择2号盒子”为事件2B ，则()()1212P B P B ==，()1132125C C 3C 5P A B ==，()11462210C C 8C 15P A B ==， 由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为()()()()()()()()()111112121|921117||22P B A P B A P B A P B A P A P B A P B A P B A P B A ====++. 【小问2详解】由题意，X 的可能值为3，4，5，6.()26210C 2215235C 54515P X ==×=×=，()112466221010C C C 232243153145C 5C 54554575P X ==×+×=×+×=，()112464221010C C C 23263242855C 5C 54554575P X ==×+×=×+×=，()24210C 336265C 54525P X ==×=×=. 所以X 的分布列为所以()3093841899022=3+4+5+6==2252252252252255E X ××××. 16. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D −的底面ABCD 是棱长为2的菱形，对角线AC 与BD 交于点1111,60,,O BAD A AB A AD AA A AC ∠=°∠=∠∠为锐角，且四棱锥11A BCC B −的体积为2.（1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）求直线1AD 与平面11BDD B 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先利用体积分割及等体积法求得四棱柱1111ABCD A B C D −1A 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ′，利用三角形全等证明点O ′与O 重合，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【小问1详解】设四棱柱1111ABCD A B C D −的高为h ，因为四边形11BCC B 是平行四边形，所以111BB C B C C S S = ，所以111A BB C A B C C V V −−=， 所以111111122A BCC B A BB C A B C C A BB C B ABC V V V V V −−−−−=+==，所以1223ABC S h ×××=，且122sin1202ABC S =×××= ，所以h =1111ABCD A B C D −因为ABD △为正三角形，所以AOAB =因为11,A AB A AD AB AD ∠∠==，所以11A AB A AD ≅ ，于是11A B A D =， 过点1A 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ′，所以11A O B A O D ≅′′ ， 所以O B O D ′′=，从而AO B AO D ≅′′ ，故BAO DAO ∠∠′′=，所以点O ′在对角线AC 上.因为11AA A O =′=，所以12AO AC =′=，故点O ′为对角线AC 与BD 的交点，即点O ′与O 重合， 所以1A O ⊥平面ABCD .【小问2详解】因为底面ABCD 是棱长为2的菱形，所以AC BD ⊥，因为1A O ⊥平面ABCD ，OA ⊂平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ， 所以1A O OA ⊥，1A O OB ⊥，即1,,OA OB OA 两两垂直，以O 为坐标原点，以1,,OA OB OA 方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()(1,0,1,0,0,1,0,AB D A −，由11A D AD =得(1D −，由11A B AB =得(1B，所以(1AD =−− ， 设平面11BDD B 的一个法向量为(),,n x y z =，()(1110,2,0,B D BD =−=− ，所以1112020n B D y n BD y ⋅=−= ⋅−=，令1x =，所以()1,0,1n = ， 设直线1AD 与平面11BDD B 所成的角为θ，所以1sin cos AD θ= 所以直线1AD 与平面11BDD B. 17. 已知函数()()e ,ln xf xg x x ==．（1）若直线l 与函数()f x 和()g x 均相切，试讨论直线l 的条数； （2）设11,0,1a b f g a b>+=，求证：a b ab +>． 【答案】（1）2条 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导，分别求解()f x 和()g x 的切线方程，进而可得()112121e 1e ln 1x x xx x = −=− ，构造函数()()1e 1,x h x x x =++-求导确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理判断根的个数即可求解，（2）通过换元以及指对互化，构造函数()()ln 1e ,tq t t =−+求导判断函数的单调性，即可求证. 【小问1详解】设直线l 与函数()f x 和()g x 分别相切于()()1122,e,,ln x A x B x x ，由()()1e ,xf xg x x′′==可得121e x x =，直线l 方程为()111e e xx y x x −=-以及()2221ln y x x x x −=−， 故()112121e 1e ln 1x x x x x = −=− ，进而()1111e 10xx x ++=-， 令()()()1e 1,e 1x x h x x x h x x ′=+++-=-，记()()()e 1,1e xxt x x t x x ′=−++=-， 当()()()1,0,x t x t x h x ′′>−<=单调递减，()()()1,0,x t x t x h x ′′<−>=单调递增，又()()0,0,11e 0x t x t <>−<=，故存在唯一的()()000,1,0x t x ∈=， 故当 ()()()()0,,0,x x t x h x h x ′∈−∞>=单调递增，当()()()()0,,0,x x t x h x h x ′∈∞<+=单调递减， ()()()0max 020h x h x h =>=>，又()()2223e 0,213e0h h −=−<−=−+<，因此()h x 存在两个零点，故直线l 的条数为2条. 【小问2详解】 令11,,m n a b则0,0m n >>， 由()()1111e ln 1mf g f m g n n a b +=⇒+=⇒+=，由于e 1,m >故ln 0n <， 令ln 0t n =<，则e ,e 1t m n t ==−，故()ln 1m t =−， 故()ln 1e ,0tm nt t +=−+< 记()()()()11e 1ln 1e ,e 11tttt q t t q t t t +−−′=−++−−==， 记()()()11e ,e 0ttp t t p t t ′=+−=<，所以()p t 在(),0∞-单调递减，故()(0)0p t p >=， 故()()11e 01tt q t t +−′<−=，()q t 在(),0∞-单调递减，故()()01q t q >=，所以1,m n +>即111a b>+，a b ab +> 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1，从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18. 已知点()2,0F 和圆22:(2)36,C x y M ++=为圆C 上的一动点，线段MF 的垂直平分线与线段MC 相交于点S ，记点S 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）已知点()0,1N ，若曲线E 与x 轴的左、右交点分别为A B 、，过点()1,0T 的直线l 与曲线E 交于P Q 、两点，直线AP BQ 、相交于点D ，问：是否存在一点D ，使得DM DN +取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22195x y +=的（2）存在点D 使得DM DN +取得最小值,6， 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而可得()12124my y y y =+，求解,AP BQ 的直线方程，联立可得点D 在定直线9x =上，进而根据对称性即可求解. 【小问1详解】由题意可得64SC SF SC SM MC CF +=+==>=, 所以S 点的轨迹是以,C F 为焦点的椭圆，故26,243,2,a c a c b ==⇒===，故轨迹方程为22195x y +=【小问2详解】存在点D 使得DM DN +取得最小值,6−，由题意可知直线l 的斜率不为0，故设直线l 方程为1x my =+， 221195x my x y =++= ，整理得()225910400m y my ++−=， 设()()1122,,,P x y Q x y , 所以1212221040,5959m y y y y m m +++=-=-，故()12124my y y y =+， 由（1）()()3,0,3,0A B −故()11:33y AP y x x =++，()22:33y BQ y x x =−−,设()00,D x y ，将()00,D x y 代入,AP BQ 方程可得,()()()()()()21211220122012121211213444342332242y x y my y y y x my y y x y x y my my y y y y y ++++++=====−−−−+−，解得09x =，故点D 在定直线9x =上，()0,1N 关于9x =的对称点()18,1N ′，且()2,0C −,故66DM DN DM DN MN CN ′′′+=+≥≥−=−，故DMDN +的最小值为6，【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19. 若无穷数列{}n a 满足()110,n n a a a f n +=−=，则称数列{}n a 为β数列，若β数列{}n a 同时满足12n n a −≤，则称数列{}n a 为γ数列． （1）若数列{}n a 为β数列，()1,f nn ∗=∈N ，证明：当2025n ≤时，数列{}n a 为递增数列的充要条件是20252024a =；（2）若数列{}n b 为γ数列，()f n n =，记2n n c b =，且对任意的n ∗∈N ，都有1n n c c +<，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）证明见解析 （2）2nc n =− 【解析】【分析】（1）先证必要性，根据递增函数可得数列{}n a 是等差数列可得20252024a =，再证充分性，根据11n n a a +−≤累加可得20252024a ≤当且仅当11n n a a +−=时取等号即可证明； （2）依题意{}n b 的偶数项构成单调递增数列，从而可得当20n b ≥时，有2n ≥，再证明相邻两项不可能同时为非负数，从而可得112,n n c c n −−=≥，进而根据等差数列的通项公式求解即可. 【小问1详解】 先证必要性：依题意得，11n n a a +−=，又数列{}n a 是递增数列，故11n n a a +−=， 故数列{}n a 是10a =，公差1d =的等差数列， 故()202502025112024a =+−×=. 再证充分性：由11n n a a +−=，得11n n a a +−≤， 故()()()202520252024202420232112024a a a a a a a a =−+−+−+≤ ，当且仅当11n n a a +−=时取等号. 又20252024a =，故11n n a a +−=，故数列{}n a 是递增数列. 【小问2详解】因为2n n c b =，由1n n c c +<，知数列{}n c 是单调递增数列， 故数列{}n b 的偶数项构成单调递增数列，依题意，可得240,1b b =−=，故当20n b ≥时，有2n ≥. 下面证明数列{}n b 中相邻两项不可能同时为非负数. 假设数列{}n b 中存在1,i i b b +同时为非负数，因为1||i i b b i +−=， 若1i i b b i +−=，则有()1112i i i b b i i ++−=+≥>，与条件矛盾；若1i i b b i +−=−，则有112i i i b b i i +−=+≥>，与条件矛盾；即假设不存在，即对任意正整数1,,n n n b b +中至少有一个小于0； 由20n b ≥，对2n ≥成立，故2n ≥时，210n b −≤，210n b +≤，即221221,n n n n b b b b −+>>，故()221212221,22n n n n b b n b b n −−−−=−−=−−， 故()()22121221n n n n b b b b −−−−+−=， 即2221,2n n b b n −−=≥，即112,n n c c n −−=≥. 又12240,1c b c b ==−==，所以数列{}n c 是11c =−，公差为1的等差数列， 所以()112n c n n =−+−=−.【点睛】思路点睛：（1）证明充要条件可分别证明充分性与必要性；（2）隔项数列可考虑每项前后的两项数列正负，并根据累加可得2221n n b b −−=.。
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2024届广西省南宁市达标名校数学高三第一学期期末经典模拟试题 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线2ykx与曲线13lnyx相切，则k（ ）
A．3 B．13 C．2 D．12 2．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A．PA，PB，PC两两垂直 B．三棱锥P-ABC的体积为83 C．||||||6PAPBPC D．三棱锥P-ABC的侧面积为35
3．已知a，b，Rc，abc，0abc．若实数x，y满足不等式组040xxybxayc，则目标函数2zxy（ ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若，m，n，则mn B．若//，m，n，则//mn C．若mn，m，n，则 D．若m，//mn，//n，则 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 6．已知函数()cos(2)(0)fxAx的图像向右平移8个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，(0)1f，当取得最小值时，函数()fx的解析式为（ ）
A．()2cos(2)4fxx B．()cos(2)4fxx C．()2cos(2)4fxx D．()cos(2)4fxx 7．已知甲盒子中有m个红球，n个蓝球，乙盒子中有1m个红球，+1n个蓝球(3,3)mn，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)ii个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)ipi.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)ii.则（ ） A．1212,()()ppEE B．1212,()()ppEE C．1212,()()ppEE D．1212,()()ppEE 8．若函数222cos137fxxxmxmm有且仅有一个零点，则实数m的值为（ ）
A．3372 B．3372 C．4 D．2 9．已知不同直线l、m与不同平面、，且l，m，则下列说法中正确的是（ ） A．若//，则l//m B．若，则lm C．若l，则 D．若，则m 10．若复数()(1)2zii（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A．1213 B．1314 C．2129 D．1415 12．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（ ） A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设随机变量服从正态分布(2,9)N,若()(2)PcPc，则c的值是______．
14．在ABC中，内角、、ABC的对边长分别为abc、、，已知222acb，且sincosC3cossinAAC，则b_________．
15．已知,ij是夹角为90的两个单位向量，若aij，bj，则a与b的夹角为______. 16．已知变量12,0,xxm (m>0)，且12xx，若2112xxxx恒成立，则m的最大值________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在三棱柱111ABCABC中，四边形11ABBA是菱形，4AB，160ABB，113BC，BCAB，
点M、N分别是1AB、1AC的中点，且1
MNAB.
（1）求证：平面11BCCB平面11ABBA； （2）求四棱锥11ABCCB的体积.
18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3423xtyt，（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos80. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若点p是直线l的一点，过点p作曲线C的切线，切点为Q，求PQ的最小值. 19．（12分）已知,,abcR，xR，不等式|1||2|xxabc恒成立. （1）求证:22213abc （2）求证:2222222abbcca. 20．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差2；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) （2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在55,65的人数，求X的分布列和数学期望； （3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布2(,)N.若220(.5)944PYp，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，设1m，过点(,0)m的直线l与圆22:1Pxy相切，且与抛物线2:2Qyx
相交于,AB两点． （1）当m在区间[1,)上变动时，求AB中点的轨迹； （2）设抛物线焦点为F，求ABF的周长(用m表示)，并写出2m时该周长的具体取值． 22．（10分）已知函数()sinaxfxex.
（1）若()fx在06,上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若1a，对0,2x，恒有()fxbx成立，求实数b的最小值. 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A
【解题分析】
设切点为00(,2)xkx，对13lnyx求导，得到3yx，从而得到切线的斜率03kx，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【题目详解】 设切点为00(,2)xkx，
∵3yx，∴0003,213ln,kxkxx①② 由①得03kx， 代入②得013ln1x， 则01x，3k， 故选A. 【题目点拨】 该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目. 2、C 【解题分析】 根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得. 【题目详解】 解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示， 其中D为AB的中点，PD底面ABC.
所以三棱锥P-ABC的体积为114222323， 2ACBCPD，2222ABACBC，||||||2DADBDC，
2
2||||||226,PAPBPC
222PAPBAB，PA、PB不可能垂直，
即,PA,PBPC不可能两两垂直， 1222222PBAS，
2
2
1
61252PBCPACSS.
三棱锥P-ABC的侧面积为2522.
故正确的为C. 故选：C. 【题目点拨】 本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 3、B 【解题分析】 判断直线0bxayc与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【题目详解】 由0abc，abc，所以可得0,0ac.
1112,22222ccccabaacbcaccaaaa，
所以由0bcbxaycyxaa，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：